Conjuntos numericos

Yunior Parra
Yunior ParraYunior Parra
República Bolivariana de Venezuela.
Ministerio del Poder Popular para la Educación universitaria.
Universidad Politécnica Territorial Andrés Eloy Blanco.
Barquisimeto, Estado – Lara.
Yunior Parra // C.I: 26.945.466
PNF Contaduría
Sección: 0403
CONJUNTO NUMERICO.
-3
Se entiende por conjunto una colección de elementos que guarda una relación estrecha entre sí, mediante alguna
propiedad especifica.
Operaciones con conjuntos: existen varias operaciones básicas que pueden realizarse, partiendo de ciertos
conjuntos dados, para obtener nuevos conjuntos:
 Unión (símbolo ∪) : La unión de dos
conjuntos A y B, que se representa como A
∪ B, es el conjunto de todos los elementos
que pertenecen al menos a uno de los
conjuntos A y B.
 Intersección (símbolo ∩): La intersección
de dos conjuntos A y B es el conjunto A ∩ B
de los elementos comunes a A y B.
 Diferencia (símbolo ): La diferencia del
conjunto A con B es el conjunto A  B que
resulta de eliminar de A cualquier elemento
que esté en B.
 Complemento: El complemento de un
conjunto A es el conjunto A∁ que contiene
todos los elementos que no pertenecen a
A, respecto a un conjunto U que lo
contiene.
 Diferencia simétrica (símbolo Δ): La
diferencia simétrica de dos conjuntos A y B
es el conjunto A Δ B con todos los
elementos que pertenecen, o bien a A, o
bien a B, pero no a ambos a la vez.
 Producto cartesiano (símbolo ×): El
producto cartesiano de dos conjuntos A y B
es el conjunto A × B de todos los pares
ordenados (a, b) formados con un primer
elemento a perteneciente a A, y un
segundo elemento b perteneciente a B.
Los números reales son cualquier número que corresponda a un punto en la recta real y pueden clasificarse en números naturales, enteros, racionales e
irracionales. Son todos los números que encontramos más frecuentemente dado que los números complejos no se encuentran de manera accidental, sino
que tienen que buscarse expresamente. En otras palabras, cualquier número real está comprendido entre menos infinito y más infinito y podemos
representarlo en la recta real. Se representan mediante la letra R.
Dominio de los números reales
Entonces, tal y como hemos dicho, los números reales son los
números comprendidos entre los extremos infinitos. Es decir, no
incluiremos estos infinitos en el conjunto.
Números reales en la recta real
Esta recta recibe el nombre de recta real dado que podemos
representar en ella todos los números reales.
Los números reales y la Matrioshka
La serie de las muñecas sería tal que la muñeca más grande contiene
la siguientes muñecas más pequeñas. Este conjunto de muñecas
recogido dentro de la muñeca más grande se llama Matrioshka.
Tenemos que entender el conjunto de reales como la Matrioshka, es
decir, como el conjunto de muñecas tradicionales rusas organizadas de
mayor a menor.
Esquema de los números reales
En este esquema podemos ver claramente que la organización de los
números reales es similar al juego de muñecas rusas visto desde arriba
o abajo.
Clasificación de los
números reales: Tal y
como hemos visto, los
números reales
pueden clasificarse
entre números
naturales, enteros,
racionales e
irracionales.
 Números Reales: es el primer conjunto de
números que aprendemos de pequeños. Este
conjunto no tiene en cuenta el número cero
(0) excepto que se especifique lo contrario
(cero neutral).
 Números Enteros: son todos los números
naturales e incluyen el cero (0) y todos los
números negativos.
 Números Racionales: son las fracciones
que pueden formarse a partir de los números
enteros y naturales. Entendemos las
fracciones como cocientes de números
enteros.
 Números Irracionales: son números
decimales que no pueden expresarse ni de
manera exacta ni de manera periódica.
Desigualdad
Desigualdad matemática es una proposición de relación de orden existente entre dos expresiones algebraicas conectadas a través de los signos: desigual que ≠,
mayor que >, menor que <, menor o igual que ≤, así como mayor o igual que ≥, resultando ambas expresiones de valores distintos. Por tanto, la relación de
desigualdad establecida en una expresión de esta índole, se emplea para denotar que dos objetos matemáticos expresan valores desiguales.
Algo a notar en las expresiones de desigualdad
matemática es que, aquellas que emplean:
 Mayor que >
 Menor que <
 Menor o igual que ≤
 Mayor o igual que ≥
Son desigualdades que nos revelan en qué sentido la
una desigualdad no es igual.
Ahora bien, los casos de aquellas desigualdades
formuladas como:
 Menor que <
 Mayor que >
Son desigualdades conocidas como desigualdades
“estrictas”.
En tanto, que los casos de desigualdades formuladas
como:
 Menor o igual que ≤
 Mayor o igual que ≥
Son desigualdades conocidas como desigualdades “no
estrictas o más bien, amplias”.
La desigualdad matemática es una expresión que está formada por dos miembros. El miembro de la izquierda, al lado izquierdo
del signo igual y el miembro de la derecha, al lado derecho del signo de igualdad. Veamos el ejemplo siguiente:
3x +3 < 9
La solución del enunciado anterior nos revela el planteamiento de desigualdad de las expresiones.
 Si se multiplica ambos miembros de la expresión por el mismo valor, la
desigualdad se mantiene.
 Si dividimos ambos miembros de la expresión por el mismo valor, la
desigualdad se mantiene.
 Si restamos el mismo valor a ambos miembros de expresión, la
desigualdad se mantiene.
Propiedades de la desigualdad matemática:
 Si sumamos el mismo valor a ambos miembros de la expresión, la
desigualdad se mantiene.
 Si se multiplica ambos miembros de la expresión por un número
negativo, la desigualdad cambia de sentido.
 Si se divide ambos miembros de la expresión por un número negativo,
la desigualdad cambia de sentido.
Hemos de destacar que desigualdad matemática e inecuación son diferentes. Una inecuación se genera mediante una desigualdad, pero podría no tener solución o ser incongruente. Sin
embargo, una desigualdad podría no ser una inecuación. Por ejemplo:
43< 5
Se cumple la desigualdad, ya que 3 es menor que 5. Ahora bien, no es una inecuación puesto que no tiene incógnitas.
Valor Absoluto
El valor absoluto de un número real es la magnitud de este, independientemente del signo que le preceda; en otras palabras, es el valor que resulta de
eliminar el signo correspondiente a este. Para verlo en términos más formales, tenemos las siguientes condiciones que deben cumplirse, donde el x entre
dos barras significa que estamos hallando el valor absoluto de x:
|x|=x si x≥ 0
|x|=-x si x<0
Es decir, el valor absoluto de un número positivo es este mismo número. En cambio, el valor absoluto de un número negativo es igual a este número, pero
con un signo negativo delante. Es decir, multiplicado por -1.
Asimismo, el valor absoluto de -10 es -(-10)=10. Así, debemos destacar que el valor absoluto siempre es positivo.
Propiedades del valor absoluto
 El valor absoluto de un número y de su opuesto es el mismo. Es decir, el valor de -19 y 19 es el mismo: 19.
 El valor absoluto de una sumatoria es igual, o menor, que la sumatoria de los valores absolutos de los sumandos. Es decir, se cumple que: |x+y|≤|x|+|y|
Ejemplo:
|8+9|≤|8|+|9|
|17|≤8+9
17≤17
 Otra propiedad es aquella a la que denominamos propiedad multiplicativa. Esta nos indica que el valor absoluto de un producto es igual al producto de los valores
absolutos de los factores. Es decir, se cumple lo siguiente: |xy|=|x|.|y|
Ejemplo:
|3×4|=|3|x|4|
|12|=3×4
12=12
 Como contraparte de la propiedad multiplicativa, tenemos aquella de preservación de la división, la cual nos indica que el valor absoluto de una división es igual al
cociente de los valores absolutos de los mismos elementos de dicha operación. Esto, siempre que el divisor no sea cero. Es decir, se cumple que: |x/y|=|x|/|y|
Ejemplo:
|60/5|=|60|/|5|
|12|=60/5
12=12
Desigualdad de valor absoluto
Desigualdades con un solo valor absoluto y la variable sólo en el argumento del valor absoluto. Ejemplo:
| 3x+2 | >5
| 5x-4 | ≤ 7
Estas desigualdades o inecuaciones son resueltas de manera muy sencilla al aplicar las siguientes propiedades del valor absoluto.
o Proposición Para c>0 tenemos
o 1 |expresión|<c es equivalente a −c<expresión<c.
o 2 |expresión|>c es equivalente a expresión<−c o expresión>c
Se tiene una proposición similar para desigualdades con valor absoluto no estrictas, ≤ y ≥ .
Así que para resolver una desigualdad con valor absoluto del lado izquierdo y una constante positiva en el otro miembro, solo hay que identificar con alguna de las
dos formas, aplicar la equivalencia, resolver las desigualdades de la equivalencia para pasar a determinar el conjunto solución de la desigualdad en base a la
condición de la equivalencia.
Ejemplo: Resolver la desigualdad | 5x-4 | ≤ 7.
1- Despejar la expresión con valor absoluto en el miembro
izquierdo e identificar con alguna de las formas de la
proposición.
3- Encontrar el conjunto solución a través de la equivalencia
2- Aplicar la equivalencia
4- Establecer el conjunto solución por intervalos
1 de 7

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  • 1. República Bolivariana de Venezuela. Ministerio del Poder Popular para la Educación universitaria. Universidad Politécnica Territorial Andrés Eloy Blanco. Barquisimeto, Estado – Lara. Yunior Parra // C.I: 26.945.466 PNF Contaduría Sección: 0403 CONJUNTO NUMERICO. -3
  • 2. Se entiende por conjunto una colección de elementos que guarda una relación estrecha entre sí, mediante alguna propiedad especifica. Operaciones con conjuntos: existen varias operaciones básicas que pueden realizarse, partiendo de ciertos conjuntos dados, para obtener nuevos conjuntos:  Unión (símbolo ∪) : La unión de dos conjuntos A y B, que se representa como A ∪ B, es el conjunto de todos los elementos que pertenecen al menos a uno de los conjuntos A y B.  Intersección (símbolo ∩): La intersección de dos conjuntos A y B es el conjunto A ∩ B de los elementos comunes a A y B.  Diferencia (símbolo ): La diferencia del conjunto A con B es el conjunto A B que resulta de eliminar de A cualquier elemento que esté en B.  Complemento: El complemento de un conjunto A es el conjunto A∁ que contiene todos los elementos que no pertenecen a A, respecto a un conjunto U que lo contiene.  Diferencia simétrica (símbolo Δ): La diferencia simétrica de dos conjuntos A y B es el conjunto A Δ B con todos los elementos que pertenecen, o bien a A, o bien a B, pero no a ambos a la vez.  Producto cartesiano (símbolo ×): El producto cartesiano de dos conjuntos A y B es el conjunto A × B de todos los pares ordenados (a, b) formados con un primer elemento a perteneciente a A, y un segundo elemento b perteneciente a B.
  • 3. Los números reales son cualquier número que corresponda a un punto en la recta real y pueden clasificarse en números naturales, enteros, racionales e irracionales. Son todos los números que encontramos más frecuentemente dado que los números complejos no se encuentran de manera accidental, sino que tienen que buscarse expresamente. En otras palabras, cualquier número real está comprendido entre menos infinito y más infinito y podemos representarlo en la recta real. Se representan mediante la letra R. Dominio de los números reales Entonces, tal y como hemos dicho, los números reales son los números comprendidos entre los extremos infinitos. Es decir, no incluiremos estos infinitos en el conjunto. Números reales en la recta real Esta recta recibe el nombre de recta real dado que podemos representar en ella todos los números reales. Los números reales y la Matrioshka La serie de las muñecas sería tal que la muñeca más grande contiene la siguientes muñecas más pequeñas. Este conjunto de muñecas recogido dentro de la muñeca más grande se llama Matrioshka. Tenemos que entender el conjunto de reales como la Matrioshka, es decir, como el conjunto de muñecas tradicionales rusas organizadas de mayor a menor. Esquema de los números reales En este esquema podemos ver claramente que la organización de los números reales es similar al juego de muñecas rusas visto desde arriba o abajo.
  • 4. Clasificación de los números reales: Tal y como hemos visto, los números reales pueden clasificarse entre números naturales, enteros, racionales e irracionales.  Números Reales: es el primer conjunto de números que aprendemos de pequeños. Este conjunto no tiene en cuenta el número cero (0) excepto que se especifique lo contrario (cero neutral).  Números Enteros: son todos los números naturales e incluyen el cero (0) y todos los números negativos.  Números Racionales: son las fracciones que pueden formarse a partir de los números enteros y naturales. Entendemos las fracciones como cocientes de números enteros.  Números Irracionales: son números decimales que no pueden expresarse ni de manera exacta ni de manera periódica. Desigualdad Desigualdad matemática es una proposición de relación de orden existente entre dos expresiones algebraicas conectadas a través de los signos: desigual que ≠, mayor que >, menor que <, menor o igual que ≤, así como mayor o igual que ≥, resultando ambas expresiones de valores distintos. Por tanto, la relación de desigualdad establecida en una expresión de esta índole, se emplea para denotar que dos objetos matemáticos expresan valores desiguales. Algo a notar en las expresiones de desigualdad matemática es que, aquellas que emplean:  Mayor que >  Menor que <  Menor o igual que ≤  Mayor o igual que ≥ Son desigualdades que nos revelan en qué sentido la una desigualdad no es igual. Ahora bien, los casos de aquellas desigualdades formuladas como:  Menor que <  Mayor que > Son desigualdades conocidas como desigualdades “estrictas”. En tanto, que los casos de desigualdades formuladas como:  Menor o igual que ≤  Mayor o igual que ≥ Son desigualdades conocidas como desigualdades “no estrictas o más bien, amplias”. La desigualdad matemática es una expresión que está formada por dos miembros. El miembro de la izquierda, al lado izquierdo del signo igual y el miembro de la derecha, al lado derecho del signo de igualdad. Veamos el ejemplo siguiente: 3x +3 < 9 La solución del enunciado anterior nos revela el planteamiento de desigualdad de las expresiones.
  • 5.  Si se multiplica ambos miembros de la expresión por el mismo valor, la desigualdad se mantiene.  Si dividimos ambos miembros de la expresión por el mismo valor, la desigualdad se mantiene.  Si restamos el mismo valor a ambos miembros de expresión, la desigualdad se mantiene. Propiedades de la desigualdad matemática:  Si sumamos el mismo valor a ambos miembros de la expresión, la desigualdad se mantiene.  Si se multiplica ambos miembros de la expresión por un número negativo, la desigualdad cambia de sentido.  Si se divide ambos miembros de la expresión por un número negativo, la desigualdad cambia de sentido. Hemos de destacar que desigualdad matemática e inecuación son diferentes. Una inecuación se genera mediante una desigualdad, pero podría no tener solución o ser incongruente. Sin embargo, una desigualdad podría no ser una inecuación. Por ejemplo: 43< 5 Se cumple la desigualdad, ya que 3 es menor que 5. Ahora bien, no es una inecuación puesto que no tiene incógnitas. Valor Absoluto El valor absoluto de un número real es la magnitud de este, independientemente del signo que le preceda; en otras palabras, es el valor que resulta de eliminar el signo correspondiente a este. Para verlo en términos más formales, tenemos las siguientes condiciones que deben cumplirse, donde el x entre dos barras significa que estamos hallando el valor absoluto de x: |x|=x si x≥ 0 |x|=-x si x<0 Es decir, el valor absoluto de un número positivo es este mismo número. En cambio, el valor absoluto de un número negativo es igual a este número, pero con un signo negativo delante. Es decir, multiplicado por -1. Asimismo, el valor absoluto de -10 es -(-10)=10. Así, debemos destacar que el valor absoluto siempre es positivo.
  • 6. Propiedades del valor absoluto  El valor absoluto de un número y de su opuesto es el mismo. Es decir, el valor de -19 y 19 es el mismo: 19.  El valor absoluto de una sumatoria es igual, o menor, que la sumatoria de los valores absolutos de los sumandos. Es decir, se cumple que: |x+y|≤|x|+|y| Ejemplo: |8+9|≤|8|+|9| |17|≤8+9 17≤17  Otra propiedad es aquella a la que denominamos propiedad multiplicativa. Esta nos indica que el valor absoluto de un producto es igual al producto de los valores absolutos de los factores. Es decir, se cumple lo siguiente: |xy|=|x|.|y| Ejemplo: |3×4|=|3|x|4| |12|=3×4 12=12  Como contraparte de la propiedad multiplicativa, tenemos aquella de preservación de la división, la cual nos indica que el valor absoluto de una división es igual al cociente de los valores absolutos de los mismos elementos de dicha operación. Esto, siempre que el divisor no sea cero. Es decir, se cumple que: |x/y|=|x|/|y| Ejemplo: |60/5|=|60|/|5| |12|=60/5 12=12
  • 7. Desigualdad de valor absoluto Desigualdades con un solo valor absoluto y la variable sólo en el argumento del valor absoluto. Ejemplo: | 3x+2 | >5 | 5x-4 | ≤ 7 Estas desigualdades o inecuaciones son resueltas de manera muy sencilla al aplicar las siguientes propiedades del valor absoluto. o Proposición Para c>0 tenemos o 1 |expresión|<c es equivalente a −c<expresión<c. o 2 |expresión|>c es equivalente a expresión<−c o expresión>c Se tiene una proposición similar para desigualdades con valor absoluto no estrictas, ≤ y ≥ . Así que para resolver una desigualdad con valor absoluto del lado izquierdo y una constante positiva en el otro miembro, solo hay que identificar con alguna de las dos formas, aplicar la equivalencia, resolver las desigualdades de la equivalencia para pasar a determinar el conjunto solución de la desigualdad en base a la condición de la equivalencia. Ejemplo: Resolver la desigualdad | 5x-4 | ≤ 7. 1- Despejar la expresión con valor absoluto en el miembro izquierdo e identificar con alguna de las formas de la proposición. 3- Encontrar el conjunto solución a través de la equivalencia 2- Aplicar la equivalencia 4- Establecer el conjunto solución por intervalos