Esfuerzo y deformación mediante circulo de Mohr

1. ESTUDIO DE ESFUERZOS Y
DEFORMACIONES MEDIANTE EL
CIRCULO DE MOHR
Estudiantes:
Daniel Chady Al Khatib 29.755.988
Kevyn Vargas C.I 26.448.935
Adrián Rodríguez 30.060.757
María Quevedo 27.528.562
Eliomar Castellanos 24.432.04
Maracay, agosto del 2020

2. Índice:
1.- Estado general y esfuerzos planos.
1.1- Estado general
1.2- Esfuerzos planos.
2.- Esfuerzos normales y principales.
2.1- Esfuerzos normales.
2.2 Esfuerzos principales.
3.- Esfuerzos cortantes.
3.1- Cómo calcular el esfuerzo cortante.
3.2- Representación del esfuerzo cortante.
4.- Estados de deformación
4.1- Definición de deformación
4.2- ¿Cómo se mide la deformación?
4.3- ¿Cómo determinar estado plano de deformación?
5.- Círculo de Mohr
5.1- Paso a paso para realizar el Circulo de Mohr
5.2 -Importancia del Círculo de Mohr
6.- Conclusión:

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Introducción:
El presente informe estudia temas relacionados a la resistencia de los materiales, haciendo
énfasis la mayoría de los capítulos en la determinación de los esfuerzos normales y cortantes,
círculo de Mohr, para luego determinar sus valores máximos y finalmente el cálculo de las
correspondientes deformaciones.
Tiene como objetivo conocer los esfuerzos normales, principales y cortantes de un material,
conocer la importancia del círculo de Mohr y el paso a paso para su elaboración. Todo cuerpo
a soportar una fuerza aplicada trata de desformarse en el sentido de la aplicación de la fuerza y
aunque el esfuerzo y la deformación ocurren simultáneamente en el ensayo, son dos conceptos
completamente distintos.
Toda estructura, maquinaria, pieza, están constituidos por diferentes materiales, elegidos por
sus propiedades para poder ser utilizados en una determinada aplicación. El diseño de la forma
y las secciones se deben elegir correctamente, tomando en cuenta los criterios económicos, pero
también que cumplan una serie de criterios y especificaciones de seguridad, para evitar que se
produzcan fallos mecánicos.

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1.- Estados general y esfuerzos planos
1.1- Estado general
El estado general del esfuerzo y la deformación es tridimensional, pero hay configuraciones
geométricas particulares que pueden ser tratadas de manera distinta.
1.2- Esfuerzos planos
El esfuerzo plano se produce cuando el material en un punto está sometido a los componentes
de esfuerzo normal Ox y Oy y una de esfuerzo cortante Txy. Siempre que estas componentes
sean conocidas, las componentes de esfuerzo que actúan sobre un elemento con orientación 0
diferente pueden determinarse usando las dos ecuaciones de equilibrio de fuerzas o las
ecuaciones para la transformación de esfuerzos.
Para el diseño, es importante determinar la orientación del elemento que produce los
esfuerzo normales principales máximos y esfuerzo cortante máximo en el plano. Al usar las
ecuaciones para la trasformación de esfuerzos, se comprueba que ningún esfuerzo cortante
actúa sobre los planos de esfuerzo principal.

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Los planos de esfuerzo cortante máximo en el plano se orienten a 45 grados de esta dirección,
y sobre estos planos cortantes existe un esfuerzo normal promedio asociado.
El círculo de Mohr proporciona un método serigráfico para encontrar el esfuerzo sobre
cualquier plano, los esfuerzos normales principales y el esfuerzo cortante máximo en el plano.
Para dibujar el circulo se establecen los ejes O y T, se grafica el centro del circulo C[(Ox+Oy)
/2,0] y el punto de referencia A(Ox,Txy). El radio R del circulo se extiende entre estos dos
puntos y se determina mediante la trigonometría.

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Si O1 y O2 son el mismo signo entonces el esfuerzo cortante máximo absoluto se encuentra
fuera del plano. En el caso de esfuerzo plano, el esfuerzo cortante máximo absoluto será igual
el esfuerzo cortante máximo en el plano siempre que los esfuerzos principales O1 y O2 tengan
signo contrario.

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2.- Esfuerzos normales y principales:
2.1- Esfuerzos normales
El esfuerzo o tensión se define como una fuerza por unidad de área, con unidades en psi o
MPa. En una pieza sujeta a algunas fuerzas, los esfuerzos se distribuyen como una función
continuamente variable dentro del continuo del material. Cada elemento infinitesimal en el
material puede experimentar esfuerzos distintos al mismo tiempo, por lo que debemos
considerar los esfuerzos como actuando sobre elementos infinitesimalmente pequeños dentro
de la pieza. Estos elementos suelen modelarse cada uno como un cubo.
Los esfuerzos normales actúan de manera perpendicular, es decir, normal a la cara del cubo
y tienen tendencia ya sea a tirar de él “esfuerzo a tracción”, o a empujarlo “esfuerzo a
compresión”.
El esfuerzo es un tensor de segundo orden y por lo tanto requiere nueve valores componentes
para describirlo en tres dimensiones. El tensor de esfuerzos en tres dimensiones se puede
expresar como la matriz:
donde la notación para cada componente de esfuerzos contiene tres elementos, una magnitud
(ya sea σ o τ), la dirección de una normal a la superficie de referencia (primer subíndice) y en
una dirección de acción (segundo subíndice). Nos serviremos σ de referimos a los esfuerzos
normales y τ para los esfuerzos cortantes.

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Sin embargo, hay casos especiales que se pueden tratar como estados de esfuerzo en dos
dimensiones. El tensor de esfuerzo para dos dimensiones es:
En la región elástica de la mayor parte de los materiales de ingeniería el esfuerzo y la
deformación están relacionados de manera lineal mediante la ley de Hooke. La deformación es
también un tensor de segundo orden y se puede expresar para el caso tridimensional de la
siguiente forma:
y en el caso de dos dimensiones:
Donde ε representa tanto una deformación normal como una deformación producida por el
esfuerzo cortante, quedando ambas diferenciadas por sus subíndices.

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2.2- Esfuerzos principales
Para cualquier combinación particular de esfuerzos aplicados, alrededor de cualquier punto
que se analice habrá una distribución continua del campo de esfuerzos. Los esfuerzos normales
y cortantes en el punto variarán con la dirección en cualquier sistema de coordenadas que se
escoja. Siempre habrá planos sobre los cuales las componentes de esfuerzo cortante sean igual
a cero. “Los esfuerzos normales que actúan sobre esos planos se conocen como esfuerzos
principales”. “Los planos sobre los cuales estas fuerzas principales actúan se conocen como
planos principales”. “La dirección de las normales de superficie a los planos principales se
conoce como ejes principales y los esfuerzos normales que actúan en estas direcciones se
conocen como esfuerzos normales principales”. Habrá también otro conjunto de ejes
mutuamente perpendiculares sobre los cuales los esfuerzos cortantes serán máximos. Los
esfuerzos cortantes principales actúan sobre un conjunto o sistema de planos que están a 45º en
relación con los planos de los esfuerzos normales principales.
La expresión que relaciona los esfuerzos aplicados con los esfuerzos principales es:
Ecuación 1:1

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donde σ es la magnitud del esfuerzo principal y nx, ny y nz, son los cosenos directores del
vector unitario n, que es normal al plano principal:
Ecuación 1:2
Para que haya una solución a la ecuación 1:1, el determinante de la matriz de coeficientes debe ser
igual a cero. Al expandir este determinante e igualarlo a cero, obtenemos
Donde:
Ecuación 1:3
La ecuación 1:3 es un polinomio cúbico en σ. A los coeficientes C0, C1, y C2 se les conoce
como invariantes tensoriales, porque tienen los mismos valores, independientemente de la
elección inicial de los ejes xyz sobre los cuales se midieron o calcularon los esfuerzos aplicados.
Estos tres esfuerzos principales (normales) σ1, σ2 y σ3 son las tres raíces de este polinomio
cúbico. Las raíces de este polinomio son siempre reales y, por lo general, quedan ordenadas de
manera que σ1>σ2>σ3. De ser necesario, se puede determinar la dirección de los vectores
principales de esfuerzo, sustituyendo cada raíz de la ecuación 1:3 en la ecuación 1:1 y

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resolviendo en función de nx, ny y nz, para cada uno de los tres esfuerzos principales. Las
respectivas direcciones de los tres esfuerzos principales son mutuamente ortogonales.

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3.- Esfuerzo cortante
El esfuerzo cortante, de corte, de cizalla o de cortadura es el esfuerzo interno o resultante de
las tensiones paralelas a la sección transversal de un prisma mecánico como por ejemplo una
viga o un pilar. Se designa variadamente como T, V o Q.
Es preciso aclarar que no siempre se pretende seccionar o cortar, pero el esfuerzo cortante
sí tiende a deformar al objeto sobre el cual se aplica; por eso las vigas sometidas a esfuerzos
cortantes tienden a combarse por su propio peso. Los siguientes ejemplos aclaran el punto.
En la figura 2 se muestra un esquema sencillo para ilustrar lo antes dicho. Se trata de un
objeto sobre el cual actúan dos fuerzas en direcciones contrarias. Hay un plano de corte
imaginario (no está dibujado) y las fuerzas actúan una a cada lado del plano, cortando en dos la
barra.
En el caso de una tijera: cada hoja o filo aplica una fuerza sobre la sección transversal
(circular) del objeto a cortar, separándolo igualmente en dos partes, como el cordel de la figura
1.
El esfuerzo cortante puede ocasionar deformación:
Se puede probar a ejercer un esfuerzo cortante deslizando la mano sobre la tapa de un libro
cerrado. La otra tapa debe permanecer fija sobre la mesa, lo que se puede lograr apoyando la
mano libre para que no se mueva. El libro se deformará un poco con esta acción, tal como se
esquematiza en la siguiente figura:

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Si se analiza esta situación cuidadosamente, se advierten las dos fuerzas ya referidas, pero
esta vez aplicadas horizontalmente (en fucsia). Una es la de su mano sobre una cara y la otra es
aplicada por la superficie de la mesa sobre la cara opuesta del libro que está fija.
El libro no gira, pese a que estas fuerzas podrían causar un torque o momento neto. Para
evitarlo están las otras dos fuerzas verticales (en turquesa); la que se aplicó con la otra mano y
la normal ejercida por la mesa, cuyo momento neto actúa en sentido contrario impidiendo el
movimiento rotatorio.
3.1- ¿Cómo se calcula el esfuerzo cortante?
Los esfuerzos cortantes aparecen incluso en el interior del cuerpo humano, ya que la sangre
a la circular ejerce continuamente fuerzas tangenciales sobre la cara interna de los vasos
sanguíneos, causando pequeñas deformaciones en las paredes.
Su consideración es importante para determinar las posibilidades que tiene una estructura de
fallar. En los esfuerzos cortantes se toma en cuenta no solamente la fuerza, sino también el área
sobre la que actúa.
Esto se comprende de inmediato al tomar dos barras cilíndricas de la misma longitud, hechas
con el mismo material, pero de grosor diferente y sometiéndolas a esfuerzos cada vez mayores
hasta que se rompan.

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Evidentemente las fuerzas necesarias van a ser bien diferentes, porque una barra es más
delgada que la otra; sin embargo, el esfuerzo será el mismo.
El esfuerzo cortante se denota con la letra griega τ (tau) y se calcula como el cociente entre
la magnitud de la fuerza aplicada F y el área A de la superficie sobre la cual actúa:
τpromedio= F /A
El esfuerzo así calculado es el que produce una fuerza promedio sobre la superficie en
cuestión, ya que la fuerza no actúa sobre un punto único de la superficie, sino distribuida sobre
toda ella y no de manera uniforme. Sin embargo, la distribución puede representarse mediante
una fuerza resultante actuando sobre un punto en particular.
Las dimensiones del esfuerzo cortante son de fuerza sobre superficie. En unidades del
sistema internacional corresponden a newton/metro cuadrado, unidad denominada Pascal y
abreviada Pa.
Son las mismas unidades de la presión, por lo tanto, las unidades del sistema inglés como
libra –fuerza/pie 2 y libra-fuerza /pulgada2 también son apropiadas.
3.2- Representación del esfuerzo cortante
Los esfuerzos normales actúan de manera perpendicular (es decir, normal) a la cara del cubo
y tienen tendencia ya sea a tirar de él (esfuerzo a tracción), o a empujarlo (esfuerzo a
compresión). Los esfuerzos cortantes actúan paralelos a las caras de los cubos, en pares sobre
caras opuestas, lo que tiende a distorsionar el cubo a forma romboidal. Esto es análogo a tomar
las dos rebanadas de pan de un sándwich de Nocilla y deslizarlas en dirección opuesta. Como
resultado, la capa de Nocilla se cortará. Estas componentes normales y cortantes del esfuerzo
que actúan sobre un elemento infinitesimal conforman los términos de un tensor.

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4.- Estados de deformación
4.1- ¿Qué es la deformación?
Es la magnitud que se emplea para describir la elongación (tracción) o contracción
(compresión) que experimenta el material de un determinado componente u objeto como
resultado de los factores siguientes:
 el efecto de aplicar una fuerza externa (deformación mecánica)
 la influencia del frío y el calor (deformación térmica)
 fuerzas internas originada por un enfriamiento no uniforme de componentes de
fundición y procesos de forjado o soldadura (deformación residual)
4.2- ¿Cómo se mide la deformación?
Para entender cómo se mide la deformación, primero hay que entender sus efectos sobre el
material. Un objeto no sujeto a deformación tiene una longitud básica lo. Si se le aplica una
deformación ε, su longitud varía en una cierta magnitud Δl, según la relación siguiente:
Por tanto, la deformación tiene un valor no dimensional que representa el cambio en la
longitud de un material con respecto a su longitud inicial. Como los cambios en la longitud

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suelen ser muy reducidos, se expresan en los prefijos fraccionales estándar del sistema
internacional. La deformación suele expresarse en micrómetros por metro (μm/m = 10-6 m/m
= ppm).
4.3- ¿Cómo determinar estado plano de deformación?
Si hacemos coincidir el eje coordenado z con la dirección principal correspondiente a la
deformación nula, será:
(todas las deformaciones Con subíndice “z” resultan nulas)
Y el tensor deformación se reduce a un tensor simétrico recto de segundo orden
bidimensional:
Llamando α al ángulo que forma el plano de referencia con el semieje positivo x medido en
sentido anti horario será:

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Dado la similitud de estas expresiones con las halladas oportunamente para las tensiones
podemos, desarrollando en forma análoga, obtener las expresiones de las deformaciones
especificas longitudinales y transversales:
Y para las deformaciones principales y direcciones principales es:
Las direcciones 1 y 2 trazadas por P con los puntos A y B corresponden a las direcciones de
las deformaciones máximas y mínimas. 1 y 2 son ortogonales
Las direcciones 3 y 4 trazadas por P con los puntos S y S’ corresponden a las direcciones de
½ 1/max

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Si por P trazamos una paralela a una dirección α, la intersección de la misma con la
circunferencia determina un punto Q cuya abscisa será α y su ordenada 1/2 yα.
Para transformar la circunferencia de deformaciones en circunferencia de tensiones debemos
trasladar el eje de ordenadas una distancia (coeficiente de lamé)

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5.- Círculo de Mohr
El circulo de Mohr, el nombre de Christian Otto Mohr, es una representación grafica de dos
dimensiones de la ley de transformaciones para el tensor de tensiones Cauchy.
Después de realizar un análisis de estrés en un cuerpo material asumido como continuo, los
componentes del tensor de tensiones de Cauchy en un punto material particular son conocidos
con respecto a un sistema de coordenadas.
El circulo de Mohr se utiliza entonces para determinar gráficamente los componentes de
tensión que actúan sobre un sistema de coordenadas girado, es decir, que actúe sobre un plano
orientado de manera diferente que pasa por ese punto.
El eje de abscisas, y la ordenada, de cada punto en el círculo, son las magnitudes de la tensión
normal y componentes de tensión de cizallamiento, respectivamente, que actúa sobre el sistema
de coordenadas girado. En otras palabras, el circulo es el lugar geométrico de los puntos que
representan el estado de la tensión en los planos individuales en todas sus orientaciones, donde
los ejes representan los ejes principales del elemento de tensión.
Karl Culmann fue el primero en concebir una representación grafica de las tensiones,
mientras teniendo en cuenta las tensiones longitudinales y verticales en vigas horizontales
durante la flexión. La contribución de Mohr extendió el uso de esta representación de tensiones,
tanto de dos y tres dimensiones y desarrollo un criterio de fallo basado en el círculo de estrés.
Métodos gráficos alternativos para la representación del estado de tensión en un punto
incluyen el elipsoide estrés de Lame, y cuádrica estrés de Cauchy.
El círculo de Mohr se puede aplicar a cualquier simétrica 2x2 tensor de matriz, incluyendo
la cepa y momento de inercia de tensores.

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5.1- Paso a paso para realizar el Circulo de Mohr:
Paso 1:
Paso 2:
Paso 3:

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Paso 4:
Paso 5:
Paso 6:

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Paso 7:
Paso 8:
Paso 9:

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Paso 10:
Paso 11:

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5.2 -Importancia del Círculo de Mohr
La construcción del Círculo de Mohr es de una importancia fundamental porque aplica
cantidades tensoriales (bidimensionales) (por ejemplo, fuerzas lineales, esfuerzo, deformación,
momento de inercia). Sin embargo, un simple círculo de Mohr, no representa completamente
él estado de esfuerzo en un punto. El estado de esfuerzo es tridimensional.

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6.- Conclusión:
El desarrollo de la investigación ha exigido la utilización de un numero de técnicas distintas,
tanto de nivel de modelización como experimental, lo que ha supuesto un reto y una oportunidad
de aprendizaje muy importante. En la ingeniería hace necesario el conocimiento de las
propiedades físicas de muchos materiales ya sean elásticos plásticos entre otros. Todo cuerpo
al soportar una fuerza aplicada trata de deformarse en el sentido de la aplicación de la fuerza.
La deformación es el cambio de tamaño o forma de un cuerpo debido a esfuerzos internos
producido por una o más fuerzas aplicadas sobre el mismo. Por lo tanto, el esfuerzo se refiere
a la causa de una deformación.
Este informe se puede aprender, comprender, y desarrollar el análisis ya estudiado, que
permiten conocer los estados tensionales de cuerpos sometidos a esfuerzos.
Se puede agregar que, aunque muchas técnicas graficas ya no se utilizan en ingeniería, el círculo
de Mohr continúa siendo de gran valor, porque proporciona una representación clara y simple
de un análisis relativamente complicado. Es de gran a utilidad porque nos permite visualizar las
relaciones entre las tensiones normales y tangenciales que actúan sobre varios planos inclinados
en un punto de un cuerpo sometido a tensiones, permite calcular tensiones principales,
tangenciales máximas y las tensiones en planos inclinados.