Este documento presenta información sobre investigación de operaciones y programación lineal. Explica que la investigación de operaciones se originó durante la Segunda Guerra Mundial para mejorar la asignación de recursos militares y ha crecido para aplicarse a problemas de toma de decisiones en organizaciones. Luego describe el método general de programación lineal, incluyendo definir variables de decisión, restricciones y una función objetivo para optimizar. Finalmente, presenta un ejemplo numérico de cómo usar la programación lineal para maximizar beneficios en la producción de dos modelos de lá

1. .

3. SABERES PREVIOS
¿Que observamos en las imágenes anteriores?
¿Cómo podemos obtener el personal idóneo para
el puesto de trabajo?
¿Qué es una decisión?

4. INVESTIGACION DE
OPERACIONES
PROGRAMACION LINEAL

5. LOGRO DE
APRENDIZAJE
Al finalizar la sesión, el estudiante será
capaz de evaluar e interpretar los
problemas de decisión, haciendo uso de la
programación lineal con lógica y exactitud
en el tratamiento de la información.

6. Durante la 2da guerra mundial se
hicieron investigaciones sobre
operaciones militares para mejorar la
asignación de recursos.
Dificultad para asignar recursos
Crecimiento de las organizaciones
ORÍGENES de la IO

7. FACTORES QUE IMPULSARON EL
DESARROLLO DE LA IO.
• La IO tuvo gran éxito en las actividades
bélicas, durante la 2da Guerra Mundial.
• George Dantzig en 1947 desarrolló el
Método Símplex para resolver problemas de
P. L.
• Desarrollos notables en programación
dinámica, líneas de espera y teoría de
inventarios.
• Revolución de las computadoras.
Kantarovich
Dantzig

8. ¿Qué se busca con la IO?
El principal objetivo de esta área de conocimientos
consiste en formular y resolver diversos problemas
orientados a la toma de decisiones.

9. La investigación de
operaciones intenta
encontrar una mejor
solución, (llamada
solución óptima) para
el problema bajo
consideración.
NATURALEZA DE LA INVESTIGACIÓN
DE OPERACIONES
La investigación de operaciones se aplica a
problemas que se refieren a la conducción y
coordinación de operaciones (o actividades)
dentro de una organización.

10. 1. Definición del problema
Esto incluye determinar los objetivos apropiados, las
restricciones sobre lo que se puede hacer, las
interrelaciones del área bajo estudio con otras áreas
de la organización, los diferentes cursos de acción
posibles, los límites de tiempo para tomar una
decisión, etc. Este proceso de definir el problema
es crucial ya que afectará en forma significativa
la relevancia de las conclusiones del estudio.
METODOLOGÍA DE LA I de O

11. 2. Formulación de un modelo matemático
La forma convencional en que la investigación de
operaciones realiza esto es construyendo un modelo
matemático que represente la esencia del problema.
Un modelo siempre debe ser menos complejo que el
problema real, es una proximación abstracta de la
realidad con consideraciones y simplificaciones que
hacen más manejable el problema y permiten evaluar
eficientemente las alternativas de solución.
METODOLOGÍA DE LA I de O

12. 3. OBTENCIÓN DE UNA SOLUCIÓN A PARTIR DEL
MODELO.
Resolver un modelo consiste en encontrar los valores de las
variables dependientes, asociadas a las componentes controlables
del sistema con el propósito de optimizar, si es posible, o cuando
menos mejorar la eficiencia o la efectividad del sistema dentro del
marco de referencia que fijan los objetivos y las restricciones del
problema.
La selección del método de solución depende de las características
del modelo. Los procedimientos de solución pueden ser clasificados
en tres tipos: a) analíticos, que utilizan procesos de deducción
matemática; b) numéricos, que son de carácter inductivo y
funcionan en base a operaciones de prueba y error; c) simulación,
que utiliza métodos que imitan o, emulan al sistema real, en base a
un modelo.
METODOLOGÍA DE LA I de O

13. 4. PRUEBA DEL MODELO
Antes de usar el modelo debe probarse exhaustivamente
para intentar identificar y corregir todas las fallas que se
puedan presentar
5. Validación del modelo
Es importante que todas las expresiones matemáticas sean
consistentes en las dimensiones de las unidades que
emplean. Además, puede obtenerse un mejor conocimiento
de la validez del modelo variando los valores de los
parámetros de entrada y/o de las variables de decisión, y
comprobando que los resultados de moelo se comporten de
una manera factible.
METODOLOGÍA DE LA I de O

14. 6. ESTABLECIMIENTO DE CONTROLES SOBRE LA
SOLUCIÓN
Esta fase consiste en determinar los rangos de
variación de los parámetros dentro de los cuales no
cambia la solución del problema.
Es necesario generar información adicional sobre el
comportamiento de la solución debido a cambios en los
parámetros del modelo. Usualmente esto se conoce
como ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD.
METODOLOGÍA DE LA I de O

15. 7. IMPLANTACIÓN DE LA SOLUCIÓN
El paso final se inicia con el proceso de "vender" los
hallazgos que se hicieron a lo largo del proceso a los
ejecutivos o tomadores de decisiones.
METODOLOGÍA DE LA I de O

16. 1. El éxito del empleo de la I de O es el de un
enfoque de solución de problemas y no una
colección asociada de métodos cuantitativos.
2. La I de O es relativamente costosa, lo que
significa que no debe emplearse en todos los
problemas, sino tan sólo en aquellos en que
las ganancias sea mayores que los costos.
NORMAS PARA LOGRAR ÉXITO
EN LA I de O

17. Para llegar a hacer un uso apropiado de la
I de O, es necesario primero comprender
la metodología para resolver los
problemas, así como los fundamentos de
las técnicas de solución para de esta
forma saber cuándo utilizarlas o no en las
diferentes circunstancias.
NORMAS PARA LOGRAR ÉXITO
EN LA I de O

18. 1. Frecuentemente es necesario hacer simplificaciones del problema
original para poder manipularlo y tener una solución.
2. La mayoría de los modelos sólo considera un solo objetivo y
frecuentemente en las organizaciones se tienen objetivos
múltiples.
3. Existe la tendencia a no considerar la totalidad de las restricciones
en un problema práctico, debido a que los métodos de enseñanza
y entrenamiento dan la aplicación de esta ciencia centralmente se
basan en problemas pequeños para razones de índole práctico,
por lo que se desarrolla en los alumnos una opinión muy simplista
e ingenua sobre la aplicación de estas técnicas a problemas
reales.
4. Rara vez se realizan análisis costo-beneficio de la implantación de
soluciones definidas por medio de la I de O, en ocasiones los
beneficios potenciales se ven superados por los costos
ocasionados por el desarrollo e implantación de un modelo.
LIMITACIONES DE LA I de O

19. Organizac
ión
Naturaleza de la aplicación Año de
publicaci
ón*
Capítulos
Relacionados Ŧ
Ahorros
anuales ŧ
The
Netherlands
Rijkswaterst
att
Desarrollo de política nacional de
administración del agua, incluyendo
mezcla de nuevas instalaciones,
procedimientos de operación y
costeo.
1985 2-8, 13, 21 $ 15 millones
Monsanto
Corp.
Optimización de operaciones de
producción para cumplir metas con
un costo mínimo.
1985 2, 12 $ 2 millones
Weyerhause
r Co.
Optimización del corte de árboles en
productos de madera para maximizar
su producción.
1986 2, 10 $ 15 millones
Electrobras/
CEPAL,
Brasil
Asignación óptima de recursos
hidráulicos y térmicos en el sistema
nacional de generación de energía.
1986 10 $ 43 millones
APLICACIONES DE LA I de O

20. United
Airlines
Programación de turnos de trabajo en
las oficinas de reservaciones y en los
aeropuertos para cumplir con las
necesidades del cliente a un costo
mínimo.
1986 2-9, 12, 15, 16, 18 $ 6 millones
Citgo
Petroleum
Corp.
Optimización de las operaciones de
refinación y de la oferta, distribución y
comercialización de productos.
1987 2-9, 18 $ 70 millones
SANTOS,
Ltd.,
Australia
Optimización de inversiones de
capital para producir gas natural
durante 25 años.
1987 2-6, 13, 21 $ 3 millones
San
Francisco
police
Department
Optimización de la programación y
asignación de oficiales de patrulla
con un sistema computarizado.
1989 2-4, 12, 18 $ 11 millones
Electric
Power
Research
Institute
Administración de inventarios de
petróleo y carbón para el servicio
eléctrico con el fin de equilibrar los
costos de inventario y los riesgos de
faltantes.
1989 17, 21 $ 59 millones
Texaco, Inc. Optimización de la mezcla de
ingredientes disponibles para que los
productos de gasolina cumplieran con
los requerimientos de ventas y
calidad.
1989 2, 13 $ 30 millones
APLICACIONES DE LA I de O

21. IBM Integración de una red nacional de
inventario de refacciones para
mejorar el apoyo al servicio.
1990 2, 17, 21 $ 20
millones + $
250 millones
ahorrados
en
inventario.
Yellow
Freight
System, Inc.
Optimización del diseño de una red
nacional de transporte y la
programación de rutas de envío.
1992 2, 9, 13, 18, 21 $ 17.3
millones
U.S. Military
Airlift
Command
Rapidez en la coordinación de
aviones, tripulaciones, carga y
pasajeros para manejar la
evacuación por aire en el proyecto
Tormenta del Desierto en el Medio
Oriente.
1992 10 Victoria
American
Airlines
Diseño de un sistema de estructura
de precios, sobreventa y coordinación
de vuelos para mejorar las utilidades.
1992 2, 10, 12, 17, 18 $ 500
millones más
de ingresos
New Haven
Health Dept.
Diseño de un programa efectivo de
intercambio de agujas para combatir
el contagio del SIDA.
1993 2 33% menos
contagios
* Pertenecen a los números de enero-febrero de Interfaces en donde se pueden encontrar los artículos completos.
Ŧ Se refiere a los capítulos de este libro que describen las técnicas de 10 empleadas en las aplicaciones.
ŧ Cifras dadas en dólares.
APLICACIONES DE LA I de O

22. El problema general es asignar
recursos limitados entre
actividades competitivas de
la mejor manera posible
(óptima).
Este problema incluye elegir el
nivel de ciertas actividades que
compiten por recursos escasos
necesarios para realizarlas
INTRODUCCIÓN A LA
PROGRAMACIÓN LINEAL

23. El adjetivo lineal significa que todas las funciones
matemáticas del modelo deber ser funciones lineales. En
este caso, las palabra programación no se refiere a
programación en computadoras; en esencia es un sinónimo
de planeación.
INTRODUCCIÓN A LA
PROGRAMACIÓN LINEAL
Así, la programación lineal trata la
planeación de las actividades para
obtener un resultado óptimo.

24. Los términos clave son recursos y actividades, en
donde m denota el número de distintos tipos de
recursos que se pueden usar y n denota el
número de actividades bajo consideración.
Z = valor de la medida global de efectividad
Xj = nivel de la actividad j (para j = 1,2,...,n)
Cj = incremento en Z que resulta al aumentar una unidad
en el nivel de la actividad j
bi = cantidad de recurso i disponible para asignar a las
actividades (para i = 1,2,...,m)
aij = cantidad del recurso i consumido por cada unidad de
la actividad j
MODELO GENERAL DE PL

25. 1. Función objetivo. Consiste en optimizar el objetivo que
persigue una situación la cual es una función lineal de las
diferentes actividades del problema, la función objetivo se
maximizar o minimiza.
2. Variables de decisión. Son las incógnitas del problema. La
definición de las variables es el punto clave y básicamente
consiste en los niveles de todas las actividades que pueden
llevarse a cabo en el problema a formular.
3. Restricciones Estructurales. Diferentes requisitos que debe
cumplir cualquier solución para que pueda llevarse a cabo,
dichas restricciones pueden ser de capacidad, mercado,
materia prima, calidad, balance de materiales, etc.
4. Condición técnica. Todas las variables deben tomar valores
positivos, o en algunos casos puede ser que algunas variables
tomen valores negativos.
ESTRUCTURA DE UN MODELO
DE PL

26. 



n
j
i
j
ij m
i
b
x
a
1
,......,
2
,
1
n
j
xj ,.......,
2
,
1
0 



n
j
j
j x
c
1
Optimizar Z =
Sujeta a:
MODELO GENERAL DE PL

27. CASO :
Una compañía fabrica y venden dos modelos de lámpara L1 y L2.Para su fabricación
se necesita un trabajo manual de 20 minutos para el modelo L1 y de 30 minutos
para el L2; y un trabajo de máquina de 20 minutos para el modelo L1 y de 10
minutos para L2. Se dispone para el trabajo manual de 100 horas al mes y para la
máquina 80 horas al mes. Sabiendo que el beneficio por unidad es de 15 y 10
euros para L1 y L2, respectivamente, planificar la producción para obtener el
máximo beneficio.
1 Elección de las incógnitas.
x = nº de lámparas L1
y = nº de lámparas L2
2 Función objetivo
f(x, y) = 15x + 10y
En la función objetivo sustituimos cada uno de
los vértices.
f(x, y) = 15x + 10y
f(0, 200) = 15·0 + 10·200 = 2 000
f(240, 0 ) = 15·240 + 10·0 = 3 600
f(210, 60) = 15·210 + 10·60 = 3 750 Máximo

28. 3 Restricciones
Pasamos los tiempos a horas
20 min = 1/3 h
30 min = 1/2 h
10 min = 1/6 h
y esto queda
1/3x + 1/2y ≤ 100
1/3x + 1/6y ≤ 80
Graficando
En la función objetivo sustituimos cada uno de
los vértices.
f(x, y) = 15x + 10y
f(0, 200) = 15·0 + 10·200 = 2 000
f(240, 0 ) = 15·240 + 10·0 = 3 600
f(210, 60) = 15·210 + 10·60 = 3 750 Máximo
La solución óptima es fabricar 210 del
modelo L1 y 60 del modelo L1 para
obtener un beneficio de 3 750
Esto se puede solucionar también con
el LINGO, LINDO O SIMPLEX PHP

29. Solución de Modelos de Programación Lineal

30. En el presente capítulo se muestra la solución de varios tipos de
problemas de programación lineal que solamente tienen en su
formulación dos variables, empleando el método gráfico. Se
trabajará entonces en el Plano Cartesiano.
Los pasos a seguir son:
1. Representar en el plano cartesiano cada una de las
restricciones
2. Determinar el Espacio de Soluciones Factibles ó REGION
FACTIBLE, definido por el conjunto de restricciones.
3. Encontrar la solución óptima que permita maximizar ó minimizar
cierta Función Objetivo.
INTRODUCCIÓN

31. Una recta (Hiperplano en R2), divide al plano en dos semi-
espacios
0 1 2 3
Recta X = 2
Semiespacio
X<2
Semiespacio
X>2
0
1 2 3 4 5
Recta X1 - 2X2
= 5
Semiespacio
X1 - 2X2 > 5
X1
X2
Semiespacio
X1 - 2X2 < 5
X
1. REPRESENTACION DE LAS
RESTRICCIONES EN EL PLANO
CARTESIANO

32. Podemos decir entonces que:
Restricción: X1 –
2X2 >5
0
12 3 4 5
X
1
X
2
El semi-espacio de puntos representados
por la restricción, se suele mostrar con una
flecha tal como lo muestra el gráfico.
Usualmente, para verificar cual es el semi-
espacio de puntos que la restricción
representa, se suele probar con un punto
para poder concluir. Aquí podemos probar
fácilmente con el punto (0,0), dándonos
cuenta que la restricción NO representa los
puntos del SEMI-ESPACIO SUPERIOR.
Restricción: X1 =
2
0
12 3 4 5
X
1
X
2
Esta restriccion representa exactamente
los punto sobre la recta X1 = 2.
1. REPRESENTACION DE LAS
RESTRICCIONES EN EL PLANO
CARTESIANO

33. Para encontrar la REGION FACTIBLE deben graficarse todas las
restricciones en un mismo plano cartesiano y posteriormente
determinar los puntos de intersección de TODOS los semi-espacios.
EJEMPLO:
Dibujar la región factible asociada a las siguientes 3 restricciones:
x + y ≥ 4
y ≤ 4
y ≥ x
r
s
t
REGION
FACTIBLE
2. DETERMINACION DE LA REGION
FACTIBLE

34. Al determinar la REGION FACTIBLE de un modelo de PL, la figura
geométrica resultante se le conoce como poliedro convexo, y por
tanto se dice que un conjunto de restricciones forman un conjunto
poliédrico. La convexidad es un concepto de gran importancia en
optimización.
Si la Región Factible es Convexa, la solución optima del
problema de PL se encontrará en uno de los vértices.
Conjunto
Convexo
Conjunto No -
Convexo
Un conjunto C es un conjunto convexo si el segmento rectilíneo que
une cualquier par de puntos de C se encuentra completamente en C.
2. DETERMINACION DE LA REGION
FACTIBLE

35. La región factible puede ser acotada ó no acotada.
Región factible acotada
(politopo)
Región factible no acotada
La importancia de la REGION FACTIBLE se centra en los vértices,
ya que en alguno (s) de ellos estará la solución óptima del
problema.
2. DETERMINACION DE LA REGION
FACTIBLE

36. Tenga en cuenta que si al graficar las restricciones ocurre que no
existe una región de intersección, cuyos puntos sean comunes a
TODAS las restricciones, esto indica que el problema no tiene región
factible y por tanto no tiene solución.
EJEMPLO: Determine la Región Factible de un problema
de optimización lineal con las siguientes restricciones:
R1  X1 + X2 ≤ 3
R2  X2 ≥ 4
Obvias  X1, X2 ≥0
0
1 2 3 4 5
X1
X2
No hay
REGION
FACTIBLE
2. DETERMINACION DE LA REGION
FACTIBLE

37. Estudiemos el siguiente
EJEMPLO:
Maximizar Z = 2X1 +
X2
Sujeta a: 2X1 - X2 ≤
8
X1 - X2 ≤ 3
X1 + 2X2 ≤ 14
X1 + 4X2 ≤ 24
Xj > 0 ; j = 1, 2
Existen dos métodos
para hallar el vértice
óptimo:
A) Evaluar el valor
de Z en cada
vértice, y escoger
aquel vértice que
maximice Z.
B) Utilizar la recta
de la función
3. BUSQUEDA DE LA SOLUCIÓN OPTIMA

38. Método A
El valor de la función objetivo en cada una de las esquinas
del área de soluciones factible es:
Z(0,0) = 2(0) + 0 = 0 Z(0,6) = 2(0) + 6 = 6
Z(4,5) = 2(4) + 5 = 13 Z(6,4) = 2(6) + 4 = 16 
Punto OPTIMO
Z(5,2) = 2(5) + 2 = 12 Z(3,0) = 2(3) + 0 = 6
Método B
Se dibuja la recta Z =
2X1+X2 viéndola de la
forma y=mx+b, así: X2
= - 2X1 + Z
Aquí se graficó para Z =
2 por conveniencia para
observar la recta dentro
de la Región Factible.
Para obtener el Z
máximo, debe
obtenerse el máximo
3. BUSQUEDA DE LA SOLUCIÓN OPTIMA

39. Problema
de múltiples
soluciones
Maximice Z = (5/2)X1 + X2
Sujeto a: 3X1 + 5X2 ≤ 15
5X1 + 2X2 ≤ 10
Xj > 0 ; j = 1, 2
Problema de solución
infinita
Minimice Z = - X1 + X2
Sujeto a: X1 - X2 ≥
0
- 0,5X1 + X2 ≤ 1
Xj > 0 ; j = 1, 2
Problema sin solución
Ocurre cuando NO HAY REGION
FACTIBLE
CLASES ESPECIALES

40. SOLUCION EJEMPLO 3
x1 ≥2
12x1 + 8x2 ≤ 96
6x1 + 12x2 ≤ 72
Análisis de la Maximización
de la Función Objetivo: Z
= 5X1 + 5X2
Punto
Optimo
a
b
c
d
a
b
c
d
El punto que maximiza la
Función Objetivo es el punto c.
Calculando el punto c como el
punto de intersección de las dos
rectas se obtiene que X1=6,
X2=3, Z= 45
3. BUSQUEDA DE LA SOLUCIÓN OPTIMA