An example (in Spanish) of a mathematical proof by Induction. Made in LaTeX.

1. Demostración por Inducción
Jefferson A. Conza Fajardo
6 de diciembre de 2022
Resumen
Ejemplo de un ejercicio de demostración resuelto por inducción.
Demuestre por inducción la siguiente fórmula:
13
+ 23
+ 33
+ . . . + n3
=
n2
(n + 1)2
4
Consideremos la proposición Pn:
13
+ 23
+ 33
+ . . . + n3
=
n2
(n + 1)2
4
1. Base de la Inducción
Si n = 1, se tiene que:
13
=
(1)2
((1) + 1)2
4
y
1 = 1
Por lo tanto, se cumple que 13
= (1)2
((1)+1)2
4 , siendo P1 una proposición válida.
2. Paso Inductivo
Para todo k ∈ N, si k ≥ 1 y 13
+ 23
+ 33
+ . . . + k3
= k2
(k+1)2
4 ,
entonces 13
+ 23
+ 33
+ . . . + (k + 1)3
= (k+1)2
((k+1)+1)2
4
=
(k + 1)2
(k + 2)2
4
Hipótesis Inductiva
Supongamos que 13
+ 23
+ 33
+ . . . + k3
= k2
(k+1)2
4 es cierto.
Se debe demostrar
13
+ 23
+ 33
+ . . . + (k + 1)3
= (k+1)2
(k+2)2
4
3. Procedimiento
Observemos que para llegar a la demostración hay que sumar (k + 1)3
, ası́
13
+ 23
+ 33
+ . . . + k3
+ (k + 1)3
=
k2
(k + 1)2
4
+ (k + 1)3
=
k2
(k + 1)2
+ 4(k + 1)3
4
=
(k + 1)2
[k2
+ 4(k + 1)]
4
=
(k + 1)2
(k + 2)2
4
4. Conclusión
Por lo tanto, por el Principio de Inducción, la proposición Pn es cierta para todo n ≥ 1.
1