material resistance

1. TEORIA DE LA ELASTICIDAD
Vidal Fermín, Kevin Walter Alexis
García Polo, Christian Franco
Sáenz Velarde, Antonio Miguel
Universidad Nacional de Ingeniería (UNI- Perú)
Resumen
Se hace un estudio general de la teoría de la elasticidad,definiendo unos conceptos previos tales como las
tensionesy deformaciones, se desarrolla los fundamentos de los estados tensionales y deformacionales y se
muestra un problema bidimensional como lo es el caso de la flexión.
Palabras clave
Elasticidad, Tensión, Deformación, Flexión.
Introducción
Al hacer un estudio sobre los sólidos observamos que estos presentan las propiedades de
resistencia y rigidez, es por eso que en un curso de resistencia de materiales tenemos como
objetivo, a partir de los resultados, determinar las dimensiones necesarias, seguras, de las
piezas de máquinas y de distintos tipos de estructuras, a la vez que juzgamos correctamente
sobre la capacidad de trabajo y utilización práctica de la estructura analizada.
Para ciertos aspectos de este estudio recae poseer una base teórica, la cual llamaremos
Teoría de la Elasticidad.
Desarrollo del tema
Conceptos previos
.Elasticidad: propiedad de un cuerpo de restablecer sus dimensiones originales.
.Esquema de cálculo: es el cuerpo real, libre de todo lo que carece de importancia en su análisis.
Todos los materiales son CONTINUOS y HOMOGÉNEOS,independientemente de las
propiedades internas (ISÓTROPOS),es debido a esto que se pude aplicar a los sólidos el cálculo
infinitesimal.
Simplificaciones:
*Barra: todo cuerpo que tiene una dimensión (su longitud) mucho mayor que las otras dos.
*Bóveda: todo cuerpo que tiene una dimensión (espesor) muy pequeña en comparación con las
otras dos (paredes de recipientes, cúpulas de edificios, etc.)

2. Fuerzas exteriores:
*Fuerzas de volumen: aplicada a cada partícula del cuerpo (el peso, la fuerza magnética)
*Fuerzas de superficie: caracterizan la acción mutua de contacto entre el cuerpo analizado y los que
lo rodean.
Si suponemos una barra se somete a fuerzas exteriores y se encuentra en equilibrio (a), las fuerzas
internas que surgen en la barra solo se manifestaran si se hace un corte, por ejemplo mediante la
sección A. Según el principio de acción y reacción estas fuerzas internas siempre son recíprocas, es
decir una parte actúa con la misma intensidad que la otra hacia ella (b).
Las fuerzas interiores deben distribuirse en la sección A de tal manera que las superficies
deformadas de A deben coincidir, a esta condición se le llama “CONDICIÓN DE CONTINUIDAD
DE LAS DEFORMACIONES”
Si estas fuerzas internas se concentran en una sola en el centro de gravedad, obtendremos un vector
principal R y un momento principal M, al proyectar estos sobre los ejes x-y- z, obtendremos seis
componentes llamadas factores de fuerza interiores.
De donde:
N: fuerza normal o longitudinal
Qx , Qy: fuerzas cortantes

3. Mt: momento torsor
Mx, My: momentos flectores
Entonces si:
a) En la sección del tramo de una barra,solo surge la fuerza normal N y las demás fuerzas
interiores suman cero, se dice que en este tramo se produce TRACCIÓN o COMPRESIÓN,
según la dirección de la normal N.
b) Si solo surge el momento Mt, la barra, en este tramo. Trabaja exclusivamente a TORSIÓN.
c) Por último si solo surge un momento flector Mx(o My) se produce FLEXIÓN PURA en
plano yz(o xz). Suele ir acompañado de fuerza cortante.
TENSIÓN
Medida de la intensidad de las fuerzas interiores.
Tensión media en el área ∆F: ∆R/∆F = pm
Si reducimos ∆F al punto K, ∆F →0
𝐥𝐢𝐦
∆F→𝟎
∆R
∆F
= 𝒑 ; 𝐩: 𝐭𝐞𝐧𝐬𝐢ó𝐧 𝐜𝐨𝐦𝐩𝐥𝐞𝐭𝐚
Hacemos el análisis para la tensión:
σ: tensión normal
τ: tensiones tangenciales
El conjunto de tensiones en distintas planos, respecto a un punto fijo, forma el ESTADO
TENSIONAL de este punto.

4. DESPLAZAMIENTOS YDEFORMACIONES
Todo material no es absolutamente rígido, presentan deformaciones, aunque estas,generalmente,
son insignificantes.
Si un sistema de cuerpos posee las ligaduras suficientes para eliminar su desplazamiento en el
espacio como un sólido rígido se dice que el sistema es CINÉTICAMENTE INVARIABLE.Este
tipo de sistema estudia la Resistencia de Materiales.
Sea:
Entonces: ∆s/s = εm , si acercamos elpunto B al punto A, s→0: εAB
lim
𝑠→0
∆𝑠
𝑠
= εAB ; εAB: deformación lineal en el punto a y en la dirección AB.
Y también: lim
𝑂𝐶→0
𝑂𝐷→0
(∢𝐶𝑂𝐷 − ∢𝐶′ 𝑂′ 𝐷′) = ɣCOD
ɣCOD: deformación angular o ángulo de distorsión en punto O del plano COD.
Para elsistema coordenado, respectivamente:
εAB: εAB, εAB ,εAB
ɣCOD: ɣyz, ɣzx, ɣxy.
El conjunto de las deformaciones lineales y angulares en distintas direcciones y planos,
correspondientes a un punto, forman el ESTADO DEFORMACIONAL delpunto.
*Los sistemas en los que se cumple la Ley de Hooke admiten el PRINCIPIODE
SUPERPOSICIÓN.

5. FUNDAMENTOS DE LA TEORÍA DE LOS ESTADOS TENSIONAL Y
DEFORMACIONAL
Estado tensional en un punto
Sabemos que la tensión en un punto de un plano depende la orientación del plano. Si giramos el
plano, surgirán nuevas tensiones que pasan por el mismo punto, a este conjunto de tensiones se le
llama Estado Tensional en el punto.
Si suponemos un sólido isótropo (no necesariamente elástico) se elige un punto A de donde se
puede encontrar un plano que lo contenga, y en donde el estado tensional se puede considerar
homogéneo.
Separamos alrededor del punto, mediante 6 secciones, un volumen elemental formado por un cubo.
La tensión completa que surge en un plano se puede descomponer en tensiones normales(σ) y
tensiones tangenciales(τ).
Para eleje x, podemos verificar la condición de igualdad de momentos:
τyzdxdz.dy = τzydxdy.dz
De donde: τyz = τzy
Y análogamente: τzx = τxz ; τxy = τyx
Esta es la ley de reciprocidad de las tensiones tangenciales.

6. Estado de deformación
La variación de la forma del sólido está relacionada con los desplazamientos de sus puntos.
Observamos la variación del punto A de la figura siguiente:
Las componentes del vector de desplazamiento total según los ejes x, y, z se denotan por u, v, w
respectivamente.
Si tenemos el segmento AB de dirección igual al eje x, la distancia entre A y B puede ser como un
dx. Las componentes del vector desplazamiento en el punto B se diferencian de las componentes en
el punto A en magnitudes que dependen de la variación de la coordenada x. εx
Por ejemplo si el punto A se desplaza a lo largo del eje z una magnitud w, entonces el punto B se
desplazará una magnitud igual a 𝑤 +
𝜕𝑤
𝜕𝑥
𝑑𝑥.
El incremento de la longitud del segmento AB es
𝜕𝑢
𝜕𝑥
𝑑𝑥, por lo tanto el alargamiento unitario en el
punto A, según el eje x, será εx =
𝜕𝑢
𝜕𝑥
.
De manera análoga se obtiene:
εy =
𝜕𝑣
𝜕𝑦
εz =
𝜕𝑤
𝜕𝑧
.

7. El ángulo de giro del segmento AB en el plano xz es igual a la razón entre la diferencia de los
desplazamientos de los puntos A y B a lo largo del eje z y la longitud del segmento dx, es decir:
𝛾1 =
𝜕𝑤
𝜕𝑥
El ángulo de giro del segmento AC en el plano xz será:
𝛾2 =
𝜕𝑢
𝜕𝑧
La suma de los ángulos 𝛾1y 𝛾2 es igual a la variación del ángulo recto BAC,es decir, es igual al
ángulo de distorsión en el plano xz,
𝛾𝑧𝑥 =
𝜕𝑤
𝜕𝑥
+
𝜕𝑢
𝜕𝑧
De manera análoga se puede hallar los ángulos de distorsión en los otros dos planos del sistema de
coordenadas, lo que resulta en una relación entre los desplazamientos y las deformaciones en un
punto:
𝜀 𝑥 =
𝜕𝑢
𝜕𝑥
; 𝜀 𝑦 =
𝜕𝑣
𝜕𝑦
; 𝜀 𝑧 =
𝜕𝑤
𝜕𝑧
𝛾 𝑦𝑧 =
𝜕𝑣
𝜕𝑧
+
𝜕𝑤
𝜕𝑦
; 𝛾𝑧𝑥 =
𝜕𝑤
𝜕𝑥
+
𝜕𝑢
𝜕𝑧
; 𝛾 𝑥𝑦 =
𝜕𝑢
𝜕𝑦
+
𝜕𝑣
𝜕𝑥
A este conjunto de deformaciones que aparecen en la dirección de distintos ejes en los planos
diversos que pasan por el punto dado, se denomina Estado Deformacional en el punto.

8. PROBLEMAS BIDIMENSIONALES
FLEXIÓN
Demostración de la ecuación general de la línea elástica
Se tiene una barra rígida la cual es afectada por una fuerza en su extremo.
Analizando geométricamente:
De los gráficos podemos observar que:
𝜌𝑑𝜃 = 𝑑𝑠
𝑑𝜃
𝑑𝑠
=
1
𝜌
= 𝜓(Curvatura)
Si la pendiente es pequeña:
i) 𝑑𝑠 = 𝑑𝑥 …. 𝜓 = 𝑑𝜃/𝑑𝑥 = 1/𝜌
ii) 𝑡𝑔(𝜃) =
𝑑𝑦
𝑑𝑥
; 𝑡𝑔(𝜃) = 𝜃 …. . 𝜃 =
𝑑𝑦
𝑑𝑥
Entonces obtendríamos:
𝑑𝜃
𝑑𝑥
=
𝑑2 𝑦
𝑑𝑥2
=
1
𝜌
= 𝜓
Relacionamos ahora, la curvatura con los momentos internos de la barra:

9. Eje normal (E.N.): línea que une todos los puntos donde el esfuerzo axial es CERO.
Si tenemos que la sección transversalde la barra es:
Aparecerá una compresión en la sección superior y una elongación en la inferior, originada por el
momento flector.
Definimos como deformación unitaria a:
𝜀 =
𝑑𝑙
𝑑𝑥
… 𝑑𝑙 = 𝑐. 𝑑𝜃 …… 𝜀 = 𝑐.
𝑑𝜃
𝑑𝑥
Si:
𝑑𝜃
𝑑𝑥
=
𝑑2 𝑦
𝑑𝑥2
Entonces:
𝑑2 𝑦
𝑑𝑥2
=
𝜀
𝑐
…. De la ley de Hooke : 𝜎 = 𝐸. 𝜀
𝑑2 𝑦
𝑑𝑥2 =
𝜎
𝐸. 𝑐
Si en la barra existe FLEXIÓN PURA:
𝜎 =
𝑀.𝑐
𝐼
(Relación de equilibrio entre momento interno y esfuerzo)
Aplicando esta expresión a lo hallado:
𝑑2 𝑦
𝑑𝑥2
= 𝑦’’ =
𝑀
𝐸.𝐼
(Ecuación diferencial básica de la curva elástica)

10. APLICACIONES
Calcularla deflexiónenel centrode la viga que representalafigura:
SOLUCIÓN:
DIAGRAMA DE MOMENTOS POR PARTES:
Como EItB/A = (AREA)BA.𝑥̅B
EItB/A=
(4)(1200)
2
(
1
3
) (4) −
(3)(1200)
4
(
1
5
) (3) EItB/A= 2660 N.m3
También: EItO/A = (AREA)OA.𝑥̅O
EItB/A=
(2)(600)
2
(
1
3
) (2) −
(1)(133.33)
4
(
1
5
) (1) EItO/A= 393.33 N.m3

11. De la figura:
EItB/A
4
=
𝑜𝑜"̅̅̅̅̅
2
𝑂𝑂"̅̅̅̅̅=
EItB/A
2
= 1330 N.m3
También del mismo gráfico:
EIδ + EItO/A =OO” EIδ + 393.33 =1330
EIδ=936.67 N.m3
Del grafico de la deformada:
tB/A
𝐿
=
𝑜𝑜"̅̅̅̅̅
𝑎
𝑜𝑜"̅̅̅̅̅ =
𝑎
𝐿
(tB/A)
δ + 𝑜𝑜"̅̅̅̅̅ = tO/A
EIδ + EItO/A = ( 𝑜𝑜"̅̅̅̅̅) EI EIδ=(
Ma3
6𝐿
)-(
𝑎
𝐿
) (
𝑀
6
) (-3a2
-2L2
+6La)
Reduciendo términos:
EIδ=(
Ma
3𝐿
)(L2
-3La+2a2
)
REFERENCIAS
Feodosiev V.I. (1972), Resistencia de Materiales, Rusia,Editorial MIR, págs. 11-26, 245-274.