conjuntos,numeros reales , desigualdades , valor absoluto y desigualdades de valor absoluto

1. Alumna: Leonela Medina
c.I: 28020127

2.  Un conjunto lo forman unos elementos de la misma naturaleza, es decir,
elementos diferenciados entre sí pero que poseen en común ciertas propiedades o
características, y que pueden tener entre ellos, o con los elementos de otros
conjuntos, ciertas relaciones.
 Un conjunto puede tener un número finito o infinito de elementos, en matemáticas
es común denotar a los elementos mediante letras minúsculas y a los conjuntos por
letras mayúsculas, así por ejemplo:
C = {a, b, c, d, e, f, g, h}
En ocasiones un conjunto viene expresado por la propiedad (o propiedades) que
cumplen sus elementos.
 Dos conjuntos A y B son iguales, expresado A = B, solamente cuando constan de
los mismos elementos.

3.  Unión o reunión de conjuntos : Es la operación que nos permite unir dos o más conjuntos
para formar otro conjunto que contendrá a todos los elementos que queremos unir pero sin que
se repitan. Es decir dado un conjunto A y un conjunto B, la unión de los conjuntos A y B será
otro conjunto formado por todos los elementos de A, con todos los elementos de B sin repetir
ningún elemento. El símbolo que se usa para indicar la operación de unión es el siguiente: ∪.
Ejemplo 1.
Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5,6,7,} y B={8,9,10,11} la unión de estos conjuntos será
A∪B={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11}. Usando diagramas de Venn se tendría lo siguiente:

4.  Intersección de conjuntos: Es la operación que nos permite formar un conjunto,
sólo con los elementos comunes involucrados en la operación. Es decir dados dos
conjuntos A y B, la de intersección de los conjuntos A y B, estará formado por los
elementos de A y los elementos de B que sean comunes, los elementos no comunes
A y B, será excluidos. El símbolo que se usa para indicar la operación de
intersección es el siguiente: ∩.
Ejemplo 1:Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5} y B={4,5,6,7,8,9} la intersección de
estos conjuntos será A∩B={4,5}. Usando diagramas de Venn se tendría lo
siguiente:

5.  Diferencia de conjuntos: Es la operación que nos permite formar un conjunto, en donde de
dos conjuntos el conjunto resultante es el que tendrá todos los elementos que pertenecen al
primero pero no al segundo. Es decir dados dos conjuntos A y B, la diferencia de los conjuntos
entra A y B, estará formado por todos los elementos de A que no pertenezcan a B. El símbolo
que se usa para esta operación es el mismo que se usa para la resta o sustracción, que es el
siguiente: -.
Ejemplo 1:Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5} y B={4,5,6,7,8,9} la diferencia de estos conjuntos
será A-B={1,2,3}. Usando diagramas de Venn se tendría lo siguiente:

6.  Complemento de un conjunto: Es la operación que nos permite formar un
conjunto con todos los elementos del conjunto de referencia o universal, que no
están en el conjunto. Es decir dado un conjunto A que esta incluido en el conjunto
universal U, entonces el conjunto complemento de A es el conjunto formado por
todos los elementos del conjunto universal pero sin considerar a los elementos que
pertenezcan al conjunto A. En esta operación el complemento de un conjunto se
denota con un apostrofe sobre el conjunto que se opera, algo como esto A' en
donde el conjunto A es el conjunto del cual se hace la operación de complemento.
Ejemplo 1:Dado el conjunto Universal U={1,2,3,4,5,6,7,8,9} y el conjunto
A={1,2,9}, el conjunto A' estará formado por los siguientes elementos
A'={3,4,5,6,7,8}. Usando diagramas de Venn se tendría lo siguiente:

7.  El conjunto de los números reales consta de números naturales, enteros, racionales
e irracionales
 números naturales: la suma de números enteros, es el conjunto de los números
que sirven para contar, se denota con N y es N = {1,2,3,4,5,...}. Para cada número
natural n, existe su siguiente representado por n+1. El siguiente de 27489 es 27490
y el siguiente de éste es 27491 y así sucesivamente. El conjunto de los números
naturales tiene infinitos elementos y no existe un número natural que sea mayor
que los demás.
456298; 74000000; 26007253187 y 453571000000023 son ejemplos de números
naturales.
 números enteros :son los naturales, sus opuestos (negativos) y el cero. El
conjunto de los números enteros se representa mediante una Z, Z= {0,1,-1,2,-2,3,-
3,4,-4...}. Se cumple entonces que todo número natural es entero.
-456298; 74000000; 26007253187; -13789 y 453571000000023 son ejemplos de
números enteros.

8.  números racionales: denotado por Q, es el conjunto de todos los cocientes de dos números
enteros donde el denominador es diferente de cero:
Q={m/n ,min e Z≠0}
Con la definición de número racional, se concluye que los divisores no pueden ser cero, es
decir, división entre cero no existe, no representa ningún número.
 números irracionales: denotado por I, es el conjunto de todos los números decimales infinitos
no periódicos. Son ejemplos de números irracionales 1.41421356..., 3.14.1592265...,
2.7182818284..., 2.31323334353637... y -14.1234567891011...
Existen en el conjunto de los irracionales números como π y e que son constantes universales
y √2, √9 ,etc., que, además de tener esta forma, tienen su representación como números
decimales infinitos no periódicos.

9.  Desigualdad matemática es una proposición de relación de orden existente entre dos
expresiones algebraicas conectadas a través de los signos: desigual que ≠, mayor que >, menor
que <, menor o igual que ≤, así como mayor o igual que ≥, resultando ambas expresiones de
valores distintos.
Por tanto, la relación de desigualdad establecida en una expresión de esta índole, se emplea
para denotar que dos objetos matemáticos expresan valores desiguales.
 La desigualdad matemática es una expresión que está formada por dos miembros. El miembro
de la izquierda, al lado izquierdo del signo igual y el miembro de la derecha, al lado derecho
del signo de igualdad. Veamos el ejemplo siguiente:
3x + 3 < 9

10.  La noción de valor absoluto se utiliza en el terreno de las matemáticas para nombrar
al valor que tiene un número más allá de su signo. Esto quiere decir que el valor absoluto, que
también se conoce como módulo, es la magnitud numérica de la cifra sin importar si su signo
es positivo o negativo.
 El valor absoluto de un número entero es el número natural que resulta al suprimir su signo.
 Valor absoluto de un número real a, se escribe |a|, es el mismo número a cuando es positivo o
cero, y opuesto de a, si a es negativo.
|x| = 2 x = −2 x = 2
|x|< 2 − 2< x < 2 x (−2, 2 )
|x|> 2 x< −2 ó x>2 (−∞ , −2) ∪ (2, +∞)

11.  Desigualdades de valor absoluto: Una desigualdad de valor absoluto es una desigualdad que
tiene un signo de valor absoluto con una variable dentro.
Ejemplo 1:
Escribimos la inecuación como
Por tanto,
Resolvemos cada inecuación:
Por un lado: Por otro lado:
Luego la solución es

12.  Ejemplo 2:
Tenemos las dos inecuaciones:
Resolvemos la primera:
No podemos multiplicar por x porque no sabemos si es positiva o negativa. Supongamos que x es positiva
( x > 0): ahora sí podemos multiplicar por x :
Por tanto, cambiando la desigualdad al dividir por el negativo -2, tenemos
Pero hemos dicho que x > 0, luego al unir ambas condiciones tenemos que
(ya que es la más restrictiva).Supongamos ahora que x es negativa: x < 0:
Por tanto, la solución a esta primera inecuación es

13.  Continuación del ejemplo 2:
Resolvemos la segunda inecuación procediendo del mismo modo:
Si x es positiva:
Si x es negativa:
Por tanto, la solución a la segunda inecuación es:
Y tienen que cumplirse ambas. Por tanto, la solución es