1. CÁLCULO II,
6 APLICACIONES
HANS SIGRIST
UAC
8
infinitus
cbna 2010
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..
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1 LA INTEGRAL EN LA ECONOMÍA
Riemanna
consulted a doctor about his diet. He
was told to reduce the amount of food he ate at
each meal but to increase the number of meals.
He proceeded to do so and ultimately ate
infinitesimal amount infinitely often, and he
found that his weight did not change. Shortly
after this, he gave a precise definition of a
definite integral. b
a
Georg Friedich Riemann (1826-66), matemático ale-
mán. Conocido es su aporte al Cálculo Integral, Funda-
dor de la Geometría Reimaniana, de vital imporatncia
tanto para matemáticos como a físicos.
b
Riemann consultó un doctor acerca de su dieta. Él le
dijo que redujera la cantidad de alimentos que comía
en cada comida, pero que aumentara el número de co-
midas. Procedió de esta forma y últimamente come una
cantidad infinitesimal menos, pero infinitas veces. Po-
co después de esto, ya tenía una definición precisa de
la integral definida.
MATHAMATICA NAVIGATOR
Objetivos de aprendizaje
Al finalizar este capítulo, el alumno estará en condiciones de:
Comprender cómo la Integral Definida relaciona el área bajo la curva con el concepto de oferta y demanda
en modelos de economía.
Hallar el punto de equilibrio y determinar el superávit de los consumidores y productores.
Índice
1.1. Oferta y demanda 1
1.2. Superávit de consumidores y productores 2
1.3. Problemas 5
1.4. Soluciones 6
1.1 Oferta y demanda Entre las funciones que se utilizan en economía para hacer modelos de situaciones de
mercado se estudian las funciones de oferta y de demanda.
1

2. 1.2 Superávit de consumidores y productores 1 LA INTEGRAL EN LA ECONOMÍA
Definición 1 (Función de oferta). Una empresa que fabrica y vende un determinado producto utiliza esta fun-
ción para relacionar la cantidad de productos que está dispuesta a ofrecer en el mercado con el precio unitario al
que se puede vender esa cantidad. Podemos decir que, en respuesta a distintos precios, existe una cantidad corres-
pondiente de productos que los fabricantes están dispuestos a ofrecer en el mercado en algún período específico.
Cuanto mayor es el precio, mayor será la cantidad de productos que la empresa está dispuesta a ofrecer. Al
reducirse el precio, se reduce la cantidad ofrecida. Esto nos permite asegurar que la función de oferta es una
función creciente. Si p representa el precio por unidad y q la cantidad ofrecida correspondiente entonces a la
ley (función) que relaciona p y q se la denomina función de oferta y a su gráfica se la conoce como gráfica de
oferta.
q
p
q
p
Definición 2 (Función de demanda). La empresa utiliza esta función para relacionar la cantidad de productos
demandada por los consumidores, con el precio unitario al que se puede vender esa cantidad, de acuerdo con la
demanda.
En general, si el precio aumenta, se produce una disminución de la cantidad demandada del artículo porque
no todos los consumidores están dispuestos a pagar un precio mayor por adquirirlo. La demanda disminuye
al aumentar el precio por eso esta es una función decreciente como lo observamos en los ejemplos gráficos.
Podemos asegurar entonces que para cada precio de un producto existe una cantidad correspondiente de ese
producto que los consumidores demandan en determinado período. Si el precio por unidad de un producto
está dado por p y la cantidad correspondiente en unidades está dada por q la ley que los relaciona se denomina
función de demanda.
q
p
q
p
1.2 Superávit de consumidores y productores El mercado determina el precio al que un producto se vende.
El punto de intersección de la curva de la demanda y de la curva de la oferta para un producto da el precio de
equilibrio. En el precio de equilibrio, los consumidores comprarán la misma cantidad del producto que los
fabricantes quieren vender. Sin embargo, algunos consumidores aceptarán gastar más en un artículo que el
2 INGENIERÍA COMERCIAL (PCE) UAC CÁLCULO II,
6 APLICACIONES

3. 1 LA INTEGRAL EN LA ECONOMÍA 1.2 Superávit de consumidores y productores
precio de equilibrio. El total de las diferencias entre el precio de equilibrio del artículo y los mayores precios
que todas esas personas aceptan pagar se considera como un ahorro de esas personas y se llama el superávit
de los consumidores.
El área bajo la curva de demanda es la cantidad total que los consumidores están dispuestos a pagar por
q0 artículos. El área sombreada bajo la recta y p0 muestra la cantidad total que los consumidores realmente
gastarán en el precio p0 de equilibrio. El área entre la curva y la recta representa el superávit de los consumi-
dores.
q
p
Curva de demanda
Superávit
de los
consumidores
p dpqq
q0
p0
El superávit de los consumidores está dado por el área entre las curvas p dpqq y p p0, entonces su valor
puede encontrarse con una integral definida de la siguiente manera
» q0
0
rdpqqp0sdq (1)
donde dpqqes una función de demanda con precio de equilibrio p0 y demanda de equilibrio q0.
Ejemplo 1. La curva de demanda está dada por la función (ley) dpxq50 0.06x2
. Encuentre el superávit o
ganancia de los consumidores si el nivel de venta asciende a 20 unidades.
Demostración. Como la cantidad de unidades es 20, su precio asciende a p dp20q50 0.06 p20q2
26.
Resolviendo la integral, la ganancia de los consumidores resulta:
10
20
30
40
50
60
10
5 10 15 20 25 305
q
p
dpxq500.06x2
dpxqp0 240.06x2
» 20
0
240.06x2
dx 320
p0,24q
p28.87,0q
» 20
0
500.06x2
26
dx
» 20
0
240.06x2
dx
24x 0.02x3



20
0
24200.02p20q3
@@@@@@@@
p2400.02p0q2
q
4800.02p8000q
480160
320
La ganancia de los consumidores asciende a $320, si el nivel de venta asciende a 20 unidades. □
De la misma manera si algunos fabricantes estuviesen dispuestos a proporcionar un producto a un me-
nor precio que el precio p0 de equilibrio, el total de las diferencias entre el precio de equilibrio y los precios
más bajos a los que los fabricantes venderían el producto se considera como una entrada adicional para los
fabricantes y se llama el superávit de los productores.
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INGENIERÍA COMERCIAL (PCE) UAC 3

4. 1.2 Superávit de consumidores y productores 1 LA INTEGRAL EN LA ECONOMÍA
q
p
superávit de
los
productores
curva de
demanda
p spqq
q0
p0
El área total bajo la curva de oferta entre q 0 y q q0 es la cantidad mínima total que los fabricantes están
dispuestos a obtener por la venta de q0 artículos. El área total bajo la recta p p0 es la cantidad realmente ob-
tenida. La diferencia entre esas dos áreas, el superávit de los productores, también está dada por una integral
definida.
Si spqq es una función de oferta con precio p0 de equilibrio y oferta q0 de equilibrio, entonces el superávit de
los productores viene dado por » q0
0
rp0 spqqsdq (3)
Ejemplo 2. Se conoce que la curva de oferta para un producto es spxq x
2
7. Encuentre la ganancia de los
productores si la producción asciende a 10 artículos.
Demostración. Si la producción asciende a 10 artículos el precio es sp10q 10
2
7 $12. La ganancia o supe-
rávit de los productores se calcula mediante la integral:
2
4
6
8
10
12
14
2
2 4 6 8 10 12 142
q
p
spxq x
2
7
» 10
0
5
x
2
dx 25
p0,7q
p0,5q
p10,0q
» 10
0
12
x
2
7
dx
» 10
0
12 x
2
7
dx
» 10
0
5 x
2
dx
5x x2
4



10
0
510 102
4
¨¨¨¨¨
50 02
4
50 100
4
5025
$25 □
Ejemplo 3. Calcule el exceso de oferta y el exceso de demanda para las curvas de demanda y oferta siguientes
Función de demanda: p1pqq 10000.4q2
Función de oferta: p2pqq 42q
El exceso de oferta y el de demanda están representadas por las áreas que se muestran a continuación:
4 INGENIERÍA COMERCIAL (PCE) UAC CÁLCULO II,
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5. 1 LA INTEGRAL EN LA ECONOMÍA 1.3 Problemas
q
p
Excedente
de demanda Curva de oferta
Punto de
equilibrio
Curva de
demandaExcedente
de oferta
q0
p0
La oferta coincide con la demanda en el punto pq0,p0q, es decir:
p1pqq p2pqq
10000.4q2
42q
0,4q2
42q 1000 0
ñ@@@@@q1 125 _ q2 20
Como los valores de la abscisa corresponden a número de artículos ofrecidos o demandados, descartamos el
resultado negativo (q1 125), en consecuencia q0 20 y luego, p0 840. (¿Por qué?)
El excedente de demanda o superávit de los consumidores es la región comprendida entre p1pqq10000.4x2
y la recta p 840, entre 0 y 20, es decir:
» 20
0
10000.4x2
840
dq
» 20
0
1600.4x2
dq
160q 0.4x2



20
0
160200.4 203
3
$$$$$$$$
16000.4
03
3
32000.4p8000
3
q
2133.3
El excedente de demanda asciende a $2133,33.
El excedente de oferta es la región comprendida entra las rectas p 840 y p 42q, entre 0 y 20, es decir:
» 20
0
p84042qqdp 840q 21q2
_020
840.2021.202
8400
El superávit de oferta alcanza $8400.
1.3 Problemas
Ejercicio 1. Suponemos que durante los primeros cinco años que un producto se puso a la venta en el mercado la
función f pxqdescribe la razón de ventas cuando pasaron x años desde que el producto se presentó en el mercado
por primera vez. Se sabe que f pxq2700
?
x 900, si 0 ¤0 ¤5. Calcule las ventas totales durante los primeros
cuatro años. [Ayuda] Plantee la Venta total.
Ejercicio 2. Se espera que la compra de una nueva máquina genere un ahorro en los costos de operación. Cuando
la máquina tenga x años de uso la razón de ahorro sea de f pxqpesos al año donde f pxq1000 5000x.
a) ¿Cuánto se ahorra en costos de operación durante los primeros seis años?
b) Si la máquina se compró a $67500. ¿Cuánto tiempo tardará la máquina en pagarse por sí sola?
CÁLCULO II,
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6. 1.4 Soluciones 1 LA INTEGRAL EN LA ECONOMÍA
Ejercicio 3. La curva de demanda de un producto está dada por la función p 12000.2x 0.0001x2
. Calcule
el superávit de los consumidores cuando el número de unidades del producto vendido es 500.
Ejercicio 4. La curva de demanda de una firma está dada por dpqq4018q 4.5q2
. ¿Cuál es el superávit de
los consumidores si el nivel de venta asciende de 30 a 40?
Ejercicio 5. la curva de oferta de un producto es spxq5
?x
10
. Encuentre la ganancia de los productores cuando
el precio de venta es $10.
Ejercicio 6. Una compañía modela la curva de demanda de un producto (en dólares) mediante
p dpxq 800000e
x{5000
x 20000
Use tecnología gráfica para estimar la demanda a la empresa cuando el precio de venta se fija enU$16. Encuentre
de manera aproximada el superávit de los consumidores para ese nivel de venta.
1.4 Soluciones
1 V T
» 4
0
2700
?
x 900
dx 18000 unidades.
2 a) Al cabo de 6 años el ahorro asciende a $96000.
b) Se tardarán 5 años para que la máquina se pague sola.
3 33333,33
4 $49600
5 $4166,67
6 3727,04 y $37,753
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