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APLICACIONES A LA ECONOMÍA Y A LOS NEGOCIOS DE LA INTEGRAL DEFINIDA
Se pueden presentar varias situaciones económicas en donde las cantidades pueden expresarse
como integrales definidas y representarse geométricamente como áreas entre curvas.
Veamos el caso de las utilidades netas
Supóngase que dentro de x años un plan de inversión generará utilidades a un ritmo de
( ) 2
1 x50xR += dólares por año, mientras que un segundo plan lo hará a un ritmo de
( ) x5200xR2 += dólares por año.
a.) ¿Cuántos años será más rentable el 2º plan?
b.) ¿Cuál es el exceso de utilidad neta, si se invierte en el 2º plan, en lugar del 1º, durante el
período que éste es más rentable que el 1º?
c.) Explicar y representar, geométricamente, el exceso de utilidad neta calculado en el ítem
b.
Solución:
a.) El segundo plan será más rentable hasta que ( ) ( )xRxR 21 =
( )10xcuentaentenernoaños15x0150x5xx5200x50 22
−==⇒=−−⇒+=+
b) Para 15x0 ≤≤ , el ritmo al que las utilidades generadas por el 2º plan exceden las del 1º es
( ) ( )xRxR 12 − dólares por año. Entonces el exceso de utilidad neta que genera el 2º plan
durante los 15 años está dado por la integral definida:
( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]
( ) .dól50,687.1x150x
2
5
3
x
dx150x5x
dxx50x5200dxxRxRnetautilidadde.Exc
15
0
3
15
0
2
15
0
2
15
0
12
=








++−=++−=
=+−+=−=
∫
∫∫
c) Geométricamente, la integral definida antes calculada es el área de la región limitada por
las curvas ( ) ( )xRy,xRy 12 == desde 0x = hasta 15x =
Otra aplicación importante es el cálculo de las ganancias netas producidas por una maquinaria
industrial, por ejemplo.
0 5 10 15 x
y
275
200
50
R2
(x)
R1
(x)
Exc. Util.
Cuando tienes x años, una maquinaria industrial genera ingresos a razón de ( ) 2
x20000.5xR −=
dólares por año, y los costos de operación y mantenimiento se acumulan a razón de
( ) 2
x10000.2xC += dólares por año.
a.) ¿Durante cuántos años es rentable el uso de la maquinaria?
b.) ¿Cuáles son las ganancias netas generadas por la maquinaria en ese periodo de tiempo?
c.) Explicar y representar, geométricamente, las ganancias netas calculadas.
Solución:
a) El uso de la maquinaria será rentable en tanto que el ritmo al que se generan los
ingresos sea superior al que se generan los costos. Es decir, hasta que ( ) ( )xCxR =
( )10xcuentaentenernoaños10x3000x30
x102000x205000
2
22
−==⇒=
+=−
b) Dado que las ganancias netas generadas por la maquinaria durante cierto período de tiempo están
dadas por la diferencia entre el ingreso total generado por la misma y el costo total de operación y
mantenimiento de ésta, se puede determinar esta ganancia por la integral definida:
( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]
( ) ( ) .dól20000x10x3000dxx303000
dxx102000x205000dxxCxRnetaGanancia
10
0
3
10
0
2
10
0
22
10
0
=−=−=
=+−−=−=
∫
∫∫
c) En términos geométricos, la ganancia neta calculada en el ítem anterior está representada por el
área de la región limitada entre las curvas ( )xRy = y ( )xCy = , desde 0x = hasta 10x = .
Otra importante aplicación es el cálculo del excedente de los consumidores y del excedente en
la producción.
La siguiente gráfica muestra una curva de oferta ( )qF para un producto, donde p indica el precio por
unidad al que un fabricante venderá o suministrará q unidades.
0 5 10 x
x
5000
3000
2000
R(x)
C(x)
y
Gan. Neta
También se muestra la curva de demanda ( )qD para el producto, donde p indica el precio por unidad
al que los consumidores comprarán o demandarán q unidades del mismo.
El punto ( )00 p,q es el punto de equilibrio, en el cual se presenta estabilidad en la relación producto –
consumidor.
Suponiendo que el mercado está en equilibrio, en que el precio por unidad del producto es 0p ,
observando la curva de demanda se puede apreciar que hay consumidores que estarían dispuestos a
pagar más que 0p por el producto, así como también, si observamos la curva de la oferta, podríamos
concluir diciendo que hay productores que están dispuestos a ofrecer el producto a un precio inferior que
0p .
De esta manera ambas partes pueden obtener una ganancia total que llamamos exceso.
En el caso de los consumidores, se denomina excedente o superávit del consumidor, y es la
ganancia total que obtienen los consumidores por el hecho de estar dispuestos a pagar el producto a un
precio superior al del mercado. Este se puede calcular por la integral definida dada por:
( )[ ]
( )
( )
( ) 00
0q
0
0q
00
0q
0
0q
0
0
0q
0
0q
0
0
q.pdqqD
q.pdqqD
dqpdqqD
dqpqDCons.Exc
∫
∫
∫∫
∫
−=
=−=
=−=
=−=
En el caso de los productores, se denomina excedente o superávit del productor, y es la ganancia
total que obtienen los productores por el hecho de estar dispuestos a ofrecer el producto a un precio
inferior al del mercado. Este se puede calcular por la integral definida dada por:
D(q)
p0
p
q0
q
Ex .C
0
( )[ ]
( )
( )
( )
∫
∫
∫∫
∫
−=
=−=
=−−=
=−=
0q
0
00
0q
0
0q
00
0q
0
0q
0
0
0q
0
0
dqqDq.p
dqqFq.p
dqqFdqp
dqqFprodP.Exc
En el caso de que las funciones de oferta y demanda estuviesen representadas cantidades en función de
los precios, el planteo para el cálculo de los excedentes es el siguiente:
( )
∫=
2p
0p
dppD.Cons.Exc ( )
∫=
0p
1p
dppF.odPr.Exc
F(q)
p0
p
q0
q
Ex. P
0
q
q0
p0
p1
p2
Ex C
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0
p

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Aplicaciones económicas de la integral definida: utilidades, ganancias y excedentes

  • 1. APLICACIONES A LA ECONOMÍA Y A LOS NEGOCIOS DE LA INTEGRAL DEFINIDA Se pueden presentar varias situaciones económicas en donde las cantidades pueden expresarse como integrales definidas y representarse geométricamente como áreas entre curvas. Veamos el caso de las utilidades netas Supóngase que dentro de x años un plan de inversión generará utilidades a un ritmo de ( ) 2 1 x50xR += dólares por año, mientras que un segundo plan lo hará a un ritmo de ( ) x5200xR2 += dólares por año. a.) ¿Cuántos años será más rentable el 2º plan? b.) ¿Cuál es el exceso de utilidad neta, si se invierte en el 2º plan, en lugar del 1º, durante el período que éste es más rentable que el 1º? c.) Explicar y representar, geométricamente, el exceso de utilidad neta calculado en el ítem b. Solución: a.) El segundo plan será más rentable hasta que ( ) ( )xRxR 21 = ( )10xcuentaentenernoaños15x0150x5xx5200x50 22 −==⇒=−−⇒+=+ b) Para 15x0 ≤≤ , el ritmo al que las utilidades generadas por el 2º plan exceden las del 1º es ( ) ( )xRxR 12 − dólares por año. Entonces el exceso de utilidad neta que genera el 2º plan durante los 15 años está dado por la integral definida: ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) .dól50,687.1x150x 2 5 3 x dx150x5x dxx50x5200dxxRxRnetautilidadde.Exc 15 0 3 15 0 2 15 0 2 15 0 12 =         ++−=++−= =+−+=−= ∫ ∫∫ c) Geométricamente, la integral definida antes calculada es el área de la región limitada por las curvas ( ) ( )xRy,xRy 12 == desde 0x = hasta 15x = Otra aplicación importante es el cálculo de las ganancias netas producidas por una maquinaria industrial, por ejemplo. 0 5 10 15 x y 275 200 50 R2 (x) R1 (x) Exc. Util.
  • 2. Cuando tienes x años, una maquinaria industrial genera ingresos a razón de ( ) 2 x20000.5xR −= dólares por año, y los costos de operación y mantenimiento se acumulan a razón de ( ) 2 x10000.2xC += dólares por año. a.) ¿Durante cuántos años es rentable el uso de la maquinaria? b.) ¿Cuáles son las ganancias netas generadas por la maquinaria en ese periodo de tiempo? c.) Explicar y representar, geométricamente, las ganancias netas calculadas. Solución: a) El uso de la maquinaria será rentable en tanto que el ritmo al que se generan los ingresos sea superior al que se generan los costos. Es decir, hasta que ( ) ( )xCxR = ( )10xcuentaentenernoaños10x3000x30 x102000x205000 2 22 −==⇒= +=− b) Dado que las ganancias netas generadas por la maquinaria durante cierto período de tiempo están dadas por la diferencia entre el ingreso total generado por la misma y el costo total de operación y mantenimiento de ésta, se puede determinar esta ganancia por la integral definida: ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( ) .dól20000x10x3000dxx303000 dxx102000x205000dxxCxRnetaGanancia 10 0 3 10 0 2 10 0 22 10 0 =−=−= =+−−=−= ∫ ∫∫ c) En términos geométricos, la ganancia neta calculada en el ítem anterior está representada por el área de la región limitada entre las curvas ( )xRy = y ( )xCy = , desde 0x = hasta 10x = . Otra importante aplicación es el cálculo del excedente de los consumidores y del excedente en la producción. La siguiente gráfica muestra una curva de oferta ( )qF para un producto, donde p indica el precio por unidad al que un fabricante venderá o suministrará q unidades. 0 5 10 x x 5000 3000 2000 R(x) C(x) y Gan. Neta
  • 3. También se muestra la curva de demanda ( )qD para el producto, donde p indica el precio por unidad al que los consumidores comprarán o demandarán q unidades del mismo. El punto ( )00 p,q es el punto de equilibrio, en el cual se presenta estabilidad en la relación producto – consumidor. Suponiendo que el mercado está en equilibrio, en que el precio por unidad del producto es 0p , observando la curva de demanda se puede apreciar que hay consumidores que estarían dispuestos a pagar más que 0p por el producto, así como también, si observamos la curva de la oferta, podríamos concluir diciendo que hay productores que están dispuestos a ofrecer el producto a un precio inferior que 0p . De esta manera ambas partes pueden obtener una ganancia total que llamamos exceso. En el caso de los consumidores, se denomina excedente o superávit del consumidor, y es la ganancia total que obtienen los consumidores por el hecho de estar dispuestos a pagar el producto a un precio superior al del mercado. Este se puede calcular por la integral definida dada por: ( )[ ] ( ) ( ) ( ) 00 0q 0 0q 00 0q 0 0q 0 0 0q 0 0q 0 0 q.pdqqD q.pdqqD dqpdqqD dqpqDCons.Exc ∫ ∫ ∫∫ ∫ −= =−= =−= =−= En el caso de los productores, se denomina excedente o superávit del productor, y es la ganancia total que obtienen los productores por el hecho de estar dispuestos a ofrecer el producto a un precio inferior al del mercado. Este se puede calcular por la integral definida dada por: D(q) p0 p q0 q Ex .C 0
  • 4. ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ∫ ∫ ∫∫ ∫ −= =−= =−−= =−= 0q 0 00 0q 0 0q 00 0q 0 0q 0 0 0q 0 0 dqqDq.p dqqFq.p dqqFdqp dqqFprodP.Exc En el caso de que las funciones de oferta y demanda estuviesen representadas cantidades en función de los precios, el planteo para el cálculo de los excedentes es el siguiente: ( ) ∫= 2p 0p dppD.Cons.Exc ( ) ∫= 0p 1p dppF.odPr.Exc F(q) p0 p q0 q Ex. P 0 q q0 p0 p1 p2 Ex C Ex P 0 p