1. Republica Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la Educación Universitaria
Universidad Politécnica Territorial “Andrés Eloy Blanco”
Barquisimeto-Estado Lara
Participante:
Javierli Suarez C.I 31.803008
Facilitador(a):
María Alejandra Carruido
Sección:
CO0113
Números Reales,
Inecuaciones y
Desigualdades
2. Definición de conjuntos
un conjunto señala a la totalidad de los entes que tienen una propiedad
común. Un conjunto está formado por una cantidad finita o infinita de
elementos, cuyo orden es irrelevante. Los conjuntos matemáticos
pueden definirse por extensión (enumerando uno a uno todos sus
elementos) o por comprensión (se menciona sólo una característica
común a todos los elementos).
3. ¿Cómo se expresan los conjuntos?
En matemáticas, hay una manera de escribir un
conjunto y consiste en las siguientes reglas:
Un conjunto se designa por letras mayúsculas (A, B, C, … Z).
El contenido del conjunto se escribe dentro de llaves {},
paréntesis () o corchetes [].
Los elementos o contenido del conjunto se designan por
letras minúsculas (a, b, c, … z) o números (1, 2, 3, 4, …).
Un conjunto sin elementos es llamado conjunto vacío y se
expresa como {} o Ø.
Para decir que ciertos elementos o datos están dentro de
un conjunto, se usa el carácter ∈. Un ejemplo, se dice que
el conjunto A = {1, 2, 3, 4}. Para decir que 2 pertenece al
conjunto, se escribe 2 ∈ A.
Cuando ciertos elementos o datos no están dentro de un
conjunto, se usa el carácter ∉. Un ejemplo, se dice que el
conjunto A = {1, 2, 3, 4}. Para decir que 8 no pertenece al
conjunto, se escribe 8 ∉ A.
4. Operaciones con conjuntos
Las operaciones con conjuntos también conocidas como álgebra de conjuntos, nos
permiten realizar operaciones sobre los conjuntos para obtener otro conjunto. De las
operaciones con conjuntos veremos las siguientes unión, intersección, diferencia,
diferencia simétrica y complemento.
Es la operación que nos permite unir dos o más conjuntos para
formar otro conjunto que contendrá a todos los elementos que
queremos unir pero sin que se repitan. Es decir dado un conjunto
A y un conjunto B, la unión de los conjuntos A y B será otro
conjunto formado por todos los elementos de A, con todos los
elementos de B sin repetir ningún elemento. El símbolo que se
usa para indicar la operación de unión es el siguiente: ∪.
Unión o reunión de conjuntos
Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5,6,7,} y B={8,9,10,11} la unión de estos
conjuntos será A∪B={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11}. Usando diagramas de Venn se
tendría lo siguiente:
Ejemplo:
5. Es la operación que nos permite formar un conjunto, sólo con los
elementos comunes involucrados en la operación. Es decir dados dos
conjuntos A y B, la de intersección de los conjuntos A y B, estará formado
por los elementos de A y los elementos de B que sean comunes, los
elementos no comunes A y B, será excluidos. El símbolo que se usa para
indicar la operación de intersección es el siguiente: ∩.
Intersección de conjuntos.
Ejemplo:
Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5} y B={4,5,6,7,8,9} la
intersección de estos conjuntos será A∩B={4,5}. Usando
diagramas de Venn se tendría lo siguiente:
Es la operación que nos permite formar un conjunto, en
donde de dos conjuntos el conjunto resultante es el que
tendrá todos los elementos que pertenecen al primero pero
no al segundo. El símbolo que se usa para esta operación es
el mismo que se usa para la resta o sustracción, que es el
siguiente: -.
Diferencia de conjuntos.
Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5} y B={4,5,6,7,8,9} la diferencia
de estos conjuntos será A-B={1,2,3}. Usando diagramas de Venn
se tendría lo siguiente:
6. Es la operación que nos permite formar un conjunto, en donde de
dos conjuntos el conjunto resultante es el que tendrá todos los
elementos que no sean comunes a ambos conjuntos. Es decir dados
dos conjuntos A y B, la diferencia simétrica estará formado por
todos los elementos no comunes a los conjuntos A y B. El símbolo
que se usa para indicar la operación de diferencia simétrica es el
siguiente: △.
Diferencia de simétrica de
conjuntos.
Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5} y B={4,5,6,7,8,9} la diferencia
simétrica de estos conjuntos será A △ B={1,2,3,6,7,8,9}. Usando
diagramas de Venn se tendría lo siguiente:
Es la operación que nos permite formar un conjunto con todos los
elementos del conjunto de referencia o universal, que no están en el
conjunto. En esta operación el complemento de un conjunto se
denota con un apostrofe sobre el conjunto que se opera, algo como
esto A' en donde el conjunto A es el conjunto del cual se hace la
operación de complemento.
Complemento de un conjunto.
Dado el conjunto Universal U={1,2,3,4,5,6,7,8,9} y el conjunto A={1,2,9}, el
conjunto A' estará formado por los siguientes elementos A'={3,4,5,6,7,8}.
Usando diagramas de Venn se tendría lo siguiente:
7. Números Reales
En otras palabras, cualquier número real está comprendido entre
menos infinito y más infinito y podemos representarlo en la recta
real. Los números reales son todos los números que encontramos
más frecuentemente dado que los números complejos no se
encuentran de manera accidental, sino que tienen que buscarse
expresamente. Los números reales se representan mediante la letra
R
pueden clasificarse en números naturales, enteros,
racionales e irracionales.
8. Números Naturales
Los números naturales es el primer conjunto de números
que aprendemos de pequeños. Este conjunto no tiene en
cuenta el número cero (0) excepto que se especifique lo
contrario (cero neutral). Expresión:
N
Primeros elementos del conjunto de números naturales.
1,2,3,4….
Números Enteros
Los números enteros son todos los números naturales e
incluyen el cero (0) y todos los números negativos.
Expresión:
Z
Ejemplo de algunos de los elementos del conjunto de
números enteros.
…,-3,-2,-1,0,1,2,3,…
Números Racionales
Los números racionales son las fracciones que pueden
formarse a partir de los números enteros y naturales.
Entendemos las fracciones como cocientes de números
enteros. Expresión:
Q
Ejemplo de algunos de los elementos del conjunto de
números racionales.
Los números irracionales son números decimales que no
pueden expresarse ni de manera exacta ni de manera
periódica. Expresión:
Ejemplo de algunos elementos del conjunto de números
irracionales.
Números Irracionales
9. Desigualdades
Desigualdad matemática es una proposición de relación de
orden existente entre dos expresiones algebraicas conectadas a
través de los signos: desigual que ≠, mayor que >, menor que <,
menor o igual que ≤, así como mayor o igual que ≥, resultando
ambas expresiones de valores distintos.
La desigualdad matemática es una expresión que está
formada por dos miembros. El miembro de la izquierda, al
lado izquierdo del signo igual y el miembro de la derecha,
al lado derecho del signo de igualdad. Veamos el ejemplo
siguiente:
3x + 3 < 9
10. Propiedades de la desigualdad
Si se multiplica ambos miembros de la expresión por el mismo
valor, la desigualdad se mantiene.
Si dividimos ambos miembros de la expresión por el mismo valor,
la desigualdad se mantiene.
Si restamos el mismo valor a ambos miembros de expresión, la
desigualdad se mantiene.
Si sumamos el mismo valor a ambos miembros de la expresión, la
desigualdad se mantiene.
Hay que tener presente que las desigualdades matemáticas poseen
también las siguientes propiedades:
Si se multiplica ambos miembros de la expresión por un número
negativo, la desigualdad cambia de sentido.
Si se divide ambos miembros de la expresión por un número
negativo, la desigualdad cambia de sentido.
Paso 1: Simplificamos la desigualdad si es que es posible. Esto
incluye, eliminar signos de agrupación como paréntesis,
combinar términos semejantes y eliminar fracciones.
Paso 2: Despejar la variable. Tenemos que realizar sumas y
restas de modo que todas las variables se ubiquen en un solo
lado de la desigualdad y las constantes se ubiquen del otro
lado.
Paso 3: Resolver. Usamos división o multiplicación para
encontrar la respuesta. Nota: Cuando multiplicamos o
dividimos a la desigualdad por un número negativo, debemos
cambiar de lado al signo de desigualdad.
Paso 4: Si es que tenemos que graficar, debemos recordar que,
usamos un punto vacío para indicar que el número limitante
no es parte de la solución y usamos un punto relleno para
indicar que el número limitante sí es parte de la solución.
Pasos para Resolver Desigualdades
12. Definición de Valor Absoluto
El valor absoluto de un número real es la magnitud de
este, independientemente del signo que le preceda.
El valor absoluto de un número, en otras palabras, es el
valor que resulta de eliminar el signo correspondiente a
este.
Para verlo en términos más formales, tenemos las
siguientes condiciones que deben cumplirse, donde el x
entre dos barras significa que estamos hallando el valor
absoluto de x:
|x|=x si x ≥ 0 |x|=-x si x<0
Es decir, el valor absoluto de un número positivo es este
mismo número. En cambio, el valor absoluto de un
número negativo es igual a este número, pero con un
signo negativo delante. Es decir, multiplicado por -1.
Asimismo, el valor absoluto de -10 es -(-10)=10. Así,
debemos destacar que el valor absoluto siempre es
positivo.
13. Propiedades del valor absoluto
El valor absoluto de un número y de su opuesto es el mismo. Es decir,
el valor de -19 y 19 es el mismo: 19.
El valor absoluto de una sumatoria es igual, o menor, que la sumatoria
de los valores absolutos de los sumandos. Es decir, se cumple que:
|x+y|≤|x|+|y|
Otra propiedad es aquella a la que denominamos propiedad
multiplicativa. Esta nos indica que el valor absoluto de un
producto es igual al producto de los valores absolutos de los
factores. Es decir, se cumple lo siguiente:
|xy|=|x|.|y|
Como contraparte de la propiedad multiplicativa, tenemos
aquella de preservación de la división, la cual nos indica que el
valor absoluto de una división es igual al cociente de los
valores absolutos de los mismos elementos de dicha
operación. Esto, siempre que el divisor no sea cero. Es decir, se
cumple que:
|x/y|=|x|/|y|
Valor absoluto en una gráfica
A continuación, veamos cómo quedaría un ejemplo del valor
absoluto en un plano cartesiano.
En este caso, tenemos una simple función y=|x|, y observamos que
el valor de y siempre será positivo, independientemente del valor
de x.
14. Desigualdades con Valor
Absoluto
Una desigualdad de valor absoluto es una desigualdad
que tiene un signo de valor absoluto con una variable
dentro.
Cuando se resuelven desigualdades de valor absoluto,
hay dos casos a considerar.
Caso 1: La expresión dentro de los símbolos de valor
absoluto es positiva.
Caso 2: La expresión dentro de los símbolos de valor
absoluto es negativa.
https://www.varsitytutors.com/hotmath/hotmath_help/spanish/t
opics/absolute-value-inequalities
Ejercicio:
[ 3x – 2] > 4
3x -2 < 4 U 3X – 2 > 4
3x < -4 + 2 U 3x > 6
3x < -2 U x >
6
3
X <
−2
3
U X > 2
