1) El documento presenta un informe sobre centros de cortantes y esfuerzos tangenciales. 2) Incluye dos ejercicios para determinar centros de cortantes en diferentes secciones y calcular esfuerzos tangenciales bajo una carga cortante. 3) El autor resuelve ambos ejercicios aplicando conceptos teóricos como momentos de inercia, esfuerzos cortantes y tangenciales.

1. NOMBRE: Sebastián Charpentier Charpentier
CLASE: Tercero A – NRC: 2675
FECHA: 2015-02-22
TEMA: Centro de cortantes y esfuerzos tangenciales
INTRODUCCIÓN.-
Llegando a la etapa culminar de nuestra clase de resistencia de materiales,
utilizaremos todos los conocimientos adquiridos para desarrollar el
siguiente informe final.
Se aplicarán conceptos como el de esfuerzos cortantes, momentos torsores
esfuerzos tangenciales, tipos de secciones y formas entre otros.
El presente informe consta de dos ejercicios el primero que consta de 3
literales acerca del centro de cortantes este será desarrollado con el
procedimiento demostrado en los ejemplos proporcionados en las
diapositivas de clases, de igual forma será tratado el segundo ejercicio que
es acerca de esfuerzos tangenciales.
OBJETIVOS.-
 Realizar ejercicios que refuercen los temas estudiados en las
respectivas diapositivas.
 Conocer el procedimiento para la localización del centro de cortantes
de una sección.
 Demostrar el entendimiento total de los temas tratados, de no ser así
se podría realizar consultas para eliminar cualquier duda.

2. MARCO TEÓRICO.-
El esfuerzo cortante es el esfuerzo interno o resultante de las tensiones
paralelas a la sección transversal de un prisma mecánico como por ejemplo
una viga o un pilar, esta resultante tiene un punto llamado centro de
esfuerzos cortantes que será un punto tal que, el momento de las fuerzas a
que dan lugar las tensiones tangenciales respecto de él, sea nulo.
Esto puede ser sencillamente comprobado, ya que, si sobre ese punto se
aplica una carga, al momento de calcular el momento de esta, la distancia
por la cual la carga debiera ser multiplicada es cero y esto anula el
momento, por lo tanto ambos sistemas serán estáticamente equivalentes. El
concepto de centro de esfuerzos cortantes y el método para calcularlo se
deben a R. Maillart (1922).
Gracias a esta generalidad podemos determinar inmediatamente la posición
del centro de esfuerzos cortantes en secciones ramificadas que concurran
en un punto.
En resistencia de materiales se le conoce como centro de cortante, centro
de torsión, centro de cortadura o centro de esfuerzos cortante.
 Cuando existe un eje de simetría el centro de cortante está situado
sobre él.
Si el eje Y es un eje de simetría de la sección transversal
entonces zC = zG.
Si el eje Z es un eje de simetría de la sección transversal
entonces yC = yG.
Si el eje X es un eje de simetría de la sección transversal
entonces xC = xG.
 En piezas condos ejes de simetría como sucede secciones circulares,
rectangulares, elípticas, romboidales, secciones en I y secciones en
H, entre otras el centro de cortante coincide con el centro de
gravedad de la sección y en ese caso la flexión y torsión están
desacopladas y una viga o pilar puede tener flexión sin torsión y
torsión sin flexión.
 En prismas mecánicos, vigas o pilares con asimetrías en su sección
transversal es necesario determinar el centro de cortante para
determinar correctamente las tensiones.

3. La posición del centro de tensiones sólo depende de la geometría de la
sección, y no del valor del cortante actuante. Es, por tanto, una
característica geométrica de la sección.
Esta posición se determina a partir de su definición.- su posición es tal que
un esfuerzo cortante de dirección cualquiera, supuesto aplicado en dicho
punto es estáticamente equivalente al sistema de fuerzas resultante de las
tensiones tangenciales debidas a dicho esfuerzo cortante.
 El momento de un esfuerzo cortante aplicado en 𝐶, respecto a un
punto arbitrario 𝑂 de la sección debe ser igual al momento resultante
de las tensiones tangenciales debidas a dicho esfuerzo cortante,
respecto al punto 𝑂
𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ × 𝑇⃗ = ∫ 𝑟𝑜
𝑆
× 𝜏 𝑑𝑆
Como puede ser apreciado en la siguiente figura:

4. Del desarrollo de estos conceptos obtenemos una ecuación con dos
incógnitas, que son las componentes de la posición del centro de cortantes
en el plano de la sección, para resolverla hay que plantear esta ecuación dos
veces para cortantes actuando según dos direcciones distintas.
 Cuando la sección tiene un eje de simetría, se reduce solo a una
incógnita ya que la otra estará sobre el eje de simetría. Por ejemplo
para una sección en 𝑈
 Si la sección tiene dos o más ejes de simetría, el centro de esfuerzos
cortantes está necesariamente en la intersección de dichos ejes y
coincide con el centro de gravedad. Por ejemplo, de las secciones
rectangulares, circulares, secciones simétricas en doble 𝑇.
En las secciones abiertas de pequeño espesor formadas por tramos rectos
que concurren en un punto, dicho punto es necesariamente el centro de
esfuerzos cortantes.
Planteamos la ecuación de igualdad de momentos para dos cortantes
distintos actuando en el centro de esfuerzos cortantes 𝐶, según las
direcciones principales de inercia.
𝑑1 𝑇𝑦( 𝑠) = ∫ ( 𝑟𝜏1) 𝑒 𝑑𝑠
𝑠
= ∫ (𝑟
𝑇𝑦 𝑚 𝑧
𝑒
𝐼𝑧 𝑒
) 𝑒 𝑑𝑠
𝑠
Se repite el proceso para un esfuerzo cortante 𝑇𝑦 paralelo al eje principal de
inercia 𝑧, pasando por el centro de esfuerzos cortantes 𝐶 supuesto,
𝑑2 𝑇𝑧( 𝑠) = ∫ (𝑟 𝜏2)𝑒 𝑑𝑠
𝑠
= ∫ (𝑟
𝑇𝑧 𝑚 𝑦
𝑒
𝐼 𝑦 𝑒
) 𝑒 𝑑𝑠
𝑠

5. La intersección de ambas líneas de acción a distancias 𝑑1 y 𝑑2 del punto 𝑂,
determina el centro de esfuerzos cortantes. Se observa que la posición de
dicho centro es independiente de los valores de 𝑇𝑦 y 𝑇𝑧 .
DESARROLLO.-
Ejercicio 1.- Determinar los centros de esfuerzos cortantes de las secciones
de la figura siguiente. Todas las secciones son de pequeño espesor, de valor
𝑒 en todas ellas.
Como podemos notar, la figura es simétrica respecto al eje z, como también
es simétrica respecto al eje y, tomando en cuenta que se trata de una figura
de espesorpequeño e y como lo vimos en la teoría, el centro de cortante de
una figura doblemente simétrica se localiza sobrela intersección de sus ejes
de simetría que coincide consu centro de gravedad

6. Para demostrar esta hipótesis, se analiza la sumatoria de momentos en la
sección:
𝜏 =
𝑄 𝑦
𝐼𝑧
∗
ℎ
2
∗
𝑠 ∗ 𝑒
𝑒
=
𝑄 𝑦 ∗ ℎ ∗ 𝑠
2 ∗ 𝐼𝑧
𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑠 = 𝑎 𝜏 =
𝑄 𝑦
𝐼𝑧
∗
ℎ
2
∗ 𝑎
∑ 𝑀 =
𝑄 𝑦 ∗ 𝑎2
∗ ℎ ∗ 𝑒
4 ∗ 𝐼𝑧
−
𝑄 𝑦 ∗ 𝑎2
∗ ℎ ∗ 𝑒
4 ∗ 𝐼𝑧
= 𝑄 𝑦 ∗ 𝑑 = 0
De lo que se concluye que como la carga no es cero, la distancia
necesariamente debe ser cero
𝑄 𝑦 ∗ 𝑑 = 0 𝑑 = 0
El centrode cortante
C se encuentraenlas
coordenadas (0 ; 0)

7. Tomando en cuenta que en secciones abiertas de espesorpequeño formadas
por tramos rectos que concurren en un punto, dicho punto es
necesariamente el centro de esfuerzos cortantes que lo localizamos en esta
intersección.
Esto se puede demostrar conla sumatoria de momentos
∑ 𝑀 = 0 = 𝑄 𝑦 𝑑 como no existe distancia a la fuerza aplicada se anula el
momento.
Podemos ver que la siguiente sección tiene como eje de simetría al eje z, lo
que quiere decir que el centro de cortante estará ubicado en este eje en y=0,
ahora lo que debemos averiguar es la otra coordenada en z, tenemos que el
momento de las tensiones respecto a cualquier punto debe ser igual al
El centrode cortante
C se encuentraenlas
coordenadas (𝑐 ;
ℎ
2
)

8. producido por el esfuerzo cortante 𝑇𝑦, Tomando momentos respecto al
punto O
1.- 𝜏 =
𝑉𝑦 𝑆𝑧
𝑒 𝐼 𝑧
2.- 𝑆𝑧 = ∬ 𝑌𝐴
𝑑𝐴 = ∫
𝑏
2
∗ 𝑒 ∗ 𝑑𝑠 =
𝑏∗𝑒∗𝑠
2𝑑
3.- 𝐼𝑧 =
1
12
∗ 𝑒 ∗ ℎ2
+ 2 ∗ 𝑎 ∗ 𝑒 (
ℎ
2
)
2
= ℎ2
∗ 𝑒(6𝑎 + ℎ)
Sustituyendo 2 y 3 en 1
𝜏 =
𝑉𝑦 ∗ ℎ ∗ 𝑒 ∗ 𝑠
𝑒 ∗
ℎ2 ∗ 𝑒
12
∗ (𝑏 ∗ 𝑎 + ℎ)
𝜏 =
6 ∗ 𝑉𝑦 ∗ 𝑠
ℎ ∗ 𝑒 ∗ (6𝑎 + ℎ)

9. El momento generado porlas fuerzas tangenciales respecto al punto A del
alma debe ser igual al momento calculado porla resultante aplicada en ese
punto.
𝑀𝐴 = 2 ∗
ℎ
2 ∫ 𝑒 ∗ 𝑣 ∗ 𝑑𝑠
ℎ
0
=
𝑀𝐴 = ℎ ∗ ∫
6𝑉𝑠 ∗ 𝑠
ℎ ∗ 𝑒(6𝑎 + ℎ)
𝑑𝑠
ℎ
0
𝑀𝐴 = ℎ ∗ ∫
3𝑏2
+ 𝑉𝑦
(6𝑎 + ℎ)
𝑑𝑠
ℎ
0
Con lo que se demuestra que el centro de esfuerzos está ubicado en 𝑧 =
3𝑎2
6𝑎+ℎ El centrode cortante C se
encuentraenlascoordenadas
(−
3𝑎2
6𝑎+ℎ
;0)

10. Ejercicio 2
Dada la sección transversal de la siguiente figura, se requiere:
 Calcular los esfuerzos tangenciales bajo una carga de solicitación
cortante 𝑉 = 20𝑘𝑁 en dirección vertical y con sentido hacia abajo.
Supóngase que la sección es de pequeño espesor.
 La posición de los esfuerzos cortantes en la sección
 El valor máximo admisible de la carga 𝑉 si el esfuerzo tangencia
máximo que puede resistir el material es 𝜏∗
= 240 √3⁄ 𝑀𝑃𝑎.
 Las alas (elementos horizontales de la sección) tienen un espesor de
0,01𝑚, mientras que el alma tiene un espesor de 0,02𝑚.
 Los momentos de inercia de la sección respecto de los ejes
mostrados son: 𝐼𝑧 = 4535× 10−8
𝑚4
y 𝐼𝑧𝑦 = 980 × 10−8
𝑚4
.
Las características geométricas de la sección son las siguientes:
𝐴 = 2 ∗ 0,02(0,04 + 0,12) + 0,01(0,1 + 0,1) = 8,4 × 10−3
𝑚2
𝐴 = 84𝑐𝑚2
𝑧` 𝑔 = 1,78 × 10−2
𝑚 = 1,78𝑐𝑚
𝐼𝑧 = 4535 × 10−8
𝑚4
Y 𝐼𝑧𝑦 = 980× 10−8
𝑚4
.
Las tensiones normales máximas en la sección
y

11. 𝜏 =
𝑉𝑦
𝐼𝑧
∗
ℎ
2
∗
𝑠 ∗ 𝑒
𝑒
=
𝑉𝑦 ∗ ℎ ∗ 𝑠
2 ∗ 𝐼𝑧
𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑠 = 0.12 𝜏1−3 =
(20000)(0.1)(0.12)
2(4535× 10−8)
= 5.292 𝑀𝑃𝑎
𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑠 = 0.04 𝜏2−4 =
(20000)(0.1)(00.04)
2(4535× 10−8)
= 1.764 𝑀𝑃𝑎
𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑠 = 0.16 𝜏5−6 =
(20000)(0.1)(0.16)
2(4535× 10−8)
= 7.056 𝑀𝑃𝑎
𝜏5 =
𝑉𝑦
𝐼𝑧
∗
ℎ
2
∗ ( 𝑎 + 𝑐) +
𝑄 𝑦
𝐼𝑧 𝑒1
∗ 𝑠 ∗ 𝑒1(
ℎ
2
−
𝑠
2
)
𝜏5 =
𝑉𝑦
𝐼𝑧
(
ℎ
2
∗ ( 𝑎 + 𝑐) +
𝑠
2
(ℎ − 𝑠))
𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑠 =
ℎ
2
= 0.1 𝜏 𝑚á𝑥 =
𝑉𝑦
𝐼 𝑧
(
ℎ
2
( 𝑎 + 𝑐) +
ℎ2
8
)
𝜏 𝑚á𝑥 =
(20000)(0.20)
2
∗ (4535 × 10−8 )(0.12+ 0.04+
0.2
4
)
= 9.261 𝑀𝑃𝑎

12. Se tiene como dato que le valor máximo admisible para la carga V es
de 𝜏∗
= 240 √3⁄ 𝑀𝑃𝑎.
𝜏 𝑚á𝑥 =
240
√3
× 106
=
𝑉𝑦
𝐼 𝑧
∗
ℎ
2
(𝑎 + 𝑐 +
ℎ
4
).
𝑉𝑦 =
240
√3
× 106
(
2∗𝐼 𝑧
ℎ( 𝑎+𝑐+
ℎ
4
)
).
𝑉𝑦 =
240
√3
× 106
(
2 ∗ (4535× 10−8
)
0.2(0.12 + 0.04 +
0.2
4
)
) = 299.233 𝑘𝑁
∑ 𝑀 =
𝑄 𝑦 ∗ 𝑏 ∗ ℎ2
∗ 𝑎 ∗ 𝑒
4 ∗ 𝐼𝑧
−
𝑄 𝑦 ∗ ℎ2
∗ 𝑎2
∗ 𝑒
4 ∗ 𝐼𝑧
∑ 𝑀 =
𝑄 𝑦 ∗ ℎ2
∗ 𝑒
4 ∗ 𝐼𝑧
( 𝑏2
− 𝑎2) = 𝑄 𝑦 ∗ 𝑑
𝑑 =
ℎ2
𝑒
4 ∗ 𝐼𝑧
( 𝑏2
− 𝑎2) =
0.22(0.01)
4(4535× 10−8)
(0.122
− 0.042) = 0.0282 𝑚
El centro de cortantes está ubicado a 0.0282 metros
En las coordenadas (0 ; 0.0282)

13. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES:
 Es necesario conocer la posición del centro de esfuerzos cortantes
para poder definir el momento torsor real actuante sobre la sección.
En particular, es necesario saber en qué secciones éste no coincide
con el centro de gravedad, ya que éstas pueden estar sometidas de
forma inadvertida a flexo-torsión.
 En secciones macizas, secciones de espesor considerable y secciones
cerradas el centro de esfuerzos cortantes está situado en las cercanías
del centro de gravedad.
 Concluimos que todas estas hipótesis son aplicables para materiales
homogéneos e isótropos.
 Las vigas son materiales que trabajan principalmente a flexión, es
por esto que es necesario conocer cómo se comportarán al momento
de ser sometidas a cargas y esfuerzos.
 Gracias a este trabajo de investigación logramos aclarar las dudas
sobre el tema de esfuerzos cortantes y tangenciales, y ampliamos
nuestro conocimiento sobre el comportamiento de los materiales que
se utilizan en ingeniería.
 Cuando la sección tiene un eje de simetría, el centro de cortantes está
en dicho eje.
 Si la sección tiene dos o más ejes de simetría, el centro de esfuerzos
cortantes está necesariamente en la intersección de dichos ejes y
coincide con el centro de gravedad.
 Cuando un prisma mecánico, viga o pilar con asimetrías en su
sección transversal se somete a flexión aparece torsión girando toda
la sección alrededor de un cierto punto llamado polo de torsión.
Puede demostrarse que el polo de torsión y el centro de cortantes
coinciden.

14. BIBLIOGRAFÍA:
 Material de apoyo puesto a disposición el DropBox por el Ingeniero
Vielma Pérez.
 Monleón Cremades, Salvador, Análisis de vigas, arcos, placas y
láminas, Universidad Politécnica de Valencia, 1999
 http://es.wikipedia.org/wiki/Centro_de_cortante
 http://ocw.bib.upct.es/pluginfile.php/10699/mod_resource/content/1/
html/resistencia/node95.html
 http://es.wikipedia.org/wiki/Resistencia_de_materiales
 https://www.google.com.ec/webhp?sourceid=chrome-
instant&ion=1&espv=2&ie=UTF-
8#q=resistencia%20de%20materiales
 http://bigmac.mecaest.etsii.upm.es/Site/ARM_files/Lecciones_1a25_
ed1.pdf