1. 1
Introducción al tratamiento de datos
Juan Abel Barrio
© José Luís Contreras

2. 2
Enfoque
Intuitivo
(nos falta estadística y tiempo)
Práctico
(queremos trabajar en el laboratorio)

3. 3
Indice
 Medidas.
 Unidades.
 Cálculo de incertidumbres.
 Presentación de resultados.
 Media ponderada.
 Regresión lineal.
 Interpolación.
 Ejercicios

4. 4
Medir
Comparar una cantidad con su respectiva
unidad, con el fin de averiguar cuantas
veces la segunda está contenida en la
primera.

5. 5
Partes de una medida I
Si medimos el largo de una mesa ...
125,634
El resultado podría ser ?
125,634 cm
125,634 ± 17,287 cm
125 ± 17 cm

6. 6
Partes de una medida II
Al medir una mesa podemos obtener
125 ± 17 cm
valor
±incertidumbre
Presentación
unidades

7. 7
Error e incertidumbre I
Muchas veces se cometen errores al medir.
Debemos corregirlos o al menos estimarlos
Xmedido
∆X Xreal
∆X

8. 8
Error e incertidumbre II
Xmedido
∆X Xreal
∆X
Error = Xreal –Xmedido
Xreal ∈(Xmedido −∆X, Xmedido +∆X)

9. 9
Nivel de Confianza
 ∆X depende de lo seguros que queramos estar
 Nivel de confianza = fracción de las veces que
quiero acertar. 99%, 95%...
Xmedido
∆X Xreal
∆X

10. 10
Tipos de medidas
 Medidas directas
 Medidas indirectas
Las anoto de un instrumento
L1, L2
Provienen de aplicar
operaciones a medidas
directas
A = L1 x L2
L1
L2

11. 11
Tipos de errores
 Medidas directas
 Medidas indirectas
• Sistemáticos
•Aleatorios
• Derivados de los anteriores

12. 12
Errores sistemáticos
 Errores sistemáticos
Limitaciones de los aparatos o métodos
• Precisión
• Calibración
731072

13. 13
Errores aleatorios I
 Factores que perturban nuestra medida.
• Suma de muchas causas
• Tienden a ser simétricos.
• Se compensan parcialmente.
• Repetir las medidas.
• Estadística
medidas
Xreal

14. 14
Errores aleatorios II
 Distribuciones
Representamos la frecuencia de sucesos aleatorios.
 Tienden a curvas típicas
Xreal
x x
x
xx x
x
x
x
x
x x

15. 15
Cómo estimar el resultado
 Frente a errores sistemáticos.
 Frente a errores aleatorios.
• Medir correctamente
• Calibrar los aparatos
• Se compensan repetir varias veces la medida
• La media es el valor más probable
∑=
=
n
i
i
n
X
X
1

16. 16
Ejemplo
 Me peso varios días seguidos en iguales condiciones
Día L M X J V
Masa
(kg)
73 72 74 72 73
kgM 8,72
5
)7372747273(
=
++++
=

17. 17
Indice
 Medidas.
 Unidades.
 Cálculo de incertidumbres.
 Presentación de resultados.
 Media ponderada.
 Regresión lineal.
 Interpolación.
 Ejercicios

18. 18
Partes de una medida II
Al medir una mesa podemos obtener
125 ± 17 cm
valor
±incertidumbre
Presentación
unidades

19. 19
Tipos de errores
 Medidas directas
 Medidas indirectas
• Sistemáticos
•Aleatorios
• Derivados de los anteriores

20. 20
Incertidumbre
 Se suele expresar como:
 Se suele descomponer en:
1. Incertidumbre factores sistemáticos:
ΕS1,ΕS2...
Destaca la de precisión
2. Incertidumbre factores aleatorios: ΕΑ
1. Absoluta: ∆X
2. Relativa:
X
X
Er
∆
=
X
X
enEr
∆
=100%

21. 21
Incertidumbre de precisión Es
 En casos sencillos la estimaremos como:
 A veces depende del experimentador
 No es fácil definir su intervalo de confianza
La mitad (?) de la división menor de la escala
Ej: Balanza
No hay reglas sencillas para estimarla
Ej: Cronómetros

22. 22
Incertidumbre aleatoria EA
 Para n medidas
n
n
n
tEA
1
1
−
−
=
σ s = Desviación
típica de las
medidas
Desviación típica
de la media
Factor de cobertura
t de Student

23. 23
( )
( ) ( ) ( ) 1
2
2
13
454443
1
222
1
2
2
1
2
==
−
−+−+−
=
−
−
==
∑=
−
n
xx
s
n
i
i
nσ
3
2
3
543
=
−+−+−
=
xxx
s 0
3
)5()4()3(
=
−+−+−
=
xxx
s
( ) ( ) ( )
3
2
3
543
222
2
=
−+−+−
=
xxx
s
s: la dispersión de los datos
4
Xreal
3 5
4=X
¿Μedir la separación con respecto al valor real ?
No conocemos el valor real
¿Μedir la separación con respecto al valor medio ?
¿Cómo?

24. 24
s: propiedades
 Es la distancia del valor real a la que estará más
probablemente un nuevo dato
ctes n
 → ∞→
 Tiene las mismas unidades que el resultado

25. 25
Dispersión de la media
 SI hiceramos muchos grupos de n medidas...
 La media es más precisa que cualquier dato, los
errores aleatorios se compensan
 Pero despacio ....
 Los errores de precisión no se compensan
n
s
sX
=

26. 26
t de Student
 Ya tenemos y pero el intervalo... es pequeño y
conlleva un nivel de confianza variable multiplicamos por un factor
corrector.
 Si α es el nivel de confianza α = 0,95 p=0.05.
 Para pocas medidas s=σ n-1 se estima mal y el factor es mayor para
compensar.
 ¿Quien fue Student ?
X X
s X
sX =∆
nt
)()1( 444 pttt =−= α

27. 27
Coeficientes tn
n 1 2 3 4 5 10 20 40 ∞
tn
P=0.1
6,31 2,92 2,35 2,13 2,01 1,81 1,72 1,68 1,64
tn
P=0.05
12,7 4,30 3,18 2,78 2,57 2,23 2,08 2,02 1,96
tn
P=0.01
63,6 9,92 5,84 4,60 4,03 3,16 2,85 2,70 2,58

28. 28
t de Student
 Ya tenemos y pero el intervalo... es
pequeño y conlleva un nivel de confianza variable
multiplicamos por un factor corrector.
 Si α es el nivel de confianza
α = 0,95 p=0.05.
 Para pocas medidas s=σ n-1 se estima mal y el factor es
mayor para compensar.
 ¿Quien fue Student ?
X X
s X
sX =∆
nt )()1( 444 pttt =−= α

29. 29
Un poco de Historia:Student
 Inglaterra - Irlanda
 Control de calidad
industrial
 Extraemos un número
pequeño de muestras de
un lote grande.
¿ Representan al producto ?
W. Gosset 1876-1937

30. 30
Ejemplo
 Me peso varios días seguidos en iguales condiciones
Día L M X J V
Masa
(kg)
73 72 74 72 73
kgM 8,72=
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
15
8,72738,72728,72748,72728,7273
22222
1
−
−+−+−+−+−
=−nσ
kgn 837,01 =−σ
78,241 ==− ttn
kgtE n
A 041
5
8370
782
5
1
4 ,
,
, === −σ

31. 31
Incertidumbre total
 Combinaremos las incertidumbres en cuadratura:
 Propiedades
+++Ψ=∆ 2
2
2
1
2
θθX
22
SA EEX +=∆
ASASA
SASASA
EEEEE
EEEEEE
→+>>
+<+<
22
22
,
,

32. 32
Resumen medidas directas
22
SAfinal EEX +=∆
ΕS= Media
división
mínima n
n
n
tEA
1
1
−
−
=
σ
XX final =

33. 33
Ejemplo
 Me peso varios días seguidos en iguales condiciones
Día L M X J V
Masa
(kg)
73 72 74 72 73
kgM 8,72=
kgEA 97,0=
kgES 50,=
kgM 091,15,097,0 22
=+=∆
( ) kgM 091,1800,72 ±=
Presentación
incorrecta !

34. 34
Medidas indirectas I
 Dependen de otras mediantes expresiones
matemáticas
 Ej: Area de un cuadrado = (Lado)2
A = L2
L = 5 ± 1 cm → Α = 25 cm2
, ∆Α= ¿?
 Recordando derivadas...
L
dL
dA
A
L
A
LdL
dA
∆





≅∆⇒
∆
∆
→∆
=
0
lim

35. 35
Medidas indirectas II
 Significado ∆Α, ∆L
 Válido si ∆L pequeño
 Interpretación geométrica
LLAL
dL
dA
∆=∆⇒= 22
∆L
∆L
L
L

36. 36
Medidas indirectas III
 Area de un rectángulo
A = L1 x L2
 L1 conocido perfectamente
 Y si L1, ,L2 inciertos ?
211
2
LLAL
dL
dA
∆=∆⇒=
∆L2
∆L2
L1
L2
L1

37. 37
Medidas indirectas IV
 Errores independiente se
compensan parcialmente
?1221 LLLLA ∆+∆=∆
∆L1 x ∆L2L1 x ∆L2
L2 x ∆L1
L2
L1
( ) ( )2
2
2
21 LLLLA ∆+∆=∆

38. 38
Medidas indirectas V
( ),, 21 XXfY =
+





∆
∂
∂
+





∆
∂
∂
=∆
2
2
2
2
1
1
X
X
Y
X
X
Y
Y
Derivada parcial de Y respecto a X1

39. 39
Derivadas parciales
1X
Y
∂
∂ Como varía Y si varía sólo X1
( ),, 21 XXfY =
EJEMPLOS
zxy 43 +=
32
zxy =
V
M
=ρ
hrV 2
π=

40. 40
Casos simples
21 XXY ±= ( ) ( )2
2
2
1 XXY ∆+∆=∆
XcY ⋅= XcY ∆⋅=∆
21 XXY ⋅= 2
2
2
2
1
1





∆
+




∆
=∆
X
X
X
X
YY
2
1
X
X
Y =
n
XY = X
X
nYY
∆
⋅⋅=∆

41. 41
Ejemplo (casi) completo I
n0
1 2 3 4 5
M (g) 14.3 14.5 14.7 14.4 14.1
Usando una balanza se mide 5 veces la masa de una
esfera de radio r = 1.0 ±0.1 cm. Se pide calcular su
densidad.
V
M
=ρ
1
2
3

42. 42
gEEM AS 282022
.=+=∆
gES 05.0=
ggEA 2780
5
2240
782 .
.
. ==
Ejemplo (casi) completo II
n0
1 2 3 4 5
M (g) 14.3 14.5 14.7 14.4 14.1
Usando una balanza se mide 5 veces la masa de una
esfera de radio r = 1.0 ±0.1 cm. Se pide calcular su
densidad.
gM 400.14=
gM 282040014 .. ±=

43. 43
Ejemplo (casi) completo III
Usando una balanza se mide 5 veces la masa de una
esfera de radio r = 1.0 ±0.1 cm. Se pide calcular su
densidad.
3
3
4
rV π= rrr
r
V
V ∆=





∆
∂
∂
=∆ 2
2
4π
3
3,12,4 cmV ±=
r
r
V
V
E VR
∆
==
∆
= 33.0,

44. 44
Ejemplo (casi) completo IV
Usando una balanza se mide 5 veces la masa de una
esfera de radio r = 1.0 ±0.1 cm. Se pide calcular su
densidad.
?0335,14377,3 3
cm
g
±=ρ
V
M
=ρ
22





∆
+




∆
=∆
V
V
M
M
ρρ

45. 46
1. NO tengo tanta precisión en ∆ρ como
pretendo
2. ¿ Si tengo una incertidumbre de
unidades...Por qué doy diezmilésimas en ρ ?
Presentación de resultados
 Los resultados se presentan redondeados
?0335,14377,3 3
cm
g
±=ρ
3
)0,14,3(
cm
g
±=ρ
?0,14377,3 3
cm
g
±=ρ

46. 47
Cifras significativas
 Cifras significativas 
 Todas salvo los ceros a la izquierda
 Sobreviven a un cambio de notación
 Ejemplos:
c.s.30,670c.s20,67
c.s.3670c.s.267
s.c.310123c.s.30,123
c.s.310123c.s.3123
3-
3
→→
→→
→⋅→
→⋅→

47. 48
Reglas (arbitrarias) de Redondeo
 La incertidumbre se expresa con 2 cifras significativas.
 El valor se expresa con tantos decimales como la
incertidumbre.
 Valor e incertidumbre se expresan con las mismas
unidades y potencia de 10.

48. 49
Comparación de resultados
 Resultados compatibles
 Resultado más preciso.
Review of particle porperties (PDG). Phys. Rev. D 45 Part II (1992) I.11

49. 50
Calculadora

50. 51
Excel