Objetivo 8 de Matemática II COD 179 para la UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA.

1. Capitulo II
Matemática II (179)
Objetivo 8. Analizar problemas que puedan ser resueltos mediante
procedimientos matemáticos o demostrar proposiciones o teoremas mediante
el método de inducción.
Ejercicio 1
Demostrar utilizando el principio de Inducción Matemática que:
= + + + + = 5 + (4 - 1)5
+ 1
1 2 3 Îℕ
( ) 1.5 2.5 3.5 ... .5 ,
16
n
n n
P n n n
Solución
Justificación: El razonamiento para demostrar una proposición cualquiera
mediante el método de inducción, es como sigue. Llamaremos n P a la
proposición, donde n es el rango.
1) Se demostrará que 0 P , el primer valor que cumple la proposición
(iniciación de la inducción), es cierta.
2) Se demostrará que si se asume n P como cierta para algún n = k (como
hipótesis inductiva), entonces k 1 P + lo es también, y esto sin condición sobre el
entero natural n (relación de inducción).
Luego, demostrado esto, concluimos por inducción, que n P es cierto para
todo natural n .
La inducción puede empezar por otro término distinto a 0 P , digamos por
n0 P . Entonces n P será válido a partir del número 0 n , es decir, para todo natural
0 n ³ n .
Retomando el ejercicio planteado, se tiene:
1) Demostremos que para n =1 es verdadera la proposición.
( ) 1 1
1 5 (4 1 1)5
(1) 1.5
16
P
+ - +
= =
= + -
5 (4 1)52
5
16

2. = 5 + (3)25 = 5 + 75 = 80
=
5 5
16 16 16
Por lo tanto P(1) es verdadera.
2) Supongamos que para n = k es verdadera.
+ - + = + + + + =
1
1 2 3 5 (4 1)5
( ) 1.5 2.5 3.5 ... .5
16
k
k k
P k k
(Hipótesis inductiva)
Entonces debemos demostrar que siendo P(k) verdadera entonces
P(k +1) es verdadera, es decir,
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
1 1
1 2 3 1
2
1 1.5 2.5 3.5 ... 1 .5
1 2 3 1
2
5 (4 1 1)5
1 2 3 1
16
5 (4 4 1)5
1 1.5 2.5 3.5 ... 1 .5
16
5 (4 3)5
1 1.5 2.5 3.5 ... 1 .5
16
k
k
k
k
k
k
k
P k k
k
P k k
k
P k k
+ +
+
+
+
+
+
+ + -
+ = + + + + + =
+ = + + + + + = + + -
+ = + + + + + = + +
A partir de este momento, dependiendo de la destreza que tengas,
obtenida claro está de haber resuelto varios ejercicios, procederemos a bien
desarrollar P(k +1) hasta llegar a la hipótesis de inducción que sabemos es
verdadera, ó partir de la hipótesis de inducción P(k) y llegar a la tesis o
conclusión P(k +1) . La manera de resolver el problema es variable, y depende,
repito, de la destreza que tengas de haber resuelto distintas situaciones. En
Matemática esta situación ocurre en distintos temas como cálculo de límites de
funciones, saber si una serie es convergente o divergente, etc.
En este caso partiré de la hipótesis inductiva:
+ - + = + + + + =
1
1 2 3 5 (4 1)5
( ) 1.5 2.5 3.5 ... .5
16
k
k k
P k k
Si sumamos en ambos miembros (k +1).5k +1 , no se alterara la igualdad,
entonces:
1
k
1 1
1 2 3 ( 1).5
5 (4 1)5
k k
1.5 2.5 3.5 ... ( 1).
.5 5
1
6
k
k k k
k
+
+ + + + + + + = + - + + +
Desarrollando la parte derecha de la igualdad se tiene:
2 1
1 1
1 3 5 (4 1).5 16.( 1).5
1.5 2.5 3.5 ... .5 ( 1).
16
5k
k k
k k
k k
k +
+ +
+ + + + + + = + - + +

3. [ ] 1
1 2 3 ( 1). 1
5 (4 1) 16.( 1) .5
1.5 2.5 3.5 ... .5
1
5
6
k
k
k k
k k
k +
+ - + + +
+ + + + + + =
Se extrajo 5k+1 factor común, continuando:
[ ] 1
1 2 3 ( 1 1
5 4 1 16 16 .5
1.5 2.5 3.5 ... .5 ).5
16
k
k
k k k
k k +
+ - + + +
+ + + + + + =
1
1 2 3 1 5 (20 15).5
1.5 2.5 3.5 ... .5 ( ) 5
16
1 .
k
k k k
k
k
+
+ + + + + + + = + +
Pero: (20k +15) = (5.4k + 5.3) = 5(4k + 3)
Así:
1
1 2 3 1 5 (4 3). .5
1.5 2.5 3.5 ... .5 1).5
16
5
(
k
k k k
k k
+
+ + + + + + + = + +
Recuerda que si multiplicamos términos de igual base, se coloca la
misma base y se suman los exponentes: 5.5k+1 = 51+k+1 = 5k +2
Entonces:
+ + + + + + + + + =
1 2
2
3 1 5 (4 3).
1.5 2.5 3.5 .. ( 1)
5
. .5 .5
16
k
k k k
k
k +
Comparando ésta ultima igualdad obtenida con la tesis o conclusión, que
era:
( ) ( ) ( )
2
1 2 3 1 5 (4 3)5
1 1.5 2.5 3.5 ... 1 .5
16
k
k k
P k k
+
+ = + + + + + + = + +
Se observa claramente que ambos términos de la parte derecha son
iguales, por lo tanto P(k +1) es verdadera, en consecuencia: QUEDA
DEMOSTRADO QUE:
= + + + + = 5 + (4 - 1)5
+ 1
1 2 3 Îℕ
( ) 1.5 2.5 3.5 ... .5 ,
16
n
n n
P n n n
Respuesta: La proposición P(n) planteada es verdadera.
Ejercicio 2
Demuestre por el principio de inducción que para todo número natural
n ³ 2 se cumple que:
1 1 1 1
+ + + ...
+ ³
1 2 3
n
n
Solución
Justificación: Aplicando el método de inducción, se tiene:

4. 1) Demostremos que para n = 2 es verdadera la proposición.
1 1
2
+ ³
1 2
1 2
+ ³
1 2
2 2
1
+ ³
1 2 2
2
+ ³
2 2
2
2
2 + 2 ³ 2 2
2 ³ 2 2 - 2
2 ³ 2
Por lo tanto P(2) es verdadera, porque 2 es mayor que 2 »1,41.
2) Supongamos que para n = k es verdadera.
1 1 1 1
+ + + ...
+ ³
1 2 3
k
k
(Hipótesis inductiva)
Entonces debemos demostrar que siendo P(k) verdadera entonces
P(k +1) es verdadera, es decir,
1 1 1 1 1
+ + + + + ³ +
... 1
1 2 3 1
k
k k
+
En este caso partiré de la hipótesis inductiva:
1 1 1 1
+ + + ...
+ ³
1 2 3
k
k
Si sumamos en ambos miembros
1
k +1
, no se alterara la igualdad,
entonces:
1 1 1 1
+ + + ...
+ + ³ +
1 2 3
1 1
k
1 1
+ +
k k k
Desarrollando la parte derecha de la igualdad se tiene:
+ + + + + ³ + +
1 1 1 1
..
1 1
.
+ +
2 3 1
1
1
k
1
k
k
k k

5. Recuerda que cuando multiplicamos raíces de igual índice, se pueden
multiplicar los radicandos y dejar la misma raíz, es decir: k +1 k = (k +1)k
Entonces:
1 1 1 1 ( )
..
1 1
.
1
1 2 1
3 k
1
k
k
k
k
+
+ + + + +
+
³
+ +
Luego:
+ + + + + ³ + +
1 1 1 1 2
..
1 1
.
1 1
k
2 3 k k
1
k
k
+ +
Ahora fíjate, debemos buscar una desigualdad que nos garantice
generar en la parte derecha de esta última desigualdad la expresión k +1 ,
porque es la que esta presente en la tesis o conclusión:
1 1 1 1 1
+ + + + + ³ +
... 1
1 2 3 1
k
k k
+
Observa que k2 + k +1 > k +1 , esto nos lleva a concluir que:
+ + + + + + > +
1 1 1 1 2
.
+
1 1
..
³
k k + k k
1 2 1
1
k k k
+
+
3 1 1
Racionalizando la expresión:
( ) ( )
+ + + + + + + + + = =
+
1 k 1 k 1 k 1 k 1 k 1 k 1 k 1 k
1
1 k 1 k 1 1 1 k
1
( )
( )
( )
( )
2
.
k
k .
k k
= =
k
+ + + + + ( )
1
1
k
+
+
= k +1
Sabiendo el resultado de esta racionalización, podemos escribir:
+ + + + + ³ k + +
> +
1 1 1 1 1 2 k
1
... 1
+ +
1 2 3 k 1 1
k
k k
Ó
1 1 1 1
+ +
+ + + ...
+ ³
1 2
1
3 1
1
k
k
k
+
Comparando ésta ultima desigualdad obtenida con la tesis o conclusión,
que era:
1 1 1 1 1
+ + + + + ³ +
... 1
1 2 3 1
k
k k
+
Se observa claramente que ambos términos de la parte derecha son
iguales, por lo tanto P(k +1) es verdadera, en consecuencia: QUEDA
DEMOSTRADO QUE:

6. 1 1 1 1
+ + + + ³ ³
... , 2
1 2 3
n n
n
Respuesta: La proposición P(n) planteada es verdadera.
Ejercicio 3
Si se quieren distribuir 32 actividades a 9 estudiantes prestadores del
Servicio Comunitario en la UNA. Determinar cuántas actividades recibirá al
menos un estudiante?
Solución
Justificación: En este caso, aplicamos el principio de las casillas, el cual
nos dice que si n +1 objetos son colocados en n cajas, entonces al menos una
caja contiene dos o más objetos.
Es decir, que si debemos repartir las 32 actividades entre 9 estudiantes,
cada estudiante recibirá al menos
32
3
9
» actividades, de manera que ningún
estudiante queda sin actividad, y además todos ellos quedan con las
actividades en forma equilibrada.
Respuesta: Un estudiante recibirá ll menos 3 actividades.
Ejercicio 4
Una encuesta realizada a un grupo de estudiantes de la Universidad
Nacional Abierta en relación a cómo tienen acceso a las tecnologías de la
información y la comunicación (TICs) reveló lo siguiente:
a) 125 estudiantes lo hacen desde el computador personal en sus casas
b) 360 estudiantes utilizan las Salas Alma Mater que funcionan en los Centros
Locales de la Universidad.
c) 75 estudiantes respondieron que lo hacen desde sus casas y desde la
Universidad.
¿Cuántos fueron los estudiantes entrevistados?
Solución
Justificación: En este caso aplicaremos la teoría de conjuntos,
nombraremos el conjunto A como aquellos estudiantes que usan las (TICs)
desde el computador personal en sus casas, y al conjunto B como aquellos
estudiantes que usan las (TICs) desde las Salas de Alma Mater que funcionan
en los Centros Locales de la Universidad.

7. Siendo así las cosas, es evidente que el conjunto de estudiantes que
respondieron que usan las (TICs) desde sus casas Y desde la Universidad, es
la intersección de los conjuntos A y B ya definidos.
El número de estudiantes encuestados, es el número de estudiantes que
contestaron que usan las (TICs) desde sus casas O desde la Universidad, es
decir, el número de estudiantes en la unión de los conjuntos A y B .
Como estos conjuntos son finitos, podemos escribir la fórmula:
n( AÈB) = n( A) + n(B) - n( AÇB)
Donde:
n( AÈB): Número de estudiantes en la unión de los conjuntos A y B , o
lo que es igual, número de estudiantes encuestados.
n( A): Número de estudiantes en el conjunto A , en este caso: 125.
n(B): Número de estudiantes en el conjunto B , en este caso: 360.
n( AÇB): Número de estudiantes en la intersección de los conjuntos A
y B , en este caso: 75.
Sustituyendo estos datos en la fórmula, se tiene:
n( AÈB) =125 + 360 - 75 = 410
Respuesta: Los estudiantes entrevistados fueron: 410.
Ejercicio 5
Demuestre que: 1+ 21 + 22 +...+ 2n = 2n+1 -1
Solución
Justificación: Aplicando el método de inducción, se tiene:
1) Demostremos que para n = 0 es verdadera la proposición.
+ 1 + 2 + + = 1
-
1 2 2 ... 2 2 1
0 0 1
2 2 1
1 2 1
1
1 2 1
1 1
n n+
+
= -
= -
= -
=
Por lo tanto P(0) es verdadera.
2) Supongamos que para n = k es verdadera.
1+ 21 + 22 +...+ 2k = 2k+1 -1

8. (Hipótesis inductiva)
Entonces debemos demostrar que siendo P(k) verdadera entonces
P(k +1) es verdadera, es decir,
+ + +
+ 1 + 2 + + k 1 = k
1 1
-
+ + + + = -
1 2 2 ... 2 2 1
1 2 1 2 2 ... 2 k + 1 2 k
+
2
1
En este caso partiré de la hipótesis inductiva:
1+ 21 + 22 +...+ 2k = 2k+1 -1
Si multiplicamos ambos miembros de la igualdad de la hipótesis
inductiva por 2 , se tiene:
2(1+ 21 + 22 +...+ 2k ) = 2(2k+1 -1)
Desarrollando:
2.1+ 2.21 + 2.22 +...+ 2.2k = 2.2k+1 - 2.1
2 + 22 + 23 +...+ 2k+1 = 2k+1+1 - 2
Como: 2 = -1-1, se tiene:
2 + 22 + 23 +...+ 2k+1 = 2k+2 -1-1
Pasando el -1 rojo, al lado izquierdo de la igualdad se tiene:
1+ 2 + 22 + 23 +...+ 2k+1 = 2k+2 -1
Comparando ésta ultima igualdad obtenida con la tesis o conclusión, que
era:
1+ 21 + 22 +...+ 2k +1 = 2k+2 -1
Se observa claramente que ambos términos de la parte derecha son
iguales, por lo tanto P(k +1) es verdadera, en consecuencia: QUEDA
DEMOSTRADO QUE:
1+ 21 + 22 +...+ 2n = 2n+1 -1
Respuesta: La proposición P(n) planteada es verdadera.
Ejercicio 6
Usando el principio de inducción matemática. Demostrar que:
3n < n2 -1 para n ³ 4
Solución
Justificación: Aplicando el método de inducción, se tiene:

9. 1) Demostremos que para n = 4 es verdadera la proposición.
( ) ( )3n < n2 -1®3 4 < 4 2 -1®12 <16 -1®12 <15
Por lo tanto P(4) es verdadera.
2) Supongamos que para n = k es verdadera.
3k < k 2 -1
(Hipótesis inductiva)
Entonces debemos demostrar que siendo P(k) verdadera entonces
P(k +1) es verdadera, es decir,
( ) ( )2 3 k +1 < k +1 -1
3k + 3 < k2 + 2k +1-1
3k + 3 < k2 + 2k
En este caso partiré de la hipótesis inductiva:
3k < k 2 -1
Si sumamos a ambos miembros 3 , se tiene:
3k + 3 < k2 -1+ 3
3k + 3 < k 2 + 2
Pero:
k 2 + 2 < k 2 + 2k
Porque 2 < 2k , entonces:
3k + 3 < k2 + 2 < k2 + 2k
Por el axioma de transición de las desigualdades, es decir:
a < b < c⇒a < c
Así:
3k + 3 < k2 + 2 < k 2 + 2k ⇒3k + 3 < k2 + 2k
Comparando ésta ultima igualdad obtenida con la tesis o conclusión, que
era:
3k + 3 < k2 + 2k
Se observa claramente que ambos términos de la parte derecha son
iguales, por lo tanto P(k +1) es verdadera, en consecuencia: QUEDA
DEMOSTRADO QUE:

10. 3n < n2 -1 para n ³ 4
Respuesta: La proposición P(n) planteada es verdadera.
Ejercicio 7
Usar el método de inducción para demostrar que:
+ 1
+ + + + =
- 1 2 3 1
1 3 3 ... 3
2
n
n
Para todo número natural n ³1.
Solución
Justificación: Aplicando el método de inducción, se tiene:
1) Demostremos que para n =1 es verdadera la proposición.
+ 1 = 3 1 + 1 - 1 ® + = 3 2
- 1 ® = 9 - 1 ® = 8
=
1 3 1 3 4 4 4
2 2 2 2
Por lo tanto P(1) es verdadera.
2) Supongamos que para n = k es verdadera.
+ 1
+ + + + =
- 1 2 3 1
1 3 3 ... 3
2
k
k
(Hipótesis inductiva)
Entonces debemos demostrar que siendo P(k) verdadera entonces
P(k +1) es verdadera, es decir,
1 1
+ + + + = -
1 2 1
3 1
2
+ + + + = -
1 3 3 ... 3
1 2 1
2
3 1
1 3 3 ...3 3
2
k
k
k
k k
+ +
+
+
+
En este caso partiré de la hipótesis inductiva:
+ 1
+ + + + =
- 1 2 3 1
1 3 3 ... 3
2
k
k
Si sumamos a ambos miembros 3k +1 , se tiene:
+ 1
+ 1 + + + + = 3 - 1
+
2 1 1
1 3 3 ... 3
3k 3
2
k
k + k+
Desarrollando la parte derecha de la igualdad se tiene:
+ 1
+ 1 + 2 + + + =
- + 1
3 1 2. 1
1 3 3 ... 3
2
3
k 3k
k k+
+

11. Sumando los términos semejantes destacados en rojo:
+ 1
+ + 1 + 2 + + + =
- + 1
3 1 2.3 1
1 3 3 ... 3 3
2
k k
k k
+
1
1
1 2 1
1 3 3 ...
3
3
.3
3
2
k
k
k
+
+ + + + + + = -
Como se tiene el producto de términos de igual base: 3.3k +1 , se coloca la
misma base y se suman los exponentes: 3.3k +1 = 31.3k+1 = 31+k+1 = 3k +2
Por lo tanto tenemos:
2
1 2 1 1
1 3 3 ...
3
3 3
2
k
k
k
+
+ + + + + + = -
Comparando ésta ultima igualdad obtenida con la tesis o conclusión, que
era:
2
1 2 1 3 1
1 3 3 ...3 3
2
k
k k
+
+ + + + + = -
Se observa claramente que ambos términos de la parte derecha son
iguales, por lo tanto P(k +1) es verdadera, en consecuencia: QUEDA
DEMOSTRADO QUE:
+ 1
+ + + + =
- 1 2 3 1
1 3 3 ... 3
2
n
n
Para todo número natural n ³1.
Respuesta: La proposición P(n) planteada es verdadera.
Ejercicio 8
Demuestre usando el principio de inducción que si a y b son números
reales tales que 0 < a < b entonces
+       <  
   
n 1 n a a
b b
para todo número entero
n ³ 0 .
Solución
Justificación: Aplicando el método de inducción, se tiene:
1) Demostremos que para n = 0 es verdadera la proposición.
 a  n + 1  a  n  a  0 + 1 0
< ®<  a  ® a
           < 1
® <
         
a b
b b b b b
Por lo tanto P(0) es verdadera.
2) Supongamos que para n = k es verdadera.

12. +       <  
   
k 1 k a a
b b
(Hipótesis inductiva)
Entonces debemos demostrar que siendo P(k) verdadera entonces
P(k +1) es verdadera, es decir,
+ + +
1 1 1
k k
a a
b b
a a
b b
      <  
   
      <  
   
+ +
2 1
k k
En este caso partiré de la tesis o conclusión:
+ +       <  
   
k 2 k 1 a a
b b
Por un lado se tiene:
+ +         =    
     
k 2 k 1 a a a
b b b
Por hipótesis de inducción:
+       <  
   
k 1 k a a
b b
, entonces:
k 2 k 1 k a a a
b b b
a a
b b
+ +         =    
    <  

 
        
Claro está que:
+           =  
     
k k 1 a a a
b b b
Por lo tanto:
+ + +         =    
     
a k 2 a k 1 a
k 1 <  a
  
b b b
 b

Es decir:
+ +   <  
a
k 2 a
k 1 b
 b

 
 
 
gracias a la hipótesis de inducción, en
consecuencia: QUEDA DEMOSTRADO QUE:
+       <  
   
n 1 n a a
b b
Para todo número natural n ³ 0 .

13. Respuesta: La proposición P(n) planteada es verdadera.
Ejercicio 9
Usa el método de inducción para demostrar que:
(1- 0) + (2 -1) +...+ (n - (n -1)) = n , para todo número natural n ³1.
Solución
Justificación: Aplicando el método de inducción, se tiene:
1) Demostremos que para n =1 es verdadera la proposición.
(1- (1-1)) =1®(1- 0) =1
Por lo tanto P(1) es verdadera.
2) Supongamos que para n = k es verdadera.
(1- 0) + (2 -1) +...+ (k - (k -1)) = k
(Hipótesis inductiva)
Entonces debemos demostrar que siendo P(k) verdadera entonces
P(k +1) es verdadera, es decir,
(1- 0) + (2 -1) +...+ (k - (k -1))+ ((k +1) - (k +1-1)) = k +1
(1- 0) + (2 -1) +...+ (k - (k -1))+ ((k +1) - (k )) = k +1
En este caso partiré de la tesis o conclusión:
(1- 0) + (2 -1) +...+ (k - (k -1)) + (k +1- k ) = k +1
Al cancelarse las k se tiene:
(1- 0) + (2 -1) +...+ (k - (k -1))+ (1) = k + 1
Simplificando el 1 a ambos lados de la igualdad, se obtiene:
(1- 0) + (2 -1) +...+ (k - (k -1)) = k
Que es la hipótesis de inducción, en consecuencia: QUEDA DEMOSTRADO
QUE:
(1- 0) + (2 -1) +...+ (n - (n -1)) = n , para todo número natural n ³1
Respuesta: La proposición P(n) planteada es verdadera.
Ejercicio 10

14. Un árbol proyecta una sombra de 9,76m y al mismo tiempo, un palo que
mide 0,92m proyecta una sombra de 0,67m ¿qué altura tiene el árbol?
Solución
Justificación: Ilustrando la situación, se tiene:
Antes de responder la pregunta, recordemos el Teorema de Euclides: si
dos triángulos son semejantes, sus lados correspondientes son proporcionales.
Entonces: los rayos paralelos del sol forman el mismo ángulo con el árbol y con
el palo. Puesto que ambos triángulos son rectángulos y tienen un ángulo agudo
de la misma medida, entonces los triángulos son semejantes. Los lados
correspondientes son proporcionales. Así, si denotamos " x" la altura del árbol,
podremos escribir:
9,7
x =
0,
6
92 0,67
Despejando equis, se tiene:
( )( ) 8,9792
13,31
9,76 0
9
x = = =
0, 6
0,
,
67
2
7
Respuesta: La altura del árbol es 13,31m

15. A continuación se te presentaran una serie de ejercicios propuestos,
¿Por qué es importante resolverlos? Por que tú estarás solo en el examen y tu
eres quien a las finales debes aprehender para tener éxito en la asignatura.
Cualquier duda de los problemas que a continuación se te presentan, déjamelo
saber, a través, de mi correo: jorgegranadillomat@gmail.com. Recuerda que en
mi página en el apartado “novedades” en la sección “material durante el
estudio” se encuentra un programa de nombre Mathype que es un excelente
editor de ecuaciones con el cual podrás escribir tus dudas matemáticas, o
escanea las páginas de tu cuaderno y envíame las dudas para darte respuesta
a la brevedad posible.
Por último recuerda resolver cada ejercicio bajo la estructura,
justificación y respuesta, ya que en los exámenes de desarrollo deberás
justificar todas y cada una de tus respuestas, de manera, que es importante
que tomes el hábito de estructurar las soluciones de esta manera, siempre
dando justificación y luego la respuesta.
EJERCICIOS PROPUESTOS
Ejercicio 1
Demostrar por inducción la siguiente propiedad:
( ) ( )( )
1
1 2
1
3
n
j
n n n
j j
=
+ +
Σ + =
Ejercicio 2
Demostrar por inducción la siguiente propiedad:
( )
Σ = +
1
2 1
n
k
k k k
=
Ejercicio 3
Demostrar por inducción la siguiente fórmula:
( )2 2
n n
1
1 3 2 3 3 3 ...
3 4
n
+
+ + + + =
Explique cada paso del procedimiento.
Ejercicio 4
Haciendo uso del principio de inducción completa, demostrar que:
·
10 n + 1 + 10 n
+ 1 =
3

16. 3 ·
significa, múltiplo de 3
Ejercicio 5
Encontrar el término general de la sucesión n a cuyos primeros cinco
términos son:
2
+
3 m
4
+
,
5 m
8
+
,
7 m
16
+
,
9 m
32
+
,
11 m
,
donde m es el tercer dígito de su número de cédula de identidad.
Ejercicio 6
Sea f :ℝ -{1}®ℝ la función definida por: ( )
1
x
f x
x
=
+
. Usa el método
de inducción para demostrar que la derivada enésima de f está dada por la
relación:
( ) ( )
( )
1
1
!
( ) 1
1
n n
n
n
f x
x
+
+ = -
+
Ejercicio 7
Considera la sucesión { } n n 1 a ³ , cuyo enésimo término es el primer número
de la enésima fila de la siguiente tabla:
1
2 3
4 5 6
7 8 9 10
11 12 13 14 15
16 18 19 20 21 22
. . . . . . . . . . . . . . . . .
De esta manera tenemos que: 1 a =1, 2 a = 2 , 3 a = 4 , 5 a = 7 , …
Construye una sucesión por recurrencia que describa a la sucesión { } n n 1 a ³ .
Ejercicio 8
Sea f :ℝ®ℝ la función definida por: f (x) = x2ex . Usa el método de
inducción para demostrar que la derivada enésima de f está dada por la
relación:

17. ( ) ( ) ( 2 2 ( 1)) , 1 f n x = x + nx + n n - ex n ³
Ejercicio 9
Usa el método de inducción para demostrar que:
n2 + 3 ³ 4n - 3 para todo número natural n ³ 2
Ejercicio 10
Dada la siguiente lista escríbela como una sucesión { } n n 1 a ³ . Sabiendo
que sus términos siguen una cierta regla de formación.
{6,11,16, 21, 26,31,...}