3. Indice
Medidas.
Unidades.
Cálculo de incertidumbres.
Presentación de resultados.
Otras herramientas.
Ejercicios
3
4. Medir 4
Comparar una cantidad con su respectiva unidad, con el
fin de averiguar cuantas veces la segunda está
c o n t e n i d a e n l a
primera.
5. Partes de una medida I 5
Si medimos el largo de una mesa ...
125,434
El resultado podría ser ?
125,434 cm
125,434 ± 17,287 cm
125 ± 17 cm
6. Partes de una medida II 6
Al medir una mesa podemos obtener
125 ± 17 cm
valor
±incertidumbre
Presentación
unidades
7. Indice
Medidas.
Unidades.
Cálculo de incertidumbres.
Presentación de resultados.
Otras herramientas.
Ejercicios
7
8. Error e incertidumbre I 8
Muchas veces se cometen errores al medir.
Debemos corregirlos o al menos estimarlos
Xmedido
DX Xreal
DX
9. Error e incertidumbre II 9
Xmedido
DX Xreal
DX
Error = Xreal –Xmedido
Xreal (Xmedido -DX, Xmedido +DX)
10. Nivel de Confianza
DX depende de lo seguros que queramos estar
Nivel de confianza = fracción de las veces que
quiero acertar. 99%, 95%...
10
Xmedido
DX Xreal
DX
11. Tipos de medidas
Medidas directas
Medidas indirectas
11
Las anoto de un instrumento
L1, L2
Provienen de aplicar
operaciones a medidas
directas
A = L1 x L2
L1
L2
12. Tipos de errores
Medidas directas
Medidas indirectas
12
• Sistemáticos
• Aleatorios
• Derivados de los anteriores
13. Errores sistemáticos
Errores sistemáticos
Limitaciones de los aparatos o métodos
13
• Precisión
• Calibración
73
1
0
72 Pesada inicial
Pesada en “vacio”
Recalibración
Pesada corregida
14. Errores aleatorios I
Factores que perturban nuestra medida.
14
• Suma de muchas causas
• Tienden a ser simétricos.
• Se compensan parcialmente.
• Repetir las medidas.
• Estadística
medidas
Xreal
15. Errores aleatorios II
Distribuciones
Representamos la frecuencia de sucesos
aleatorios.
Tienden a curvas típicas
15
Xreal
x x
x
x
x x
x
x
x
x
x x
16. Indice
Medidas.
Unidades.
Cálculo de incertidumbres.
Presentación de resultados.
Otros tipos de medidas.
Ejercicios
16
17. Partes de una medida II 17
Al medir una mesa podemos obtener
125 ± 17 cm
valor
±incertidumbre
Presentación
unidades
18. Tipos de errores
Medidas directas
Medidas indirectas
18
• Sistemáticos
• Aleatorios
• Derivados de los anteriores
19. Cómo estimar el resultado
Frente a errores sistemáticos.
Frente a errores aleatorios.
19
• Medir correctamente
• Calibrar los aparatos
• Se compensan repetir varias veces la medida
• La media es el valor más probable
n
i
i
n
X
X
1
20. Ejemplo
Me peso varios días seguidos en iguales
condiciones
20
Día L M X J V
Masa
(kg)
73 72 74 72 73
kg
M 8
,
72
5
)
73
72
74
72
73
(
+
+
+
+
21. Incertidumbre
Incertidumbre: Estimación del error no corregible
21
1. Incertidumbre factores sistemáticos: ES1,ES2...
Destaca la de precisión
2. Incertidumbre factores aleatorios: EA
1. Absoluta: DX
2. Relativa: X r
X
E
X
D
% 100
X r
X
E en
X
D
Se suele descomponer para medidas directas en:
Se suele expresar como:
22. 1. Incertidumbre de precisión Es
En casos sencillos la estimaremos como:
22
La mitad de la (una) división menor de la escala
Ej: Balanza
No hay reglas sencillas para estimarla
Ej: Cronómetros
Incertidumbre en medidas directas
A veces depende del experimentador
No es fácil definir su intervalo de confianza
23. Para n medidas
23
n
n
n
t
EA
1
1
-
-
s = Desviación
típica de las
medidas
Desviación típica de la
media
Factor de cobertura
t de Student
Incertidumbre en medidas directas
2. Incertidumbre Aleatoria EA
24. 24
(
( ( ( 1
2
2
1
3
4
5
4
4
4
3
1
2
2
2
1
2
2
1
2
-
-
+
-
+
-
-
-
-
n
x
x
s
n
i
i
n
3
2
3
5
4
3
-
+
-
+
-
x
x
x
s 0
3
)
5
(
)
4
(
)
3
(
-
+
-
+
-
x
x
x
s
( ( (
3
2
3
5
4
3
2
2
2
2
-
+
-
+
-
x
x
x
s
4
Xreal
3 5
4
X
¿Medir la separación con respecto al valor real ?
No conocemos el valor real
¿Medir la separación con respecto al valor medio ?
¿Cómo?
Incertidumbre en medidas directas
S: dispersión de los datos
2. Incertidumbre Aleatoria EA
25. Es la distancia del valor real a la que estará más
probablemente un nuevo dato
25
cte
s n
Tiene las mismas unidades que el resultado
Incertidumbre en medidas directas
S: Propiedades
2. Incertidumbre Aleatoria EA
26. SI hicieramos muchos grupos de n medidas...
La media es más precisa que cualquier dato, los errores
aleatorios se compensan
Pero despacio ....
Los errores de precisión no se compensan
26
n
s
sX
Incertidumbre en medidas directas
Dispersión de la media
2. Incertidumbre Aleatoria EA
27. Ya tenemos y pero el intervalo... es pequeño
y conlleva un nivel de confianza variable 4 multiplicamos por un
factor corrector.
27
Si a es el nivel de confianza a 0,95
p=0.05.
X X
s X
s
X
D
n
t
1 1 1
(1 ) ( )
n n n
t t t p
a
- - -
-
Incertidumbre en medidas directas
Factor de cobertura: t de Student
2. Incertidumbre Aleatoria EA
Para pocas medidas s= n-1 se estima mal y el factor es mayor
para compensar.
¿Quien fue Student ?
29. 30
Día L M X J V
Masa (kg) 73 72 74 72 73
kg
M 8
,
72
( ( ( ( (
1
5
8
,
72
73
8
,
72
72
8
,
72
74
8
,
72
72
8
,
72
73
2
2
2
2
2
1
-
-
+
-
+
-
+
-
+
-
-
n
kg
n 837
,
0
1
-
78
,
2
4
1
- t
tn
1 1
4
0,837
2,78 1,04
5 5
n n
A n
E t t kg
n
- -
Incertidumbre en medidas directas
Ejemplo: Me peso varios días seguidos en iguales condiciones
2. Incertidumbre Aleatoria EA
30. Combinaremos las incertidumbres en cuadratura:
31
2
2
S
A E
E
X +
D
A
S
A
S
A
S
A
S
A
S
A
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
+
+
+
2
2
2
2
,
,
Incertidumbre en medidas directas
3. Incertidumbre Total
Propiedades
31. Resumen medidas directas 32
2
2
S
A
final E
E
X +
D
ES (Media) división
mínima
n
n
n
t
EA
1
1
-
-
X
X final
32. Resumen medidas directas 33
Día L M X J V
Masa (kg) 73 72 74 72 73
kg
M 8
,
72
1,04
A
E kg
kg
ES 5
0,
2 2
1,04 0,5 1,154
M kg
D +
(
72,8 1,154
M kg
Presentación incorrecta !
Ejemplo: Me peso varios días seguidos en iguales condiciones
33. Indice
Medidas.
Unidades.
Cálculo de incertidumbres.
Presentación de resultados.
Otras herramientas.
Ejercicios
34
34. Partes de una medida II 35
Al medir una mesa podemos obtener
125 ± 17 cm
valor
±incertidumbre
Presentación
unidades
35. Tipos de medidas
Medidas directas
Medidas indirectas
36
Las anoto de un instrumento
L1, L2
Provienen de aplicar
operaciones a medidas
directas
A = L1 x L2
L1
L2
36. Tipos de errores
Medidas directas
Medidas indirectas
37
• Sistemáticos
• Aleatorios
• Derivados de los anteriores
37. Dependen de otras mediantes expresiones matemáticas
Area de un cuadrado = (Lado)2
A = L2
L = 5 1 cm A 25 cm2 , DA ¿?
38
L
dL
dA
A
L
A
L
dL
dA
D
D
D
D
D
0
lim
Incertidumbre en medidas indirectas
1. Medidas indirectas
Recordando derivadas...
38. Significado DA, DL
Válido si DL pequeño
39
L
L
A
L
dL
dA
D
D
2
2
DL
DL
L
L
Incertidumbre en medidas indirectas
2. Incertidumbres para 1 variable
Interpretación geométrica
39. Area de un rectángulo
A = L1 x L2
L1 conocido perfectamente
40
2
1
1
2
L
L
A
L
dL
dA
D
D
DL2
DL2
L1
L2
L1
Incertidumbre en medidas indirectas
3. Incertidumbres para 2 variables
Y si L1, ,L2 inciertos ?
40. Errores independientes se
compensan parcialmente
41
?
1
2
2
1 L
L
L
L
A D
+
D
D
DL1 x DL2
L1 x DL2
L2 x DL1
L2
L1
( ( 2
2
2
2
1 L
L
L
L
A D
+
D
D
Incertidumbre en medidas indirectas
3. Incertidumbres para 2 variables
41. (
,
, 2
1 X
X
f
Y
42
+
D
+
D
D
2
2
2
2
1
1
X
X
Y
X
X
Y
Y
Derivada parcial de Y respecto a X1
Incertidumbre en medidas indirectas
4. Incertidumbres para varias variables
42. 1
X
Y
43
Como varía Y si varía sólo X1
(
,
, 2
1 X
X
f
Y
EJEMPLOS
z
x
y 4
3 +
3
2
z
x
y
V
M
h
r
V 2
Incertidumbre en medidas indirectas
5. Derivadas parciales
43. 2
1 X
X
Y
44
( ( 2
2
2
1 X
X
Y D
+
D
D
X
c
Y
X
c
Y D
D
2
1 X
X
Y
2
2
2
2
1
1
D
+
D
D
X
X
X
X
Y
Y
2
1
X
X
Y
n
X
Y X
X
n
Y
Y
D
D
Incertidumbre en medidas indirectas
5. Derivadas parciales: casos simples
44. Ejemplo (casi) completo I
Usando una balanza se mide 5 veces la
masa de una esfera de radio r = 1.0 0.1
cm. Se pide calcular su densidad.
49
n0 1 2 3 4 5
M (g) 14.3 14.5 14.7 14.4 14.1
V
M
1
2
3
45. Ejemplo (casi) completo II
Usando una balanza (con precisión de 50
mg) se mide 5 veces la masa de una esfera
de radio r = 1.0 0.1 cm. Se pide calcular su
densidad.
50
g
E
E
M A
S 282
0
2
2
.
+
D
g
ES 05
.
0
g
g
EA 278
0
5
224
0
78
2 .
.
.
n0 1 2 3 4 5
M (g) 14.3 14.5 14.7 14.4 14.1 g
M 400
.
14
g
M 282
0
400
14 .
.
46. Ejemplo (casi) completo III
Usando una balanza se mide 5 veces la
masa de una esfera de radio r = 1.0 0.1
cm. Se pide calcular su densidad.
51
3
3
4
r
V
r
r
r
r
V
V D
D
D 2
2
4
3
3
,
1
2
,
4 cm
V
0.3 3
V
V r
V r
D D
47. Ejemplo (casi) completo IV
Usando una balanza se mide 5 veces la
masa de una esfera de radio r = 1.0 0.1
cm. Se pide calcular su densidad.
52
?
0335
,
1
4377
,
3 3
cm
g
V
M
2
2
D
+
D
D
V
V
M
M
48. Indice
Medidas.
Unidades.
Cálculo de incertidumbres.
Presentación de resultados.
Redondeos.
Comparación de resultados.
Otras herramientas.
Ejercicios
53
49. Presentación de resultados
Los resultados se presentan redondeados
54
1. NO tengo tanta precisión en D como pretendo
2. ¿ Si tengo una incertidumbre de unidades...Por
qué doy diezmilésimas en ?
?
0335
,
1
4377
,
3 3
cm
g
3
)
0
,
1
4
,
3
(
cm
g
?
0
,
1
4377
,
3 3
cm
g
50. Cifras significativas
Cifras significativas
Todas salvo los ceros a la izquierda
Sobreviven a un cambio de notación
Ejemplos:
55
c.s.
3
0,670
c.s
2
0,67
c.s.
3
670
c.s.
2
67
s.
c.
3
10
123
c.s.
3
0,123
c.s.
3
10
123
c.s.
3
123
3
-
3
51. Reglas (arbitrarias) de
Redondeo
56
La incertidumbre se expresa con 2 cifras significativas.
El valor se expresa con tantos decimales como la
incertidumbre.
Valor e incertidumbre se expresan con las mismas
unidades y potencia de 10.
Redondeamos al número más cercano
Intentamos que el valor sea un número sencillo,
normalmente entre 1 y 10
52. Ejemplos de Redondeo I 57
( 1,2564 ± 0,1 ) m ( 1,3 ± 0,1 ) m
( 1,2438 ± 0,168 ) m ( 1,24 ± 0,17) m
( 1,52 108 ± 21,68 106 ) km (1,52 ± 0,22) 108 km
(1,52 ± 0,22) 1011 m
( 60506079 ± 89451 ) m ( 605,06 ± 0,89) 105 m
( 6,0506 ± 0,0089) 107 m
53. Indice
Medidas.
Unidades.
Cálculo de incertidumbres.
Presentación de resultados.
Redondeos.
Comparación de resultados.
Otros tipos de medidas.
Ejercicios
58
55. Comparación de resultados
Compatibilidad de medidas
60
Ejemplo: Dos medidas de una mesa dan
( 100 ± 5 ) cm
( 90 ± 10 ) cm
Son compatibles ?
56. Error relativo
Muy útil en comentarios
Muy útil para estimar si los resultados son coherentes
Definición:
Adimensional
2 cifras significativas
Ejemplo:
100 ± 25 → δ = 0.25 → incertidumbre del 25%
X
X
D
61
57. Comparación de resultados 62
Resultados compatibles
Resultado más preciso.
Review of particle properties (PDG). Phys. Rev. D 45 Part II (1992) I.11
58. Indice
Medidas.
Unidades.
Cálculo de incertidumbres.
Presentación de resultados / comparación.
Otras herramientas.
Media ponderada.
Interpolación.
Herramientas de cálculo
Regresión lineal.
Ejercicios
63
59. Media ponderada I
Varias medidas
Diferentes instrumentos y/o diferentes métodos
Errores aleatorios
64
2
2
1
1
X
X
X
X
D
D
( (
( ( 2
2
2
1
2
2
2
2
1
1
1
1
X
X
X
X
X
X
Y
D
+
D
D
+
D
60. Media ponderada II
Ejemplo: Dos medidas de una mesa dan
65
( (
( ( 2
2
2
1
2
2
2
2
1
1
1
1
X
X
X
X
X
X
Y
D
+
D
D
+
D
( ( 2
2
2
1
1
1
1
X
X
Y
D
+
D
D
( 100 ± 5 ) cm
( 90 ± 10 ) cm
¿ Cuanto mide ?
61. Media ponderada III
Ejemplo: Dos medidas de una mesa dan
66
( 100 ± 5 ) cm
( 90 ± 10 ) cm
L = (98,0 ± 4,5) cm
Es un valor intermedio
Más cerca del más preciso
Incertidumbre reducida
62. Otras herramientas
Media ponderada
Interpolación lineal
Herramientas de cálculo
Regresión lineal
67
63. Interpolación lineal I
Objetivo: obtener la
dependencia lineal entre dos
puntos de valores conocidos.
68
Método:
Ecuación de la recta que
pasa por dos puntos
Incertidumbre asociada
64. 69
b
x
a
y +
b
x
a
y
b
x
a
y
n
n
n
n
+
+
+
+ 1
1 n
n
n
n
n
n
x
m
y
b
x
x
y
y
a
-
-
-
+
+
1
1
(
n
n x
x
a
y
y -
+
int
int int int
y a x
D D
Si despreciamos el error en los datos de la tabla ...
Interpolación lineal II
65. Interpolación lineal III
4 3 0
15 10
15 10
1.2·
10 /
a g cm C
T T
-
-
-
-
( 3
12 10 12 10 0.99946 /
a T T g cm
+ -
4 3
12 12 1.2·
10 /
a T g cm
-
D D
3
12 0.99946 0.00012 /
g cm
70
Calcular la densidad del agua a (12 ± 1 ) °C
Densidad del agua destilada en función de la temperatura
T(º C) (g/cm3 )
0 0,9998
5 1,0000
10 0,9997
15 0,9991
20 0,9982
66. Otras herramientas
Media ponderada
Interpolación lineal
Herramientas de cálculo:
Calculadora
Hojas de calculo: Excel, OpenOffice, etc.
Regresión lineal
71
72. Objetivo: Suponiendo que dos variables siguen una relación lineal:
obtener parámetros de la recta m y c que mejor la representan, y sus
incertidumbres Δm y Δc
Hipótesis:
Fijamos una variable y medimos otra “x” sin
incertidumbre, las incertidumbres de las “y” todas
iguales.
¿ Cuál es la mejor recta ? Mínimos cuadrados
77
Regresión Lineal III
74. Hipótesis:
Existe una variable independiente (podemos darle los
valores que queramos), X y otra dependiente Y cuyo
valor nos da el experimento.
X sin incertidumbre, las incertidumbres de Y son
iguales en todas las medidas.
La relación entre X e Y es lineal o se puede hacer lineal
manipulando las fórmulas.
¿ Cuál es la mejor recta ? Mínimos cuadrados
79
Regresión Lineal II
75. Mínimos cuadrados:
Para cada punto calculamos la distancia del punto a la recta en la
dirección del eje y di
Sumamos las distancias al cuadrado
La mejor recta es la que minimiza la suma S
80
Regresión Lineal III
(
)
( c
x
m
y
d i
i
i +
-
(
+
-
n
i
i
i
n
i
i c
x
m
y
d
S
1
2
1
2
)
(
77. ¿ Cómo minimizo la suma ?:
S depende de la pendiente y c.
En el cálculo en varias variables se verá que para que S
sea mínimo es necesario que:
Operando obtenemos las fórmulas del guión
82
Regresión Lineal V
(
c
m
S
S ,
0
0
c
S
m
S
78. Pasos:
Identificar la variable independiente y la dependiente.
Linealizar la fórmula.
Transformar los datos
Aplicar las fórmulas y calcular m y c
Calcular las incertidumbres
Comprobar el coeficiente de correlación r
83
Regresión Lineal VI
79. Métodos:
Fórmulas de apuntes
Calculadora (incertidumbres?)
Programas de ordenador: Excel…
84
Regresión Lineal IV
80. Ejemplo 85
Un coche viaja de Madrid a Barcelona, cada cierto tiempo el piloto
mira el cuentakilómetros y apunta la lectura, obteniendo la siguiente
tabla. Calcúlese la velocidad media.
Tiempo (min) Posición
00 514
20 550
40 590
60 627
80 670
81. Resolución 86
Y
X
n
Y
X
E i
n
i
i -
1
2
1
2
X
n
X
D
i
n
i
i -
7780
2
.
590
40
5
125820
-
E
4000
40
40
5
12000
-
D
min
945
.
1
4000
7780 km
D
E
m
83. Resolución 88
X
m
Y
c -
km
c 512
40
945
.
1
2
.
590
-
( 2
1
2
2
233
.
4
3
7
.
12
2
1
km
c
mX
Y
n
s
n
i
i
i
res
-
-
-
2
2
2
min
001058
.
0
4000
233
.
4
km
D
s
s res
m
2
2
2
2
54
.
2
4000
40
*
40
5
1
233
.
4
1
km
D
X
n
s
s res
c
+
+
85. Herramientas II: Hoja de cálculo
Práctica: Dejamos caer un cuerpo desde
una cierta altura y medimos la distancia
recorrida y el tiempo empleado.
2
2
1
gt
s
90