Este documento trata sobre inducción matemática y funciones definidas recursivamente. Introduce el principio de inducción matemática y la notación "Sigma" para sumas repetidas. Luego define funciones como el factorial y la sucesión de Fibonacci de manera recursiva y muestra cómo implementarlas en Python de forma iterativa y recursiva. Finalmente, presenta la función de Ackermann como otro ejemplo de función recursiva.

1. Matem´aticas Discretas
Inducci´on y Recursi´on
M. en C. Juliho Castillo
1 de marzo de 2017
Tec de Monterrey, Campus Ciudad de M´exico
1

2. 1 Inducci´on Matem´atica
Introducci´on
Notaci´on “Sigma”
Ejercicios Resueltos
2 Funciones definidas de manera recursiva
La funci´on factorial
2

3. Suceci´on de Fibonacci
Una funci´on (fallida) de Ackermann
Ejercicios Resueltos
3

4. Inducci´on Matem´atica
4

5. Inducci´on Matem´atica
Introducci´on
5

6. Una propiedad esencial de los naturales N = {1, 2, 3, ...} es la
siguiente
Axioma (Principio de Inducci´on Matem´atica, versi´on I).
Sea P una proposici´on definida en N, es decir, P(n) toma
valores de cierto o falso para cada n ∈ N.
Supongamos que
1 P(1) es cierto;
2 ∀k ∈ N : P(k) ⇒ P(k + 1).
Entonces P es cierto para todo entero positivo n ∈ N.
6

7. Una propiedad esencial de los naturales N = {1, 2, 3, ...} es la
siguiente
Axioma (Principio de Inducci´on Matem´atica, versi´on I).
Sea P una proposici´on definida en N, es decir, P(n) toma
valores de cierto o falso para cada n ∈ N.
Supongamos que
1 P(1) es cierto;
2 ∀k ∈ N : P(k) ⇒ P(k + 1).
Entonces P es cierto para todo entero positivo n ∈ N.
6

8. Ejemplo 1.1.
Sea P(n) : 1 + 3 + 5 + ... + (2n − 1) = n2
. Demostrar que
P(n) es cierta para toda n ∈ N.
7

9. Axioma (Principio de Inducci´on Matem´atica, versi´on II).
Sea P una proposici´on definida en N tal que :
1 P(1) es cierta;
2 P(k) es cierta siempre que P(j) para toda 1 ≤ j < k.
Entonces P(n) es cierta para toda n ∈ N.
8

10. Observaci´on 1.1.
Algunas veces, uno desea demostrar que una proposici´on es
cierta para alg´un conjunto de enteros
{a, a + 1, a + 2, ...}
donde a es un entero positivo, posiblemente cero. Esto puede
hacerse simplemente reemplazando 1 por a en cualquier
versi´on del Principio de Inducci´on Matem´atica.
9

11. Inducci´on Matem´atica
Notaci´on “Sigma”
10

12. La letra griega Σ denota adici´on repetida:
b
i=a
f(i) = f(a) + f(a + 1) + ... + f(b),
siempre que a ≤ b.
11

13. Ejemplo 1.2.
1
5
j=1 j = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15
2
3
i=0 (2i + 1) = 1 + 3 + 5 + 7
3
10
i=2 i2
= 22
+ 32
+ ... + 102
4
4
j=1 cos(jπ) = cos π + cos 2π + cos 3π + cos 4π.
12

14. Linealidad
Proposici´on 1.1.
b
i=a
cf(i) = c
b
i=a
f(i) (1.1)
b
i=a
f(i) + g(i) =
b
i=a
f(i) +
b
i=a
g(i) (1.2)
13

15. Propiedades
b
k=a
f(k) =
b
j=a
f(j) (1.3)
a
j=a
f(j) = f(a) (1.4)
c
j=a
f(j) =
b
j=a
f(j) +
c
j=b
f(j) (1.5)
b+1
j=a
f(j) =
b
j=a
f(j) + f(b) (1.6)
14

16. Ejemplo 1.3.
Si f(n) = (2n − 1), entonces
n
i=1
f(j) = 1 + 3 + ... + (2n − 1)
es la suma hasta el n−´esimo natural impar. Observe que
1
1
j=1 f(j) = 2(1) − 1 = 1.
2
n+1
i=1 f(j) = ( n
i=1 f(j)) + (2n + 1)
15

17. Ejemplo 1.3.
Si f(n) = (2n − 1), entonces
n
i=1
f(j) = 1 + 3 + ... + (2n − 1)
es la suma hasta el n−´esimo natural impar. Observe que
1
1
j=1 f(j) = 2(1) − 1 = 1.
2
n+1
i=1 f(j) = ( n
i=1 f(j)) + (2n + 1)
15

18. Ejemplo 1.4.
Si f(n) = 2n−1
, entonces
n
i=1
f(j) = 1 + 2 + ... + 2n−1
es la suma de las primeras n potencias de 2 (incluyendo
1 = 20
). Observe que
1
n+1
i=1 f(j) = 1 + 2 + ... + 2n
2
1
j=1 f(j) = 21−1
= 1.
3
n+1
i=1 f(j) = ( n
i=1 f(j)) + 2n
.
16

19. Ejemplo 1.4.
Si f(n) = 2n−1
, entonces
n
i=1
f(j) = 1 + 2 + ... + 2n−1
es la suma de las primeras n potencias de 2 (incluyendo
1 = 20
). Observe que
1
n+1
i=1 f(j) = 1 + 2 + ... + 2n
2
1
j=1 f(j) = 21−1
= 1.
3
n+1
i=1 f(j) = ( n
i=1 f(j)) + 2n
.
16

20. Inducci´on Matem´atica
Ejercicios Resueltos
17

21. Ejercicio Resuelto 1.
Demostrar que
P(n) : 1 + 2 + 3 + ... + n =
1
2
n (n + 1)
es cierto para todo n ∈ N.
18

22. Ejercicio Resuelto 2.
Demostrar que
P(n) : 1 + 2 + 22
+ ... + 2n
= 2n+1
− 1
es cierto para todo n ∈ N.
19

23. Funciones definidas de manera
recursiva
20

24. Decimos que una funci´on est´a definida recursivamente si la
definici´on de la funci´on se refiere a s´ı misma.
21

25. Para que la funci´on est´e bien definida, debe tener las
siguientes dos propiedades:
1 Deben existir ciertos argumentos, llamados valores base,
para los cuales la funci´on no se refiera a s´ı misma.
2 Cada vez que la funci´on se refiera a s´ı misma, el
argumento de la funci´on debe est´ar m´as cercano a un
valor base.
22

26. Funciones definidas de manera
recursiva
La funci´on factorial
23

27. El producto de enteros positivos de 1 hasta n (inclu´ıdo) es
llamado n factorial, n!
Es decir,
n! = n(n − 1) · · · 3 · 2 · 1.
24

28. El producto de enteros positivos de 1 hasta n (inclu´ıdo) es
llamado n factorial, n!
Es decir,
n! = n(n − 1) · · · 3 · 2 · 1.
24

29. Por razones combinatorias, es conveniente definir 0! = 1, y de
esta manera la funci´on factorial quedar´a definida para todos
los enteros no negativos.
25

30. Observaci´on 2.1.
1 1! = 1 · 0!
2 2! = 2 · 1!
3 3! = 3 · 2!
4 4! = 4 · 3!
26

31. Observaci´on 2.1.
1 1! = 1 · 0!
2 2! = 2 · 1!
3 3! = 3 · 2!
4 4! = 4 · 3!
26

32. Observaci´on 2.1.
1 1! = 1 · 0!
2 2! = 2 · 1!
3 3! = 3 · 2!
4 4! = 4 · 3!
26

33. Observaci´on 2.1.
1 1! = 1 · 0!
2 2! = 2 · 1!
3 3! = 3 · 2!
4 4! = 4 · 3!
26

34. Es f´acil observar que para n ∈ N :
n! = n · (n − 1)!
27

35. Definici´on 2.1 (Funci´on factorial).
n! =



1 n = 0
n · (n − 1)! n > 0
28

36. Observaci´on 2.2.
1 El valor de n! factorial esta dado explicitamente para
n = 0, de manera que 0 es el valor base.
2 El valor de n!, n > 0 est´a dado en t´erminos de n − 1, que
es m´as cercano al valor base 0.
Por tanto, n! es una funci´on recursiva bien definida.
29

37. Observaci´on 2.2.
1 El valor de n! factorial esta dado explicitamente para
n = 0, de manera que 0 es el valor base.
2 El valor de n!, n > 0 est´a dado en t´erminos de n − 1, que
es m´as cercano al valor base 0.
Por tanto, n! es una funci´on recursiva bien definida.
29

38. Observaci´on 2.2.
1 El valor de n! factorial esta dado explicitamente para
n = 0, de manera que 0 es el valor base.
2 El valor de n!, n > 0 est´a dado en t´erminos de n − 1, que
es m´as cercano al valor base 0.
Por tanto, n! es una funci´on recursiva bien definida.
29

39. Implentaci´on iterativa del factorial en Python
def factorial(n):
result = 1
for i in range(1, n+1):
result *= i
return result
30

40. Implentaci´on recursiva del factorial en Python
def factorial(n):
z=1
if n>1:
z=n*factorial(n-1)
return z
Para m´as implementaciones, visite
rosettacode.org/wiki/Factorial
31

41. Funciones definidas de manera
recursiva
Suceci´on de Fibonacci
32

42. La celebre sucesi´on de Fibonacci (usualmente denotada por
F0, F1, F2, ...) es como sigue:
0, 0, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ...
Es decir, F0 = 0 F1 = 1 y cada t´ermino sucesor es la suma de
los dos precedentes.
33

43. La celebre sucesi´on de Fibonacci (usualmente denotada por
F0, F1, F2, ...) es como sigue:
0, 0, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ...
Es decir, F0 = 0 F1 = 1 y cada t´ermino sucesor es la suma de
los dos precedentes.
33

44. Por ejemplo, los siguientes dos t´erminos de la sucesi´on son
34 + 55 = 89 y 55 + 89 = 144.
34

45. Definici´on 2.2 (Sucesi´on de Fibonacci).
Fn =



n n = 0, 1
Fn = Fn−2 + Fn−1 n > 1
35

46. Este ejemplo es una funci´on recursiva bien definida, ya que la
funci´on hace referencia a s´ı misma, cuando se usan Fn−2 y
Fn−1, y
1 los valores base son 0 y 1;
2 los valores de Fn est´an definidos en t´erminos de valores
m´as peque˜nos n − 2 y n − 1 que son m´as cercanos a los
valores base.
36

47. Implentaci´on iterativa de Fibonacci en Python
def fibIter(n):
if n < 2:
return n
fibPrev = 1
fib = 1
for num in xrange(2, n):
fibPrev, fib = fib, fib + fibPrev
return fib
37

48. Implentaci´on recursiva de Fibonacci en Python
def fibRec(n):
if n < 2:
return n
else:
return fibRec(n-1) + fibRec(n-2)
Para m´as implementaciones, visite
rosettacode.org/wiki/Fibonacci sequence
38

49. Funciones definidas de manera
recursiva
La funci´on de Ackermann
39

50. Definici´on 2.3 (Funci´on (fallida) de Ackermann).
A(m, n) =



n + 1 m = 0
A(m − 1, n) m = 0, n = 0
A(m − 1, A(m, n − 1)) m = 0, n = 0
40

51. Definici´on 2.4 (Funci´on de Ackermann).
A(m, n) =



n + 1 m = 0
A(m − 1, 1) m = 0, n = 0
A(m − 1, A(m, n − 1)) m = 0, n = 0
41

52. Implentaci´on recursiva de Ackermann en Python
def ack2(M, N):
if M == 0:
return N + 1
elif N == 0:
return ack2(M - 1, 1)
else:
return ack2(M - 1, ack2(M, N - 1))
Para m´as implementaciones, visite
rosettacode.org/wiki/Ackermann function
42

53. Funciones definidas de manera
recursiva
Ejercicios Resueltos
43

54. Ejercicio Resuelto 3.
Sean a, b enteros positivos, y definamos la siguiente funci´on de
manera recursiva:
Q(a, b) =



0 a < b
Q(a − b, b) + 1 b ≤ a
1 Encuentre (i) Q(2, 5); (ii) Q(12, 5)
2 ¿Qu´e es lo que hace esta funci´on? Encuentre Q(5861, 7)
44

55. Ejercicio Resuelto 3.
Sean a, b enteros positivos, y definamos la siguiente funci´on de
manera recursiva:
Q(a, b) =



0 a < b
Q(a − b, b) + 1 b ≤ a
1 Encuentre (i) Q(2, 5); (ii) Q(12, 5)
2 ¿Qu´e es lo que hace esta funci´on? Encuentre Q(5861, 7)
44

56. Ejercicio Resuelto 4.
Use la definici´on de la funci´on de Ackermann para calcular
A(1, 3).
45