Este documento presenta 41 problemas relacionados con la mecánica cuántica y la mecánica estadística. Los problemas abarcan temas como el cuerpo negro, la teoría cuántica, el efecto fotoeléctrico, el efecto Compton y la longitud de onda de de Broglie. Los problemas incluyen cálculos de longitudes de onda, energías, momentos lineales y otras cantidades físicas relevantes para cada tema.

1. PROBLEMAS DE MECÁNICA CUÁNTICA Y
MECÁNICA ESTADÍSTICA
CBRE/FJRP
PROBLEMAS PARA EL CURSO DE MECÁNICA CUÁNTICA Y MECÁNICA
ESTADÍSTICA
CUERPO NEGRO
1. ¿Cuál es la longitud de onda correspondiente al máximo de radiancia
espectral del cuerpo negro a 300o
K? Determinar intensidad de radiación
para esta longitud de onda.
2. Un cuerpo negro está a una temperatura de 1000o
K ¿Cuál es la radiancia
en la región visible de 4000 Å a 4100 Å (suponer que R(v) es constante en
este intervalo de longitudes de onda)?
3. Determine:
a. ¿A qué longitud de onda emite el cuerpo humano su radiación
térmica máxima? ¿Qué hipótesis está suponiendo para dar una
respuesta?
b. Calcule la radiancia a la temperatura normal (36°C).
c. ¿En qué porcentaje cambian estos valores cuando una persona está
enferma y su temperatura cambia a 40°C)?
4. Considere que el sol se comporta como un cuerpo negro, y que se mide su
espectro de radiación obteniéndose el valor máximo de intensidad para una
longitud de onda λmax igual a 5100 Å:
a) ¿Cuál es la temperatura de la superficie solar?
b) Grafique el espectro de radiación solar utilizando el modelo de Rayleigh-
Jeans y el modelo de Planck. ¿Es compatible el modelo de Rayleigh-
Jeans con la Ley de Stefan-Bolzmann? ¿y la de Planck?
c) Sabiendo que la radiación visible tiene un ancho de banda de 3500 Å,
centrado en 5700 Å, calcular que fracción de la potencia total radiada
corresponde a la parte visible del espectro.
d) Calcular el valor de la radiancia de la luz emitida por la luz del sol
cuando la longitud de onda es 602.5 nm
e) ¿Por qué el sol se ve amarillo, si como emite en muchas longitudes de
onda?
f) Sabiendo que el diámetro solar mide 1.4x109
m, y que la radiación solar
tarda aproximadamente 8 minutos en llegar a la Tierra, calcular la
radiación solar promedio que incide sobre la Tierra.

2. PROBLEMAS DE MECÁNICA CUÁNTICA Y
MECÁNICA ESTADÍSTICA
CBRE/FJRP
5. ¿De qué color se verá un cuerpo negro que se encuentra a una
temperatura de 9000 0
K?
TEORIA CUANTICA
6. ¿Cuál debería ser el orden de magnitud de la constante de Planck para que
los efectos cuánticos sean apreciables cotidianamente? ¿Qué significa "que
sean apreciables"?
7. Determine:
a. La longitud de onda,
b. la energía,
c. el momento lineal de los fotones y
d. el número promedio de fotones emitidos por unidad de tiempo de la
estación que usted acostumbre a escuchar. (Si no conoce la
potencia de transmisión, considere que ésta es de 5x103
W)
8. ¿Cuánta energía transporta un fotón de luz roja (λ = 650 nm) ?. ¿Cuánto
vale su momento lineal?
9. ¿Cuál es la longitud de onda de un fotón de 2.4 eV? Si la intensidad mínima
de luz que puede percibir el ojo humano es 10 W/m2
, ¿Cuántos fotones por
segundo entran en el ojo a esa intensidad?
10.Una estación de radio emite a una frecuencia de 1 MHz con una potencia
total de 5000 W.
a. ¿Cuál es la longitud de onda de esta radiación?
b. ¿Cuál es la energía (en eV) de los fotones que componen la
radiación? ¿Cuántos fotones se emiten por segundo? ¿Y por ciclo de
oscilación?
c. Un cierto receptor de radio debe recibir 2 µW de potencia de
radiación incidente sobre su antena para proporcionar una recepción
audible. ¿Cuántos fotones de 1 MHz necesita recibir por segundo?
¿Y por ciclo de oscilación?

3. PROBLEMAS DE MECÁNICA CUÁNTICA Y
MECÁNICA ESTADÍSTICA
CBRE/FJRP
EFECTO FOTOELECTRICO
11.Se coloca una placa de potasio (K) muy grande a 1 metro de distancia de
una fuente luminosa cuya potencia es 1 W. Suponga que la energía
luminosa viaja en forma de onda plana y se esparce uniformemente sobre
la placa desde el punto de vista clásico; supóngase, además, que un
electrón perteneciente a la placa recibe la energía, de un área circular de
tamaño similar a un radio atómico (~1Å). La energía necesaria para extraer
a un electrón de la superficie del potasio es de ~2.1 eV. ¿Cuánto tiempo le
tomaría a este blanco absorber la cantidad de energía necesaria para
extraer al electrón?
12.La energía de arranque fotoeléctrico del potasio es 2eV. Suponiendo que
sobre él incide luz de 3.6×10-7
m de longitud de onda, hallar:
a. La diferencia de potencial que detiene a los fotoelectrones.
b. La energía cinética y la velocidad de los electrones más rápidos
liberados.
13.La energía necesaria para extraer un electrón del sodio es 2.3 eV.
a. ¿El sodio presentará efecto fotoeléctrico para luz amarilla con
λ=5890 Å?
b. ¿Cuál es la longitud de onda de umbral para emisión fotoeléctrica del
sodio?
14.La energía necesaria para desprender un electrón de sodio metálico es de
2.28 eV.
a. ¿Muestra el sodio un efecto fotoeléctrico bajo luz roja (λ = 678 nm)?
¿Por qué?
b. ¿Cuál es la longitud de onda de corte de la emisión fotoeléctrica del
sodio?
15.Un haz de fotones de 300 nm arranca fotoelectrones de una lámina de Litio
cuya función trabajo es 2.13 eV,
a. ¿Cuál será el potencial de frenado?
b. ¿Cuál es la velocidad de los fotoelectrones?
16.¿Es posible arrancar electrones de un metal alcalino bombardeando con
microondas (λ~10 cm)? (Investigue la función de trabajo típica de los
metales alcalinos)

4. PROBLEMAS DE MECÁNICA CUÁNTICA Y
MECÁNICA ESTADÍSTICA
CBRE/FJRP
17.El potencial de frenado para fotoelectrones emitidos desde una superficie
iluminada con luz de longitud de onda 4910
0
A es 0.71 V. Cuando se
cambia la longitud de onda incidente se encuentra que el potencial de
frenado es 1.43 V. ¿Cuál es la nueva longitud de onda? ¿Cuánto vale la
función trabajo del metal?
18.En la teoría de Einstein del efecto fotoeléctrico está implícito el hecho de
que los electrones se encuentran ligados a los núcleos atómicos del sólido.
De allí que al plantear la conservación de la energía al producirse el efecto
fotoeléctrico aparezca la función trabajo. ¿Puede producirse efecto
fotoeléctrico en el caso de electrones libres? Justifique.
19.Una placa metálica aislada emite fotoelectrones cuando se la ilumina con
luz ultravioleta, pero al cabo de un cierto tiempo cesa su emisión. Explicar.
20.La función trabajo del Litio es 2.13 eV. Si un haz de luz con λ=500nm
arranca 1010
electrones por segundo hacer una gráfica de la corriente de
fotoelectrones como función de la diferencia de potencial entre cátodo y
ánodo indicando el valor del potencial de frenado y la corriente de
saturación. ¿Y si la luz hubiera sido de menor longitud de onda?
21.Un haz ultravioleta de 0.35 mW incide sobre una superficie fotosensible.
Ésta emite electrones, los cuales son recolectados y se les hace circular por
un circuito eléctrico. Calcular la intensidad de la corriente eléctrica sabiendo
que la frecuencia de la radiación es de 8.6×1015
Hz, y que la relación entre
el número de electrones emitidos y el número de fotones incidentes
(rendimiento fotoeléctrico η) es de 10-6
.
22.Las longitudes de onda típicas de los fotones que producen efecto
fotoeléctrico en los metales, cuyas funciones trabajo son del orden de 1 o
2eV, van desde 3000 Å a 6000 Å. ¿Cuáles son sus energías? Estimar el
valor de la energía cinética típica de los fotoelectrones.
23.En un experimento fotoeléctrico se utilizan dos fuentes luminosas para
determinar la función de trabajo de una superficie. Cuando se utiliza luz
verde (λ=5461 nm) de una lámpara de mercurio, se observa que el
potencial de frenado requerido es 0.376 V. En base a esta medición,
determine:
a. La función de trabajo del metal y
b. La energía cinética de los electrones y su velocidad cuando se. utiliza
luz amarilla (λ=587.5nm) proveniente de un tubo de descarga de
helio.

5. PROBLEMAS DE MECÁNICA CUÁNTICA Y
MECÁNICA ESTADÍSTICA
CBRE/FJRP
24.Una fuente de radiación ultravioleta de 40 W de potencia y de longitud de
onda de 248 nm ilumina una superficie de magnesio, cuya función de
trabajo es 3.68 eV. Hallar el número de fotones emitidos por la fuente por
segundo.
a. Calcular la energía cinética de los electrones y
b. Determinar la longitud de onda mayor para la cual el efecto
fotoeléctrico puede ser observado en la superficie de magnesio.
EFECTO COMPTON
25.¿A través de qué ángulo debe ser dispersado un fotón de 300 keV por
medio de un electrón libre de modo que pierda 10% de su energía? ¿Cuál
es la energía que se le proporciona al electrón?
26.Un fotón de rayos X de energía inicial 1.0×105
eV que viaja en la dirección
positiva del eje x incide sobre un electrón libre y en reposo. El fotón es
dispersado a un ángulo recto en la dirección positiva del eje y. Encontrar las
componentes del momento lineal del electrón.
27.Un fotón de rayos X de 6.2 keV que incide sobre un trozo de carbono es
dispersado por una colisión Compton y su frecuencia cambia en 1%:
a. ¿Cuál es ángulo de dispersión del fotón?
b. ¿Cuánta energía cinética se le proporciona al electrón?
28.Un fotón de frecuencia 3×1018
Hz es dispersado por efecto Compton por un
electrón inicialmente en reposo. Después de la colisión, el electrón se
mueve en la dirección que tenía la onda incidente:
a. Encontrar la longitud de onda del fotón dispersado.
b. ¿Cuál es la energía del electrón dispersado?
29.En un experimento Compton la longitud de onda del fotón incidente es
1.3249Å, mientras que la del fotón dispersado es 1.3461Å:
a. ¿En qué ángulo se dispersó el fotón?,
b. ¿Y el electrón?,
c. ¿Cuál es la energía cinética del electrón dispersado?

6. PROBLEMAS DE MECÁNICA CUÁNTICA Y
MECÁNICA ESTADÍSTICA
CBRE/FJRP
30.¿Por qué es prácticamente imposible observar el efecto Compton
empleando luz visible con electrones?
31.En una dispersión Compton se observa la onda dispersada a 90°. Se la
longitud de onda incidente es de λ=0.709 Ǻ ¿Cuál será la longitud de onda
de de Broglie de los electrones dispersados?
32.Un fotón de 0.01 nm es dispersado por un electrón libre. ¿Para qué ángulo
de dispersión, el electrón tiene una energía cinética igual a la energía del
fotón dispersado?
33.Determine la longitud de onda del fotón incidente en un experimento
Compton, que es capaz de imprimir a un electrón inicialmente en reposo,
una energía cinética, Kmax, igual al doble de su energía en reposo.
34.Hallar la energía y la longitud de onda de un fotón, que puede imprimirle a
un electrón libre y en reposo un máximo de 60 KeV de energía en un
experimento Compton.
LONGITUD DE ONDA DE D’BROGLIE
35.¿Cuál es la longitud de onda de D’Broglie de una célula sanguínea cuya
masa es de 10-11
gr. y se mueve con velocidad de 0.7 cm/s? ¿Cuál debe
ser la energía cinética de un electrón para tener la misma longitud de la
célula sanguínea?
36.a) ¿Cuál es la longitud de onda de D’ Broglie de una pelota de tenis de 100
gr. que se mueve a una velocidad de 10 m/s? ¿Cuál debe ser la energía
cinética de un electrón para tener la misma longitud de onda de la pelota de
tenis?
37.¿Cuál es la longitud de onda asociada a un electrón que se mueve con una
velocidad de 3.109 cm s-1? Si toda su energía cinética se transformara en
un fotón ¿cuál sería la longitud de onda de ese fotón?
38.Calcúlese la longitud de onda asociada a las siguientes partículas:
a. Electrón acelerado por una diferencia de potencial de 100 V
b. Electrón acelerado por una diferencia de potencial de 10.000 V
c. Protón lento acelerado por una diferencia de potencial de 100 V
d. Bala de fusil de 5 g de masa y 400 m/s de velocidad

7. PROBLEMAS DE MECÁNICA CUÁNTICA Y
MECÁNICA ESTADÍSTICA
CBRE/FJRP
39.Una partícula alfa (m = 6.64 x 10-27
Kg) emitida en el decaimiento radiactivo
del uranio 238 tiene 4.20 MeV de energía. ¿Cuál es su longitud de onda de
D´Broglie?
40.Considerar una pequeña partícula de radio r = 10-4
cm y de densidad δ = 10
g/cm3
, que se mueve con una velocidad v = 1 cm/s:
a. Calcular el valor del momento lineal p.
b. Calcular la longitud de onda de D´Broglie. (comparar el resultado con
las dimensiones características de un átomo)
c. Repetir el cálculo a) y b) para un electrón de energía cinética T = 100
eV.
41.Ordenar de menor a mayor las siguientes longitudes de onda de D`Broglie:
a. un electrón acelerado con 1 V.
b. un sándwich de milanesa viajando a
2
c
c. un electrón acelerado con 100 MV.
PRINCIPIO DE INCERTIDUMBRE DE HEISENBERG
42.Se utiliza una fuente de luz para determinar la posición de un electrón en un
átomo con una precisión de .05 nm ¿cuál es la incertidumbre en el
momento lineal del electrón?
43.Se determina la posición de un electrón con una indeterminación de 0.1 Å.
Hallar la indeterminación en el momento lineal. Si la energía cinética del
electrón es del orden de 1 keV estimar la indeterminación en la energía.
44.Una bala de 50 gr. de masa se mueve con una rapidez de 30 m/s. si la
rapidez se mide con una exactitud de 0.1% ¿cuál es la incertidumbre
mínima en la posición?
45.Un protón tiene una energía cinética de 1 MeV. Si su cantidad de
movimiento se mide con una incertidumbre de 5% ¿cuál es la incertidumbre
mínima en la posición?
46.La posición de un electrón se conoce con una exactitud de 10-8
cm ¿cuál es
la incertidumbre mínima en la velocidad del electrón?

8. PROBLEMAS DE MECÁNICA CUÁNTICA Y
MECÁNICA ESTADÍSTICA
CBRE/FJRP
47.¿Cuáles son los postulados de D´Broglie?
48.¿Cuál es la longitud de onda de D´Broglie de un electrón cuya energía
cinética es 100eV? ¿Conoce algún dispositivo en el que los electrones
alcancen dicho valor de energía cinética?
49.Si ∆t es la vida media del electrón en un estado de energía, la probabilidad
de emisión espontánea por unidad de tiempo será A = 1/ ∆t. Si el ancho
natural de línea (incertidumbre en frecuencias) de la radiación emitida es
∆ν= 20MHz, hallar la probabilidad de emisión espontánea A.
50.El truco favorito de Johny Jumper de 75 kg es salir por la ventana del piso
16 de un edificio y dejarse caer hacia una piscina que se encuentra 50 m
abajo. Un reportero toma una fotografía de Jonhy justo antes de entrar al
agua utilizando un tiempo de exposición de 5 ms. Determine: A) la longitud
de onda asociada al movimiento de Jonhy al momento de llegar al agua. B)
La incertidumbre en la medición de la energía durante el periodo de
exposición de la fotografía y C) El porcentaje de error en la medición de la
energía respecto a la energía cinética de Johny. Tip: Considere caída libre.
51.A) Considere un protón tiene una energía cinética de 1 Mev. Si su cantidad
de movimiento se mide con una incertidumbre de 5% ¿cuál es la
incertidumbre mínima en la posición y en la velocidad? B) Repita los
cálculos para un electrón. C) Dé sus comentarios.
52.Si se aceleran electrones con una diferencia de potencial 54 eV, ¿cuál es la
longitud de onda de De Broglie correspondiente? (c) ¿Qué hubiese pasado
si el voltaje aplicado era de 30 V?
ECUACIÓN DE SCHROEDINGER
53.Un electrón tiene la siguiente función de onda






=
L
x
sen
L
)
x
(
π
ψ
2
2
0 < x < L
encontrar la probabilidad de localizar a un electrón entre x = 0 y x = L/4.
54.Resolver la ecuación de Schrödinger para una partícula sometida a un
potencial escalón

9. PROBLEMAS DE MECÁNICA CUÁNTICA Y
MECÁNICA ESTADÍSTICA
CBRE/FJRP
0
( )
0 0
o
E x
V x
x
<

= 
>

a) Analizar las funciones de onda de una partícula que se mueve desde la
derecha hacia la izquierda con energía: a) mayor que E0 y b) menor que E0.
c) Repetir el ejercicio para una partícula que se mueve de izquierda a
derecha con energía mayor que E0.
55.Encontrar las funciones de onda para una partícula de energía E que se
encuentra en presencia del siguiente potencial:
0
0 | |
( )
| |
x a
V x
V x a
<

= 
>

Considerar los tres casos: E < V0, E > V0 y E = V0.
56.La ecuación de Schrödinger independiente del tiempo carece de
coeficientes imaginarios. ¿Significa esto que Ψ(x) debe ser real?
57.¿Cuál es la conexión básica entre las propiedades de la función de onda y
el comportamiento de la partícula asociada?
58.Si una partícula no está ligada en un potencial, su energía total no está
cuantizada. ¿Esto significa que el potencial no tiene efecto en el
comportamiento de la partícula? ¿Qué efectos esperaría usted que tuviera?
59.De modo semejante a la ecuación de ondas clásica, la ecuación de
Schrödinger es lineal. ¿Por qué resulta esto importante? ¿Que pasaría si la
solución no fuera única?
60.Plantee la ecuación de Schroedinger en cada región, resuelva y plantee las
ecuaciones de continuidad para el potencial que se muestra en la figura.

10. PROBLEMAS DE MECÁNICA CUÁNTICA Y
MECÁNICA ESTADÍSTICA
CBRE/FJRP
61.¿A qué se llama efecto túnel?
62.Un electrón con energía 0
2V se mueve sobre una barrera de potencial de
altura 0
V como se muestra en la figura ¿Cuál es la relación de la longitud de
onda de D´Broglie, del electrón en la región x L
> entre la longitud de onda
para 0 x L
< < .
63.Un electrón este sujeto a un potencial
( )
0 0
5 0
x
V x
eV x
<

= 
>

Si la energía total del electrón es de 8 eV . Calcular la longitud de onda de
D´Broglie en 0
x <
64. Un fotón con una longitud de onda
0
5A
λ = es absorbido por un electrón
confinado a un pozo de potencial. En consecuencia, el electrón se mueve
del estado 1
n = al estado 4
n = a) Encontrar la longitud del pozo, b) ¿Cuál
es la longitud de onda del fotón emitido en la transición de ese electrón al
estado 2
n = ?

11. PROBLEMAS DE MECÁNICA CUÁNTICA Y
MECÁNICA ESTADÍSTICA
CBRE/FJRP
PARTICULA EN UNA CAJA
65.Calcular el valor esperado del momento lineal de una partícula que se halla
dentro de una caja de longitud L, si su función de onda es
( )
2
n
n x
x sen
L L
=
π
ψ
66.Un electrón en un pozo de potencial infinito localizado entre 0 < x < L tiene
la siguiente función de onda
2 x
( x ) sen
L L
π
ψ
 
=  
 
Encontrar el valor de V(x) si la energía de la partícula es
2 2
2
2
E
mL
π
=

.
67.Para una partícula sometida a un pozo infinito de potencial, hallar las
funciones de onda correspondientes a los dos primeros niveles de energía.
Luego, para estos mismos niveles de energía, hallar el valor esperado de la
posición x
< > y del impulso p
< > de una partícula de masa m que se
encuentra dentro del pozo.
68.Bajo condiciones cuánticas: a) ¿A qué potencial consideraría sometida a
una persona de 100 kg confinada en un armario de 1 m de largo? b) Si la
persona se mueve con una velocidad de 10-4
m/s. ¿cuál sería su número
cuántico?
69.Un electrón en un estado excitado de un pozo infinito puede emitir fotones
cuando decae a niveles inferiores. Considerando solamente transiciones en
∆n = ±1, mostrar que las frecuencias de dichos fotones son:
2 1
,
n
h
υ
+
= donde n=1, 2, ... y
2 2
2
2
o
E
ma
π
=

70.Un electrón dentro de un pozo infinito está en el tercer nivel
excitado: ( ) ( )
4 2 / 1/ 2 4 / .
a sen x a
χ π
= ¿Cuál es la probabilidad de encontrarlo
en la región entre x = 0 y ( ) ( )
4 2 / 1/ 2 4 / .
a sen x a
χ π
= x = a/4? Responder la
pregunta a) Gráficamente. b) calculando la integral correspondiente:
( )
0 / 4
P x a
≤ ≤
71.¿Cuál es la probabilidad de encontrar una partícula en un pozo infinito de
ancho a en una posición / 4
a de la pared si n = 1, 2, 3 (nivel de energía).
Usar las funciones de onda normalizadas:

12. PROBLEMAS DE MECÁNICA CUÁNTICA Y
MECÁNICA ESTADÍSTICA
CBRE/FJRP
/
2
( , ) iEt
n x
x t sen e
a a
π
ψ −
 
=  
 

72.En un pozo infinito unidimensional de ancho 10-14
m se ubican 10
electrones en el estado fundamental. a) ¿Cuál es mínima energía para
excitar 2 electrones? b) ¿Cuánto varió la energía media por electrón del
sistema?
73.Considérese un electrón atrapado en un pozo infinito cuya anchura es de
98.5 pm. Si está en un estado con n = 15, ¿cuál es su energía? y ¿la
longitud de onda del fotón requerido para pasar al estado n = 18?.
74.Un electrón en un pozo de potencial infinito localizado entre 0 x L
< < tiene
la siguiente función de onda
2 n x
( x ) sen
L L
π
ψ
 
=  
 
Encontrar la probabilidad de localizar a un electrón entre
4
L
x = y
3
4
L
x = ,
cuando la partícula esta en el 2º. Nivel de energía excitado
75.La función de onda en un pozo de potencial de longitud L y de paredes
infinitas es /
( , ) cos( ) iEt
x
x t A e
a
π −
Ψ = 
. Encontrar el valor de A para la cual la
probabilidad de que la partícula se encuentre en el pozo es igual a uno.
76.Una bola de billar de 700 gr se mueve dentro de una caja tridimensional de
30 cm por cada lado. Desde el punto de vista cuántico, esta situación se
podría estudiar como un pozo de potencial 3D infinito. Calcule los 3
primeros estados de energía que puede tener la persona y en base a su
respuesta diga porque no es posible observar la cuantización de la energía
en el caso macroscópico. Calcule la longitud de onda asociada al
movimiento de la persona cuando está en el estado base y con esta
respuesta diga porque no es posible observar los efectos de la longitud de
onda asociada en el caso macroscópico.
77.Considérese un electrón atrapado en un pozo infinito cuya anchura es de
89.5 pm. Si está en un estado con n = 10, ¿cuál es su energía? y ¿la
longitud de onda del fotón requerido para pasar al estado n = 15?.
78.Puede suponerse, en una primera aproximación, que un electrón en un
orbital molecular de tipo pi, se comporta según el modelo de una partícula
en una caja de potencial, cuya longitud es la del enlace molecular.
Asumiendo que para la molécula de eteno (C2H4) la longitud de enlace C=C
es 1,34 Å,

13. PROBLEMAS DE MECÁNICA CUÁNTICA Y
MECÁNICA ESTADÍSTICA
CBRE/FJRP
a) Calcular la frecuencia de la radiación electromagnética necesaria para
pasar al electrón del enlace pi C=C desde su estado fundamental (n=1) al
primer excitado (n=2)
b) ¿Cuál es la longitud de onda del electrón en el primer estado excitado?
TEORIA DE BANDAS
79.¿Qué es un sólido cristalino? ¿Y un sólido amorfo? Citar distintas clases de
interacción que mantienen a los sólidos cohesionados.
80.Utilizando el concepto de teoría de bandas explicar las siguientes
observaciones: la mayoría de los aislantes son transparentes a la luz
visible, los semiconductores son transparentes a la luz infrarroja pero
opacos a la luz visible, y todos los metales son opacos a la luz para todas
las longitudes de onda.
81.Para T = 300 0
K. Determinar la probabilidad de que un nivel de energía 3KT
arriba del nivel de Fermi este ocupado por un electrón.
82.Para un electrón libre, la relación entre su energía y su momento está dada
por
2
2
p
E
m
=
Como p=ћk, la relación puede ser escrita como:
2 2
2
k
E
m
=

La dependencia de E con k es parabólica. Para un electrón moviéndose en
un potencial periódico de la red de iones, la relación entre E y k es más
complicada. Como vimos, la solución de la ecuación de Schrödinger para un
electrón moviéndose en un potencial periódico unidimensional consistente
de pozos de potencial equiespaciados resulta la siguiente relación entre E y
k
cos cos
sen d
p d kd
d
γ
γ
γ
+ =
2
po
mE bd
P =


14. PROBLEMAS DE MECÁNICA CUÁNTICA Y
MECÁNICA ESTADÍSTICA
CBRE/FJRP
es una constante, b es la separación entre los pozos, d es la periodicidad de
los pozos, y 2
2 /
mE
γ =  . Esta ecuación no puede ser resuelta
explícitamente para E(k) pero puede ser resuelta numéricamente. Es decir,
tomamos un valor de E, lo reemplazamos en la ecuación y encontramos k.
El procedimiento se repite para otros valores de E. Esta solución numérica
resulta bastante interesante. Hay rangos de E para los cuales k es un
número real. Esos rangos están separados por rangos de E para los cuales
k es imaginario. Esto sucede debido a que el lado izquierdo de la ecuación
es mayor que 1 o menor que –1. Como el lado derecho es cos(kd), y el
coseno de un número real varía entre 1 y –1, k es imaginario para aquellos
valores de E para los cuales el lado izquierdo de la ecuación es mayor que
1 o menor que –1. El momento de una partícula no puede ser imaginario,
por lo tanto, el electrón no puede poseer valores de E para los cuales k es
imaginario. Esto conduce a la existencia de bandas de energía permitidas y
prohibidas en los sólidos.
83.Escribir un programa que permita la obtención de los valores permitidos de
E y los correspondientes valores de k, así como los valores prohibidos de E
(los valores de E que poseen k imaginarios). Esto puede ser hecho
permitiendo que E varíe entre 0 y 200eV en pequeños incrementos. Se
sugiere que en el rango de 0 a 50eV, ∆E = 0.2eV y en el rango 50 a 200eV,
∆E = 1eV.
84.Graficar E en función de k para la primera banda de energía permitida.
¿Existe una relación parabólica entre E y k? Datos:
( )
5
2
P
P
π
= , d = 2Å,
m = 9.1×10-31kg, ћ = 1.05×10-34
Js.
85.Las brechas de energía de algunos haluros alcalinos son KCl = 7.6eV,
KBr = 6.3eV, KI = 5.6eV.
¿Cuál de ellos son transparentes a la luz visible? ¿En qué longitud de onda
resultan opacos?
86.Considerar la densidad de estados ( )
( )
3 2 1 2
3
4 2
/ /
m E
g E
h
π
= para electrones
libres. Hallar la densidad de estados de energía por unidad de volumen con
energías entre 0 y 1 eV.
87.Considere el cobre cuyo nivel de Fermi es 0.7 eV y que la densidad de
estados de energía está dada por ( )
( )
3 2 1 2
3
4 2
/ /
m E
g E
h
π
= . Grafique la

15. PROBLEMAS DE MECÁNICA CUÁNTICA Y
MECÁNICA ESTADÍSTICA
CBRE/FJRP
probabilidad de que un estado de energía esté ocupado ( )
f E y el número
de partículas ( )
N E para 0 ; 300 ; 120
T C T C T C
=
° =
− ° = ° . Compare los
resultados obtenidos para cada temperatura y dé sus conclusiones.
88.¿Cuál es la probabilidad de que un nivel de energía que esta 0.3 eV por
encima del nivel de Fermi esté ocupado cuando la temperatura es 300 0
K?
y ¿Cuál es la probabilidad de que el nivel de energía 0.2 eV por debajo del
nivel de Fermi esté vacío?
89.¿Cuál es la probabilidad de que el nivel de energía 0.05 eV por encima del
nivel de Fermi esté ocupado cuando la temperatura es 362 0
K? y ¿Cuál es
la probabilidad de que el nivel de energía 0.1 eV por debajo del nivel de
Fermi esté vacío?