Teoría de Álgebra de vectores con ideogramas aplicado a la Física

1. ÁLGEBRA DE VECTORES CON
IDEOGRAMAS
Lic. ARTURO QUISPE QUISPE
arturoquispe7@gmail.com
2019

2. ÍNDICE:
1. OPERACIÓN UNITARIA CON VECTORES
2. OPERACIÓN BINARIA CON VECTORES
3. APLICACIONES Y EJERCICIOS
La presente monografía conteniente la teoría de álgebra de vectores desarrollado
utilizando ideogramas, todo este desarrollo se realizando utilizando el enfoque de la
Geometría Analítica en cuya materia vector se define como par ordenado, es decir 𝐴⃗ = (𝑥, 𝑦)
a partir de un vector primero se definen operaciones denominadas unitarias como: módulo
de un vector, opuesto de un vector y vector unitario, también se definen operaciones
denominadas binarias es decir a partir de dos vectores se define: suma, diferencia y producto
de vectores y finalmente se desarrolla ejercicios y aplicaciones en la Física.
Para el desarrollo del curso seguiremos el enfoque de la Geometría Analítica, lo más
importante de este capítulo son las operaciones los cuales son:
Es una magnitud física que
se caracteriza por tener
modulo (longitud) y una
dirección (orientación).
Geometría Analítica.- Un
vector es un par ordenado,
es decir: 𝑨⃗ = (𝒙, 𝒚)
Geometría Pura.- Un vector es un
segmento de recta orientada que
posee elementos como: origen,
dirección, sentido y magnitud.
MATEMÁTICA
VECTORES Magnitud física escalar

3. I.1. Operación vectorial unitaria
En el plano cartesiano tenemos
Sea 𝐴⃗ = (𝑥, 𝑦) un vector
A partir de este vector se
puede definir las
siguientes operaciones.
unitarias.
Módulo.- Por el
Teorema de
Pitágoras tenemos:
𝐴 = 𝐴⃗
Vector unitario.-
Es la relación: 𝒖 =
𝑨⃗
𝑨⃗
se
caracteriza porque 𝒖⃗ = 𝟏
Operaciónvectorial
Operación
vectorial unitaria
Operación vectorial binaria
Operaciones con vectores
Operación vectorial unitaria.- Son
módulo, inverso, vector nulo e vector
unitario (Se requiere únicamente de un
vector)
Operación vectorial binaria.- Suma,
diferencia, Producto escalar y vectorial
(como mínimo se requiere dos
vectores)
Inverso.-
Multiplicando por
(-1) se obtiene −𝐴⃗
Nulo.- No sería
más que:
𝑨⃗ + (−𝑨⃗ = 𝟎⃗)

4. X
(x, y)
𝐴⃗
𝜑
Y
De la figura el vector 𝐴⃗ = ( 𝑥, 𝑦) = ( 𝐴𝑐𝑜𝑠𝜑, 𝐴𝑠𝑒𝑛𝜑) = 𝐴( 𝑐𝑜𝑠𝜑, 𝑠𝑒𝑛𝜑 ) = 𝐴𝑢̂
I.2. Operación vectorial binaria
Sea 𝐴⃗ = (𝑥1, 𝑦1) y 𝐵⃗ =
(𝑥2, 𝑦2) dos vectores
A partir de estos dos
vectores podemos definir
Igualdad de
vectores
¿ 𝐴⃗ = 𝐵⃗ ?
Producto vectorial
𝐶⃗ = 𝐴⃗ × 𝐵⃗
Vectores
Operación
vectorial binaria
Operación vectorial
unitaria
Suma y diferencia
𝑅⃗ = 𝐴⃗ + 𝐵⃗
𝐷⃗ = 𝐴⃗ − 𝐵⃗
Producto escalar
𝐴⃗. 𝐵⃗=escalar

5. Sean los vectores 𝐴⃗ = (𝑥1, 𝑦1) y 𝐵⃗ = (𝑥2, 𝑦2) pertenecientes al plano cartesiano como se
muestra en la figura
X ( 𝑥1 + 𝑥1, 𝑦1 + 𝑦2)
( 𝑥2, 𝑦2)
𝐵⃗
( 𝑥1, 𝑦1)
𝛽
𝐴⃗
𝛼
Y
Para suma de vectores sean 𝐴⃗ = (𝑥1, 𝑦1) y 𝐵⃗ = (𝑥2, 𝑦2) la suma se define como:
𝑅⃗ = 𝐴⃗ + 𝐵⃗ = ( 𝑥1 + 𝑥2, 𝑦1 + 𝑦2 )
Sea 𝐴⃗ = (𝑥1, 𝑦1) y 𝐵⃗ =
(𝑥2, 𝑦2 ) dos vectores
Suma
𝑪⃗ = 𝑨⃗ + 𝑩⃗
𝑪⃗ = 𝑥1 + 𝑥2, 𝑦1 + 𝑦2
Diferencia
𝑪⃗ = 𝑨⃗ − 𝑩⃗
𝑪⃗ = 𝑥1 − 𝑥2, 𝑦1 − 𝑦2
Operaciónvectorial
binaria
Suma y diferencia Producto escalar y
vectorial

6. En cambio la diferencia de vectores
𝐷⃗ = 𝐴⃗ + −𝐵⃗ = 𝐴⃗ − 𝐵⃗ = ( 𝑥1 − 𝑥2, 𝑦1 − 𝑦2 )
X ( 𝑥1 + 𝑥1, 𝑦1 + 𝑦2)
( 𝑥2, 𝑦2)
𝐵⃗
( 𝑥1, 𝑦1)
𝛽
𝐴⃗
𝛼
Y
( 𝑥1 − 𝑥1, 𝑦1 − 𝑦2 )
−𝐵⃗
(−𝑥2,−𝑦2)

7. I.3. Operación vectorial binaria
Producto escalar de vectores
𝐴⃗ = ( 𝑥1, 𝑦1 ) = 𝑥1 𝑖̂ + 𝑦1 𝑗̂
𝐵⃗ = ( 𝑥2, 𝑦2 ) = 𝑥2 𝑖̂ + 𝑦2 𝑗̂
𝐴⃗. 𝐵⃗ = ( 𝑥1 𝑖̂ + 𝑦1 𝑗̂). ( 𝑥2 𝑖̂ + 𝑦2 𝑗̂) = 𝑥1 𝑥2 + 𝑦1 𝑦2
Propiedades
1. 𝐴⃗. 𝐵⃗ = 𝐵⃗. 𝐴⃗ : Conmutativa
2. 𝐴⃗. 𝐵⃗ = 𝐴𝐵𝑐𝑜𝑠(𝜗)
Producto vectorial de vectores
𝐴⃗ = 𝑥1, 𝑦1, 𝑧1 = 𝑥1 𝑖̂ + 𝑦1 𝑗̂ + 𝑧1 𝑘̂
𝐵⃗ = ( 𝑥2, 𝑦2, 𝑧2) = 𝑥2 𝑖̂ + 𝑦2 𝑗̂ + 𝑧2 𝑘̂
𝐶⃗ = 𝐴⃗ × 𝐵⃗ = 𝑥1 𝑖̂ + 𝑦1 𝑗̂ + 𝑧1 𝑘̂ × 𝑥2 𝑖̂ + 𝑦2 𝑗̂ + 𝑧2 𝑘̂ = |
𝒊̂ 𝒋̂ 𝒌̂
𝒙 𝟏 𝒚 𝟏
𝒛 𝟏
𝒙 𝟐 𝒚 𝟐
𝒛 𝟐
|
Sea 𝐴⃗ = (𝑥1, 𝑦1, 𝑧1) y
𝐵⃗ = (𝑥2, 𝑦2, 𝑧2) dos
vectores
Producto escalar
𝑨⃗. 𝑩⃗ = 𝑨𝑩𝒄𝒐𝒔(𝜽)
𝑨⃗. 𝑩⃗ = 𝑥1 𝑥2 + 𝑦1 𝑦2
Producto vectorial
𝑨⃗ × 𝑩⃗ = |
𝒊̂ 𝒋̂ 𝒌
𝒙 𝟏 𝒚 𝟏 𝒛 𝟏
𝒙 𝟐 𝒚 𝟐 𝒛 𝟐
|
Operaciónvectorial
binaria
Producto Suma y diferencia de
vectores

8. 𝐶⃗ = 𝐴⃗ × 𝐵⃗ = ( 𝑦1 𝑧2 − 𝑦2 𝑧1) 𝑖̂ − ( 𝑥1 𝑧2 − 𝑥2 𝑧1)𝑗̂ + ( 𝑥1 𝑦2 − 𝑥2 𝑦1) 𝑘̂
Propiedades
1. 𝐴⃗ × 𝐵⃗ = − 𝐵⃗ × 𝐴⃗ : Anti-conmutativa
2. 𝐴⃗ × 𝐵⃗ = 𝐴𝐵𝑠𝑒𝑛(𝜗)
𝐴⃗ × 𝐵⃗
𝐵⃗
𝐴⃗
𝐵⃗ × 𝐴⃗
Problema N° 01.- Teorema del coseno. Con respecto a la figura el teorema establece que
𝑎⃗ + 𝑏⃗ = √ 𝑎2 + 𝑏2 + 2𝑎𝑏𝑐𝑜𝑠(𝜑)
𝑎⃗ + 𝑏⃗ 𝑏⃗
∅
𝑎⃗
Demostración
De la figura
𝑐⃗ = 𝑎⃗ + 𝑏⃗
Aplicando propiedad de producto escalar
𝑐⃗. 𝑐⃗ = 𝑎⃗ + 𝑏⃗ . 𝑎⃗ + 𝑏⃗
𝑐2
= 𝑎⃗. 𝑎⃗ + 𝑎⃗. 𝑏⃗ + 𝑏⃗. 𝑎⃗ + 𝑏⃗. 𝑏⃗
𝑐2
= 𝑎2
+ 2𝑎⃗. 𝑏⃗ + 𝑏2
Tomando raíz cuadrado

9. 𝑐 = √ 𝑎2 + 𝑏2 + 2𝑎𝑏𝑐𝑜𝑠(∅)
Problema N° 02.- Teorema del seno. Con respecto a la figura el teorema establece que
𝑠𝑒𝑛(𝛾)
𝑐
=
𝑠𝑒𝑛(𝛽)
𝑏
=
𝑠𝑒𝑛(𝛼)
𝑎
Demostración
De la figura
𝑎⃗ + 𝑏⃗ + 𝑐⃗ = 0⃗ (1)
Multiplicando vectorialmente (1) por:
𝑎⃗ × 𝑎⃗ + 𝑏⃗ + 𝑐⃗ = 𝑎⃗ × 0⃗
𝑎⃗ × 𝑎⃗ + 𝑎⃗ × 𝑏⃗ + 𝑎⃗ × 𝑐⃗ = 0⃗
𝑎⃗ × 𝑎⃗ + 𝑎⃗ × 𝑏⃗ + 𝑎⃗ × 𝑐⃗ = 0⃗
𝑎⃗ × 𝑏⃗ = 𝑐⃗ × 𝑎⃗ (2)
𝑏⃗ × 𝑎⃗ + 𝑏⃗ + 𝑐⃗ = 𝑎⃗ × 0⃗
𝑏⃗ × 𝑎⃗ + 𝑏⃗ × 𝑏⃗ + 𝑏⃗ × 𝑐⃗ = 0⃗
𝑎⃗ × 𝑏⃗ = 𝑏⃗ × 𝑐⃗ (3)
𝑐⃗ × 𝑎⃗ + 𝑏⃗ + 𝑐⃗ = 𝑎⃗ × 0⃗
𝑐⃗ × 𝑎⃗ + 𝑐⃗ × 𝑏⃗ + 𝑐⃗ × 𝑐⃗ = 0⃗
𝑐⃗ × 𝑎⃗ = 𝑏⃗ × 𝑐⃗ (4)
De (2), (3) y (4) se tiene:
𝑎⃗ × 𝑏⃗ = 𝑏⃗ × 𝑐⃗ = 𝑐⃗ × 𝑎⃗
Aplicando propiedad de módulo se tiene:
𝑎⃗ × 𝑏⃗ = 𝑏⃗ × 𝑐⃗ = 𝑐⃗ × 𝑎⃗
𝑎𝑏𝑠𝑒𝑛( 𝛾) = 𝑏𝑐𝑠𝑒𝑛( 𝛼) = 𝑎𝑐𝑠𝑒𝑛( 𝛽)
Dividiendo entre 𝑎𝑏𝑐 esta última expresión se tiene:

10. 𝑠𝑒𝑛(𝛾)
𝑐
=
𝑠𝑒𝑛(𝛽)
𝑏
=
𝑠𝑒𝑛(𝛼)
𝑎
Problema N° 03.- Para la situación indicada en la figura, determine la altura del punto P
en términos de los ángulos 𝛼, 𝛽 y la distancia d.
Solución
Para resolver el problema vectorialmente podemos trazar un plano cartesiano haciendo
coincidir su origen con el punto P, como se muestra en la figura.
P
𝛼
𝐴⃗
𝛽 𝐵⃗ ℎ
𝐴𝐵⃗
𝐴⃗ = (−𝐴𝑐𝑜𝑠𝛼, −𝐴𝑠𝑒𝑛𝛼)
𝐵⃗ = (−𝐵𝑐𝑜𝑠𝛽, −𝐵𝑠𝑒𝑛𝛽)
De la figura 𝑠𝑒𝑛𝛼 =
ℎ
𝐴
entonces 𝐴 =
ℎ
𝑠𝑒𝑛𝛼

11. 𝑠𝑒𝑛𝛽 =
ℎ
𝐵
entonces 𝐵 =
ℎ
𝑠𝑒𝑛𝛽
𝐴⃗ = (−
ℎ
𝑠𝑒𝑛𝛼
𝑐𝑜𝑠𝛼, −
ℎ
𝑠𝑒𝑛𝛼
𝑠𝑒𝑛𝛼) = (−ℎ𝑐𝑜𝑡𝛼,−ℎ)
𝐵⃗ = (−
ℎ
𝑠𝑒𝑛𝛽
𝑐𝑜𝑠𝛽, −
ℎ
𝑠𝑒𝑛𝛽
𝑠𝑒𝑛𝛽) = (−ℎ𝑐𝑜𝑡𝛽, −ℎ)
𝐴𝐵⃗ = 𝐵⃗ − 𝐴⃗ = (−ℎ𝑐𝑜𝑡𝛽 + ℎ𝑐𝑜𝑡𝛼, 0)
Su módulo 𝐴𝐵⃗ = 𝑑 = ℎ( 𝑐𝑜𝑡𝛼 − 𝑐𝑜𝑡𝛽)
Entonces ℎ =
𝑑(𝑡𝑎𝑛𝛼)(𝑡𝑎𝑛𝛽)
𝑡𝑎𝑛𝛽−𝑡𝑎𝑛𝛼
Ejercicios 01.- Considere los puntos cuyas coordenadas son 𝐴⃗ = (1,1, 1), 𝐵⃗ = (1,2, 1),
𝐶⃗ = (−1,2, 1) determine
a) La resultante 𝐴𝐵⃗ + 𝐵𝐶⃗
b) El producto 𝐴𝐵⃗. 𝐵𝐶⃗
c) El producto vectorial 𝐴𝐵⃗ × 𝐵𝐶⃗
d) Un vector unitario en la dirección de la perpendicular formado por los vectores 𝐴⃗ y
𝐵⃗.
Ejercicios 02.- Una caja tiene tiene 16 cm de largo, 18 cm de ancho y 10 cm de alto.
Encuentre la longitud de la diagonal de la caja y el ángulo que ésta forma con cada uno de
los ejes.
Z
18 cm
O
16 cm
10 cm
X
Ejercicios 03.- La torre de 70 m de altura que se encuentra en la figura está soportada por
tres cables que ejercen sobre ella las fuerzas 𝐹⃗𝐴𝐵, 𝐹⃗𝐴𝐶 y 𝐹⃗𝐴𝐷 . La magnitud de cada una de esas
fuerzas es de 2𝑘𝑁. Exprese vectorialmente la fuerza resultante resultante ejercida por los
cables sobre la torre. Las coordenadas de los apoyos son 𝐶 = (40,−40), 𝐵 = (0,40)y 𝐷 =
(−60,−60)

12. Z
A
D
C B
Y
X
Ejercicios 04.- Se dan los vectores 𝑷⃗ y 𝑸⃗ forman un ángulo tal que 𝑠𝑒𝑛∅ = 3/5. Si el
módulo de 𝑃 = 16 y sabiendo que 𝑷⃗ es ortogonal a 𝑷⃗ − 𝑸⃗ . Halle el módulo de 𝑸⃗
Ejercicios 05.- Dado los vectores 𝑷⃗ y 𝑸⃗, que forman el ángulo ∅ demostrar:
𝑡𝑎𝑛∅ =
𝑄𝑠𝑒𝑛𝜃
𝑃+𝑄𝑐𝑜𝑠𝜃
donde ∅ es el ángulo entre la resultante y el vector 𝑷⃗
𝑸⃗
𝜃
∅
𝑷⃗