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MATEMÁTICA III



APLICACIONES A LA ECONOMÍA Y A LOS NEGOCIOS DE LA INTEGRAL DEFINIDA


Se pueden presentar varias situaciones económicas en donde las cantidades pueden expresarse
como integrales definidas y representarse geométricamente como áreas entre curvas.
Veamos el caso de las utilidades netas


Supóngase que dentro de x años un plan de inversión generará utilidades a un ritmo de
              2
R1  x  =50x   dólares por año, mientras que un segundo plan lo hará a un ritmo de
R2  x  =2005x dólares por año.
a.) ¿Cuántos años será más rentable el 2º plan?
b.) ¿Cuál es el exceso de utilidad neta, si se invierte en el 2º plan, en lugar del 1º, durante el
    período que éste es más rentable que el 1º?
c.) Explicar y representar, geométricamente, el exceso de utilidad neta calculado en el ítem b.


Solución:
a.)El segundo plan será más rentable hasta que R1  x =R2  x 
    50x 2 =2005x ⇒ x 2 −5x−150=0⇒ x=15 años  no tener en cuenta x =−10 
b) Para 0≤x≤15 , el ritmo al que las utilidades generadas por el 2º plan exceden las del 1º
   es R2  x  −R1  x  dólares por año. Entonces el exceso de utilidad neta que genera el 2º
    plan durante los 15 años está dado por la integral definida:
                               15                                  15
     Exc . de utilidad neta=∫ 0       [ R2  x −R1  x  ]   dx=∫ 0    [  2005x − 50x 2 ] dx=
        15
     ¿∫ 0    −x25x150    dx= −    x3 5
                                       3                       
                                          x150 x ∣ 15 =1 . 687 ,50 dól .
                                          2          0

c) Geométricamente, la integral definida antes calculada es el área de la región limitada por las
   curvas y=R 2  x  , y =R1  x  desde x=0 hasta x=15
              y

              275

                              R2 (x)

              200
                              Exc. Util.


                                                 R1 (x)


                  50



Otra aplicación importante es el cálculo de 10 ganancias netas producidas por una
                  0           5              las      15        x
maquinaria industrial, por ejemplo.




 Aplicaciones de la integral definida                                                                  1
MATEMÁTICA III



Cuando      tienes     x    años,        una    maquinaria         industrial   genera   ingresos   a      razón   de
                        2
 R  x  =5 .000−20 x dólares por año, y los costos de operación y mantenimiento se acumulan
                                2
a razón de C  x  =2 . 00010 x dólares por año.
a.) ¿Durante cuántos años es rentable el uso de la maquinaria?
b.) ¿Cuáles son las ganancias netas generadas por la maquinaria en ese periodo de tiempo?
c.) Explicar y representar, geométricamente, las ganancias netas calculadas.


Solución:
a) El uso de la maquinaria será rentable en tanto que el ritmo al que se generan los ingresos
   sea superior al que se generan los costos. Es decir, hasta que R  x  =C  x 
       5000−20 x 2 =200010 x 2
       30 x 2=3000 ⇒ x=10 años  no tener en cuenta x=−10 
b) Dado que las ganancias netas generadas por la maquinaria durante cierto período de
    tiempo están dadas por la diferencia entre el ingreso total generado por la misma y el
    costo total de operación y mantenimiento de ésta, se puede determinar esta ganancia por
    la integral definida:

                                 10                           10
    Ganancia neta=∫ 0                 [ R  x  −C  x  ] dx=∫ 0 [  5000−20 x 2−  200010 x 2 ] dx=
            10
     =∫ 0         3000−30 x 2  dx=  3000 x −10 x 3  ∣ 10=20000
                                                          0                 dól .

c) En términos geométricos, la ganancia neta calculada en el ítem anterior está representada
   por el área de la región limitada entre las curvas y=R  x  y y=C  x  , desde x=0 hasta
     x=10 .
                             y
                     5000                                      R(x)



                      3000                  Gan. Neta

                      2000                               C(x)




                             0                            5                         10     x
Otra importante aplicación es el cálculo del excedente de los consumidores y del
                     x
excedente en la producción .


La siguiente gráfica muestra una curva de oferta F  q  para un producto, donde p indica el
precio por unidad al que un fabricante venderá o suministrará q unidades.
También se muestra la curva de demanda D  q  para el producto, donde p indica el precio por
unidad al que los consumidores comprarán o demandarán q unidades del mismo.




Aplicaciones de la integral definida                                                                                2
MATEMÁTICA III



El punto     q 0 , p 0   es el punto de equilibrio, en el cual se presenta estabilidad en la relación
producto – consumidor.
Suponiendo que el mercado está en equilibrio, en que el precio por unidad del producto es p0 ,
observando la curva de demanda se puede apreciar que hay consumidores que estarían
dispuestos a pagar más que p0 por el producto, así como también, si observamos la curva de
la oferta, podríamos concluir diciendo que hay productores que están dispuestos a ofrecer el
producto a un precio inferior que p0 .
De esta manera ambas partes pueden obtener una ganancia total que llamamos exceso.


En el caso de los consumidores, se denomina excedente o superávit del consumidor , y es
la ganancia total que obtienen los consumidores por el hecho de estar dispuestos a pagar el
producto a un precio superior al del mercado. Este se puede calcular por la integral definida
dada por:




En el caso de los productores, se denomina excedente o superávit del productor, y es la
ganancia total que obtienen los productores por el hecho de estar dispuestos a ofrecer el
producto a un precio inferior al del mercado. Este se puede calcular por la integral definida
dada por:




En el caso de que las funciones de oferta y demanda estuviesen representadas cantidades en
función de los precios, el planteo para el cálculo de los excedentes es el siguiente:




                                  q




                               q0


                                                  Ex P
                                                                 Ex C




                                                                               p
                              0       p1   p0                           p2


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  • 1. MATEMÁTICA III APLICACIONES A LA ECONOMÍA Y A LOS NEGOCIOS DE LA INTEGRAL DEFINIDA Se pueden presentar varias situaciones económicas en donde las cantidades pueden expresarse como integrales definidas y representarse geométricamente como áreas entre curvas. Veamos el caso de las utilidades netas Supóngase que dentro de x años un plan de inversión generará utilidades a un ritmo de 2 R1  x  =50x dólares por año, mientras que un segundo plan lo hará a un ritmo de R2  x  =2005x dólares por año. a.) ¿Cuántos años será más rentable el 2º plan? b.) ¿Cuál es el exceso de utilidad neta, si se invierte en el 2º plan, en lugar del 1º, durante el período que éste es más rentable que el 1º? c.) Explicar y representar, geométricamente, el exceso de utilidad neta calculado en el ítem b. Solución: a.)El segundo plan será más rentable hasta que R1  x =R2  x  50x 2 =2005x ⇒ x 2 −5x−150=0⇒ x=15 años  no tener en cuenta x =−10  b) Para 0≤x≤15 , el ritmo al que las utilidades generadas por el 2º plan exceden las del 1º es R2  x  −R1  x  dólares por año. Entonces el exceso de utilidad neta que genera el 2º plan durante los 15 años está dado por la integral definida: 15 15 Exc . de utilidad neta=∫ 0 [ R2  x −R1  x  ] dx=∫ 0 [  2005x − 50x 2 ] dx= 15 ¿∫ 0 −x25x150  dx= − x3 5 3   x150 x ∣ 15 =1 . 687 ,50 dól . 2 0 c) Geométricamente, la integral definida antes calculada es el área de la región limitada por las curvas y=R 2  x  , y =R1  x  desde x=0 hasta x=15 y 275 R2 (x) 200 Exc. Util. R1 (x) 50 Otra aplicación importante es el cálculo de 10 ganancias netas producidas por una 0 5 las 15 x maquinaria industrial, por ejemplo. Aplicaciones de la integral definida 1
  • 2. MATEMÁTICA III Cuando tienes x años, una maquinaria industrial genera ingresos a razón de 2 R  x  =5 .000−20 x dólares por año, y los costos de operación y mantenimiento se acumulan 2 a razón de C  x  =2 . 00010 x dólares por año. a.) ¿Durante cuántos años es rentable el uso de la maquinaria? b.) ¿Cuáles son las ganancias netas generadas por la maquinaria en ese periodo de tiempo? c.) Explicar y representar, geométricamente, las ganancias netas calculadas. Solución: a) El uso de la maquinaria será rentable en tanto que el ritmo al que se generan los ingresos sea superior al que se generan los costos. Es decir, hasta que R  x  =C  x  5000−20 x 2 =200010 x 2 30 x 2=3000 ⇒ x=10 años  no tener en cuenta x=−10  b) Dado que las ganancias netas generadas por la maquinaria durante cierto período de tiempo están dadas por la diferencia entre el ingreso total generado por la misma y el costo total de operación y mantenimiento de ésta, se puede determinar esta ganancia por la integral definida: 10 10 Ganancia neta=∫ 0 [ R  x  −C  x  ] dx=∫ 0 [  5000−20 x 2−  200010 x 2 ] dx= 10 =∫ 0  3000−30 x 2  dx=  3000 x −10 x 3  ∣ 10=20000 0 dól . c) En términos geométricos, la ganancia neta calculada en el ítem anterior está representada por el área de la región limitada entre las curvas y=R  x  y y=C  x  , desde x=0 hasta x=10 . y 5000 R(x) 3000 Gan. Neta 2000 C(x) 0 5 10 x Otra importante aplicación es el cálculo del excedente de los consumidores y del x excedente en la producción . La siguiente gráfica muestra una curva de oferta F  q  para un producto, donde p indica el precio por unidad al que un fabricante venderá o suministrará q unidades. También se muestra la curva de demanda D  q  para el producto, donde p indica el precio por unidad al que los consumidores comprarán o demandarán q unidades del mismo. Aplicaciones de la integral definida 2
  • 3. MATEMÁTICA III El punto  q 0 , p 0 es el punto de equilibrio, en el cual se presenta estabilidad en la relación producto – consumidor. Suponiendo que el mercado está en equilibrio, en que el precio por unidad del producto es p0 , observando la curva de demanda se puede apreciar que hay consumidores que estarían dispuestos a pagar más que p0 por el producto, así como también, si observamos la curva de la oferta, podríamos concluir diciendo que hay productores que están dispuestos a ofrecer el producto a un precio inferior que p0 . De esta manera ambas partes pueden obtener una ganancia total que llamamos exceso. En el caso de los consumidores, se denomina excedente o superávit del consumidor , y es la ganancia total que obtienen los consumidores por el hecho de estar dispuestos a pagar el producto a un precio superior al del mercado. Este se puede calcular por la integral definida dada por: En el caso de los productores, se denomina excedente o superávit del productor, y es la ganancia total que obtienen los productores por el hecho de estar dispuestos a ofrecer el producto a un precio inferior al del mercado. Este se puede calcular por la integral definida dada por: En el caso de que las funciones de oferta y demanda estuviesen representadas cantidades en función de los precios, el planteo para el cálculo de los excedentes es el siguiente: q q0 Ex P Ex C p 0 p1 p0 p2 Aplicaciones de la integral definida 3