Expresión de las medidas y determinación de la incertidumbre

1. Departamento de Física y Química del IES Pedro Mercedes curso 2009-2010
GUÍA PARA EL TRABAJO EN EL LABORATORIO
Y EXPRESIÓN DE LAS MEDIDAS
CONCEPTOS PREVIOS
1.- Introducción.
Entendemos que cualquier curso de física y química no puede estar completo sin la
realización de trabajos experimentales ya que difícilmente podrá entenderse lo que son las
ciencias empíricas sin un desarrollo de sus métodos habituales y sus aplicaciones, ya sea la
resolución de problemas numéricos, la emisión y comprobación de hipótesis o la realización
de trabajos prácticos en el laboratorio.
La ciencia no es únicamente una cantidad importante y útil de conocimientos, es una
manera de pensar ... y de hacer, una manera de pensar que incluye la necesidad de
comprobar las afirmaciones que se emiten, así como contrastarlas o corregir sus posibles
errores, entre otros métodos, mediante la experimentación.
Cuando necesitamos expresar el resultado de la medición es imprescindible indicar no
sólo su valor sino la “calidad” del resultado de la medición ya que nuestros instrumentos de
medida y los métodos que utilizamos tienen limitaciones, es decir, que existe una
incertidumbre al expresar el resultado de una o varias mediciones, por lo que será necesario
establecer procedimientos para analizar la calidad de nuestras medidas y evaluar y expresar
la incertidumbre.
2.- Errores en las medidas. Tipos y causas
Al hecho de determinar un valor para una magnitud se le denomina medir, lo que
exige la definición de un método o procedimiento de medida. El resultado de una medición es
una aproximación que sólo estará completo si va acompañado de la incertidumbre.
En cualquier medición se producen fallos que dan lugar a errores. Llamamos error a la
desviación entre el valor obtenido y el convencionalmente verdadero y, suele estar
constituido por tres componentes
Los errores sistemáticos son los debidos al mal funcionamiento o calibración de
los aparatos, siempre se producen en el mismo sentido y su efecto se conoce como
“desviación”. Errores sistemáticos son los “errores de cero” de las reglas o cintas
métricas, los debidos a la utilización de un método inadecuado, como el paralaje, o las
alteraciones que el hecho de medir provoca en la medida, como el error cometido al
medir la temperatura de un líquido, debido a la dilatación del vidrio del termómetro.
El tratamiento de estos errores consiste en asegurar el buen funcionamiento de los
aparatos, evitar los métodos inadecuados o calcular las alteraciones del equipo y
corregir las medidas realizadas.
Los errores accidentales o aleatorios son debidos a múltiples factores no
controlables ni predecibles y su tratamiento es estadístico y su efecto se conoce como
“dispersión”.
Los errores de precisión son el resultado de la limitación de los instrumentos de
medida y están relacionados con la medida más pequeña que podemos realizar con
ellos. Con una balanza que aprecie gramos, no podremos medir cantidades menores
Práctica 1. Conceptos básicos y medidas directas e indirectas 1-4

2. Departamento de Física y Química del IES Pedro Mercedes curso 2009-2010
Este error no puede disminuirse a no ser que cambiemos de equipo de medida y lo
único que podemos hacer es indicar su valor.
A la forma de expresar el error se le denomina incertidumbre, consiste en una
combinación de los tres y determinará los límites de validez de nuestra medición, por lo que
tomaremos como valor de la incertidumbre al correspondiente al del grupo que tenga un
valor mayor.
3 Incertidumbre en la medida.
Al resultado de una medición menos el valor convencionalmente verdadero, se le
denomina incertidumbre en la medida, también error de medida o error absoluto.
I a = Vm − Vcv
A la incertidumbre en la medida dividida por el valor verdadero se le asigna el nombre
de incertidumbre o error relativo y puede expresarse en tanto por uno o tanto por ciento.
I medida
I relativo = ;
Vconvencionalmente verdadero
I absoluto
I relativo % = × 100
Vc v
4. Método para la estimación de la incertidumbre en la medición y expresión de las
medidas.
La incertidumbre en la medida es debida a los errores cometidos en el proceso de
medición y para conseguir una buena estimación se debe:
1º. Identificar las fuentes que pueden contribuir a la incertidumbre en la medida.
2º. Calcular la incertidumbre debida a cada componente.
3º. Calcular la incertidumbre combinada de las diferentes medidas.
4º. Expresar el resultado de la medida en la forma:
(medida ± incertidumbre ) unidad
Y siempre utilizar el sentido común en la aplicación de cálculos y normas.
5. Como expresar el resultado de las mediciones.
a) Para expresar el resultado de una única medida directa conviene precisar que
la incertidumbre de la medida viene determinada por el error de precisión del
aparato de medida, teniendo en cuenta que:
i) Si el instrumento es analógico tomaremos como medida de la
incertidumbre la mitad de la apreciación del instrumento de medida. Por
ejemplo al medir 45 mm con una regla graduada en mm, la expresión de la
medida será: 45 ± 0,5 mm
ii) Si el instrumento es digital el error de precisión es la menor magnitud que
podemos determinar. Si medimos 5,1 segundos con un cronómetro que
aprecia centésimas de segundo, la medida sería: 5,10 ± 0,01s
iii) No obstante en muchos instrumentos de medida el fabricante indica la
precisión del mismo.
Práctica 1. Conceptos básicos y medidas directas e indirectas 2-4

3. Departamento de Física y Química del IES Pedro Mercedes curso 2009-2010
b) Siempre que sea posible es preferible realizar varias medidas, pues si
realizamos una única medida normalmente no obtendremos resultados fiables.
En tal caso tomaremos como valor más fiable el valor medio de la las medidas
realizadas:
n
m + m2 + ⋅ ⋅ ⋅ + mn ∑m i
m= 1 = 1
n n
La incertidumbre en la medida debida a errores accidentales o aleatorios es la
desviación standar de una las medidas realizadas.
n
∑ (m − m )2
(m1 − m ) + (m2 − m ) + ....... + (mn − m )
2 2 2 i
ε accidental = = 1
n n
Como puede observarse las expresiones de la medida y de la desviación nos la
proporciona el cálculo estadístico.
Por tanto, tomaremos como valor más fiable de medida, la media aritmética y
como incertidumbre de la medida al valor máximo entre los valores del error de
precisión del aparto y del error accidental calculado.
Valor de la medida = x
Incertidumbre de la medida = máximo(ε precisión , ε accidental )
6. Redondeo
Una vez determinados los valores de la medida y del error es frecuente obtener
resultados de las medidas con un número de cifras superiores a las que podemos apreciar o
valores del error con demasiadas cifras, por lo que será conveniente redondear dichos
valores, utilizando los siguientes criterios:
a) Para redondear utilizaremos las mismas normas que utilizamos habitualmente con
la moneda.
b) La medida y el error deben expresarse en las mismas unidades.
c) Expresaremos el error con una única cifra diferente de cero, salvo cuando la cifra
más significativa sea el 1 que utilizaremos dos cifras.
d) El valor de la medida debe tener la misma precisión que el error, pues no tiene
sentido dar cifras significativas mayores que el error previsto.
Supongamos que al realizar varias medidas de una longitud obtenemos un valor de
45,653 cm y el valor de las incertidumbre es 0,0279 cm, observamos que la cifra más
significativa, diferente de 0 es 2. Si aparece error en las centésimas carece de relevancia el
error en milésimas y cifras sucesivas por lo que redondearíamos medida y error a centésimas
(redondear no quitar cifras) por lo que la expresión correcta sería 45,65 ± 0,03cm .
7. Cálculo de la incertidumbre combinada. La incertidumbre y las expresiones
matemáticas utilizadas en las ciencias:
Lo más usual es que el valor de una magnitud dependa de constantes y una o varias
magnitudes, o que en los experimentos realizados aparezcan varias magnitudes y las
constantes propias de las ecuaciones, entonces surge la pregunta ¿cuál es la incertidumbre
en la magnitud que calculamos al final?.
Práctica 1. Conceptos básicos y medidas directas e indirectas 3-4

4. Departamento de Física y Química del IES Pedro Mercedes curso 2009-2010
Para una suma o diferencia, la incertidumbre combinada se calcula como la raíz
cuadrada de la incertidumbre de los componentes.
Para un producto o un cociente, se aplica a las incertidumbres típicas relativas la regla
anterior.
Por ejemplo en el caso de la determinación del área de una clase que mide 5,90 x
6,70m con una cinta métrica que aprecia centímetros.
1º Expresamos correctamente las medidas: a = 5,92 ± 0,005m y
b = 6,74 ± 0,005m
2º Calculamos el área S = a × b = 5,92 × 6,74 = 39,9008m
2
3º La incertidumbre relativa en cada medida será:
0,005 0, ,005
∆a = = 0,00084m; ∆b = = 0,00074m
5,92 6,74
4º Y, por tanto, la incertidumbre relativa combinada valdría
∆S
S
= (0,00084 2
)
+ 0,00074 2 = 0,0012
5º. Calculamos la incertidumbre de la medida de la superficie
∆S = S ⋅ 0,00119 = 39,9008 ⋅ 0,001119 =0,0475m 2
6º Expresamos correctamente la medida con las cifras adecuadas y redondeando:
S = (39,90 ± 0,05)m 2
Ejercicio nº1. Busca el valor estándar de la aceleración de la gravedad y determina
la incertidumbre de la medida y la incertidumbre relativa al tomar “g” con una cifra
decimal.
Ejercicio nº 2. a) Mide la longitud de la clase, indicando el rango y apreciación de la
cinta métrica y expresa correctamente el resultado de la medición. b) Determina la
temperatura del aula, indicando el rango y apreciación del termómetro y expresa
correctamente el resultado de la medición
Ejercicio nº 3. Expresa adecuadamente el valor de la altura de la clase y determina
la incertidumbre relativa.
Ejercicio nº 4. Expresa correctamente las medidas siguientes y determina el error
relativo:
Medida: 45,3543 cm incertidumbre: 0,047 cm
Medida: 0,96 cm incertidumbre: 2mm
Medida: 0,047 s incertidumbre: 0,018 s
2
Medida: 548,92 cm incertidumbre: 40 cm2
Ejercicio nº 5. Determinar a partir de las medidas del ancho y del largo de un folio,
con una regla que aprecie mm, su superficie y expresar la medida correctamente.
(se puede encontrar el cálculo de la incertidumbre en el apartado 7).
Ejercicio nº 6. Determinar el volumen de una pesa cilíndrica.
a) Con un calibre y la fórmula correspondiente.
b) Con una probeta.
c) Compara el resultado de ambas mediciones.
d) Identifica en cada caso las fuentes de error y la manera de tratarlas.
Práctica 1. Conceptos básicos y medidas directas e indirectas 4-4