Teoría de errores

1. TEORÍA DE INCERTIDUMBRES Y
PRESENTACIÓN DE RESULTADOS
Prácticas de Física I
Prof. Jesús Cuevas Maraver
Departamento de Física Aplicada I
Escuela Politécnica Superior

2. Medida e Incertidumbre
• Toda ciencia experimental se basa en observaciones
cuantitativas que llamamos medidas
• A su vez todo proceso de medida está sujeto a limitaciones que
se traducen inevitablemente en la existencia de cierta
incertidumbre asociada al resultado y que constituye una
indicación cuantitativa de la calidad del mismo
Medida = (Valor numérico ± incertidumbre) unidades
¡Es esencial especificar la incertidumbre de una medida ya que
nos indica el grado de fiabilidad y de exactitud de la misma!

3. Errores en las medidas físicas
• Nos podemos hacer un par de preguntas respecto a nuestras
medidas:
1) ¿Cómo de cerca está el valor real?
2) ¿Cómo de fiable es el resultado? Si volvemos a medir, ¿obtendremos
el mismo resultado o parecido?
Exactitud (Proximidad)
Precisión (reproducibilidad)

4. Tipos de errores
• Errores sistemáticos:
• Siempre tienen lugar en el mismo sentido.
• Se deben a errores de calibración (error de cero), condiciones
experimentales no apropiadas, tendencias erróneas en el observador,
etc.
• Afectan a la exactitud de la medida.
• Errores accidentales:
• Se dan en diferente cuantía y sentido cada vez.
• Se deben a causas difíciles de controlar: fluctuaciones ambientales, fallos
de apreciación, etc.
• Afectan a la precisión de la medida.
Ambos tipos de errores pueden darse simultáneamente

5. MEDIDAS DIRECTAS

6. Evaluación de la incertidumbre típica de
una medida directa
• Conlleva dos valoraciones diferentes:
• Incertidumbre tipo A
• Tiene en cuenta la variabilidad de las medidas en las mismas condiciones.
Requiere de un análisis estadístico del conjunto de observaciones:
𝑢𝐴 𝑥 = Desviación típica
• Incertidumbre tipo B
• Tiene en cuenta toda la información disponible acerca de la resolución del
instrumento de medida, especificaciones del fabricante, certificados de
calibración…
• En las prácticas de laboratorio de Física I, a menos que en el guión de la
práctica a realizar se indique otra cosa, se tomará
𝑢𝐵 𝑥 = Resolución del instrumento (𝛿𝑥)
• Finalmente, la incertidumbre típica (combinada) será igual a
𝑢𝑐 𝑥 = 𝑢𝐴
2
𝑥 + 𝑢𝐵
2
𝑥

7. Análisis estadístico
• A partir de N observaciones independientes (x1,x2,x3,…xN), se
toma
• El valor medio como resultado de la medida
𝑥 =
𝑖=1
𝑁
𝑥𝑖
𝑁
• La desviación típica del valor medio como incertidumbre tipo A
𝑢𝐴 𝑥 = 𝑖=1
𝑁
(𝑥𝑖−𝑥)
𝑁(𝑁 − 1)
• Si el número de medidas es menor que 10, podemos hacer la
aproximación
𝑢𝐴 𝑥 =
𝑥𝑚𝑎𝑥 − 𝑥𝑚𝑖𝑛
6

8. Resolución de los aparatos de medida
• Aparatos analógicos
• Se toma como resolución del instrumento la menor unidad que pueda
medir el aparato (distancia entre dos divisiones)
• Aparatos digitales
• Se toma como resolución una unidad del último dígito de lectura
δV=1 V
δT=0.1 ºC

9. Incertidumbre expandida
• Define un intervalo en torno al resultado de la medición x en el
que se espera encontrar gran parte de la distribución de
valores que podrían ser razonablemente atribuidos al
mensurando
𝑥 − 𝑈 𝑥 , 𝑥 + 𝑈 𝑥
• Se define como
𝑈 𝑥 = 𝑘𝑢𝑐 𝑥
• k: Factor de cobertura. Nos proporciona el nivel de confianza
del intervalo
• En general, tomaremos k=1
k=1 68.3 %
k=2 95.4 %
k=3 99.7 %

10. Incertidumbre relativa
• Es el cociente entre la incertidumbre (típica, combinada o
expandida) y el resultado de la medida
𝑢𝑟 𝑥 =
𝑢(𝑥)
𝑥
• Se suele expresar en %. Para ello se multiplica por 100 el
resultado:
• Por ejemplo si x=12 cm y u(x)=4 cm: ur(x)= 4/12=0,33=33%.
• No tiene unidades
• Da información sobre la bondad de la medida

11. Ejemplos
• Supongamos que medimos una temperatura cinco veces con un termómetro cuya
resolución es δT=1ºC
• Resultado de la medida (valor medio)
• Incertidumbre
• Resultado final
T1 T2 T3 T4 T5
64ºC 61ºC 65ºC 68ºC 65ºC
𝑢𝐴 𝑇 =
𝑇𝑚𝑎𝑥 − 𝑇𝑚𝑖𝑛
6
=
68 − 61
6
= 1.2ºC 𝑢𝐵 𝑇 = 𝛿𝑇 = 1ºC
𝑈 𝑇 = 𝑢𝑐 𝑇 = 𝑢𝐴
2
𝑇 + 𝑢𝐵
2
𝑇 = 1.56ºC
𝑇 = 64.6 ± 1.6 ºC; 𝑢𝑟 𝑇 = 2.5 %
𝑇 =
𝑖=1
5
𝑇𝑖
5
= 64.6ºC

12. Ejemplos
• Supongamos que medimos una longitud tres veces con una regla graduada
en milímetros (δL=1 mm)
• Resultado de la medida
• Incertidumbre
• Resultado final
L1 L2 L3
6.5 cm 6.5 cm 6.5 cm
𝑢𝐴 𝐿 = 0 cm 𝑢𝐵 𝐿 = 𝛿𝐿 = 0.1 cm 𝑈 𝐿 = 𝑢𝐵 𝐿 = 0.1 cm
𝐿 = 6.5 ± 0.1 cm; 𝑢𝑟 𝐿 = 1.5 %
𝐿 = 6.5 cm

13. PRESENTACIÓN DE
RESULTADOS

14. Presentación de resultados
• ¿Qué tienen de extraño estas frases?
• La extinción de los dinosaurios ocurrió hace aproximadamente 65
millones de años y 3 días
• Las pirámides se construyeron hace unos 4000 años y 27 segundos
• El viaje de Marco Polo a China duró unos 4 años, 3 meses, 12 días, 3
horas, 23 minutos, 12 segundos y 345 milésimas
• El resultado de una medida debe expresarse con un número de
cifras que viene determinado por el valor de la incertidumbre
• Por ejemplo, es absurdo dar como resultado
x=(1.2732345678534±0.035) m
• Y tampoco tiene sentido:
L=(2.1389639±0.18653617) m

15. Redondeo
• Norma
• Las incertidumbres deben darse con dos cifras significativas
• Deben descartarse del resultado todas las cifras que sean de orden inferior a la
incertidumbre
• La última cifra conservada se redondea de la siguiente forma:
• Aumentándola en una unidad si la primera cifra descartada es mayor que 5
• Dejándola tal cual si la primera cifra descartada es menor que 5
• Si la primera cifra descartada es 5 y al menos una de las siguientes es mayor que
0, la última cifra conservada se aumenta en una unidad
• Si la primera cifra descartada es 5 y todas las demás son 0, la última cifra
conservada no cambia si es par o se aumenta en una unidad si es impar
(redondeo al par más próximo)
x=(1.2732345678534±0.035) m x=(1.273±0.035) m
L=(2.1389639±0.18653617) m L=(2.14±0.19) m

16. Observaciones
• Para números muy grandes o muy pequeños conviene usar la
notación científica, esto es, en potencias de 10:
18000 ± 3000 Pa → 18.0 ± 3.0 × 103 Pa
0.00256 ± 0.00017 N → 2.56 ± 0.17 × 10−3 N
• En ocasiones hay que tener en cuenta que algunos ceros no se
pueden suprimir:
2 ± 0.21 cm
2.00 ± 0.21 cm

17. Ejemplos
4.81343 ± 0.04661
132.2894 ± 2.8754
5127 ± 234
0.53781 ± 0.00996
30353 ± 2550
2.3486 ± 0.345
± 0.047
± 2.9
± 230
± 0.0100
± 2600
± 0.34
4.813
132.3
5130
0.5378
30400
2.35

18. MEDIDAS INDIRECTAS

19. Incertidumbrecombinada de medidas
indirectas
• Las medidas indirectas son magnitudes A que se calculan a
partir de otras magnitudes (x,y,z) a partir de una fórmula
A=f(x,y,z)
• En este caso, la incertidumbre típica combinada viene dada por
𝑢𝑐 𝐴 =
𝜕𝑓
𝜕𝑥
2
𝑢2 𝑥 +
𝜕𝑓
𝜕𝑦
2
𝑢2 𝑦 +
𝜕𝑓
𝜕𝑧
2
𝑢2 𝑧

20. Ejemplo sencillo
• Calculamos el volumen de un paralelepípedo a partir de los valores
obtenido de las medidas de sus aristas
• Incertidumbre combinada
• Resultado
b
a c
a = 10,00  0,10 cm
b = 25,0  2,0 cm
c = 15,0  1,5 cm
V = a·b·c = 3750 cm3
𝑢𝑐 𝑉 =
𝜕𝑉
𝜕𝑎
2
𝑢2 𝑎 +
𝜕𝑉
𝜕𝑏
2
𝑢2 𝑏 +
𝜕𝑉
𝜕𝑐
2
𝑢2 𝑐
𝜕𝑉
𝜕𝑎
= 𝑏 · 𝑐
𝜕𝑉
𝜕𝑏
= 𝑎 · 𝑐
𝜕𝑉
𝜕𝑐
= 𝑎 · 𝑏
uc(V)=481,69622 cm3
V = (3750  480) cm3

21. Observaciones
• Cuando los cálculos se realizan mediante calculadora u
ordenador, conviene conservar siempre todas las cifras que
éstos permitan, procediéndose al redondeo SÓLO en el
resultado final, NUNCA redondeando resultados intermedios.
• Si en la fórmula o ley que permite el cálculo de una magnitud
aparece alguna constante matemática o física (como π, NA, g, c,
etc.), conviene considerar, en el momento de operar, el máximo
número significativo de cifras, de forma que el error
considerado sea despreciable frente a la incertidumbre de las
magnitudes que intervienen en la fórmula.

22. Ejemplo: densidad de una bola de acero
• Cálculo de la densidad:
𝜌 =
𝑚
4
3
𝜋𝑅3
=
𝑚
4
3
𝜋
𝐷
2
3
D
m
El diámetro D se mide con un calibre cuya
resolución es δD=0.01 cm
La masa m se mide con una balanza cuya
resolución es δm=0.1 g
𝜌 =
6𝑚
𝜋𝐷3

23. Ejemplo: densidad de una bola de acero
• Se mide el diámetro 7 veces
• Valor medio del diámetro
• Incertidumbre
• Resultado
D1 (cm) D2 (cm) D3 (cm) D4 (cm) D5 (cm) D6 (cm) D7 (cm)
2.38 2.45 2.39 2.44 2.40 2.43 2.42
𝐷 =
𝑖=1
7
𝐷𝑖
7
= 2.4157 cm
𝑢𝐴 𝐷 =
𝐷𝑚𝑎𝑥 − 𝐷𝑚𝑖𝑛
6
=
2.45 − 2.38
6
= 0.011667 cm
𝑢𝐵 𝐷 = 𝛿𝐷 = 0.01 cm 𝑢𝑐 𝐷 = 𝑢𝐴
2
𝐷 + 𝑢𝐵
2
𝐷 = 0.015366 cm
𝐷 = 2.416 ± 0.015 cm

24. Ejemplo: densidad de una bola de acero
• Se realiza una única medida de la masa, obteniéndose
• En este caso la incertidumbre típica sólo es consecuencia de
haber sido estimada la magnitud por una evaluación tipo B. Por
tanto, la incertidumbre típica será igual a la resolución del
instrumento
• Resultado
𝑚 = 57.7 g
𝑢 𝑚 = 𝑢𝐵 𝑚 = 𝛿𝑚 = 0.1 g
𝑚 = 57.7 ± 0.1 g

25. Ejemplo: densidad de una bola de acero
• Calculamos la densidad
• Incertidumbre combinada
• Resultado final
𝜌 =
6𝑚
𝜋𝐷3 = 7.8170 g/cm3
𝑢𝑐 𝜌 =
𝜕𝜌
𝜕𝑚
2
𝑢2 𝑚 +
𝜕𝜌
𝜕𝐷
2
𝑢2 𝐷
𝜕𝜌
𝜕𝑚
=
6
𝜋𝐷3
𝜕𝜌
𝜕𝐷
= −
18𝑚
𝜋𝐷4
𝑢𝑐 𝜌 = 0.1462 g/cm3
𝜌 = 7.82 ± 0.15 g/cm3

26. REPRESENTACIONES
GRÁFICAS

27. Cuándo no se necesita hacer una
representación gráfica
• Supongamos un coche que recorre a velocidad constante v una
distancia L=(100±1)m
• Para calcular v, 8 personas miden el tiempo que tarda en recorrer
el coche la distancia L
• Los tiempos medidos por cada reloj son los siguientes:
t1 t2 t3 t4 t5 t6 t7 t8
(4.0±0.1) s (3.9±0.1) s (4.1±0.1) s (4.0±0.1) s (3.8±0.1) s (4.1±0.1) s (4.2±0.1) s (3.9±0.1) s
L

28. Cuándo no se necesita hacer una
representación gráfica
t1 t2 t3 t4 t5 t6 t7 t8
(4.0±0.1) s (3.9±0.1) s (4.1±0.1) s (4.0±0.1) s (3.7±0.1) s (4.1±0.1) s (4.2±0.1) s (3.8±0.1) s
𝑡 =
𝑖=1
8
𝑡𝑖
8
= 4.075 s
𝑢𝐴(𝑡) =
𝑡7 − 𝑡5
6
≈ 0.0667 s 𝑢𝐵(𝑡) = 𝛿𝑡 = 0.1 s
𝑈 𝑡 = 𝑢𝑐 𝑡 = 𝑢𝐴
2
(𝑡) + 𝑢𝐵
2
(𝑡) = 0.12 s
𝑡 = 4.08 ± 0.12 s; 𝑢𝑟 𝑡 = 2.9%
• Calculamos la incertidumbre del tiempo:
• Resultado:
• Calculamos el valor medio del tiempo:

29. Cuándo no se necesita hacer una
representación gráfica
• Calculamos la velocidad a partir de la fórmula:
• Incertidumbre combinada de la velocidad:
• Resultado final:
𝑣 =
𝐿
𝑡
≈ 24.5098 𝑠
𝑈 𝑣 = 𝑢𝑐 𝑣 =
𝜕𝑣
𝜕𝐿
2
𝑢2(𝐿) +
𝜕𝑣
𝜕𝑡
2
𝑢2(𝑡) =
𝑢2(𝐿)
𝑡2 +
𝐿2𝑢2(𝑡)
𝑡4 = 0.0017 𝑠
𝑣 = 24.5098 ± 0.0017 s

30. Cuándo sí se necesita hacer una
representación gráfica
• Supongamos un coche que recorre a velocidad constante v una
distancia L
• Para calcular v, 8 personas se sitúan en 8 puntos diferentes del
recorrido situados a una distancia al origen Li y midiendo cada una
(una sola vez) un tiempo ti
L=0 L1 L2 L3 L7 L8
t1 t2 t3 t7 t8

31. Cuándo sí se necesita hacer una
representación gráfica
• Resultados de las medidas:
L=0 L1 L2 L3 L7 L8
t1 t2 t3 t7 t8
t (± 0.01 s) L (± 1 m)
0.51 12.5
1.01 25.0
1.57 37.5
2.10 50.0
2.47 62.5
3.06 75.0
3.55 87.5
4.14 100.0

32. Cuándo sí se necesita hacer una
representación gráfica
• Sabemos que la distancia y el tiempo están relacionados a
través de la relación lineal: 𝐿 = 𝑣𝑡
• Si se representan gráficamente los valores obtenidos, de modo
que la distancia esté en el eje de ordenadas y los tiempos en el
eje de abcisas, los puntos deben estar alineados
0
20
40
60
80
100
120
0 1 2 3 4 5
L (m)
t(s)

33. 0
20
40
60
80
100
120
0 1 2 3 4 5
L (m)
t(s)
Cuándo sí se necesita hacer una
representación gráfica
• Debido a los errores experimentales, los puntos no están
perfectamente alineados
• Por ello, hay que encontrar la recta de mejor ajuste a esos
puntos
• Se puede hacer manualmente o de forma matemática
0
20
40
60
80
100
120
0 1 2 3 4 5
L (m)
t(s)

34. Ajuste por mínimos cuadrados (regresión
lineal)
• Permite obtener la pendiente (m) y la ordenada en el origen (b)
de la recta de mejor ajuste 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏 a partir de los datos
experimentales {(x1, x2, … xn), (y1, y2, … yn)}
𝑚 =
𝑛 𝑖=1
𝑛
𝑥𝑖𝑦𝑖 − 𝑖=1
𝑛
𝑥𝑖 𝑖=1
𝑛
𝑦𝑖
𝑛 𝑖=1
𝑛
𝑥𝑖
2
− 𝑖=1
𝑛
𝑥𝑖
2
𝑏 =
𝑖=1
𝑛
𝑦𝑖 − 𝑚 𝑖=1
𝑛
𝑥𝑖
𝑛
𝑢𝑐(𝑚) = 𝑖=1
𝑛
𝑦𝑖 − 𝑚𝑥𝑖 − 𝑏 2
(𝑛 − 2) 𝑖=1
𝑛
(𝑥𝑖
2
− 𝑖=1
𝑛
𝑥𝑖 /𝑛)2
𝑢𝑐(𝑏) = 𝑢𝑐(𝑚)
𝑖=1
𝑛
𝑥𝑖
2

35. Ajuste por mínimos cuadrados (regresión
lineal)
• El coeficiente de correlación (r) e una medida cuantitativa de la
cercanía de los puntos experimentales a la recta de regresión
• |r|<1 y su signo coincide con el de m
• Cuanto más cerca esté |r| de 1, mejor es el ajuste. Si |r|<0.9, los
puntos no se suelen ajustar a una recta. Por otro lado, |r|=1 es una
indicación de la baja precisión de los aparatos de medida.
• Siempre se debe expresar con todas sus cifras hasta la primera que
no sea 9, redondeándola en su caso: r = 0.9996714  r = 0.9997
𝑟 =
𝑛 𝑖=1
𝑛
𝑥𝑖𝑦𝑖 − 𝑖=1
𝑛
𝑥𝑖 𝑖=1
𝑛
𝑦𝑖
𝑛 𝑖=1
𝑛
𝑥𝑖
2
− 𝑖=1
𝑛
𝑥𝑖
2
𝑛 𝑖=1
𝑛
𝑦𝑖
2
− 𝑖=1
𝑛
𝑦𝑖
2

36. • Debe identificarse la fórmula matemática de nuestro problema
con la recta de regresión
• Por tanto, la velocidad coincidirá con la pendiente, y la
ordenada en el origen debe ser cero
• Aplicando las fórmulas de mínimos cuadrados se obtiene
𝑦 = 𝑚 𝑥 + 𝑏
𝐿 = 𝑣 𝑡
¿Cómo se resuelve un problema usando la
recta de mejor ajuste?
+ 0
𝑣 ≡ 𝑚 = 24.41 ± 0.37
m
s
𝑏 = 0.07 ± 0.97 m ∋ 0 m
𝑟 = 0.9993

37. Cómo debe hacerseuna representacióngráfica
Eje de
ordenadas
(v. dependiente)
Puntos distribuidos
por toda la gráfica
Barras de error
Eje de abcisas
(v. independiente)
Identificación
de los ejes
Escala
sencilla
I (mA)
1 2 3 4 5 6 7 8
V (102 mV)
12
13
14
15
16
17
El origen no tiene
porqué ser el (0,0)
¡Nunca!
(La gráfica debe
estar limpia)
Línea de
ajuste

38. Cómo no debe hacerseuna representacióngráfica
0
12.27
24.54
36.81
49.08
61.35
73.62
85.89
98.16
110.43
0.000000001.000000002.000000003.000000004.000000005.000000006.000000007.000000008.000000009.00000000
10.00000000
t
L
Espaciado
absurdo en el eje
La leyenda
sobra
Líneas o
cuadrículas no
necesarias
El espacio en blanco
hace que los puntos
estén en una región
pequeña
Los puntos no
deben unirse
No deben incluirse
decimales salvo que
sea necesario. Y
menos en un número
tan grande

39. Otra utilidad de la regresión lineal
• Supongamos que estamos tomando las medidas de tiempos del
coche anterior, pero no sabemos si se está moviendo con
velocidad constante (𝐿 = 𝑣𝑡) o aceleración constante (𝐿 =
1
2
𝑎𝑡2
)
• Podemos hacer dos representaciones: una de L frente a t y otra
de L frente a t2 y ver en cuál de ellas los puntos están más
cercanos a una recta
• Esto se puede comprobar a ojo o de forma cuantitativa
mediante el coeficiente de correlación

40. Otra utilidad de la regresión lineal
t (s) L (m)
2.47 12.5
3.49 25.0
4.22 37.5
4.92 50.0
5.47 62.5
6.09 75.0
6.50 87.5
6.99 100.0
t2 (s2) L (m)
6.1009 12.5
12.1801 25.0
17.8084 37.5
24.2064 50.0
29.9209 62.5
37.0881 75.0
42.2500 87.5
48.8601 100.0
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
2 3 4 5 6 7
L (m)
t (s)
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
6 16 26 36 46
L (m)
t2 (s2)
𝑟 = 0.992
𝑟 = 0.9997
Movimiento acelerado
𝑚 = 2.046 ± 0.020 m/s2
𝑎 = 4.092 ± 0.040 m/s2
𝒎 =
𝒂
𝟐