Este documento explica cómo calcular el área y el volumen de diferentes cuerpos geométricos tridimensionales como prismas, pirámides, cilindros, conos y esferas. Proporciona fórmulas y resuelve ejercicios de práctica para cada figura.

1. CUERPOS GEOMÉTRICOS Áreas y volúmenes

2. UN CUERPO GEOMÉTRICO ES UNA FIGURA
TRIDIMENSIONAL

3. Cómo calculamos el
área y el volumen de un
prisma?
El área será la suma de
las áreas de sus caras
El volumen será el área de la
base por la altura
𝑉 = 𝐴 𝑏𝑎𝑠𝑒 ∙ 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎

4. Cómo calculamos el
área y el volumen de
una pirámide?
El área será la suma de
las áreas de sus caras
El volumen será un tercio del
área de la base por la altura
𝑉 =
1
3
∙ 𝐴 𝑏𝑎𝑠𝑒 ∙ 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎

5. 𝑉 = á𝑟𝑒𝑎𝑏𝑎𝑠𝑒 ∙ 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑉 =
1
3
∙ á𝑟𝑒𝑎𝑏𝑎𝑠𝑒 ∙ 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑉 =
4
3
𝜋𝑟3 𝑉 = á𝑟𝑒𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒 ∗ 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑉 =
1
3
∙ á𝑟𝑒𝑎𝑏𝑎𝑠𝑒 ∙ 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎
𝐴 = 4𝜋𝑟2 𝐴 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 2𝜋𝑟ℎ + 2𝜋𝑟2
𝐴 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝜋𝑟𝑔 + 𝜋𝑟2

6. EJERCICIO1:
Calcule el área total y el volumen de la
figura
𝐴𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 2 ∗ 𝑡𝑟𝑖á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 + 3 ∗ 𝑟𝑒𝑐𝑡á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜
Primero debemos calcular el área del triángulo
Sabemos que es isósceles. Por lo tanto, podemos
formar un triángulo rectángulo cuya base mida 5 cm, y
la hipotenusa mida 6 cm. Por ende , la altura medirá
11 ≈ 3,32-
El área del triángulo medirá:
10∙3,32
2
= 16,6 𝑐𝑚2
𝐴𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 2 ∗ 𝑡𝑟𝑖á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 + 3 ∗ 𝑟𝑒𝑐𝑡á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜
= 2 ∙ 16,6 + 3 ∙ 10 ∙ 19 = 603,2 𝑐𝑚2
Volumen = área de la base *
altura
= 16,6 ∙ 19 = 315,4 𝑐𝑚3

7. EJERCICIO
2:
Calcule el área total y el volumen de
la figura cuya base es un polígono
regular
Recuerde que la
fórmula para calcular
el área de un
polígono regular es
𝐴 =
𝑝𝑒𝑟í𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜∙𝑎𝑝𝑜𝑡𝑒𝑚𝑎
2
Para calcular el área necesitamos
calcular el área del hexágono y
del rectángulo.
𝐴 = 2 ∙ ℎ𝑒𝑥á𝑔𝑜𝑛𝑜 + 6 ∙ 𝑟𝑒𝑐𝑡á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜
Para calcular el área del
hexágono, debemos tener en
cuenta que son 6 triángulos
equiláteros de base 3m y
altura 2,6 m. Por ende, el área
es:
𝐴 =
3 ∙ 2,6
2
= 3,9 𝑚2
Notemos que el hexágono se
divide en 6 triángulos
equiláteros, pero otra figura,
por ejemplo el octágono
regular se divide en 8
triángulos isósceles
𝐴 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 2 ∙ 3,9 + 6 ∙ 3 ∙ 6 = 115,8𝑚2
Para calcular el volumen utilizamos la fórmula de
prisma.
𝑉 = á𝑟𝑒𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒 ∙ 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 = 3,9 ∙ 6 = 23,4𝑚3

8. EJERCICIO
3:
Calcule el área y el volumen de la
pirámide de base cuadrada que se
obtiene de unir los lados de los colores
iguales
Para calcular el área primero debemos calcular el
área de los triángulos que forman la pirámide. Para
ello debemos, primero, encontrar la altura de estos
cuatro triángulos iguales.
𝐴 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 4 𝑡𝑟𝑖á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜𝑠 + 1 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜
Para calcular la altura del triángulo debemos
utilizar el teorema de Pitágoras.
122
+ 52
= 𝐴 𝑝
2
169 = 𝐴 𝑝
2
169 = 𝐴 𝑝
13 = 𝐴 𝑝
El área del triángulo es:
10∙13
2
=
65 𝑐𝑚2
El volumen se calcula:
1
3
∙ á𝑟𝑒𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒 ∙ 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 =
1
3
∙ 102
∙ 12 =
3

9. CILINDRO
𝐴 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 2 ∙ 𝐴 𝑏𝑎𝑠𝑒 + 𝐴𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙
𝐴 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 2𝜋𝑟2 + 2𝜋𝑟ℎ
𝑉 = 𝐴 𝑏𝑎𝑠𝑒 ∙ 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎
𝑉 = 𝜋𝑟2
ℎ

10. EJERCICIO 4: Calcule el área total y el volumen de
la figura
El área total del cilindro es: dos tapas circulares más el área
lateral (2𝜋𝑟ℎ). Entonces:
𝐴 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 2 ∙ 𝜋𝑟2 + 2𝜋𝑟ℎ
= 2 ∙ 3,14 ∙ 102 + 2 ∙ 3,14 ∙ 10 ∙
20
= 1884 𝑐𝑚2
El volumen se calcula multiplicando área de la base por
altura
𝑉 = 𝜋𝑟2
∙ ℎ = 3,14 ∙ 102
∙ 20 = 6280𝑐𝑚3

11. ¿Cómo
calculamos
el área
lateral?
CONO

12. Podemos recortar
el cono por la
generatriz
formando un
sector circular de
radio g y ángulo 𝛼
Y calculamos el
área de un sector
circular.
𝐴𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙=
𝜋𝑔2
∙ 𝛼
360
=
𝜋𝑔2
∙
360𝑟
𝑔
360
= 𝜋𝑔𝑟
𝛼
Calcularemos el ángulo 𝛼
𝛼
360
=
2𝜋𝑟
2𝜋𝑔
𝛼 =
360𝑟
𝑔

13. ÁREA Y VOLUMEN DEL
CONO
Área:
A=Alateral + Abase
A = 𝜋𝑔𝑟 + 𝜋𝑟2
Volumen:
𝑉 =
1
3
𝜋𝑟2ℎ

14. EJERCICIO 5 Calcule el área y el volumen de la siguiente figura
Calculemos el área total del cono:
A = 𝜋𝑔𝑟 + 𝜋𝑟2
= 3,14 ∙ 25 ∙ 15 + 3,14 ∙ 152
= 1884 𝑐𝑚2
El volumen del cono es:
𝑉 =
1
3
𝜋𝑟2
ℎ
Primero debemos calcular la altura utilizando Pitágoras.
ℎ2
+ 152
= 252
ℎ2 + 225 = 625
ℎ2 = 625 − 225
ℎ2
= 400
ℎ = 400 = 20
𝑉 =
1
3
𝜋𝑟2
ℎ =
1
3
∙ 3,14 ∙ 152
∙ 20
= 4710𝑐𝑚3

15. ESFERA Área:
4𝜋𝑟2
Volumen:
4
3
𝜋𝑟3

16. EJERCICIO 6:
Calcule la aproximación del volumen de la tierra si sabemos que el
radio de esta es aproximadamente 6371,0 km
Volumen:
𝑉 =
4
3
∙ 𝜋𝑟3
=
4
3
∙ 3,14 ∙ 63713
= 1,082657777 ∙ 1012
El volumen de la tierra es aproximadamente
1,082657777 ∙ 1012 𝑘𝑚3