Definición de Conjuntos. Operaciones con conjuntos. Números Reales Desigualdades. Definición de Valor Absoluto Desigualdades con Valor Absoluto

1. Números Reales
Estudiante:
Zadquiel Lezama 31.663.158
Prof: Wilmar marrufo
REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACIÓN
UNIVERSIDAD POLITÉCNICA TERRITORIAL ANDRÉS ELOY BLANCO
BARQTO-EDO-LARA

2. ¿Qué son los conjuntos?
 Un conjunto es la agrupación de diferentes elementos que comparten
entre sí características y propiedades semejantes. Estos elementos
pueden ser sujetos u objetos, tales como números, canciones, meses,
personas, etc. Por ejemplo: el conjunto de números primos o el
conjunto de planetas del sistema solar.
 A su vez, un conjunto puede convertirse también en un elemento. Por
ejemplo: en el caso de un ramo de flores, en principio una flor sería
el primer elemento, pero al conjunto de flores se lo puede considerar
luego como un ramo de flores, convirtiéndose así, en un nuevo
elemento.
 Un ejemplo sencillo es un conjunto de enteros positivos hasta el 5,
que tiene el siguiente aspecto: {1, 2, 3, 4, 5}.

3. Operaciones con Conjuntos
 Operaciones con conjuntos.
 Las operaciones con conjuntos también conocidas como álgebra de conjuntos,
nos permiten realizar operaciones sobre los conjuntos para obtener otro
conjunto. De las operaciones con conjuntos veremos las siguientes unión,
intersección, diferencia, diferencia simétrica y complemento.
 Unión o reunión de conjuntos.
 Es la operación que nos permite unir dos o más conjuntos para formar otro
conjunto que contendrá a todos los elementos que queremos unir pero sin que
se repitan. Es decir dado un conjunto A y un conjunto B, la unión de los
conjuntos A y B será otro conjunto formado por todos los elementos de A, con
todos los elementos de B sin repetir ningún elemento. El símbolo que se usa
para indicar la operación de unión es el siguiente: ∪. Cuando usamos
diagramas de Venn, para representar la unió de conjuntos, se sombrean los
conjuntos que se unen o se forma uno nuevo. Luego se escribe por fuera la
operación de unión.

4. Operaciones con Conjuntos
 Unión o reunión de conjuntos.
 Ejemplo 1
Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5,6,7,} y B={8,9,10,11} la unión de estos
conjuntos será A∪B={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11}. Usando diagramas de Venn se
tendría lo siguiente:

5. Operaciones con Conjuntos
 Intersección de conjuntos.
 Es la operación que nos permite formar un conjunto, sólo con los elementos
comunes involucrados en la operación. Es decir dados dos conjuntos A y B, la
de intersección de los conjuntos A y B, estará formado por los elementos de A
y los elementos de B que sean comunes, los elementos no comunes A y B, será
excluidos. El símbolo que se usa para indicar la operación de intersección es
el siguiente: ∩.
 Ejemplo 1.
Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5} y B={4,5,6,7,8,9} la intersección de estos
conjuntos será A∩B={4,5}. Usando diagramas de Venn se tendría lo siguiente:

6. Operaciones con Conjuntos
 Diferencia de conjuntos.
 Es la operación que nos permite formar un conjunto, en donde de dos
conjuntos el conjunto resultante es el que tendrá todos los elementos que
pertenecen al primero pero no al segundo. Es decir dados dos conjuntos A y B,
la diferencia de los conjuntos entra A y B, estará formado por todos los
elementos de A que no pertenezcan a B. El símbolo que se usa para esta
operación es el mismo que se usa para la resta o sustracción, que es el
siguiente:
 Ejemplo 1.
Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5} y B={4,5,6,7,8,9} la diferencia de estos
conjuntos será A-B={1,2,3}. Usando diagramas de Venn se tendría lo siguiente:

7. Operaciones con Conjuntos
 Diferencia de simétrica de conjuntos.
 Es la operación que nos permite formar un conjunto, en donde de dos
conjuntos el conjunto resultante es el que tendrá todos los elementos que no
sean comunes a ambos conjuntos. Es decir dados dos conjuntos A y B, la
diferencia simétrica estará formado por todos los elementos no comunes a los
conjuntos A y B. El símbolo que se usa para indicar la operación de diferencia
simétrica es el siguiente: △.
 Ejemplo 1.
Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5} y B={4,5,6,7,8,9} la diferencia simétrica de
estos conjuntos será A △ B={1,2,3,6,7,8,9}. Usando diagramas de Venn se
tendría lo siguiente:

8. Operaciones con Conjuntos
 Complemento de un conjunto.
 Es la operación que nos permite formar un conjunto con todos los elementos
del conjunto de referencia o universal, que no están en el conjunto. Es decir
dado un conjunto A que esta incluido en el conjunto universal U, entonces el
conjunto complemento de A es el conjunto formado por todos los elementos
del conjunto universal pero sin considerar a los elementos que pertenezcan al
conjunto A. En esta operación el complemento de un conjunto se denota con
un apostrofe sobre el conjunto que se opera, algo como esto A' en donde el el
conjunto A es el conjunto del cual se hace la operación de complemento.
 Ejemplo 1.
Dado el conjunto Universal U={1,2,3,4,5,6,7,8,9} y el conjunto A={1,2,9}, el
conjunto A' estará formado por los siguientes elementos A'={3,4,5,6,7,8}.
Usando diagramas de Venn se tendría lo siguiente:

9. Números Reales
 Cuando se definen los números reales se dice que son cualquier número que
se encuentre o corresponda con la recta real que incluye a los números
racionales y números irracionales, Por lo tanto, el dominio de los números
reales se encuentra entre menos infinito y más infinito.
 Las principales características de los números reales son:
 Orden. Todos los números reales siguen un orden, por ejemplo 1, 2, 3, 4 …
 Integral. La integridad de los números reales marca que no hay espacios
vacíos, es decir, cada conjunto que dispone de un límite superior tiene un
límite más pequeño.
 Infinitos. Los números reales no tienen final, ni por el lado positivo ni por el
lado negativo. Por eso su dominio está entre menos infinito y más infinito.
 Decimal. Los números reales pueden ser expresados como una expansión
decimal infinita.

10. Números Reales
 La clasificación de los números reales incluye los siguientes números.
 Números naturales. Son los números iguales o mayores que uno no decimales.
El conjunto de los números naturales no tiene en cuenta el cero.
 Números enteros. Son los números positivos y negativos no decimales,
incluyendo el cero. Es decir, los números naturales incluyendo los números
negativos y el cero.
 Números racionales. Los que se pueden representar como el cociente de dos
enteros con denominador diferente a cero. Son las fracciones que pueden
crearse utilizando números naturales y enteros.
 Números irracionales. Aquellos que no pueden ser expresados como una
fracción de números enteros con denominador distinto a cero. Se trata de
números decimales que no pueden expresarse ni de manera exacta, ni de
manera periódica, siendo el número pi un ejemplo de este tipo de números.

11. Desigualdades
 La desigualdad matemática es aquella proposición que
relaciona dos expresiones algebraicas cuyos valores son
distintos. Se trata de una proposición de relación entre dos
elementos diferentes, ya sea por desigualdad mayor, menor,
mayor o igual, o bien menor o igual. Cada una de las distintas
tipologías de desigualdad debe ser expresada con diferente
signo (> o <, etcétera) y tendrá una reacción a operaciones
matemáticas diferente según su naturaleza.
 Por lo tanto, si queremos explicar cuál es la finalidad de este
concepto con el menor número de palabras posibles diremos
que; el objetivo de la desigualdad matemática es mostrar que
dos sujetos matemáticos expresan valores diferentes.

12. Desigualdades
 Signos de desigualdad matemática
 Podemos sintetizar los signos de expresión de todas las desigualdades
matemáticas posibles en los cinco siguientes:
Desigual a: ≠
Menor que: <
Menor o igual que: ≤
Mayor que: >
Mayor o igual que: ≥
Cada una de ellas debe relacionar dos elementos matemáticos. De modo que
implicaría que a es menor a b, mientras que “a>b” significa que a es mayor a
b. En el caso de “a≠b”, leeremos la expresión como a es desigual a b, “a≤b”;
a es menor o igual a b, y “a≥b” implica que a es mayor o igual a b.
Es también importante conocer que la expresión de desigualdad matemática
“a≠b” no es excluyente con las expresiones “a” y “a>b”, de modo que, por
ejemplo, “a≠b” y “a>b” pueden ser ciertas al mismo tiempo. Por otro lado,
tampoco son excluyentes entre sí las expresiones “a≥b” y “a>b” o “a≤b” y
“a”.

13. Desigualdades
 Ejemplos
 Las desigualdades matemáticas están formadas, en la mayoría de ocasiones,
por dos miembros o componentes. Un miembro se encontrará a la izquierda
del símbolo y el otro a la derecha.
 Un ejemplo sería expresar: 4x – 2 > 9. Lo leeríamos diciendo que “cuatro
veces nuestra incógnita menos dos es superior a nueve”. Siendo el elemento
4x-2 el elemento A y 9 el elemento B. La resolución nos mostraría que (en
números naturales) la desigualdad se cumple si x es igual o superior a 3 (x≥3).

14. Valor Absoluto
 ¿Qué es?
 La noción de valor absoluto se utiliza en el terreno de las
matemáticas para nombrar al valor que tiene un número más allá de
su signo. Esto quiere decir que el valor absoluto, que también se
conoce como módulo, es la magnitud numérica de la cifra sin importar
si su signo es positivo o negativo.
 Tomemos el caso del valor absoluto 5. Este es el valor absoluto tanto
de +5 (5 positivo) como de -5 (5 negativo). El valor absoluto, en
definitiva, es el mismo en el número positivo y en el número negativo:
en este caso, 5. Cabe destacar que el valor absoluto se escribe entre
dos barras verticales paralelas; por lo tanto, la notación correcta es
|5|.

15. Valor Absoluto
 La definición del concepto indica que el valor absoluto siempre es igual o
mayor que 0 y nunca es negativo. Por lo dicho anteriormente, podemos
agregar que el valor absoluto de los números opuestos es el mismo; 8 y -8, de
este modo, comparten el mismo valor absoluto: |8|.
 También se puede entender el valor absoluto como la distancia que existe
entre el número y 0. El número 563 y el número -563 están, en una recta
numérica, a la misma distancia del 0. Ese, por lo tanto, es el valor absoluto
de ambos: |563|.
 La distancia que existe entre dos números reales, por otra parte, es el valor
absoluto de su diferencia. Entre 8 y 5, por ejemplo, hay una distancia de 3.
Esta diferencia tiene un valor absoluto de |3|.

16. Desigualdades con Valor Absoluto
 Una desigualdad de valor absoluto es una desigualdad que tiene un signo de
valor absoluto con una variable dentro.
La desigualdad |x| < 3 significa que la distancia entre x y 0 es menor que 4
Asi, x > -3 y x < 3. El conjunto solución es {x | -3 < x < 3, x Є R}
Cuando se resuelven desigualdades de valor absoluto, hay dos casos a considerar.
 Caso 1: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es positiva.
 Caso 2: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es negativa.
La solución es la intersección de las soluciones de estos dos casos.
En otras palabras, para cualesquiera números reales a y b, si |a| < b, entonces
a < b y a > - b.

17. Desigualdades con Valor Absoluto