Estudio de la respuesta del sistema

1. SISTEMAS DINAMICOS
CODIGO: 071-4643
Profa. Judith Devia
Análisis de la respuesta del sistema
SISTEMAS DINAMICOS
CODIGO: 071-4643

2. Profa. Judith Devia
Análisis de la respuesta del sistema
La mayoría de los criterios de diseño se basan en la
respuesta del sistema a ciertas señales.
Las señales de prueba que se usan regularmente son las
funciones escalón, rampa, parábola, impulso y senoidales.
Su uso se justifica porque existe una correlación entre las
características de respuesta de un sistema para una señal
de entrada de prueba y la capacidad del sistema de
manejar las señales de entrada reales.
Estas señales permiten realizar el análisis matemático y
experimental de los sistemas de control.
2

3. Profa. Judith Devia
En el análisis y diseño de sistemas de control, debemos tener
una base de comparación del desempeño de diversos
sistemas de control. Esta base se configura especificando las
señales de entrada y comparando las respuestas de varios
sistemas a estas señales de entrada
Si las entradas para un sistema de control son funciones del
tiempo que cambian en forma gradual, una función rampa
sería una buena señal de prueba. Si el sistema está sujeto a
perturbaciones repentinas, una función escalón sería la
adecuada; y para un sistema sujeto a entradas de choque, una
función impulso sería la mejor.
Análisis de la respuesta del sistema
3

4. Profa. Judith Devia
Impulso unitario δ(t) Escalón unitario 1(t)
Rampa unitaria t Parábola unitaria t2/2
Análisis de la respuesta del sistema.
Entradas de prueba
4

5. Profa. Judith Devia
La respuesta en el tiempo de un sistema puede
descomponerse en dos partes: la respuesta transitoria y la
respuesta estacionaria.
La respuesta transitoria es la parte de la respuesta que cae a
cero cuando el tiempo tiende a infinito, depende de las
característica dinámica del sistema y determina el
comportamiento del sistema durante la transición de algún
estado inicial hasta el estado final.
La respuesta estacionaria depende fundamentalmente de la
señal de excitación al sistema y, si el sistema es estable, es la
respuesta que perdura cuando el tiempo crece infinitamente.
Análisis de la respuesta del sistema
5

6. Profa. Judith Devia
Análisis de la respuesta del sistema.
Función respuesta impulsiva
Dada la FT:
La respuesta: Y(s) = G(s)*R(s)
Como la transformada de Laplace del impulso unitario es 1, se tiene:
Y(s) = G(s)
La respuesta impulsiva en el tiempo es:
y(t) = g(t)
Esto indica que la función g(t) y la respuesta impulsiva y(t) tienen la
misma información sobre las características dinámicas del sistema.
R(s)
Y(s)
G(s) 
6

7. Profa. Judith Devia
Análisis de la respuesta de un sistema de
primer orden
Función de Transferencia de Lazo Cerrado, FTLC:
Donde:
T: constante de tiempo del sistema
Dado el sistema
)(*
1
1
)( sR
Ts
sY


1
1
)(
)(


TssR
sY
La salida del sistema:
7

8. Profa. Judith Devia
  0)t(y)t(rLe
t
ss 

El error en estado estacionario ess
)t(eLim
t
sse e(t) = r(t) – y(t)
Análisis de la respuesta de un sistema de
primer orden
Respuesta ante una entrada Impulso Unitario, R(s)=1:
Aplicando transformada Inversa de Laplace
1Ts
T
1*
1Ts
1



Y(s)
0te
T
1
)t(y Tt
 
8

9. Profa. Judith Devia
Análisis de la respuesta de un sistema de
primer orden
Respuesta ante una entrada Escalón Unitario, R(s)=1/s:
1Ts
T
s
1
s
1
1Ts
1



Y(s)
Aplicando transformada Inversa de Laplace
0te1)t(y Tt
 
En t=T la
salida alcanza
el 63.2 % del
valor final
En t=4T la señal
de salida alcanza
el 98.2% del
valor final
Respuesta
transitoria
Respuesta
estacionaria
La pendiente a la
curva en t = 0 es
1/T.
El error en estado estacionario ess
    0e11LimLim Tt
tt
 

y(t)-r(t)ess
9

10. Profa. Judith Devia
Análisis de la respuesta de un sistema
primer orden
Respuesta ante una entrada Rampa Unitaria, R(s)=1/s2:
Aplicando transformada Inversa de Laplace
1Ts
T
s
T
s
1
s
1
1Ts
1 2
22



Y(s)
0tTeTt)t(y Tt
 
    TTeTttLimLim Tt
tt
 

y(t)-r(t)ess
El error en estado estacionario ess
10

11. Profa. Judith Devia
Propiedad importante de los sistemas lineales e
invariantes en el tiempo.
En el análisis anterior, se demostró que, para la entrada rampa
unitaria, r(t) = t, unitaria, la salida y(t) es:
y(t) = t - T + Te-t/T para t ≥ 0
Para la entrada escalón unitario, r(t) = 1(t), que es la derivada
de la entrada rampa unitaria, la salida y(t):
y(t) = 1 - e-t/T para t ≥ 0
Por último, para la entrada impulso unitario, r(t) = δ(t), que es
la derivada de la entrada escalón unitario, la salida y(t) es:
y(t) = (1/T) e-t/T para t ≥ 0
11

12. Profa. Judith Devia
Análisis de la respuesta de un sistema
segundo orden
El comportamiento dinámico de un sistema de segundo orden se estudia
usando una expresión normalizada del sistema:
2
nn
2
2
n
s2s)s(R
)s(Y


FTLC:
donde:
ζ= Relación de amortiguamiento.
ωn= Frecuencia natural no amortiguada.
Los polos del sistema vienen determinados por las raíces del polinomio
característico (polinomio del denominador de la FT):
1s:sistemasdelpolosLos
01s2s)s(P
2
nn2,1
n
2




12
Y(s)R(s) +
-
E(s)
 n
2
n
2ss 



13. Profa. Judith Devia
Análisis de la respuesta de un sistema
segundo orden
Clasificación de los sistemas de segundo orden en función del
valor de ζ
Los polos de un polinomio de segundo orden pueden ser reales distintos,
reales múltiples, complejos conjugados o imaginarios.
Para 0 < ζ < 1, Sistema subamortiguado
Para ζ = 1, Sistema Críticamente amortiguado.
Para ζ > 1, Sistema Sobreamortiguado .
Para ζ = 0, Sistema Oscilatorio.
conjugadoscomplejos,dnn jjs   2
2,1 1
igualesreales,n2,1s 
diferentesreales,12
2,1   nns
sImaginaria,njs 2,1
13

14. Profa. Judith Devia
Análisis de la respuesta de un sistema
segundo orden
Respuesta ante una entrada impulso unitario, R(s)=1:
Para 0≤ζ<1
Para ζ=1
Para ζ>1
  0tpara,t1sene
1
)t(y 2
n
t
2
n n



 
0tpara,te)t(y t2
n
n
 
0tpara,e
12
e
12
)t(y
t1
2
n
t1
2
n n
2
n
2











 



 
14

15. Profa. Judith Devia
Análisis de la respuesta de un sistema
segundo orden
Sistema subamortiguado 0 < ζ < 1:
conjugadascomplejas,j1js d
2
nn2,1  
donde:
Respuesta ante una entrada escalón unitario, R(s)=1/s:
a)amortiguada(frecuenciimaginariaparte1
n)(atenuaciórealparte
2
nd
n




    0tpara,tωsen
ζ1
ζ
tωcose1y(t) d2d
tζωn










 
   
    0tpara,tωsen
ζ1
ζ
tωcose
tωsen
ζ1
ζ
tωcose1-1y(t)-r(t)e(t)
d2d
tζω
d2d
tζω
n
n























La respuesta:
Error en estado estacionario
15

16. Profa. Judith Devia
Análisis de la respuesta de un sistema
segundo orden
0 2 4 6 8 10 12 14 16
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
Step Response
Time (sec)
AmplitudeRespuesta ante una entrada escalón unitario, R(s)=1/s, con ωn=1 y ζ =0.2
ess=0
    0tpara,tωsen
ζ1
ζ
tωcose1y(t) d2d
tζωn










 
16

17. Profa. Judith Devia
Análisis de la respuesta de un sistema
segundo orden
Sistema críticamente amortiguado ζ = 1:
Respuesta ante una entrada escalón unitario, R(s)=1/s:
 
  0tpara,tω1e
tω1e1-1y(t)-r(t)e(t)
n
tω
n
tω
n
n




La respuesta:
Error en estado estacionario
igualesreales,n2,1s 
 
  0tpara,tω1e1y(t)
s
1
ωs
ω
Y(s)
n
tω
2
n
2
n
n





Polos:
17

18. Profa. Judith Devia
Análisis de la respuesta de un sistema
segundo orden
Respuesta ante una entrada escalón unitario, R(s)=1/s, con ωn=1 y ζ =1
ess=0
  0tpara,tω1e1y(t) n
tωn
 
Step Response
Time (sec)
Amplitude
0 2 4 6 8 10 12 14 16
0
0.5
1
1.5
18

19. Profa. Judith Devia
Análisis de la respuesta de un sistema
segundo orden
Sistema sobreamortiguado ζ >1:
Respuesta ante una entrada escalón unitario, R(s)=1/s:
    0tpara,e
1ζζ1ζ2
1
e
1ζζ1ζ2
1
y(t)-r(t)e(t)
tω1ζ-ζ
22
tω1ζζ
22
n
2
n
2










 



 
La respuesta:
Error en estado estacionario
Polos:
diferentesreales,1s 2
nn2,1 
  
   
tω1ζ-ζ
22
tω1ζζ
22
2
nn
2
nn
2
n
n
2
n
2
e
1ζζ1ζ2
1
e
1ζζ1ζ2
1
1y(t)
1
1ζωζωs1ζωζωs
ω
y(s)




 



 






s
19

20. Profa. Judith Devia
Análisis de la respuesta de un sistema
segundo orden
Respuesta ante una entrada escalón unitario, R(s)=1/s, con ωn=1 y ζ =1.5
ess=0
Step Response
Time (sec)
Amplitude
0 2 4 6 8 10 12 14 16
0
0.5
1
1.5
   
tω1ζ-ζ
22
tω1ζζ
22
n
2
n
2
e
1ζζ1ζ2
1
e
1ζζ1ζ2
1
1y(t)




 



 




20

21. Profa. Judith Devia
Análisis de la respuesta de un sistema
segundo orden
Sistema oscilatorio ζ =0:
Respuesta ante una entrada escalón unitario, R(s)=1/s:
tcostcos11
y(t)-r(t)e(t)
nn  

La respuesta:
Error en estado estacionario
Polos: sImaginaria,n2,1 js 
y(t) = 1 - cos ωn t, para t ≥ 0
21

22. Profa. Judith Devia
Análisis de la respuesta de un sistema
segundo orden
Respuesta ante una entrada escalón unitario, R(s)=1/s, con ωn=1 y ζ =0
0 2 4 6 8 10 12 14 16
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
Step Response
Time (sec)
Amplitude
y(t) = 1 - cos ωn t, para t ≥ 0
tcose nss 
22

23. Profa. Judith Devia
Análisis de la respuesta de un sistema
segundo orden
Respuesta ante una entrada escalón unitario, R(s)=1/s, con ωn=1
Oscilatorio.
Raíces
imaginarias.
Subamortiguado. Raíces
complejas conjugadas.
Sobreamortiguado.
Raíces reales y
diferentes
Críticamente amortiguado.
Raíces reales iguales
23

24. Profa. Judith Devia
Análisis de la respuesta de un sistema
segundo orden
Generalmente, en la práctica, se especifican las
características o especificaciones requeridas de un
sistema de control en cantidades en el dominio del tiempo.
Estas cantidades vienen determinadas en términos de la
respuesta transitoria frente a una entrada tipo escalón,
dado que es fácil de generar y es lo suficientemente
drástica.
Especificaciones de la respuesta transitoria
24

25. Profa. Judith Devia
Análisis de la respuesta de un sistema
segundo orden
La respuesta transitoria de un sistema para una entrada
escalón unitario depende de las condiciones iniciales.
Para efectos del curso al comparar respuestas transitorias
de varios sistemas, (lo cual es una práctica común) se
usará la condición inicial estándar de que el sistema está
en reposo al inicio, por lo cual la salida y todas las
derivadas con respecto al tiempo son cero. De este modo,
las características de respuesta se comparan con
facilidad.
Especificaciones de respuesta transitoria
25

26. Profa. Judith Devia
Análisis de la respuesta de un sistema
segundo orden
Especificaciones de la respuesta transitoria
tp: tiempo pico. Tiempo
requerido para que la
respuesta alcance el
primer pico del
sobrepaso.
td, Tiempo de retardo.
tiempo requerido para
que la respuesta alcance
la primera vez la mitad
del valor final.
tr, tiempo crecimiento o
de subida. Tiempo
requerido para que la
respuesta pase 0 al
100% de su valor final.
Mp o SD: el valor pico
máximo de la curva de
respuesta, medido a
partir de la unidad.
ts, Tiempo de
asentamiento. Tiempo
para que la curva de
respuesta alcance un
rango alrededor del valor
final y permanezca
dentro de él.
100
)(y
)(y)



 py(t
SD%
26

27. Profa. Judith Devia
Análisis de la respuesta de un sistema
segundo orden
Especificaciones de la respuesta transitoria para sistemas de
segundo orden ante una entrada escalón unitario
d
d1
d
r
ω
βπ
σ
ω
tan
ω
1
t








 
Tiempo de crecimiento, tr: Se obtiene cuando la respuesta alcanza por
primera vez el valor final
Despejando tr de . y(tr) = 1
donde el ángulo β se define:
27

28. Profa. Judith Devia
Tiempo pico tp: Obtenemos el tiempo pico diferenciando y(t)
con respecto al tiempo y suponiendo que esta derivada es
igual a cero.
Sobre disparo máximo, SD: Se obtiene en el tiempo pico
y(tp), SD=y(tp)-1
π
ζ1
ζ
π
ω
σ 2
d
eeSD

















d
p
ω
π
t 
Análisis de la respuesta de un sistema
segundo orden
28

29. Profa. Judith Devia
Análisis de la respuesta de un sistema
segundo orden
Especificaciones de la respuesta transitoria para sistemas de
segundo orden ante una entrada escalón unitario
Tiempo de Asentamiento, ts:
El tiempo de asentamiento se relaciona con la mayor constante de tiempo
del sistema de control.
%)2delcriterio(
n
44
st
%)5delcriterio(
n
33
st
29

30. Profa. Judith Devia
Análisis de la respuesta de un sistema
segundo orden
Ejemplo: Dado el siguiente sistema determine las especificaciones de la
respuesta transitoria para el sistema ante una entrada escalón unitario.
4s2s
4
)s(R
)s(Y
2


31;1
5.0;2
4y22
s2s4s2s)s(P
2
ndn
n
2
nn
2
nn
22








21,1
1
3
tan
3
1
t 1
r 
















 

81.1
3
π
tp 
16.0eSD
π
3
1







%)5(3
1
3
t
%)2(4
1
4
t
s
s


30

31. Profa. Judith Devia
Análisis de la respuesta de un sistema
segundo orden
21,1tr  81.1tp  16.0SD  %)2(4ts 
Respuesta del ejemplo
31

32. Profa. Judith Devia
Análisis de la respuesta de sistemas de
orden superior
La respuesta de sistemas de orden superior a dos, es la suma de
respuestas de primer y segundo orden.
Considere la siguiente FT de un sistema de tercer orden.
32
cbsass
A
R(s)
Y(s)
23


b)as)(sp(s
A
R(s)
Y(s)
2
1 


33. Profa. Judith Devia
Análisis de la respuesta de sistemas de
orden superior
La respuesta de los polos cuya parte real está más alejada del eje
imaginario decaen a cero más rápido y los que están más cerca
decaen más lento dominando la respuesta del sistema.
33
Si la relación entre las partes reales es superior a 5 y no hay
ceros cercanos los polos que están más cerca del eje imaginario
dominarán la respuesta transitoria del sistema y se les conoce
como polos dominantes de lazo cerrado.
t100t
BeAe1)t(y
)100s(
B
)1s(
A
s
1
Y(s)





