variables estadisticas

1. VARIABLES ALEATORIAS:
Son las funciones que adjudican eventos posibles a números reales cuyos valores
se miden en experimentos al azar que desarrollados bajo las mismas condiciones
pueden ofrecer resultados diferentes; por ejemplo al arrojar una moneda al aire para
observar si sale cara o sello, permite ofrecer una descripción de la probabilidad de
adoptar ciertos valores.
LANZAR UNA MONEDA
Las variables aleatorias se dividen en discretas (VAD) y continuas (VAC):
Las VAD, son aquellas cuyo rango está formado por una cantidad finita de
elementos o que sus elementos pueden enumerarse de manera secuencial, por
ejemplo si una persona lanza un dado tres veces, los resultados corresponden a
una VAD, ya que pueden obtenerse valores del uno al seis.
LANZAR UN DADO
Las variables aleatorias continuas, (VAC), son aquellas que vinculan a un recorrido
o rango que abarca, por lo menos en teoría, la totalidad del espacio aunque solo
sea accesible una cierta cantidad de valores, por ejemplo: la cantidad de todos los
niños que estudian en el colegio San Pedro que se llamen José.

2. ESTUDIANTES DEL COLEGIO SAN PEDRO
FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN ACUMULADA
Esta es la probabilidad de que una variable aleatoria real X, sujeta a cierta ley de
distribución de probabilidad se sitúe en la zona de valores menores o iguales a X,
un ejemplo de esto es: en una fábrica de salsas, la probabilidad de que una lata de
salsa kétchup seleccionada aleatoriamente tenga un peso de llenado entre 11,5
onzas y 12,5 onzas, es la función de distribución acumulada a 12,5 menos la función
de distribución acumulada a 11,5 es aproximadamente 0,954.
ESPERANZA MATEMATICA DE UNA VARIABLE ALEATORIA:
Es también conocida como el valor esperado, media poblacional o media, es la
suma del producto de la probabilidad de cada suceso por el valor de dicho evento,
el nombre tiene su origen en los juegos de azar y hace referencia a la ganancia
promedio esperada por un jugador cuando hace un gran número de apuestas, en
el caso de que la esperanza matemática de un valor cero, se concluye que el juego
es equitativo, es decir, no existe ventaja, ni para el jugador ni para la banca, como
ejemplo tenemos: si una persona compre una rifa cuyo primer premio es de Bs.
5.000 y un segundo premio de Bs. 2.000, con probabilidades de 0,001 y 0,003,
¿Cuál sería el precio justo a pagar por el ticket?.
E(x) = 5.000 * 0,001 + 2.000 * 0,003 = Bs. 11.
Aquí aún no se ha determinado el número de tickets, este valor de Bs. 11 representa
en base a la probabilidad de ocurrencia de los eventos descritos, el “punto de
equilibrio” donde no hay ventaja ni para el vendedor de la rifa ni para el jugador,
esto permitirá hacer un tiraje de boletos que le de “cierta ventaja al vendedor”.

3. Si la variable aleatoria es discreta se resuelve como la suma de los productos de la
función variable por la probabilidad de ocurrencia, por otro lado si la variable
aleatoria es continua se resuelve por la integral del producto de la función variable
por la probabilidad de ocurrencia del evento.
PROBABILIDADES DE E(X) Y VAR(X).
El valor esperado o esperanza es un parámetro muy importante que describe una
variable aleatoria; se interpreta físicamente como el centro de masa o el centro de
gravedad de la distribución de la probabilidad por lo que es igual a la media o
promedio aritmético.
La varianza de una variable aleatoria es una medida de la dispersión definida como
la esperanza del cuadrado de la desviación de dicha variable respecto a su medida;
existen dos aspectos que caracterizan de forma simple el comportamiento de la
distribución de la probabilidad porque proporcionan una descripción completa de la
forma en que se comporta la medida de la tendencia central y la de la dispersión,
conocida también como desviación estándar, evalúa la dispersión de la
distribución de la probabilidad o grado de separación del promedio los valores de la
variable aleatoria X como ejemplo si consideramos la distribución de probabilidad
de las ventas semanales de unidades de alta fidelidad de la marca A, dadas en la
tabla:
X = xi 0 1 2 3 4 5
f(x) 0.1 0.1 0.2 0.3 0.2 0.1
Encontrar la varianza y la desviación estándar.
Basándonos en la distribución de probabilidad podemos construir la tabla
siguiente, en la cual obtenemos todos los valores que se necesitan para el cálculo.
X = xi 0 1 2 3 4 5 Total
f(x) 0.1 0.1 0.2 0.3 0.2 0.1 1
x f(x) 0 01 0.4 0.9 0.8 0.5 2.7
x2 f(x) 0 0.1 0.8 2.7 3.2 2.5 9.3

4. Podemos observar que:
E(X) = å xi f(xi) = 2.7 y que E(X2) = å x2
f(x) = 9.3
por lo tanto, la varianza es:
σ2
= VAR(X) = E (X
2
) - µ2 =
9,3-(2,7)2
= 2,01
y la desviación estándar:
σ = 2,01 ½
= 1,42
FUNCION GENERADORA DE MOMENTOS:
En estadística se presenta la necesidad de deducir la distribución de probabilidad
de una función de una o más variables, es decir, si se conoce la distribución de una
variable aleatoria y se tiene otra que es función de la anterior, se podrá deducir la
distribución de dicha variable, este es uno de los campos de aplicación de la función
generadora de momentos y permite llegar a conclusiones con respecto a la
distribución de sumas de variables independientes, en la mayoría de los casos, las
investigaciones estadísticas arrojan un conjunto grande de datos; esta magnitud no
permite obtener la información solicitada, de allí que sea necesario sustituir estos
datos por unas pocas cantidades que representen adecuadamente ese conjunto,
esas cantidades se expresan en forma de momentos, estos se definen como
potencias de los desvíos de los valores de una serie en relación a un valor arbitrario
de los mismos valores, que bien puede ser la media aritmética; existen “n”
momentos, sin embargo, desde el punto de vista práctico, se utilizan solo los cuatro
primeros momentos (1°,2°,3° y 4°).
El momento de orden n con respecto a un origen general se expresa por la formula
Mn= ∑(X-a)n
/N
es decir, por el cociente de la suma de las potencias de orden n de los desvíos de
los términos de la serie con respecto a un origen arbitrario (a) entre el número de
datos de la serie.
MEDIA, MEDIANA, MODA Y PERCENTIL DE UNA VARIABLE ALEATORIA
Considerando un conjunto finito de números, la media es el valor característico de
una serie de datos cuantitativos objeto de estudio que parte del principio de la

5. esperanza matemática o valor esperado, se obtiene a partir de la suma de todos
sus valores dividido entre el numero de sumandos.
FORMULA GENERAL DE LA MEDIA
FORMULA SIMPLIFICADA DE LA MEDIA
ILUSTRACIÓN DE UN PROMEDIO
MEDIANA:
Es el valor que ocupa el lugar central de todos los datos cuando estos están
ordenados de menor a mayor, se representa por Me, se puede hallar solo para variables
cuantitativas.
La mediana se calcula ordenando los datos de menor a mayor, si la serie tiene un numero impar de
medidas, la mediana es la puntuación central de la misma, por ejemplo: se tiene la serie: 2, 3, 4, 4,
5, 5, 5, 6, 6, se tiene que la mediana es Me=5; si la serie tiene un numero par de
puntuaciones, la mediana es la media entre las dos puntuaciones centrales:
Sea la serie: 7, 8, 9, 10, 11, 12 entonces la mediana es Me = 9,5.
MODO:
Es el valor que más se repite en una distribución de datos, por ejemplo en la serie:
4, 4, 5, 5, 5, 7, 7, 8, 9 la moda es 5 ya que es el valor que más se repite.

6. PERCENTIL DE LA DISTRIBUCION DE UNA VARIABLE ALEATORIA:
El percentil p de una variable aleatoria X, es el número más pequeño, que se
denomina xu, que cumple que:
p = P {X ≤ xu} = F (xu)