tension

1. INGENIERÍA CIVIL DE MINAS
Análisis de Tensiones
Mecánica de Rocas – IMI75

2. Conceptos
básicos
Tanto la Tensión como la fuerza son magnitudes físicas. La
tensión deriva de la fuerza. Las fuerzas que inducen un
estado tenso-deformacional son de masa y de superficie.
Las fuerzas de masa están relacionadas al propio cuerpo
sujeto de estudio y se distribuyen en toda la amplitud del
mismo, por ejemplo: fuerzas gravitacionales, fuerza de
inercia, fuerza magnética, etc.
Las fuerzas de superficie son una consecuencia del
contacto físico entre dos cuerpos.
• (TENSIÓN=STRESS=ESFUERZO)

3. Tensión
La tensión no puede ser
medida directamente, se
determina a través de
efectos como la
deformación o la rotura del
cuerpo.
 Tensión en un plano:
𝝈 =
𝑭
𝑨
Estado de Tensión
También llamada Tensión
en un punto, permite la
descripción total del vector
tensión en cualquier plano
contenido o punto
considerado.
𝝈 = 𝐥𝐢𝐦
∆𝑨→𝟎
∆𝑭
∆𝑨
=
𝒅𝑭
𝒅𝑨
Campo de Tensión
En el interior de un macizo
rocoso el estado de
tensión varía de un punto
a otro. Se denomina
Campo de tensión a la
distribución de los
distintos estados de
tensión.

4. Tensión
La tensión no puede ser
medida directamente, se
determina a través de
efectos como la
deformación o la rotura del
cuerpo.
 Tensión en un plano:
𝝈 =
𝑭
𝑨
Tensión en un plano
𝝈 =
𝑭𝒖𝒆𝒓𝒛𝒂
Á𝒓𝒆𝒂
Magnitud vectorial
Magnitud escalar
𝝉 =
𝑭𝒖𝒆𝒓𝒛𝒂
Á𝒓𝒆𝒂
La fuerza es paralela al
plano
𝝈𝑵 =
𝑭𝒖𝒆𝒓𝒛𝒂
Á𝒓𝒆𝒂
La fuerza es perpendicular
al plano
Esfuerzo
de
Corte
Esfuerzo
Normal

5. Terminología
Esfuerzo a compresión: POSITIVO Esfuerzo a tracción: NEGATIVO
Esfuerzo de cizalle: POSITIVO Esfuerzo de cizalle: NEGATIVO
A)
B)
C) D)

6. Terminología
 Considere un cubo infinitesimal
en el interior de un macizo, con
sus lados paralelos a los ejes x, y,
z en un sistema de coordenadas
rectangular.
 Las tensiones actuantes en las
caras son las descritas por las
componentes de tensión normal
σxx, σyy, σzz y por las seis
componentes de tensión
cizallante τxy , τyx , τyz , τzy , τzx ,
τxz .

7. Tensión Cizallante
τxy
Indica la dirección de la normal al plano
en la cual la tensión está actuando
Indica la dirección en la cual la tensión
cizallante está actuando

8. Estado de equilibrio
 A fin de mantener el equilibrio
rotacional, las componentes
de cizallamiento en los tres
planos son anuladas:
τxy = τyx , τyz = τzy , τzx = τxz
 Así, el estado de tensión, con
respecto a un sistema
arbitrario de coordenadas, es
definido por las seis
componentes de tensión
𝛔 = =

9. Representación gráfica por medio del Círculo de Mohr
 El ingeniero alemán Otto Mohr (1835-1918), ideó un sistema gráfico para
representar el estado de esfuerzos en un punto.

10. Casos de estados de esfuerzos
Estado de compresión uniaxial

11. Casos de estados de esfuerzos
Estado de corte puro
Se caracteriza porque existe sólo la
componente de corte en el plano donde 𝜏
es máximo.

12. Casos de estados de esfuerzos
Estado de corte puro
o En este caso además se cumple que:
o De acuerdo a esto, se podría formular una definición más general
del estado de esfuerzo de corte puro, diciendo que es aquel en
que la suma de los esfuerzos normales es nula, vale decir, para una
orientación (n,t) cualquiera se debe cumplir que:

13. Casos de estados de esfuerzos
Estado de corte puro
o Como esta es una cantidad
invariante, resulta entonces que
para cualquier otra orientación del
elemento se cumplirá que la suma
de los esfuerzos normales es nula.
El círculo de Mohr en este caso
particular resulta centrado respecto
del origen.

14. Casos de estados de esfuerzos
Estado de tracción uniaxial

15. Casos de estados de esfuerzos
Estado de esfuerzo hidrostático

16. Esfuerzos Parciales
 Para cada orientación de plano existirán distintos esfuerzos normales y
tangenciales, que no necesariamente serán los mínimos o máximos que un
elemento de roca pueda resistir. Estos esfuerzos los denominaremos <Esfuerzos
Parciales>.
 Los Esfuerzos Parciales (normales y cortantes) variarán con la dirección en
cualquier sistema de coordenadas que se escoja.
Sistema Coordenado Sin Rotación
𝜎𝑥 ; 𝜎𝑦 ; 𝜏𝑥𝑦
Sistema Coordenado Con Rotación
𝜎′𝑥 ; 𝜎′𝑦 ; 𝜏′𝑥𝑦
𝜏′𝑥𝑦 = 𝜏𝑥′𝑦′

17. Esfuerzos Normales Principales
 Los esfuerzos normales y cortantes en el punto variarán con la dirección en cualquier sistema de
coordenadas que se escoja.
 En cualquier punto sometido a esfuerzos se puede encontrar 3 plano ortogonales entre sí, en los que
los esfuerzos tangenciales son nulos, estos planos se denominan PLANOS PRINCIPALES de esfuerzo, y
los esfuerzos normales que actúan sobre ellos son las TENSIONES o ESFUERZOS PRINCIPALES:
𝜎1 > 𝜎2 > 𝜎3
En el plano donde ocurran los esfuerzos normales principales, los esfuerzos tangenciales
valen cero

18. Esfuerzos Cortantes Principales
 Habrá también otro conjunto de ejes mutuamente perpendiculares sobre los
cuales los esfuerzos cortantes serán máximos.
 Los esfuerzos cortantes principales actúan sobre un conjunto o sistema de
planos que están a 45° en relación con los planos de los esfuerzos normales
principales.
𝜏𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑜 = 𝜏𝑚á𝑥.
𝜏𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑜 = 𝜏𝑚í𝑛. = −𝜏𝑚á𝑥.

19. Diferencia en Esfuerzos Parciales y Esfuerzos
principales
 Los esfuerzos normales son los que actúan en la "cara" de una partícula, hay dos
tipos de esfuerzos: los normales y los tangenciales (o cortantes), la diferencia con
los principales es la magnitud ya que los esfuerzos principales SON esfuerzos
normales y esa es su principal característica.
 Sin embargo, no se sabe si los esfuerzos calculados mediante estas ecuaciones para
cualquier ángulo particular son los esfuerzos máximos o mínimos posibles. Los
esfuerzos máximos y mínimos en un punto se llaman los esfuerzos principales, y es
importante para el proyectista poder calcular estos esfuerzos principales

20. Determinación de Esfuerzos Principales
 Los esfuerzos máximos y mínimos en un punto se llaman los esfuerzos principales, y se
denominan 𝜎1 y 𝜎2 respectivamente (2D)
𝜎𝑝𝑟𝑜𝑚 =
𝜎𝑥 + 𝜎𝑦
2
𝜏𝑚𝑎𝑥 = ±
𝜎𝑥 − 𝜎𝑦
2
2
+ 𝜏𝑥𝑦
2
𝜎1 = 𝜎𝑝𝑟𝑜𝑚 + 𝜏𝑚𝑎𝑥
𝜎2 = 𝜎𝑝𝑟𝑜𝑚 − 𝜏𝑚𝑎𝑥
Esfuerzo
cizallante
máximo
𝜎1 =
𝜎𝑥 + 𝜎𝑦
2
+
𝜎𝑥 − 𝜎𝑦
2
2
+ 𝜏𝑥𝑦
2
𝜎2 =
𝜎𝑥 + 𝜎𝑦
2
−
𝜎𝑥 − 𝜎𝑦
2
2
+ 𝜏𝑥𝑦
2
Esfuerzo
principal
mayor
Esfuerzo
principal
menor

21. CASO 1: el elemento no tiene rotación
𝑦
𝑥
𝜎𝑥
𝜎𝑦
𝜏𝑥𝑦
𝜎𝑝𝑟𝑜𝑚 =
𝜎𝑥 + 𝜎𝑦
2
𝜏𝑚𝑎𝑥 = ±
𝜎𝑥 − 𝜎𝑦
2
2
+ 𝜏𝑥𝑦
2
𝜎1 = 𝜎𝑝𝑟𝑜𝑚 +
𝜎𝑥 − 𝜎𝑦
2
2
+ 𝜏𝑥𝑦
2
𝜎2 = 𝜎𝑝𝑟𝑜𝑚 −
𝜎𝑥 − 𝜎𝑦
2
2
+ 𝜏𝑥𝑦
2

22. Ejemplo Caso 1
𝜎𝑥 = 70 kPa  compresión
𝜎𝑦 = 50 kPa  compresión
𝜏𝑥𝑦 = −20 𝑘𝑃𝑎  negativo
𝜎𝑝𝑟𝑜𝑚 =
𝜎𝑥 + 𝜎𝑦
2
𝜏𝑚𝑎𝑥 = ±
𝜎𝑥 − 𝜎𝑦
2
2
+ 𝜏𝑥𝑦
2
𝜎𝑝𝑟𝑜𝑚 =
70 𝑘𝑃𝑎 + 50 𝑘𝑃𝑎
2
= 60 𝑘𝑃𝑎
𝜏𝑚𝑎𝑥 = ±
70 𝑘𝑃𝑎 − 50 𝑘𝑃𝑎
2
2
+ −20 𝑘𝑃𝑎 2 = 22.36 𝑘𝑃𝑎

23. Si el elemento NO tiene rotación
x
y
𝜎𝑝𝑟𝑜𝑚 = 60𝑘𝑃𝑎
𝜏𝑚𝑎𝑥 = ±22,4𝑘𝑃𝑎
𝜎1 = 82,4 𝑘𝑃𝑎
𝜎2 = 37,6 𝑘𝑃𝑎
𝐴
𝐵
σ1
σ2
τmáx.
τmín.
2𝜗𝑝
2𝜗𝑠
σprom
𝐵 = 𝜎𝑦 ; 𝜏𝑥𝑦 = (50; −20)
𝐴 = 𝜎𝑥 ; −𝜏𝑥𝑦 = (70; 20)

24. CASO 2: el elemento SÍ tiene rotación
 La orientación de cualquier plano dentro del cuadrado puede especificarse mediante los
cosenos de los ángulos que forman la normal al plano con los ejes x e y (cosenos directores)
ϑ
ϑ
τyx
σy
τxy
σx
τyx
σy
τxy
σx
τϑ
σNϑ
O D
B C
A
y
x
El bloque infinitesimal
representado en el plano xy de
espesura unitaria t en dirección
perpendicular a dicho plano.
Tensiones normales: σx , σy
Tensiones cizallantes:τxy = τyx

25. Tensiones en dos dimensiones
 Para determinar las tensiones normales
σNϑ y cizallanate τϑ actuantes en un plano
AB cuya normal forma un ángulo ϑ con el
eje X, se debe considerar el equilibrio de
una pequeña región triangular OAB, de
espesor unitario, asumiendo que σx , σy ,
τxy son conocidas.
 Para satisfacer las condiciones de
equilibrio, la sumatoria de todas las
fuerzas normales debe ser igual a cero.
En otras palabras σNϑ AB t debe ser igual
a la suma de todas las fuerzas actuantes
en el triángulo de espesor t
ϑ
ϑ
τyx
τxy
σx
τϑ
σNϑ
y
x
ϑ
ϑ
σy
O
B
A

26. ϑ
ϑ
τyx
τxy
σx
τϑ
σNϑ
y
x
ϑ
ϑ
σy
O
B
A
𝐹𝑁 = σNϑ AB t − σxOB 𝑐𝑜𝑠 𝜗 t −σ𝑦OA 𝑠𝑒𝑛 𝜗 𝑡 − 𝜏𝑥𝑦𝑠𝑒𝑛(𝜗)t = 0
Reemplazando:
𝐴𝐵 = 𝑎 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑
𝑂𝐵 = 𝑎 ∗ cos 𝜗
𝑂𝐴 = 𝑎 ∗ 𝑠𝑒𝑛(𝜗)
σNϑ a t = σx 𝑎 𝑐𝑜𝑠2 𝜗 t + 𝜏𝑥𝑦 𝑎 𝑠𝑒𝑛(𝜗) cos(𝜗)t + σ𝑦𝑎 𝑠𝑒𝑛2 𝜗 𝑡 + 𝜏𝑦𝑥 𝑎 𝑠𝑒𝑛(𝜗) cos(𝜗)t
σNϑ = σx 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝝑 + 𝟐𝝉𝒙𝒚 𝒔𝒆𝒏(𝝑) cos(𝝑) + σ𝒚𝒔𝒆𝒏𝟐 𝝑
/∗
1
𝑎𝑡
Tensiones en dos dimensiones

27. Determine el esfuerzo normal
σNϑ = σx 𝑐𝑜𝑠2
𝜗 + 2𝜏𝑥𝑦 𝑠𝑒𝑛(𝜗) cos(𝜗) + σ𝑦𝑠𝑒𝑛2
𝜗
Considere las relaciones
trigonométricas
𝒄𝒐𝒔𝟐
(𝝑) =
𝟏
𝟐
(𝟏 + 𝒄𝒐𝒔(𝟐𝝑)
𝒔𝒆𝒏𝟐
(𝝑) =
𝟏
𝟐
(𝟏 − 𝒄𝒐𝒔(𝟐𝝑)
𝒄𝒐𝒔𝟐
𝝑 + 𝒔𝒆𝒏𝟐
𝝑 = 𝟏
𝒔𝒆𝒏(𝟐𝝑) = 𝟐𝒔𝒆𝒏(𝝑)𝒄𝒐𝒔(𝝑)
σNϑ =
σx + σ𝑦
2
+(
σx − σ𝑦
2
)𝑐𝑜𝑠 2𝜗 + 𝜏𝑥𝑦𝑠𝑒𝑛(2𝜗)

28. Determine el esfuerzo de cizalle
𝐹𝑠 = 𝜏ϑ AB t + σxOB 𝑠𝑒𝑛 𝜗 t −𝜏𝑥𝑦𝑂𝐵𝑐𝑜𝑠(𝜗)t − σ𝑦OA cos 𝜗 𝑡 − 𝜏𝑦𝑥𝑂𝐴𝑠𝑒𝑛(𝜗)t = 0
Reemplazando:
𝐴𝐵 = 𝑎 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑
𝑂𝐵 = 𝑎 ∗ cos 𝜗
𝑂𝐴 = 𝑎 ∗ 𝑠𝑒𝑛(𝜗)
𝜏ϑ 𝑎t = −σx 𝑎 𝑐𝑜𝑠 𝜗 t + 𝜏𝑥𝑦 acos2
(𝜗) t + σ𝑦𝑎 𝑠𝑒𝑛 𝜗 cos 𝜗 𝑡 − 𝜏𝑦𝑥𝑎𝑠𝑒𝑛2
(𝜗)t = 0
𝝉ϑ = σy − σx 𝒔𝒆𝒏(𝝑)𝒄𝒐𝒔(𝝑) + 𝝉𝒙𝒚 (𝒄𝒐𝒔𝟐(𝝑) − 𝒔𝒆𝒏𝟐(𝝑) )
/∗
1
𝑎𝑡

29. Determine el esfuerzo de cizalle
𝝉ϑ = σy − σx 𝒔𝒆𝒏(𝝑)𝒄𝒐𝒔(𝝑) + 𝝉𝒙𝒚 (𝒄𝒐𝒔𝟐
(𝝑) − 𝒔𝒆𝒏𝟐
(𝝑) ) Considere las relaciones
trigonométricas
𝒄𝒐𝒔𝟐
(𝝑) =
𝟏
𝟐
(𝟏 + 𝒄𝒐𝒔(𝟐𝝑)
𝒔𝒆𝒏𝟐
(𝝑) =
𝟏
𝟐
(𝟏 − 𝒄𝒐𝒔(𝟐𝝑)
𝒄𝒐𝒔𝟐
𝝑 + 𝒔𝒆𝒏𝟐
𝝑 = 𝟏
𝒔𝒆𝒏(𝟐𝝑) = 𝟐𝒔𝒆𝒏(𝝑)𝒄𝒐𝒔(𝝑)
𝜏ϑ =
1
2
(σy−σx)𝑠𝑒𝑛 2𝜗 + 𝜏𝑥𝑦𝑐𝑜𝑠(2𝜗)

30. σNϑ =
σx + σ𝑦
2
±(
σx − σ𝑦
2
)𝑐𝑜𝑠 2𝜗 ± 𝜏𝑥𝑦𝑠𝑒𝑛(2𝜗)
𝜏ϑ =
1
2
(σy−σx)𝑠𝑒𝑛 2𝜗 + 𝜏𝑥𝑦𝑐𝑜𝑠(2𝜗)
Para calcular Esfuerzo
Normal y de Corte en
cualquier plano de
inclinación ϑ conociendo los
esfuerzos σx , σy , τxy
y
x
ϑ
ϑ
σ𝑦’
σ𝑥’
σ𝑦
σ𝑥

31. Al realizar correctamente el giro de los vectores, nos
debe dar el mismo resultado
ϑ
ϑ
σ𝑦’
σ𝑥’

32. CASO 2: el elemento sí tiene rotación
y
x
ϑ
ϑ
σ𝑦’
σ𝑥’
σ𝑦
σ𝑥
σ′x =
σx + σ𝑦
2
+(
σx − σ𝑦
2
)𝑐𝑜𝑠 2𝜗 + 𝜏𝑥𝑦𝑠𝑒𝑛(2𝜗)
σ′y =
σx + σ𝑦
2
− (
σx − σ𝑦
2
)𝑐𝑜𝑠 2𝜗 − 𝜏𝑥𝑦𝑠𝑒𝑛(2𝜗)
𝜏′xy =
1
2
(σy−σx)𝑠𝑒𝑛 2𝜗 + 𝜏𝑥𝑦𝑐𝑜𝑠(2𝜗)
𝝈𝒑𝒓𝒐𝒎

33. Ejemplo Caso 2
𝜎𝑥 = 70 kPa  compresión
𝜎𝑦 = 50 kPa  compresión
𝜏𝑥𝑦 = −20 𝑘𝑃𝑎
A)
B)
C) D)
σ′x =
σx + σ𝑦
2
+(
σx − σ𝑦
2
)𝑐𝑜𝑠 2𝜗 + 𝜏𝑥𝑦𝑠𝑒𝑛 2𝜗 =
70 + 50
2
+(
70 − 50
2
)𝑐𝑜𝑠 60 − 20𝑠𝑒𝑛 60
σ′x =47,7 kPa
20 𝑘𝑃𝑎
y
x
ϑ
ϑ
σ𝑦’
σ𝑥’
σ𝑦
σ𝑥
50 𝑘𝑃𝑎
70 𝑘𝑃𝑎

34. Ejemplo Caso 2
𝜎𝑥 = 70 kPa  compresión
𝜎𝑦 = 50 kPa  compresión
𝜏𝑥𝑦 = −20 𝑘𝑃𝑎
A)
B)
C) D)
20 𝑘𝑃𝑎
y
x
ϑ
ϑ
σ𝑦’
σ𝑥’
σ𝑦
σ𝑥
50 𝑘𝑃𝑎
70 𝑘𝑃𝑎
σ′y=
σx + σ𝑦
2
− (
σx − σ𝑦
2
)𝑐𝑜𝑠 2𝜗 − 𝜏𝑥𝑦𝑠𝑒𝑛 2𝜗 =
70 + 50
2
− (
70 − 50
2
)𝑐𝑜𝑠 60 + 20𝑠𝑒𝑛 60
σ′y =

35. Ejemplo Caso 2
𝜎𝑥 = 70 kPa  compresión
𝜎𝑦 = 50 kPa  compresión
𝜏𝑥𝑦 = −20 𝑘𝑃𝑎
A)
B)
C) D)
𝜏′xy =
1
2
(σy−σx)𝑠𝑒𝑛 2𝜗 + 𝜏𝑥𝑦𝑐𝑜𝑠 2𝜗 =
1
2
(50 − 70)𝑠𝑒𝑛 60 − 20𝑐𝑜𝑠(60)
𝜏′xy = −18,7 kPa
20 𝑘𝑃𝑎
y
x
ϑ
ϑ
σ𝑦’
σ𝑥’
σ𝑦
σ𝑥
50 𝑘𝑃𝑎
70 𝑘𝑃𝑎

36. Ejemplo Caso 2
𝜏′xy = −18,7 kPa
σ′y =72,3 kPa
σ′x =47,7 kPa
𝜎𝑝𝑟𝑜𝑚 =
𝜎′𝑥 + 𝜎′𝑦
2
𝜏𝑚𝑎𝑥 = ±
𝜎′𝑥 − 𝜎′𝑦
2
2
+ 𝜏′𝑥𝑦
2
𝜎𝑝𝑟𝑜𝑚 =
47,7 + 72,3
2
= 60𝑘𝑃𝑎
𝜏𝑚𝑎𝑥 = ±
47,7 − 72,3
2
2
+ −18,7 2 = 22,4 𝑘𝑃𝑎
20 𝑘𝑃𝑎
y
x
ϑ
ϑ
σ𝑦’
σ𝑥’
σ𝑦
σ𝑥
50 𝑘𝑃𝑎
70 𝑘𝑃𝑎

37. Ejemplo Caso 2
𝜎1 = 𝜎𝑝𝑟𝑜𝑚 +
𝜎𝑥 − 𝜎𝑦
2
2
+ 𝜏𝑥𝑦
2
𝜎2 = 𝜎𝑝𝑟𝑜𝑚 −
𝜎𝑥 − 𝜎𝑦
2
2
+ 𝜏𝑥𝑦
2
𝜎1 = 60 + 22,4 = 82,4 𝑘𝑃𝑎
𝜎2 = 60 − 22,4 = 37,6 𝑘𝑃𝑎
𝜎𝑝𝑟𝑜𝑚 =
41,3 + 78,7
2
= 60𝑘𝑃𝑎
𝜏𝑚𝑎𝑥 = ±
41,3 − 78,7
2
2
+ −12,3 2 = 22,4𝑘𝑃𝑎
20 𝑘𝑃𝑎
y
x
ϑ
ϑ
σ𝑦’
σ𝑥’
σ𝑦
σ𝑥
50 𝑘𝑃𝑎
70 𝑘𝑃𝑎

38. Calculadora online círculo de mohr
Calculadora online círculo de mohr

39. ¿dónde y cuándo actúan los Esfuerzos Principales?
 Los Esfuerzos Normales Principales actúan en un plano de inclinación específica, el
cual denominamos < 𝜗𝑝>. En este plano los Esfuerzos Normales Principales son
máximos y NO existe esfuerzo de corte.
 Los Esfuerzos Cortantes Máximos o plano donde actúan los Esfuerzos Secundarios
actúan en un plano de inclinación determinado y complementario a 𝜗𝑝 ; se
denomina < 𝜗𝑠>. En este plano los Esfuerzos Secundarios son máximos y los
Esfuerzos normales actuantes son los Esfuerzos Normal Promedio.
 Los Esfuerzos Normales Principales y los Esfuerzos Cortantes Máximos actúan en
planos que difieren en 45° entre sí.

40. Determinación de planos donde actúan Esfuerzos
Principales y Secundarios
Si lo que se quiere es maximizar la función para, precisamente, encontrar los ángulos donde
ocurren los esfuerzos máximos (ya sean normales o tangenciales), entonces matemáticamente lo
que se debe realizar es la derivada de la función que determina dichos esfuerzos
ángulo del plano donde actú𝑎𝑛
los 𝐸𝑠𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑜𝑠 𝑃𝑟𝑖𝑛𝑐𝑖𝑝𝑎𝑙𝑒𝑠
< 𝜗𝑝>.
ángulo del plano donde actú𝑎𝑛
los 𝐸𝑠𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑜𝑠 𝑆𝑒𝑐𝑢𝑛𝑑𝑎𝑟𝑖𝑜𝑠
< 𝜗𝑠>.
σNϑ =
σx + σ𝑦
2
±(
σx − σ𝑦
2
)𝑐𝑜𝑠 2𝜗 ± 𝜏𝑥𝑦𝑠𝑒𝑛(2𝜗)
𝜏ϑ =
1
2
(σy−σx)𝑠𝑒𝑛 2𝜗 + 𝜏𝑥𝑦𝑐𝑜𝑠(2𝜗)

41. Determinación del plano donde actúan los Esfuerzos
Principales
 Función a maximizar: <σNϑ>
ángulo del plano donde actú𝑎𝑛
los 𝐸𝑠𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑜𝑠 𝑃𝑟𝑖𝑛𝑐𝑖𝑝𝑎𝑙𝑒𝑠
< 𝜗𝑝>.
σNϑ =
σx + σ𝑦
2
±(
σx − σ𝑦
2
)𝑐𝑜𝑠 2𝜗 ± 𝜏𝑥𝑦𝑠𝑒𝑛(2𝜗)
En este momento no sabemos si en
estos ángulos actúan los Esfuerzos
Principales o si actúan los Esfuerzos
Parciales
𝜕σNϑ
𝜕ϑ
= 0
𝜕σNϑ
𝜕ϑ
= − σx − σ𝑦 𝑠𝑒𝑛 2𝜗 + 𝜏𝑥𝑦2𝑐𝑜𝑠 2𝜗 = 0

42. Determinación del plano donde actúan los Esfuerzos
Principales
𝜕σNϑ
𝜕ϑ
= − σx − σ𝑦 𝑠𝑒𝑛 2𝜗 + 2𝜏𝑥𝑦𝑐𝑜𝑠 2𝜗 = 0
Despeje
𝜗
𝜗𝑝1 =
1
2
tan−1(
2𝜏𝑥𝑦
σx − σ𝑦
)
𝜗𝑝2 = 𝜗𝑝1 + 90°  grados sexagesimales
Y a 90° ocurre
el esfuerzo
principal
menor
𝜗𝑝2 = 𝜗𝑝1 +
𝜋
2
 radianes

43. INVARIANTES DE ESFUERZOS
 Las invariantes permiten corroborar el cambio de coordenadas y además mediante las
invariantes generadas determinar la magnitud y orientación de los esfuerzos principales. Al
sumar los esfuerzos principales σ1y σ2 se tiene que:
 En forma mas general, la Invariante 1:
• Esto significa que la suma de los esfuerzos normales es independiente de la orientación del
elemento (cantidad invariante).

44. 𝜏ϑ =
1
2
(σy−σx)𝑠𝑒𝑛 2𝜗 + 𝜏𝑥𝑦𝑐𝑜𝑠(2𝜗)
ángulo del plano donde actú𝑎𝑛
los 𝐸𝑠𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑜𝑠 𝑆𝑒𝑐𝑢𝑛𝑑𝑎𝑟𝑖𝑜𝑠
< 𝜗𝑠>.
Determinación del plano donde actúan los Esfuerzos
Secundarios
 Función a maximizar:< τϑ > En este momento no sabemos si en
estos ángulos actúan los Esfuerzos
de corte máximos o si actúan los
Esfuerzos de corte Parciales
𝜕𝜏ϑ
𝜕ϑ
= 0
𝜕𝜏ϑ
𝜕ϑ
= σy − σ𝑥 𝑐𝑜𝑠 2𝜗 − 2 𝜏𝑥𝑦 𝑠𝑒𝑛 2𝜗 = 0

45. Determinación del plano donde actúan los Esfuerzos
Secundarios
𝜕𝜏ϑ
𝜕ϑ
= σy − σ𝑥 𝑐𝑜𝑠 2𝜗 − 2 𝜏𝑥𝑦 𝑠𝑒𝑛 2𝜗 = 0
Despeje
𝜗
𝜗𝑠 =
1
2
tan−1(−
σx − σ𝑦
2𝜏𝑥𝑦
)
tan(2𝜗𝑠) ∗ tan(2𝜗𝑝) = −1
Se cumple que:

46. ¡ATENCIÓN!
 Exista o no rotación de ejes, los planos donde actúan los Esfuerzos Principales
se determinan con los esfuerzos parciales sin rotar. Para el caso 2, entonces:
𝜗𝑝1 = −11,98°
𝜗𝑝2 = 78,02°
𝜗𝑠 = 33,02°
A 90° del plano de 𝜎1, ocurre 𝜎2
A 45° del plano de 𝜎1, ocurre 𝜏𝑚𝑎𝑥

47. tan(2𝜃𝑝) =
2𝜏𝑥𝑦
𝜎𝑥 − 𝜎𝑦
tan(2𝜃𝑠) = −
𝜎𝑥 − 𝜎𝑦
2𝜏𝑥𝑦
tan(2𝜃𝑝) =
2 ∗ −20
50 − 70
= 2
tan(2𝜃𝑠) = −
50 − 70
2 ∗ −20
= −0,5 𝜃𝑠 = −13,3°
𝜃𝑝 = 31,7°
|𝜃𝑝 +|𝜃𝑠 = 45°
31,7°
13,3°
𝜎1
𝜎2
𝜎𝑝𝑟𝑜𝑚
𝜎𝑝𝑟𝑜𝑚
x
y
𝜏𝑚𝑎𝑥
𝜏 = 0
¿Cómo se comporta el elemento en los
planos principales y secundario?

48. σ′x =
σx + σ𝑦
2
+(
σx − σ𝑦
2
)𝑐𝑜𝑠 2𝜗 + 𝜏𝑥𝑦𝑠𝑒𝑛(2𝜗)
σ′y =
σx + σ𝑦
2
− (
σx − σ𝑦
2
)𝑐𝑜𝑠 2𝜗 − 𝜏𝑥𝑦𝑠𝑒𝑛(2𝜗)
𝜏′xy =
1
2
(σy−σx)𝑠𝑒𝑛 2𝜗 + 𝜏𝑥𝑦𝑐𝑜𝑠(2𝜗)

49. Ejercicio1
• Se tiene el siguiente estado de esfuerzos con:
– σx=5
– σy=-4
– τxy=-2
• Determinar:
1. σn, τxy para θ=30°
2. σ1, σ2,
3. θσ1, θσ2
4. τmax

50. Ejercicio 2

54. Es interesante hacer notar que el signo negativo de 𝜏𝑛𝑡 indica que su dirección está en sentido
contrario a la dirección del eje t, esto no se contrapone con la convención de signos para efectos
de la representación gráfica en el círculo de Mohr, donde a 𝜏𝑛𝑡 le correspondería signo positivo
para el plano considerado.