Guía de operaciones algebraicas

1. INSTITUCIÓN EDUCATIVA JOSÉ ANTONIO GALÁN
MATEMATICAS GRADO: OCTAVO
TEMA: OPERACIONES ALGEBRAICAS.
DOCENTES J.M.: JEISSON HERNANDEZ, SANDRA LUCIA PABON
SUSTRACCION DE POLINOMIOS
Dado un polinomio cualquiera, siempre es posible encontrar otro, llamado su inverso
aditivo u opuesto. Al sumar un polinomio y su opuesto obtenemos cero.
Para obtener el opuesto de un polinomio basta con cambiar los signos de los términos
del polinomio.
Ejemplo:
A. El opuesto de a2
es –x2
por que x2
+ (-x2
): 0.
B. El opuesto de a – b es –a + b porque (a – b) + (-a + b): 0.
C. El opuesto de -9x2
+ 5x – 1 es 9x2
– 5x + 1 porque (-9x2
+ 5x – 1) +(9x2
– 5x + 1): 0.
Para efectuar la sustracción de polinomios, al minuendo se le suma el opuesto
del sustraendo
Ejemplo:
De 5x2
– 8x – 9 restar -9 + 16x – 25x2
.
Solución:
Se aplica la definición de sustracción y se suman los polinomios verticalmente.
El opuesto de -9 + 16x – 25x2
es –(-9 + 16x – 25x2
) = 9 -16x + 25x2
.
Luego, se ordenan los polinomios en forma descendente:
5x2
– 8x + 9
25x2
– 16x + 9
30x2
- 24 x + 18
1. Efectúa las sustracciones entre polinomios:
 De 14x3
+ 12x2
-17x + 11 restar 24x3
+ 63x2
-13.
 (74m7
+ 11m2
+ 15m – 19) – (17m6
+ 5m3
+ 48m2
– 15m + 24).
 (-15x4
+ 42x3
y + 23x2
y2
– 16xy3
+ y4
) – (13x4
+ 16x3
y + 14x2
y2
– 15y4
).
 De x2
+ y2
restar -5x2
+ 17xy + y2
-

2. 2. Si p1 = 23a5
+ 16a4
– 23a3
+ 42a2
-19a + 23
P2 = -16a4
+ 47a3
+ 28a – 100
P3 = 4a5
– 38a3
+ 29a2
- 25a + 53
P4 = a5
-16
P5 = a4
+ 49a3
– 27a2
– 49a + 38a5
– 11
Realiza las siguientes operaciones:
 P1 – p2
 P5 – p1
 P4 – p4
 P3 – (p2 – p1)
 (p1 – p5)
 (p4 – p5) – p2
3. Resuelve los siguientes ejercicios:
a. Encuentra el polinomio que al restarse de a3
+ b3
da –a3
– 3a2
b + 4ab2
+ b3
.
b. ¿qué polinomio se debe sumar a 5x3
+ 7x2
+ 9x + 16 para obtener -3x3
+ 43x2
+
11x – 52?
4. Si el minuendo es 7x2
+ 9x – 23 y la diferencia es 4x2
+9x – 23, ¿Cuál es el
sustraendo?
5. Si la diferencia es 5m3
+ 4m2
n + 8mn2
– 19n3
y el sustraendo es 43m3
+ 17m2
n +
21mn2
– 11n3
, ¿Cuál es el minuendo?
6. Completa los términos que faltan en las siguientes operaciones:
 - a2
+ 4ab + b2
? + ? + ?
-8a2
+ 2ab + b2
 ? – 18b + ?
? - 23b + ?
14a + ? + 4c

3. MULTIPLICACION DE POLINOMIOS
Podemos pensar en el producto x (x + 4) c0m0 3l área de rectángulo:
X + 4 x 4
X que equivale a: x x2
4x x
El segundo diagrama muestra que x (x + 4) = x2
+ 4x
Usando la propiedad distributiva y las reglas de los exponentes, podemos multiplicar cualquier
polinomio por un monomio, ya sea horizontal o verticalmente.
Ejemplo:
Multipliquemos -2x (5x2
+ 2x – 3).
Solución 1:
Aplicando la propiedad distributiva y la ley de los exponentes an
x am
= an+m
:
-2x (5x2
+ 2x – 3) = -2x(5x2
) – 2x(2x) – 2x (-3) = -10x3
– 4x2
+ 6x
Solución 2:
Multiplicando verticalmente:
5x2
+ 2x - 3
X - 2x
-10x3
– 4x2
+ 6x
Ejemplo
Efectuar (3x2
+ 2x – 1) (5x3
+ 4x2
– 7x + 2)
Solución
Multiplicamos el primer factor por cada término del segundo factor, lo cual indicamos como:
(3x2
+ 2x – 1) (5x3
) + (3x2
+ 2x – 1 )(4x2
) +(3x2
+ 2x – 1 )(-7x) + (3x2
+ 2x – 1)(2)

4. Y luego realizamos el producto de cada monomio por el polinomio:
(15x5
+ 10x4
– 5x3
) + (12x4
+ 8x3
– 4x2
) +(-21x3
– 14x2
+ 7x) + (6x2
+ 4x – 2)
Luego reducimos los términos semejantes y obtenemos:
15x5
+ 22x4
– 18x3
– 12x2
+ 11x – 2
Otro método: se escriben los polinomios en forma vertical, ordenados en el mismo sentido:
5x3
+ 4x2
– 7x + 2
X 3x2
+ 2x - 1
15x5
+ 12x4
– 21x3
+ 6x2
+10x4
+ 8x3
– 142
+ 4x
- 5x3
– 4x2
+ 7x - 2
15x5
+22x4
- 18x3
- 12x2
+ 11x - 2
1. Encuentra el factor perdido en cada caso:
a. 9y3 = (3y) (?)
b. 72k3 g5 = 12k2g3 (?)
c. 15pq4 = 3pq (?)
d. 15b7 (?) = 30b11
e. 75a6b5 = (ab)3 (5a)2 (?)
f. 36r5s7 = (2r3s) (6s4) (?)
2. Efectúa las siguientes multiplicaciones entre polinomios:
a. 5x4 – 7x3 + 9x2 -6x + 16 por 4x – 9.
b. 2m3 + 4m2n – 6mn2 – 5n3 por 3m4.
c. (x – 3) (x – 3) (x – 3)
d. (2x + 1) (x + 1)
e. (6x – 1) (6x + 1)

5. 3. Completa los términos en la siguiente multiplicación de polinomios:
6m4 – 5m3n – 4m2n2 + 3mn3
4m3n + 3m2n2 – 5mn3
24m? – 20m?n? - 16m?n? + 12m?n?
+ 18m?n? - 15m?n? - 12m?n? + 9m?n?
- 30m?n? + 25m?n? + 20m?n? - 15m?n?
24m?n? - 2m?n? - 61m?n? + 25m?n? + 29m?n5 - 15m?n?
4. Considera los polinomios m(x) = 6; n(x) = 2 + x2; t(x) = 6x – 2 ; w(x) = -2.
Calcula:
a. m(x) x n(x)=
b. m(x) x n(x) + m(x)=
c. [ 𝑡( 𝑥) − 𝑛( 𝑥)] 𝑥 𝑤( 𝑥) =
d. [ 𝑡( 𝑥) − 𝑛( 𝑥) + 𝑤( 𝑥)] 𝑥 𝑚( 𝑥) =
e. [ 𝑚( 𝑥) 𝑥 𝑛( 𝑥)] 𝑥 𝑡( 𝑥) =
5. Escribe una expresión para el área de cada región sombreada de verde.
Observa el ejercicio resuelto:
El rango del rectángulo es igual a 4 radios (4r), y la anchura es igual a la
longitud de 2 radios (2r).
r r

6. área verde = A = área del rectángulo – (2 x área del circulo)
=(4r x 2r) - 2πr2 = 8r2 - 2πr2
a.
r
b. r
r
4r
c.
4r
6. Lee y observa algunas de las aplicaciones de los polinomios y sus aplicaciones.
a. En un terreno rectangular de un parque se van a instalar juegos infantiles, cada
uno ocupara un área triangular con las medidas mostradas. El área de cada
juego ya incluye espacio para que los niños caminen alrededor de ellos.

7. X + 4 2
¿Cuál es el área del parque?
Describe una forma de determinar cuántos juegos del tamaño descrito caben en el parque y
que parte del área de él sobra después de haber instalo los juegos.
b. En fisca hay numerosas aplicaciones de los polinomios. Por ejemplo, se
obtiene un polinomio al aplicar la siguiente expresión (la cual se utiliza para
describir el movimiento de un cuerpo lanzado hacia arriba), a la casa de un
cohete que se va poner en órbita:
1
2
𝑚𝑣2
+ 𝑚𝑔ℎ =
1
2
𝑚𝑣0
2
En esta expresión, m s la masa del cuerpo, y v y h son la altura y la velocidad
del cuerpo en cualquier momento, y v0 es la velocidad inicial con la que el
cuerpo es lanzado hacia arriba; g es la aceleración debida a la gravedad.
Si la masa del cohete fuese, por ejemplo 2 000 kilogramos y su velocidad de
salida de 800 m/seg, se tendrá que:
1
2
(2000)𝑣2
+ (2000)(9,8)ℎ =
1
2
(2000)(800)2
Que se reduce a: v2
+ 19,6h =640 000
¿de qué grado es el polinomio con respecto a la variable v?
¿y con respecto a la variable?
c. Calcula el volumen del siguiente solido:
X+3
X+1

8. Recursos:
 https://www.youtube.com/watch?v=bTfqiCA5K90
 https://www.youtube.com/watch?v=_NS3U2nwk0g
 https://www.youtube.com/watch?v=F7gefSEtK2U
 https://www.youtube.com/watch?v=992YbPARsMM
 https://www.youtube.com/watch?v=0S75cyRa3EY&list=PL9SnRnlzoyX1sF5fX83CleyK_SATfbhia&index=97
 https://www.youtube.com/watch?v=q0S0wOgsaDY&list=PL9SnRnlzoyX1sF5fX83CleyK_SATfbhia&index=98
 https://www.youtube.com/watch?v=iv-g46mJfxk&list=PL9SnRnlzoyX1sF5fX83CleyK_SATfbhia&index=99
 https://www.youtube.com/watch?v=Gy_Jfvd3kqk&list=PL9SnRnlzoyX1sF5fX83CleyK_SATfbhia&index=100
 https://www.youtube.com/watch?v=ncrT59WH50Q&list=PL9SnRnlzoyX1sF5fX83CleyK_SATfbhia&index=101
 https://www.youtube.com/watch?v=5kBrlUSisAg&list=PL9SnRnlzoyX1sF5fX83CleyK_SATfbhia&index=104
 https://www.youtube.com/watch?v=V7wERi1bygo