Sem 1 geometría ii-espacios vectoriales

1. El matemático alemán Grassmann es reconocido como el
primero que introdujo la idea de un espacio vectorial
(aunque no lo llamó de esta manera, sino sistema de
números hipercomplejos) y de independencia lineal en
1844. Desafortunadamente su trabajo era muy difícil de leer
y no recibió la atención que merecía.
UNIDAD I: GEOMETRÍA VECTORIAL
Ciclo Académico 2021 - I (Virtual)

3. PROPÓSITO:
Al finalizar la sesión, el estudiante identifica y
diferencia un espacio vectorial de un sub
espacio vectorial, utilizando los axiomas y
propiedades de espacio vectorial de forma
correcta.

4. 1. ESPACIOS VECTORIALES
Definición: Un espacio vectorial V, es un
conjunto de objetos llamados vectores,
junto con dos operadores binarias llamadas
suma y multiplicación por un escalar.
Sea el conjunto 𝑉 ≠ ∅, al cual se le asocia
dos operaciones (una interna y otra externa)
y 𝑥 ∈ 𝑉, 𝑦 ∈ 𝑉 𝑦 𝛼 ∈ ℝ tal que:
 Suma (+): 𝑉𝑥𝑉 ⇒ 𝑉; 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠: 𝑥 + 𝑦 ∈ 𝑉
 Multiplicación por un escalar (.):
ℝ𝑥𝑉 ⇒ 𝑉; 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠: 𝛼𝑥𝜖𝑉
AXIOMAS
Y que satisfacen los diez axiomas enumeradas
en el siguiente recuadro:
 ∀𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑉 𝑒𝑠𝑝𝑎𝑐𝑖𝑜 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑎𝑙
 ∃0𝑉 ∈ 𝑉 𝑒𝑠𝑝𝑎𝑐𝑖𝑜 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑎𝑙
 ∀𝛼 𝑦 𝛽 ∈ ℝ.
𝐴1: 𝐶𝑒𝑟𝑟𝑎𝑑𝑢𝑟𝑎 𝑏𝑎𝑗𝑜 𝑙𝑎 𝑠𝑢𝑚𝑎: 𝑥 + 𝑦 ∈ 𝑉.
𝐴2: 𝐿𝑒𝑦 𝑎𝑠𝑜𝑐𝑖𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑠𝑢𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠:
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 𝑥 + (𝑦 + 𝑧)
𝐴3: 𝐿𝑒𝑦 𝑐𝑜𝑛𝑚𝑢𝑡𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑠𝑢𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠:
𝑥 + 𝑦 = 𝑦 + 𝑥
𝐴4: 𝐿𝑒𝑦 𝑑𝑒𝑙 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑛𝑒𝑢𝑡𝑟𝑜 𝑎𝑑𝑡𝑖𝑣𝑜:
𝑥 + 0 = 0 + 𝑧 = 𝑥
𝐴5: 𝐿𝑒𝑦 𝑑𝑒𝑙 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠𝑜 𝑎𝑑𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜:
𝑥 + −𝑥 = 0
𝐴1: 𝐶𝑒𝑟𝑟𝑎𝑑𝑢𝑟𝑎 𝑏𝑎𝑗𝑜 𝑙𝑎 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑐𝑖ó𝑛 ∶ 𝛼 𝑥 ∈ 𝑉.
𝐴2: 𝑃𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟 𝑙𝑒𝑦 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑡𝑖𝑣𝑎 𝑑𝑒 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑐𝑖ó𝑛 ∶
𝛼 𝑥 + 𝑦 = 𝛼𝑥 + 𝛼𝑦
𝐴3: 𝑆𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑎 𝑙𝑒𝑦 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑡𝑖𝑣𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑐𝑖ó𝑛:
𝛼 + 𝛽 . 𝑥 = 𝛼𝑥 + 𝛽𝑥
𝐴4: 𝐿𝑒𝑦 𝑎𝑠𝑜𝑐𝑖𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛:
𝛼. 𝛽 . 𝑥 = 𝛼(𝛽. 𝑥)
𝐴5: 𝐿𝑒𝑦 𝑑𝑒𝑙 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑛𝑒𝑢𝑡𝑟𝑜 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜:
𝑥. 1 = 1. 𝑥 = 0

5. OBSERVACIONES
Si el conjunto "V“ es un espacio vectorial,
entonces cada elemento de "𝑉“ puede ser:
 Una matriz (en general de orden 𝑛𝑥𝑚).
 Una función real (ya sea continua,
diferenciable o integrable).
 Un polinomio de grado 𝑛.
 un numero complejo.
 Un vector de 𝑛-dimensiones, etc.
EJERCICIOS RESUELTOS
1. Demostrar que el siguiente conjunto es
un espacio vectorial:
𝑽 = ℝ𝒏 = 𝒙 = (𝒙𝟏, 𝒙𝟐)/𝒙𝟏, 𝒙𝟐 ∈ ℝ
Resolución:
Sea: 𝐱 = 𝐚, 𝐛 , 𝒚 = 𝒄, 𝒅 , 𝒛 = 𝒆, 𝒇 𝒚 𝒆𝒔𝒄𝒂𝒍𝒂𝒓𝒆𝒔 𝒎, 𝒏
• Cerradura de la suma
𝑥 + 𝑦 ∈ 𝑎 𝑉
(a+b, b+d) ∈ 𝑎 𝑉
• Asociativa de suma
𝒙 + 𝒚 + 𝒛 = 𝒙 + (𝒚 + 𝒛)
𝒂 + 𝒃, 𝒃 + 𝒅 + 𝒆, 𝒇 = 𝒂, 𝒃 + (𝒄 + 𝒆, 𝒅 + 𝒇)
𝒂 + 𝒃 + 𝒆, 𝒃 + 𝒅 + 𝒇 = 𝒂 + 𝒄 + 𝒆, 𝒃 + 𝒅 + 𝒇
• Conmutativa de suma
𝒙 + 𝒚 = 𝒚 + 𝒙
(a+c, b+d)= (c + a, d + b)
• Inverso aditivo
𝒙 + 𝒙´ = 𝟎
𝒂, 𝒃 + −𝒂, −𝒃 = (𝟎; 𝟎)
(𝟎, 𝟎) = (𝟎, 𝟎)
𝒙 + 𝒙´ = 𝟎
• Neutro aditivo
𝒂, 𝒃 + 𝒙´ = (𝟎, 𝟎)
𝒙´ = (−𝐚, −𝐛)

6. EJERCICIOS RESUELTOS
1. Demostrar que el siguiente conjunto es
un espacio vectorial:
𝑽 = ℝ𝒏
= 𝒙 = (𝒙𝟏, 𝒙𝟐)/𝒙𝟏, 𝒙𝟐 ∈ ℝ
Resolución:
Sea: 𝐱 = 𝐚, 𝐛 , 𝒚 = 𝒄, 𝒅 , 𝒛 = 𝒆, 𝒇 𝒚 𝒆𝒔𝒄𝒂𝒍𝒂𝒓𝒆𝒔 𝒎, 𝒏
• Cerradura de la multiplicación
𝑚(𝑥) ∈ 𝑎 𝑉
m(a+b) ∈ 𝑎 𝑉
• Asociativa de la multiplicación
𝒎. 𝒏 𝒙 = 𝒎(𝒏. 𝒙)
• Primera ley distributiva
• Segunda ley distributiva
𝒙. 𝟏 = 𝒙
𝒂, 𝒃 . 𝟏 = (𝒂, 𝒃)
(𝒂, 𝒃) = (𝒂, 𝒃)
𝒎 + 𝒏 𝒙 = 𝒎𝒙 + 𝒏𝒙
• Neutro multiplicativo
(ma,mb) ∈ 𝑎 𝑉
𝒎 𝒙 + 𝒚 = 𝒎𝒙 + 𝒎𝒚

7. 2. SUBESPACIO VECTORIAL
Definición : se dice H es un subespacio vectorial
𝑽 si H es un subconjunto no vacío de 𝑽 y H es
un espacio vectorial junto a las operaciones de
sumas entre vectores y multiplicación por una
escalar definida para 𝑽.
Un subconjunto H ≠ ∅ de un espacio vectorial 𝑽,
es un subespacio de 𝑽 si se cumple las dos
reglas de cerradura: 𝑦 𝛼 ∈ ℝ tal que:
 Suma (+):si 𝑥 ∈ 𝐻, 𝑦 ∈ 𝐻; entonces x + y ∈ 𝐻.
 Multiplicación por un escalar (.): si 𝑥 ∈ 𝐻 y
𝛼 ∈ ℝ ; entonces: 𝛼𝑥𝜖𝐻.
 Todo subespacio de un espacio vectorial 𝑉
contiene al cero.
 Un subconjunto propio de un espacio vectorial
𝑉 es un subespacio vectorial 𝑉 diferente de
cero y 𝑉.
Ejercicios resueltos
1. Demostrar que el siguiente conjunto es un
subconjunto vectorial de 𝑀2𝑋2:
Resolución:
Sean los vectores:
𝑨 =
𝒂𝟏 𝒃𝟏
−𝒃𝟏 𝒄𝟏
𝒚 𝑩 =
𝒂𝟐 𝒃𝟐
−𝒃𝟐 𝒄𝟐
∈ 𝑻 𝒚 ∝ ∈ ℝ
𝑻 =
𝒂𝟏𝟏 𝒂𝟏𝟐
𝒂𝟐𝟏 𝒂𝟐𝟐
∈ 𝑴𝟐𝑿𝟐/
𝒂 𝒃
−𝒃 𝒄
, ∀𝒂, 𝒃, 𝒄ℝ
Por la definición de subespacio vectorial:
𝑨 + 𝑩 =
𝒂𝟏 + 𝒂𝟐 𝒃𝟏 + 𝒃𝟐
−(𝒃𝟏 + 𝒃𝟐) 𝒄𝟏 + 𝒄𝟐
∈ 𝑻
𝜶. 𝑨 =
𝜶. 𝒂𝟏 𝜶. 𝒃𝟏
−𝜶. 𝒃𝟏 𝜶. 𝒄𝟏
∈ 𝑻
∴ 𝑻 𝒆𝒔 𝒖𝒏 𝒔𝒖𝒃𝒄𝒐𝒏𝒋𝒖𝒏𝒕𝒐 𝒗𝒆𝒄𝒕𝒐𝒓𝒊𝒂𝒍 𝒅𝒆𝑀2𝑋2

8. Ejercicios resueltos
2. Demostrar que el siguiente conjunto es un
subconjunto vectorial de 𝑀2𝑋2:
𝑸 =
𝒂𝟏𝟏 𝒂𝟏𝟐
𝒂𝟐𝟏 𝒂𝟐𝟐
∈ 𝑴𝟐𝑿𝟐/
𝒂 𝒂 − 𝟏
𝟎 𝟎
, ∀𝜶 ∈ ℝ
Resolución:
𝑨 =
𝒂𝟏 𝒂𝟏 − 𝟏
𝟎 𝟎
𝒚 𝑩 =
𝒂𝟐 𝒂𝟐 − 𝟏
𝟎 𝟎
∈ 𝑸 𝒚 ∝ ∈ ℝ
Sean los vectores:
Por la definición de subespacio vectorial:
𝑨 + 𝑩 =
𝒂𝟏 + 𝒂𝟐 𝒂𝟏 + 𝒂𝟐 − 𝟐
𝟎 𝟎
∉ 𝑸
𝜶. 𝑨 =
𝜶. 𝒂𝟏 𝜶. 𝒂𝟏 − 𝜶
𝟎 𝟎
∉ 𝑸
∴ 𝑸 𝒏𝒐 𝒆𝒔 𝒖𝒏 𝒔𝒖𝒃𝒄𝒐𝒏𝒋𝒖𝒏𝒕𝒐 𝒗𝒆𝒄𝒕𝒐𝒓𝒊𝒂𝒍 𝒅𝒆𝑀2𝑋2

9. ESPACIO VECTORIAL
Conceptos
preliminares
ESCALAR
VECTOR
SUBESPACIO VECTORIAL
Resultados
interesantes
Relación
Concepto
Ejemplos básicos
Condiciones
Propiedades
Concepto
Condiciones
BASE
Dimensión de un
subespacio vectorial
Dimensión de un
espacio vectorial
Resultados interesantes
Rango de un sistema
de vectores
COORDENADAS
S. V. PROPIO
S. V. IMPROPIO
Dimensión de un
espacio vectorial
COMBINACIÓN LINEAL
SISTEMA GENERADOR
Resultados interesantes
Coordenadas

10. CONCLUSIONES

11. Pausa activa
 ¿Cómo podemos hacer para que cuatro nueves den como
resultado cien?
 ¿Cómo hacemos para que a veinte, añadiéndole uno nos
dé diecinueve?

12. 3. DEPENDENCIA E INDEPENCIA LINEAL
Definición: Sea 𝑽 un espacio vectorial sobre 𝑲, y sea
{𝒗𝟏 , 𝒗𝟏, ..., 𝒗𝒒} un conjunto de vectores de 𝑽. Los
elementos 𝒗𝟏 , 𝒗𝟏, ..., 𝒗𝒒 son linealmente dependientes
(LD) existen q escalares 𝜶𝟏 , 𝜶𝟏, ..., 𝜶𝒒 pertenecientes a
𝕂 tales que:
𝜶𝟏𝒗𝟏+ 𝜶𝟐𝒗𝟐 + ... + 𝜶𝒒𝒗𝒒 = 𝟎
Tiene al menos una solución trivial.
Si la única solución de este sistema es la solución
trivial, entonces los elementos son linealmente
independientes (LI).
EJEMPLO
1. Determinar si los polinomios en espacio vectorial
𝑷𝟐 (polinomio de grado menor o igual 2):
𝑷𝟏 𝒙 = 𝟏 + 𝒙 + 𝒙𝟐, 𝑷𝟐 𝒙 = 𝟏 − 𝒙 𝒚 𝑷𝟑 𝒙 = 𝟏 − 𝒙𝟐
Son LI o LD
Resolución
Debemos resolver e sistema:
𝐶1 𝟏 + 𝒙 + 𝒙𝟐
+ 𝑪𝟐 𝟏 − 𝒙 + 𝑪𝟑 𝟏 − 𝒙𝟐
= 𝟎
𝐶1 + 𝐶1𝑥 + 𝐶1𝒙𝟐
+ 𝑪𝟐 − 𝑪𝟐𝒙 + 𝑪𝟑 − 𝑪𝟑𝒙𝟐
= 𝟎
(𝐶1+𝐶2 + 𝑪𝟑) + 𝐶1 − 𝑪𝟐 𝒙 + (𝑪𝟏 − 𝑪𝟑)𝒙𝟐
= 𝟎
Igualando términos semejantes obtenemos:
𝐶1 + 𝐶2 + 𝑪𝟑 = 𝟎
𝐶1 − 𝐶2 = 0
𝐶1− 𝐶3= 0

13. Por matriz aumentada
1 1 1
1 −1 0
1 0 −1
0
0
0
1 1 1
0 −2 −2
0 −1 −2
0
0
0
𝑅2 − 𝑅1
𝑅3 − 𝑅1
1 1 1
0 −1 −2
0 −2 −1
0
0
0
𝟏 1 1
0 −𝟐 −2
0 0 𝟑
0
0
0
𝑅3 − 2𝑅2
𝑅2 ↔ 𝑅3
Este sistema tienen solución única
∴ 𝑷𝟏 𝒙 , 𝑷𝟐 𝒙 y 𝑷𝟑 𝒙 son LI.
2. Determinar si el conjunto es LI o LD:
𝑽𝟏 = (𝟏; 𝟐; −𝟏)
𝑽𝟐 = (−𝟑; 𝟐; 𝟎)
𝑽𝟑 = (−𝟏; 𝟔; −𝟐)
RESOLUCION
𝑥 𝟏; 𝟐; −𝟏 + 𝒚 −𝟑; 𝟐; 𝟎 + 𝒛 −𝟏; 𝟔; −𝟐 = (𝟎; 𝟎; 𝟎)
𝑥 − 3𝑦 − 𝑧 = 0
2𝑥 + 2𝑦 + 6𝑧 = 0
−𝑥 + 0𝑦 − 𝑧 = 0
Utilizamos la matriz aumentada
Obtenemos un sistema de ecuaciones de 3x3
1 −3 −1
2 2 6
−1 0 −2
0
0
0
1 −3 −1
0 8 8
0 −3 −3
0
0
0
−2𝑅1 + 𝑅2
𝑅1 + 𝑅3
1 −3 −1
0 1 1
0 −3 −3
0
0
0
1 −3 −1
0 1 1
0 0 0
0
0
0
1
8
𝑅2
3𝑅2 + 𝑅3
Por tanto tenemos:
∴ es un LD
𝑥 − 3𝑦 + 𝑧 = 0
𝑦 + 𝑧 = 0
0 = 0
𝑥 = 3𝑦 − 𝑧
𝑦 = −𝑧
𝑧 ∈ ℝ, 𝑖𝑛𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑎𝑠 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠

14. 4. BASES Y DIMENSIONES
COMBINACION LINEAL
Definición: Sea 𝑉, +, . un espacio vectorial real y
𝑣1, 𝑣 2, … , 𝑣𝑚 vectores de v. se denomina
combinación lineal de los vectores de
𝑣1, 𝑣2, … , 𝑣𝑚, al vector.
𝑽 = 𝜶𝟏𝒗𝟏+ 𝜶𝟐𝒗𝟐 + ... + 𝜶𝒎𝒗𝒎
Donde 𝜶𝟏, 𝜶𝟐 ,... , 𝜶𝒎 es cualquier elección de
escalares. Mas aun el conjunto.
𝑪𝑳 𝒗𝟏, … , 𝒗𝒎 = 𝜶𝟏𝒗𝟏+ ... + 𝜶𝒎𝒗𝒎/𝜶𝟏,... , 𝜶𝒎 ∈ ℝ ,
Contiene todas las combinaciones lineales de los
vectores 𝑣1, 𝑣 2, … , 𝑣𝑚.
Ejemplo 1
Dado los vectores:
𝒗𝟏, =
𝟐
𝟏
, 𝒗𝟐 =
𝟎
−𝟏
𝐲 𝒗𝟑 =
𝟑
𝟓
Se obtiene que:
𝑪𝑳 𝒗𝟏,𝑣2, 𝒗𝟑 = 𝜶𝟏
𝟐
𝟏
+𝜶𝟐
𝟎
−𝟏
+ 𝜶𝟑
𝟑
𝟓
/𝜶𝟏, 𝜶𝟐,𝜶𝟑 ∈ ℝ
Además, dado que:
𝜶𝟏
𝟐
𝟏
+𝜶𝟐
𝟎
−𝟏
+ 𝜶𝟑
𝟑
𝟓
=
𝟐𝜶𝟏 + 𝟑𝜶𝟑
𝜶𝟏 − 𝜶𝟐 + 𝟓𝜶𝟑
Se tiene que:
𝑪𝑳 𝒗𝟏,𝑣2, 𝒗𝟑 =
𝟐𝜶𝟏 + 𝟑𝜶𝟑
𝜶𝟏 − 𝜶𝟐 + 𝟓𝜶𝟑
/𝜶𝟏, 𝜶𝟐,𝜶𝟑 ∈ ℝ

15. Por otro lado, si nos pregunta, ¿el vector
𝟖
𝟔
∈ 𝑪𝑳 𝒗𝟏,𝑣2, 𝒗𝟑 ?
𝟖
𝟔
=
𝟐𝜶𝟏 + 𝟑𝜶𝟑
𝜶𝟏 − 𝜶𝟐 + 𝟓𝜶𝟑
⟹
𝟐𝜶𝟏 + 𝟑𝜶𝟑 = 8
𝜶𝟏 − 𝜶𝟐 + 𝟓𝜶𝟑 = 𝟔
Luego, empleando eliminación Gaussiana
se puede probar que:
𝜶𝟏 = 𝟒 −
𝟑
𝟐
𝜶𝟑 y 𝜶𝟐 = 𝟐 −
𝟕
𝟐
𝜶𝟑
En particular, considerando 𝜶𝟑 = 𝟐, se obtienen
los escalares 𝜶𝟏 = 𝟏, 𝜶𝟐 = 𝟓 y 𝜶𝟑 = 𝟐; que
permiten escribir:
𝟖
𝟔
= 𝟏
𝟐
𝟏
+𝟓
𝟎
−𝟏
+ 𝟐
𝟑
𝟓
Estableciendo así:
𝟖
𝟔
∈ 𝑪𝑳 𝒗𝟏,𝑣2, 𝒗𝟑
𝒗𝟏, =
𝟐
𝟏
, 𝒗𝟐 =
𝟎
−𝟏
𝐲 𝒗𝟑 =
𝟑
𝟓

16. 5. CONJUNTO GENERADOR
Definición
Sea 𝑉, +, . un espacio vectorial real y 𝑣1, 𝑣 2, … , 𝑣𝑚
vectores de 𝑉 . Se denomina Conjunto generador
de 𝑉, al conjunto {𝑣1, 𝑣 2, … , 𝑣𝑚}, si para todo 𝑣 ∈ 𝑉,
se cumple que 𝑉 ∈ 𝑪𝑳 {𝑣1, … , 𝑣𝑚} en otras
palabras.
𝑉 = 𝑪𝑳 {𝒗𝟏, 𝒗 𝟐, … , 𝒗𝒎}
Cuando esto ocurre, se cambia la notación:
𝑪𝑳 . 𝒑𝒐𝒓 𝒈𝒆𝒏 {. }.
Ejemplo 1
Considerar el espacio vectorial real 𝑉 = ℝ2 con
operaciones usuales. Los vectores 𝒆𝟏, =
𝟏
𝟎
y 𝒆𝟐 =
𝟎
𝟏
Generan a 𝑉. En efecto, dado cualquier vector
𝑉=
𝒂
𝒃
𝝐 𝑽, es claro que:
𝑽 =
𝒂
𝒃
= 𝒂
𝟏
𝟎
+ 𝒃
𝟎
𝟏
= 𝒂𝒆𝟏 + 𝒃𝒆𝟐,
de donde se tienen que 𝑉𝝐 𝑪𝑳 {𝒆𝟏, 𝒆𝟐} y
con ello se deduce que:
ℝ2
= 𝑔𝑒𝑛{𝒆𝟏, 𝒆𝟐}.

17. Ejemplo 2
Muestre que ℝ3 = 𝑔𝑒𝑛
1
2
3
,
0
1
2
,
−2
1
6
,
1
1
1
Resolución:
Dado ℝ3 = 𝑔𝑒𝑛
𝑎
𝑏
𝑐
𝜖 ℝ3, se debe probar que
existen 𝜶𝟏, 𝜶𝟐,𝜶𝟑, 𝜶𝟒 ∈ ℝ, tales como:
𝑎
𝑏
𝑐
= 𝜶𝟏
1
2
3
+ 𝜶𝟐
0
1
2
+ 𝜶𝟑
−2
1
6
+ 𝜶𝟒
1
1
1
=
1 0 −2
2 1 1
3 2 6
1
1
1
𝜶𝟏
𝜶𝟐
𝜶𝟑
𝜶𝟒
,
ahora, aplicamos la eliminación Gaussiana
=
1 0 −2
2 1 1
3 2 6
1
1
1
𝑎
𝑏
𝑐
1 0 −2
0 1 5
0 2 12
1
−1
−2
𝑏
𝑎
−2𝑎
−3𝑎
1 0 −2
0 1 5
0 0 2
1
−1
0
𝑏
𝑎
−2𝑎
+𝑐
c
−2𝑓1 + 𝑓2
−3𝑓1 + 𝑓3 a -2b
−2𝑓2 + 𝑓3

18. De esta forma, se deduce que el sistema posee
infinitas soluciones, por lo que 𝑽 se puede escribir
de infinitas formas como una combinación lineal de
los vectores dados, lo que concluye lo deseado.
−5𝑓3 + 𝑓2
2𝑓3 + 𝑓1
1 0 −2
0 1 5
0 0 2
1
−1
0
𝑎
−2𝑎
+
1
2
𝑐
1
2
𝑎 − 𝑏
1
2
𝑓3
b

19. 1. Calcular la dimensión y una base de los
siguientes subespacios vectoriales de 𝑀2𝑋2 (ℝ):
ACTIVIDADES
a) 𝑈1 = {A ∈ 𝑀2𝑋2 (ℝ) / (1, 1) ∈ Ker (A)}.
3. ¿El vector
−1
6
1
∈ 𝑎 𝐶𝐿
1
−1
2
,
3
−1
8
,
2
−1
5
?
Hallar escalares 𝜶𝟏, 𝜶𝟐,𝜶𝟑 ∈ ℝ
2. Sea V el espacio vectorial de las matrices
cuadradas de orden 2 sobre ℝ. Hallar el vector
coordenado de la matriz A ∈ V relativo a la
base:
𝐵 =
1 1
1 1
0 −1
1 0
1 −1
0 0
1 0
0 0
,
siendo A =
2 3
4 −7
4. Sea V el espacio de las matrices 2x2 sobre ℝ,
y sea W el subespacio generado por:
1 −5
−4 2
,
1 1
−1 5
,
2 −4
−5 7
,
1 −7
−5 1
Hallar una base y la dimensión de W.
5. Calcular la dimensión y una base del siguiente
subespacio vectorial de 𝑀2𝑋2 (ℝ):