El documento describe diferentes técnicas para integrar funciones trigonométricas. Explica la integración por partes y cómo usar identidades trigonométricas para integrar expresiones de la forma sin(mx)cos(nx)dx, sin(mx)sin(nx)dx y cos(mx)cos(nx)dx. También cubre estrategias para evaluar integrales de tan(mx)sec(nx)dx usando sustituciones trigonométricas. Un ejemplo ilustra cada método.

2. INTEGRALES
SEMANA 7
Alfonso Cubillos
Departamento de Matem´aticas, F´ısica y Estad´ıstica
Universidad de La Sabana

3. T´ECNICAS DE INTEGRACI ´ON INTEGRACI ´ON POR PARTES
INTEGRACI ´ON POR PARTES
Toda regla de diferenciaci´on tiene su correspondiente regla de integraci´on. As´ı
la regla de integraci´on por sustituci´on corresponde a la regla de la cadena de
diferenciaci´on. Luego la regla que corresponde a la regla del producto para
diferenciaci´on es la regla de integraci´on por partes.
f(x)g (x) dx = f(x)g(x) − g(x)f (x) dx
Si u = f(x) y v = g(x) entonces du = f (x) dx y dv = g (x) dx. As´ı, la
anterior expresi´on toma la forma
u dv = uv − v du.

4. T´ECNICAS DE INTEGRACI ´ON INTEGRACI ´ON POR PARTES
EJEMPLO
Consideremos x sec2
x dx. Haciendo u = x y dv = sec2 x dx entonces
du = dx y v = tan x. Aplicando integraci´on por partes, se tiene que
x sec2
x dx = x tan x − tan x dx
= x tan x + ln | cos x| + C

5. T´ECNICAS DE INTEGRACI ´ON INTEGRALES TRIGONOM ´ETRICAS
INTEGRALES TRIGONOM ´ETRICAS
ESTRATEGIAS PARA EVALUAR
sinm
x cosn
x dx
1 Si la potencia del coseno es impar n = 2k + 1, factorizar un coseno y
usar la identidad cos2 x = 1 − sin2
x para expresar el factor restante en
t´erminos de seno:
sinm
x cos2k+1
x dx = sinm
x(cos2
x)k
cos x dx (1)
= sinm
x(1 − sin2
x)k
cos x dx (2)
Entonces realizamos la sustituci´on u = sin x. De donde,
sinm
x cos2k+1
x dx = um
(1 − u2
)k
du.

6. T´ECNICAS DE INTEGRACI ´ON INTEGRALES TRIGONOM ´ETRICAS
EJEMPLO
Sea sin4
3x cos5
3x dx. Ya que la potencia del coseno es impar se tiene que
sin4
3x cos5
3x dx = sin4
3x cos4
3x cos 3x dx
= sin4
3x(cos2
3x)2
cos 3x dx
= sin4
3x(1 − sin2
3x)2
cos 3x dx
Haciendo u = sin 3x entonces du/3 = cos 3x dx. De donde
sin4
3x cos5
3x dx =
1
3
u4
(1 − u2
)2
du =
1
3
u4
(1 − 2u2
+ u4
) du
=
1
3
(u4
− 2u6
+ u8
) du =
1
3
u5
5
−
2
7
u7
+
u9
9
+ C
=
sin5
3x
15
−
2
7
sin7
3x +
sin9
3x
9
+ C

7. T´ECNICAS DE INTEGRACI ´ON INTEGRALES TRIGONOM ´ETRICAS
2 Si la potencia del seno es impar n = 2k + 1, factorizar un seno y usar la
identidad sin2
x = 1 − cos2 x para expresar el factor restante en t´erminos
de coseno:
sin2k+1
x cosn
x dx = (sin2
x)k
cosn
x sin x dx (3)
= (1 − cos2
x)k
sin x cosn
x dx (4)
Entonces realizamos la sustituci´on u = cos x. De donde,
sin2k+1
x cosn
x dx = − un
(1 − u2
)k
du.
3 Si la potencia del seno y el coseno son pares, usamos las identidades de
mita de ´angulo
sin2
x =
1
2
(1 − cos 2x) cos2
x =
1
2
(1 + cos 2x)
o
sin x cos x =
1
2
sin 2x

8. T´ECNICAS DE INTEGRACI ´ON INTEGRALES TRIGONOM ´ETRICAS
ESTRATEGIAS PARA EVALUAR
tanm
x secn
x dx
1 Si la potencia de la secante es par (n = 2k con k ≥ 2), buscar un factor
de sec2 x y usar la identidad sec2 x = 1 + tan2 x para expresar el factor
restante en t´erminos de tan x:
tanm
x sec2k
x dx = tanm
x(sec2
x)k−1
sec2
x dx (5)
= tanm
x(1 + tan2
x)k−1
sec2
x dx (6)
Entonces realizar la sustituci´on u = tan x. As´ı,
tanm
x sec2k
x dx = um
(1 + u2
)k−1
du.

9. T´ECNICAS DE INTEGRACI ´ON INTEGRALES TRIGONOM ´ETRICAS
2 Si la potencia de la tangente es impar (m = 2k + 1, k ≥ 2), se debe
buscar un factor de sec x tan x y usar la identidad tan2 x = sec2 x − 1
para expresar el factor restante en t´erminos de sec x:
tan2k+1
x secn
x dx = (tan2
x)k
secn−1
x sec x tan x dx (7)
= (sec2
x − 1)k
secn−1
x sec x tan x dx (8)
Entonces utilizamos la sustituci´on u = sec x. As´ı,
tan2k+1
x secn
x dx = un−1
(u2
− 1)k
du.

10. T´ECNICAS DE INTEGRACI ´ON INTEGRALES TRIGONOM ´ETRICAS
EJEMPLO
Consideremos
tan7
2x sec3
2x dx = (tan2
2x)3
sec2
2x sec 2x tan 2x dx
= (sec2
2x − 1)3
sec2
2x sec 2x tan 2x dx
Hagamos la sustituci´on u = sec 2x, du/2 = sec 2x tan 2x dx. As´ı,
tan7
2x sec3
2x dx =
1
2
(u2
− 1)3
u2
du
=
1
2
(u6
− 3u4
+ 3u2
− 1)u2
du
=
1
2
u9
9
−
3u7
7
+
3u5
5
−
u3
3
+ C
=
sec9 2x
18
−
3 sec7 2x
7

11. T´ECNICAS DE INTEGRACI ´ON INTEGRALES TRIGONOM ´ETRICAS
CALCULO DE INTEGRALES DE LA FORMA
A. sin mx cos nx dx
B. sin mx sin nx dx
C. cos mx cos nx dx
Vamos a utilizar las identidades trigonom´etricas:
1 sin A cos B =
1
2
[sin(A − B) + sin(A + B)]
2 sin A sin B =
1
2
[cos(A − B) − cos(A + B)]
3 cos A cos B =
1
2
[cos(A − B) + cos(A + B)]

12. T´ECNICAS DE INTEGRACI ´ON INTEGRALES TRIGONOM ´ETRICAS
EJEMPLO
sin 7x cos 5x dx =
1
2
(sin 2x + sin 12x) dx
=
1
2
−
cos 2x
2
−
cos 12x
12
+ C
= −
cos 2x
4
−
cos 12x
24
+ C