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http://julio-                           6º PRIMARIA JULIOPROFE
…………………………………………………………………………………………………………..……….
                                        MÚLTIPLOS Y DIVISORES
                                     EJERCICIOS + SOLUCIONARIO


1   Completa la siguiente frase:

    Los múltiplos de un número son los números que obtenemos cuando ......................... ese número
    por los ..........................


2   Escribe los cinco primeros múltiplos de los siguientes números:

           8                          1                         14                     100

3   Completa en tu cuaderno:

    a) 24 es múltiplo de 3 porque 3 x ..... = 24
    b) 75 es múltiplo de 5 porque ..... x ..... = 75
    c) 14 es múltiplo de 7 porque ..... x ..... = .....
    d) 70 es múltiplo de 2 porque ..... x ..... = .....


4   Escribe los trece primeros múltiplos de 5. ¿Es posible escribir absolutamente todos los múltiplos
    de un número? Razona tu respuesta.


5   Escribe cuatro múltiplos de 9 mayores que 70.

6   Escribe cinco múltiplos de cada uno de estos números:

    a) 15                                           d) 25
    b) 24                                           e) 20
    c) 30                                           f) 18


7   Agrupa estos números según sean múltiplos de 2, de 5 o de 7.

       8        119        6     7         2     21       195         15   63     55     12


8   Adela quiere comprarse unos chicles. El dependiente le dice que en cada paquete hay 18 chicles.
    ¿Podrá Adela comprar 54 chicles? ¿Y 70?


9   Señala cuáles de los siguientes números son múltiplos comunes de 5 y de 7:

           35         10              70         14             700         140        20

10 Las natillas se venden en paquetes de 4 unidades. ¿Cuántas natillas hay en 7 paquetes? ¿Puede
    una persona comprar 22 natillas?


11 Señala cuáles de los siguientes números son múltiplos comunes de 6 y de 9.

        12            18             27        36           96             72
12 Calcula el mínimo común múltiplo de los siguientes pares de números:

          10 y 15                        7 y 14                      16 y 24


13 Calcula el mínimo común múltiplo de los siguientes pares de números:

      2y4                         2y3                         2y5                         2y7


14 Calcula los múltiplos comunes de 3 y 5 menores que 50.

15 Completa la siguiente frase:

   El mínimo común múltiplo de dos o más números es el ................. de los múltiplos ................,
   distinto de ...............


16 Resuelve los siguientes apartados:

   a) Escribe los múltiplos de 12 menores de 60.
   b) Escribe los múltiplos de 18 menores de 60.
   c) Escribe los múltiplos comunes de 12 y 18 menores de 60.
   d) ¿Cuál es el mínimo común múltiplo de 12 y 18?


17 Félix va a preparar perritos calientes, y quiere comprar el mismo número de salchichas que de
   bollos. Las salchichas las venden en paquetes de 6 unidades y los bollos en paquetes de 4. ¿Cuál
   es el menor número que tiene que comprar de cada uno?


18 María, Eva y Antonio entrenan en el polideportivo. María va a patinaje cada 2 días, Eva va a
   natación cada 3 días y Antonio juega al tenis cada 4 días. ¿Qué días coinciden los tres a lo largo
   del mes?



                                                      DIVISORES
    19 Completa la siguiente frase:

        Un número es divisor de otro si al hacer la ...................... el resto es ...........

    20 Realiza los cálculos necesarios y contesta a las siguientes preguntas:

        a) ¿Es 6 divisor de 42? e) ¿Es 8 divisor de 96?
        b) ¿Es 9 divisor de 54? f) ¿Es 2 divisor de
                                317?
        c) ¿Es 7 divisor de 57? g) ¿Es 15 divisor de
                                98?
        d) ¿Es 5 divisor de h) ¿Es 11 divisor de
        125?                    88?


    21 Completa la siguiente frase:

        Para calcular todos los divisores de un número, lo ....................... entre los números
        naturales ...................... o iguales que él. Si la división es ......................., ese número
        natural es un .......................... del dividendo.
.


    22 Luisa quiere repartir 22 gominolas entre sus tres hermanos pequeños, de manera
        que todos tengan el mismo número de gominolas y que no sobre ninguna. ¿Podrá
        hacerlo? ¿Por qué? Razona tu respuesta.

    23 Entre estos números hay dos que no son divisores de 60. Encuéntralos.

              5     12      17       30        6        15       1         4    9


    24 Ramón tiene 6 cromos. ¿Cómo puede agruparlos sin que sobre ninguno?



    25 Encuentra todos los divisores de los siguientes números:

            a) 20   e) 40
            b) 16   f) 13
            c) 24   g) 12
            d) 25   h) 30


    26 En la papelería de Diego hay 48 rotuladores sueltos y estuches de 3, de 4, de 5 y de
        6 rotuladores. ¿En cuáles de estos estuches puede guardar Diego los rotuladores
        sin que sobre ni falte ninguno?


    27 Rosa quiere embalar 32 libros en cajas iguales sin que sobre ninguno. ¿Cuáles de
        estas formas son posibles?

        - En cajas de 3 libros cada una.           - En cajas de 4 libros cada una.
        - En cajas de 5 libros cada una.           - En cajas de 8 libros cada una.
        - En cajas de 2 libros cada una.           - En cajas de 6 libros cada una.




28 Calcula el máximo común divisor de los siguientes pares de números:

       10 y 15                        9 y 18                          18 y 20



29 Calcula los divisores comunes de 12 y 16


30 Calcula el máximo común divisor de los siguientes pares de números:

     12 y 20                     25 y 30                     8 y 12                 9 y 21



31 Completa la siguiente frase:

   El máximo común divisor de dos o más números es el .................. de los divisores .................... de
   esos números.
   .
32 Señala cuáles de los siguientes números son divisores comunes de 20 y 50.

           10               5              4               1              20             25             2



33 Clasifica los siguientes números según sean divisores de 24, de 84 o de 180 y responde a las
     preguntas.

                   3            15             6         12

                   14           8           45           21

     a) ¿Cuáles son los divisores comunes de 24, 84 y 180?
     b) ¿Quién es el máximo común divisor de 24, 84 y 180?


34 a) ¿Es 3 un divisor de 15? Calcula el máximo común divisor de 3 y 15.
     b) ¿Es 4 un divisor de 12? Calcula el máximo común divisor de 4 y 12.
     c) ¿Es 5 un divisor de 20? Calcula el máximo común divisor de 5 y 20.
     d) ¿Qué observas?


35 Malena y Elías quieren hacer ramos con 12 claveles y 18 rosas, de manera que haya el mismo
     número de ramos de cada tipo. ¿Cuál es el máximo número de ramos que podrán hacer sin que
     sobre ninguna flor?


36 Tamara ha comprado 10 chicles de fresa y Manuel 15 de menta. Quieren repartirlos en bolsas sin
     que sobre ninguno. ¿Pueden hacer los dos el mismo número de bolsas? ¿Cuántos chicles
     pondrá cada uno en la bolsa?




                                                             DIVISIBILIDAD

37 Observa los números y, sin hacer las divisiones, completa la tabla:

  391        580        436         734      372        37        591      1.038       435        207       534


Números divisibles por 2
Números divisibles por 3
Números divisibles por 2 y por 3


38 Completa la siguiente frase:

- Un número es divisible por 5 si .............................................................
- Un número es divisible por 9 si .............................................................
- Un número es divisible por 11 si ...........................................................
39 Observa el ejemplo y termina de completar la tabla:

                                Suma de las cifras              ¿Es múltiplo de 3?              ¿Es divisible por 3?
            915                   9 + 1 + 5 = 15                       Sí                            Divisible
           1.536
           2.048
            828
            694


40 Observa estos números y contesta a las siguientes preguntas:

      58               842             106              157               60               94               513

a) ¿Cuáles de estos números acaban en 0 o en cifra par?
b) ¿Cuáles de estos números son divisibles por 2?


41 Completa la siguiente frase:

- Un número es divisible por 2 si .......................................................................
- Un número es divisible por 3 si .......................................................................
- Un número es divisible por 4 si .......................................................................

42 Lee estas frases y escribe V, si son verdaderas, o F, si son falsas. Corrige las que sean falsas.

       Un número es divisible por 3 si acaba en 3.
       Un número es divisible por 5 si al dividirlo por 5, el resto es 0.
       895 es divisible por 2.
       Un número que acaba en 4 es divisible por 4.
       Un número que acaba en 4 no es divisible por 5, sí lo es por 2 y puede serlo por 3.
       Que un número sea divisible por 9 quiere decir que la suma de sus cifras es 9.

43 Sin hacer las divisiones, averigua cuáles de los siguientes números son divisibles por 4 y cuápor 9.
¿Hay alguno divisible por 4 y por 9 a la vez?

    500          424          828          918         7.443        9.109       15.759       22.134         82.368




                                       NÚMEROS PRIMOS Y COMPUESTOS
44 Busca los números primos que hay entre 2 y 20.


45 Algunos de los números que aparecen en la siguiente tabla se han movido de la columna que les
correspondía. Colócalos en el lugar correcto.

       Números primos                   Números compuestos
            14                                  16
             7                                  11
            21                                  39
            13                                  23
            57                                  71
46 ¿Es 15 un número primo? En caso de no serlo, ¿sus divisores son primos?



47 Calcula los divisores de estos números y clasifícalos en primos y compuestos:

    5        12        20        19        22         2        10         3




                                          PROBLEMAS

48 Carlos tiene dos listones de madera, uno mide 40 centímetros y el otro 100 centímetros. ¿Puede
   cortarlos en trozos de 10 centímetros sin que le sobre madera? ¿Cuántos trozos obtendrá de
   cada listón?


49 Los yogures se venden en paquetes de 4 unidades. Si compramos 5 paquetes, ¿cuántos yogures
   tendremos? ¿Podremos comprar 52 yogures? En caso afirmativo, ¿cuántos paquetes
   necesitaríamos para ello?


50 ¿De qué forma puede empaquetar Alicia 10 cartones de leche sin que sobre ninguno?


51 Los bollos de chocolate se venden en cajas de 6 unidades. ¿Cuántos bollos hay en 8 cajas? ¿Es
   posible comprar exactamente 50 bollos? ¿Por qué?



52 La edad de Benito es un número impar, menor que 30, de dos cifras y múltiplo de 9. ¿Cuántos
   años tiene?


53 Los grupos de 5.º y 6.º han ido a visitar el aula de la naturaleza. El monitor quiere hacer el mismo
   número de equipos en cada curso sin que sobre ningún alumno. Si en 5.º hay 32 alumnos y en 6.º,
   24, ¿de cuántos alumnos puede hacer cada equipo? ¿Cuál es el máximo número de alumnos que
   puede haber en un equipo?


54 En el mes de abril en el polideportivo habrá partidos de baloncesto cada 5 días y partidos de
   balonmano cada 4 días. ¿Qué días del mes coincidirán los dos deportes?


55 De la estación salen trenes de viajeros cada 3 horas y trenes de mercancías cada 4 horas. A las 2
   de la mañana salió un tren de cada tipo, ¿a qué hora volverán a coincidir?


55 Nuria colecciona cromos de animales. Tiene más de 30 cromos pero menos de 100. Puede
   agrupar los cromos que tiene de 5 en 5 y de 7 en 7 sin que sobre ninguno, pero no puede hacer
   grupos de 10. ¿Cuántos cromos tiene?.


57 En la clase de Yolanda son más de 15 alumnos pero menos de 30. Si trabajan en grupos de 2 no
   sobra ninguno. Si trabajan en grupos de 3 tampoco sobra nadie, pero no pueden agruparse de 4 e
   4. ¿Cuántos alumnos son en clase?
.

58 Los puntos que corresponden al regalo que ha elegido Luis es un número divisible por 2 y por 3
   pero no puede dividirse entre 5 de forma exacta. Fíjate en la tabla y averigua qué regalo ha
   elegido.

            Regalos                 Puntos
            Raqueta               105 puntos
       Canasta baloncesto         910 puntos
            Bicicleta            1.140 puntos
           Monopatín              834 puntos


59 Enrique y su madre han preparado rosquillas para desayunar durante la semana. Han hecho más
   de 30 pero menos de 50. Pueden agruparlas de 3 en 3 y de 4 en 4 sin que sobre ninguna, pero no
   pueden hacer grupos de 9. ¿Cuántas rosquillas han hecho?
SOLUCIONARIO

                                                  MÚLTIPLOS
1   Completa la siguiente frase:

    Los múltiplos de un número son los números que obtenemos cuando ......................... ese número
    por los ..........................


    Solución:
    Los múltiplos de un número son los números que obtenemos cuando multiplicamos ese número por los
    naturales.


2   Escribe los cinco primeros múltiplos de los siguientes números:

          8                         1                     14                   100



    Solución:
    Cinco primeros múltiplos de 8: 8, 16, 24, 32, 40
    Cinco primeros múltiplos de 1: 1, 2, 3, 4, 5
    Cinco primeros múltiplos de 14: 14, 28, 42, 56, 70
    Cinco primeros múltiplo de 100: 100, 200, 300, 400, 500


3   Completa en tu cuaderno:

    a) 24 es múltiplo de 3 porque 3 x ..... = 24
    b) 75 es múltiplo de 5 porque ..... x ..... = 75
    c) 14 es múltiplo de 7 porque ..... x ..... = .....
    d) 70 es múltiplo de 2 porque ..... x ..... = .....

    Solución:
    a) 24 es múltiplo de 3 porque 3 x 8 = 24
    b) 75 es múltiplo de 5 porque 5 x 15 = 75
    c) 14 es múltiplo de 7 porque 7 x 2 = 14
    d) 70 es múltiplo de 2 porque 2 x 35 = 70

4   Escribe los trece primeros múltiplos de 5. ¿Es posible escribir absolutamente todos los múltiplos
    de un número? Razona tu respuesta.


    Solución:
    Los trece primeros múltiplo de 5 son: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65
    No es posible escribir absolutamente todos los múltiplos de un número porque el conjunto de los
    números naturales es infinito.

5   Escribe cuatro múltiplos de 9 mayores que 70.

    Solución:
    Cuatro múltiplos de 9 mayores que 70 podrían ser, por ejemplo, 72, 81, 90 y 99
6   Escribe cinco múltiplos de cada uno de estos números:

    a) 15                                              d) 25
    b) 24                                              e) 20
    c) 30                                              f) 18


    Solución:
    a) 15       15, 30, 45, 60, 75                     d) 25     25, 50, 75, 100, 125
    b) 24       24, 48, 72, 96, 120                    e) 20     20, 40, 60, 80, 100
    c) 30       30, 60, 90, 120, 150                   f) 18     18, 36, 54, 72, 90


7   Agrupa estos números según sean múltiplos de 2, de 5 o de 7.

       8        119        6     7          2      21          195         15   63      55    12


    Solución:
           Múltiplos de 2                  8, 6, 2, 12
           Múltiplos de 5                  195, 15, 55
           Múltiplos de 7                 119, 7, 21, 63


8   Adela quiere comprarse unos chicles. El dependiente le dice que en cada paquete hay 18 chicles.
    ¿Podrá Adela comprar 54 chicles? ¿Y 70?

    Solución:
    Adela sí podrá comprar 54 chicles ya que 54 es múltiplo de 18 ( 18 x 3 = 54)
    Sin embargo, no podrá comprar 70 chicles, ya que no hay ningún número natural que al multiplicarlo por
    18 de 70.

9   Señala cuáles de los siguientes números son múltiplos comunes de 5 y de 7:

           35           10             70           14               700         140         20


    Solución:
    Son múltiplos comunes de 5 y 7: 35, 70, 700, 140


10 Las natillas se venden en paquetes de 4 unidades. ¿Cuántas natillas hay en 7 paquetes? ¿Puede
    una persona comprar 22 natillas?

    Solución:
    En 7 paquetes hay 7 x 4 = 28 natillas.
    Una persona no puede comprar 22 natillas porque no hay ningún número natural que al multiplicarlo por
    4 de 22.


11 Señala cuáles de los siguientes números son múltiplos comunes de 6 y de 9.

        12            18             27           36             96             72


    Solución:
    Son múltiplos comunes de 6 y 9: 18, 36 y 72
12 Calcula el mínimo común múltiplo de los siguientes pares de números:

          10 y 15                    7 y 14                     16 y 24


   Solución:
   M.c.m. (10, 15) = 30
   M.c.m. (7, 14) = 14
   M.c.m. (16, 24) = 48

13 Calcula el mínimo común múltiplo de los siguientes pares de números:

      2y4                      2y3                     2y5                    2y7


   Solución:
   M.c.m. (2, 4) = 4
   M.c.m. (2, 3) = 6
   M.c.m. (2, 5) = 10
   M.c.m. (2, 7) = 14


14 Calcula los múltiplos comunes de 3 y 5 menores que 50.

   Solución:
   Los múltiplos comunes de 3 y 5 menores que 50 son: 15, 30 y 45

15 Completa la siguiente frase:

   El mínimo común múltiplo de dos o más números es el ................. de los múltiplos ................,
   distinto de ...............

   Solución:
   El mínimo común múltiplo de dos o más números es el menor de los múltiplos comunes, distinto de cero.


16 Resuelve los siguientes apartados:

   a) Escribe los múltiplos de 12 menores de 60.
   b) Escribe los múltiplos de 18 menores de 60.
   c) Escribe los múltiplos comunes de 12 y 18 menores de 60.
   d) ¿Cuál es el mínimo común múltiplo de 12 y 18?

   Solución:
   a) Múltiplos de 12 menores de 60 = {0, 12, 24, 36, 48, 60}
   b) Múltiplos de 18 menores de 60 = {0, 18, 36, 54}
   c) Múltiplos comunes de 12 y 18 menores de 60 = {0, 36}
   d) M.c.m. (12, 18) = 36



17 Félix va a preparar perritos calientes, y quiere comprar el mismo número de salchichas que de
   bollos. Las salchichas las venden en paquetes de 6 unidades y los bollos en paquetes de 4. ¿Cuál
   es el menor número que tiene que comprar de cada uno?

   Solución:
   El menor número que tiene que comprar de cada uno es el M.c.m (4,6) = 12
18 María, Eva y Antonio entrenan en el polideportivo. María va a patinaje cada 2 días, Eva va a
   natación cada 3 días y Antonio juega al tenis cada 4 días. ¿Qué días coinciden los tres a lo largo
   del mes?

   Solución:
   La solución que buscamos son los múltiplos comunes de 2, 3 y 4 menores de 30, es decir, 12 y 24.
   Luego los tres amigos coinciden en el polideportivo los días 12 y 24 del mes.




                                                     DIVISORES
    19 Completa la siguiente frase:

        Un número es divisor de otro si al hacer la ...................... el resto es ...........

        Solución:
        Un número es divisor de otro si al hacer la división el resto es cero.


    20 Realiza los cálculos necesarios y contesta a las siguientes preguntas:

        a) ¿Es 6 divisor de 42?         e) ¿Es 8 divisor de 96?
        b) ¿Es 9 divisor de 54?         f) ¿Es 2 divisor de 317?
        c) ¿Es 7 divisor de 57?         g) ¿Es 15 divisor de 98?
        d) ¿Es 5 divisor de 125?        h) ¿Es 11 divisor de 88?



        Solución:
        a) ¿Es 6 divisor de 42? SÍ e) ¿Es 8 divisor de 96? SÍ
        b) ¿Es 9 divisor de 54? SÍ f) ¿Es 2 divisor de 317?
                                   NO
        c) ¿Es 7 divisor de 57? g) ¿Es 15 divisor de 98?
        NO                         NO
        d) ¿Es 5 divisor de 125? h) ¿Es 11 divisor de 88?
        SÍ                         SÍ


    21 Completa la siguiente frase:

        Para calcular todos los divisores de un número, lo ....................... entre los números
        naturales ...................... o iguales que él. Si la división es ......................., ese número
        natural es un .......................... del dividendo.

        Solución:
        Para calcular todos los divisores de un número, lo dividimos entre los números naturales
        menores o iguales que él. Si la división es exacta, ese número natural es un divisor del
        dividendo.


    22 Luisa quiere repartir 22 gominolas entre sus tres hermanos pequeños, de manera que
        todos tengan el mismo número de gominolas y que no sobre ninguna. ¿Podrá hacerlo?
        ¿Por qué? Razona tu respuesta.

        Solución:
        No podrá hacerlo ya que 3 no es divisor de 22.
23 Entre estos números hay dos que no son divisores de 60. Encuéntralos.

      5        12      17       30        6        15       1        4        9


   Solución:
   No son divisores de 60 los números 17 y 9.

24 Ramón tiene 6 cromos. ¿Cómo puede agruparlos sin que sobre ninguno?

   Solución:
   Podrá agruparlos de 1 en 1, de 2 en 2, de 3 en 3 y como un grupo de 6.

25 Encuentra todos los divisores de los siguientes números:

   a) 20       e) 40
   b) 16       f) 13
   c) 24       g) 12
   d) 25       h) 30


   Solución:
   a) D(20) = 1, 2, 4, 5 y 10             e) D(40) = 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20 y 40
   b) D(16) = 1, 2, 4, 8 y 16             f) D(13) = 1 y 13
   c) D(24) = 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 y 24   g) D(12) = 1, 2, 3, 4, 6 y 12
   d) D(25) = 1, 5 y 25                   h) D(34) = 1, 2, 17 y 34




26 En la papelería de Diego hay 48 rotuladores sueltos y estuches de 3, de 4, de 5 y de 6
   rotuladores. ¿En cuáles de estos estuches puede guardar Diego los rotuladores sin
   que sobre ni falte ninguno?

   Solución:
   Podrá guardarlos en los estuches de 3, en los de 4 y en los de 6.

27 Rosa quiere embalar 32 libros en cajas iguales sin que sobre ninguno. ¿Cuáles de
   estas formas son posibles?

   - En cajas de 3 libros cada una.           - En cajas de 4 libros cada una.
   - En cajas de 5 libros cada una.           - En cajas de 8 libros cada una.
   - En cajas de 2 libros cada una.           - En cajas de 6 libros cada una.


   Solución:
   Podrá embalarlos:

   - En cajas de 2 libros cada una.
   - En cajas de 4 libros cada una.
   - En cajas de 8 libros cada una.
28 Calcula el máximo común divisor de los siguientes pares de números:

       10 y 15                          9 y 18                   18 y 20


   Solución:
   M.c.d (10,15) = 5
   M.c.d (9,18) = 9
   M.c.d (18,20) = 2


29 Calcula los divisores comunes de 12 y 16

   Solución:
   Los divisores comunes de 12 y 16 son 1, 2 y 4

30 Calcula el máximo común divisor de los siguientes pares de números:

     12 y 20                    25 y 30                 8 y 12                    9 y 21


   Solución:
   M.c.d (12,20) = 4
   M.c.d (25,30) = 5
   M.c.d (8,12) = 4
   M.c.d (9,21) = 3


31 Completa la siguiente frase:

   El máximo común divisor de dos o más números es el .................. de los divisores .................... de
   esos números.

   Solución:
   El máximo común divisor de dos o más números es el mayor de los divisores comunes de esos
   números.

32 Señala cuáles de los siguientes números son divisores comunes de 20 y 50.

        10             5            4            1        20           25           2



   Solución:
   Son divisores comunes de 20 y 50: 1, 2, 5,10


33 Clasifica los siguientes números según sean divisores de 24, de 84 o de 180 y responde a las
   preguntas.

               3           15           6        12

               14          8         45          21

   a) ¿Cuáles son los divisores comunes de 24, 84 y 180?
   b) ¿Quién es el máximo común divisor de 24, 84 y 180?

   Solución:
    Divisores de 24        3, 6, 8 y 12
    Divisores de 84        3, 6, 12, 14 y 21
    Divisores de 180       3, 6, 12, 15 y 45
a) Divisores comunes de 24, 84 y 180: 3, 6 y 12.
    b) M.c.d. (24, 84, 180) = 12


34 a) ¿Es 3 un divisor de 15? Calcula el máximo común divisor de 3 y 15.
    b) ¿Es 4 un divisor de 12? Calcula el máximo común divisor de 4 y 12.
    c) ¿Es 5 un divisor de 20? Calcula el máximo común divisor de 5 y 20.
    d) ¿Qué observas?

    Solución:
    a) 3 es un divisor de 15 y M.c.d. (3, 15) = 3
    b) 4 es un divisor de 12 y M.c.d. (4, 12) = 4
    c) 5 es un divisor de 20 y M.c.d. (5, 20) = 5
    d) Se observa que cuando un número es divisor de otro, el máximo común divisor de ambos números es
    dicho divisor.



35 Malena y Elías quieren hacer ramos con 12 claveles y 18 rosas, de manera que haya el mismo
    número de ramos de cada tipo. ¿Cuál es el máximo número de ramos que podrán hacer sin que
    sobre ninguna flor?

    Solución:
    Podrán hacer 6 ramos de claveles y 6 ramos de rosas ya que M.c.d (12,18) = 6.

36 Tamara ha comprado 10 chicles de fresa y Manuel 15 de menta. Quieren repartirlos en bolsas sin
    que sobre ninguno. ¿Pueden hacer los dos el mismo número de bolsas? ¿Cuántos chicles
    pondrá cada uno en la bolsa?

    Solución:
    Sí pueden hacer el mismo número de bolsas, 5, que es el M.c.d. (10, 15)
    Como Tamara tiene 10 chicles, en cada una de las 5 bolsas pondrá 2 chicles.
    Como Manuel tiene 15 chicles, en cada una de las 5 bolsas pondrá 3 chicles.




                                                DIVISIBILIDAD

37 Observa los números y, sin hacer las divisiones, completa la tabla:

  391       580   436     734      372     37     591    1.038    435     207     534


Números divisibles por 2
Números divisibles por 3
Números divisibles por 2 y por 3


Solución:
Números divisibles por 2                         580, 436, 734, 372, 1.038, 534
Números divisibles por 3                         372, 591, 1.038, 435, 207, 534
Números divisibles por 2 y por 3                        372, 1.038, 534
38 Completa la siguiente frase:

- Un número es divisible por 5 si .............................................................
- Un número es divisible por 9 si .............................................................
- Un número es divisible por 11 si ...........................................................


Solución:
- Un número es divisible por 5 si acaba en 0 o en 5.
- Un número es divisible por 9 si la suma de sus cifras es un múltiplo de 9.
- Un número es divisible por 11 si la diferencia entre la suma de las cifras que ocupan el lugar par y la suma de
las cifras que ocupan el lugar impar es un múltiplo de 11.


39 Observa el ejemplo y termina de completar la tabla:

                                Suma de las cifras              ¿Es múltiplo de 3?              ¿Es divisible por 3?
            915                   9 + 1 + 5 = 15                       Sí                            Divisible
           1.536
           2.048
            828
            694


Solución:
                     Suma de las cifras      ¿Es múltiplo de 3?                                 ¿Es divisible por 3?
        915            9 + 1 + 5 = 15               Sí                                               Divisible
       1.536         1 + 5 + 3 + 6 = 15             Sí                                               Divisible
       2.048         2 + 0 + 4 + 8 = 14             No                                             No divisible
        828            8 + 2 + 8 = 18               Sí                                               Divisible
        694            6 + 9 + 4 = 19               No                                             No divisible
40 Observa estos números y contesta a las siguientes preguntas:

      58              842              106              157               60               94               513

a) ¿Cuáles de estos números acaban en 0 o en cifra par?
b) ¿Cuáles de estos números son divisibles por 2?


Solución:
a) Números que acaban en 0 o en cifra par: 58, 842, 106, 60, 94
b) Números divisibles por 2: 58, 842, 106, 60, 94

41 Completa la siguiente frase:

- Un número es divisible por 2 si .......................................................................
- Un número es divisible por 3 si .......................................................................
- Un número es divisible por 4 si .......................................................................

Solución:
- Un número es divisible por 2 si termina en 0 o cifra par.
- Un número es divisible por 3 si la suma de sus cifras es un múltiplo de 3.
- Un número es divisible por 4 si el número que forman sus dos últimas cifras es múltiplo de 4, o acaba en 100.
42 Lee estas frases y escribe V, si son verdaderas, o F, si son falsas. Corrige las que sean falsas.

      Un número es divisible por 3 si acaba en 3.
      Un número es divisible por 5 si al dividirlo por 5, el resto es 0.
      895 es divisible por 2.
      Un número que acaba en 4 es divisible por 4.
      Un número que acaba en 4 no es divisible por 5, sí lo es por 2 y puede serlo por 3.
      Que un número sea divisible por 9 quiere decir que la suma de sus cifras es 9.


Solución:
 F    Un número es divisible por 3 si acaba en 3.
      Un número es divisible por 3 si la suma de sus cifras es un múltiplo de 3.
 V    Un número es divisible por 5 si al dividirlo por 5, el resto es 0.
 F    895 es divisible por 2.
      895 es divisible por 5.
 F    Un número que acaba en 4 es divisible por 4.
      Un número que acaba en 4 es divisible por 4 o no.
 V    Un número que acaba en 4 no es divisible por 5, sí lo es por 2 y puede serlo por 3.
 F    Que un número sea divisible por 9 quiere decir que la suma de sus cifras es 9.
      Que un número sea divisible por 9 quiere decir que la suma de sus cifras es un múltiplo 9.


43 Sin hacer las divisiones, averigua cuáles de los siguientes números son divisibles por 4 y cuáles
por 9. ¿Hay alguno divisible por 4 y por 9 a la vez?

     500     424       828       918      7.443     9.109    15.759    22.134    82.368


Solución:
- Divisibles por 4: 500, 424, 828, 82.368
- Divisibles por 9: 828, 918, 7.443, 15.759, 82.368
- Los números 828 y 82.368 son divisibles por 4 y por 9 a la vez.




                              NÚMEROS PRIMOS Y COMPUESTOS
44 Busca los números primos que hay entre 2 y 20.

Solución:
Números primos entre 2 y 20: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 y 19
45 Algunos de los números que aparecen en la siguiente tabla se han movido de la columna que les
correspondía. Colócalos en el lugar correcto.

     Números primos             Números compuestos
          14                            16
           7                            11
          21                            39
          13                            23
          57                            71


Solución:
     Números primos              Números compuestos
          11                             16
           7                             14
          23                             39
          13                             21
          71                             57


46 ¿Es 15 un número primo? En caso de no serlo, ¿sus divisores son primos?

Solución:
15 no es un número primo, pues tiene más de dos divisores, que son: 1, 3, 5, y 15. Excepto el 15, el
resto de divisores sí son primos.



47 Calcula los divisores de estos números y clasifícalos en primos y compuestos:

    5          12         20         19       22      2      10        3


Solución:
Divisores de 5 = {1, 5}                   Primo
Divisores de 12 = {1, 2, 3, 4, 6, 12}     Compuesto
Divisores de 20 = {1, 2, 4, 5, 10, 20}    Compuesto
Divisores de 19 = {1, 19}                 Primo
Divisores de 22 = {1, 2, 11, 22]          Compuesto
Divisores de 2 = {1, 2}                   Primo
Divisores de 10 = {1, 2, 5, 10}           Compuesto
Divisores de 3 = {1, 3}                   Primo
PROBLEMAS

48 Carlos tiene dos listones de madera, uno mide 40 centímetros y el otro 100 centímetros. ¿Puede
   cortarlos en trozos de 10 centímetros sin que le sobre madera? ¿Cuántos trozos obtendrá de
   cada listón?

   Solución:
   - Sí que podrá cortar los dos listones en trozos de 10 centímetros sin que le sobre madera, ya que 40 y
   100 son múltiplos de 10.
   - Del listón de 40 centímetros obtendrá 4 trozos, y del listón de 100 centímetros obtendrá 10 trozos.

49 Los yogures se venden en paquetes de 4 unidades. Si compramos 5 paquetes, ¿cuántos yogures
   tendremos? ¿Podremos comprar 52 yogures? En caso afirmativo, ¿cuántos paquetes
   necesitaríamos para ello?

   Solución:
   - Si compramos 5 paquetes tendremos 5 x 4 = 20 yogures.
   - Sí es posible comprar 52 yogures, ya que 52 es múltiplo de 4. Para ello necesitaríamos comprar 52 : 4
   = 13 paquetes de yogures.

50 ¿De qué forma puede empaquetar Alicia 10 cartones de leche sin que sobre ninguno?

   Solución:
   Podrá empaquetarlos de 1 en 1, de 2 en 2, de 5 en 5 o en un grupo de 10.

51 Los bollos de chocolate se venden en cajas de 6 unidades. ¿Cuántos bollos hay en 8 cajas? ¿Es
   posible comprar exactamente 50 bollos? ¿Por qué?

   Solución:
   - En 8 cajas habrá 8 x 6 = 48 bollos.
   - No es posible comprar 50 bollos porque 50 no es múltiplo de 6.


52 La edad de Benito es un número impar, menor que 30, de dos cifras y múltiplo de 9. ¿Cuántos
   años tiene?

   Solución:
   Benito tiene 27 años.

53 Los grupos de 5.º y 6.º han ido a visitar el aula de la naturaleza. El monitor quiere hacer el mismo
   número de equipos en cada curso sin que sobre ningún alumno. Si en 5.º hay 32 alumnos y en 6.º,
   24, ¿de cuántos alumnos puede hacer cada equipo? ¿Cuál es el máximo número de alumnos que
   puede haber en un equipo?

   Solución:
   - Divisores de 32: 1, 2, 4, 8, 16, 32.
     Divisores de 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24.
     Podrá hacer cada equipo de 1, 2, 4, u 8 alumnos, que son los divisores comunes.

   - m.c.d.(32, 24) = 8. Por tanto, el número máximo de alumnos que puede haber en un equipo es 8.

54 En el mes de abril en el polideportivo habrá partidos de baloncesto cada 5 días y partidos de
   balonmano cada 4 días. ¿Qué días del mes coincidirán los dos deportes?

   Solución:
   Coincidirán en el día 20 del mes, ya que m.c.m. (4, 5) = 20

55 De la estación salen trenes de viajeros cada 3 horas y trenes de mercancías cada 4 horas. A las 2
   de la mañana salió un tren de cada tipo, ¿a qué hora volverán a coincidir?
Solución:
        Tipo de tren                                          Horarios
          Viajeros          2 : 00    5 : 00    8 : 00 11 : 00 14 : 00    17 : 00   20 : 00   23 : 00
        Mercancías          2 : 00    6 : 00    10 : 00 14 : 00 18 : 00   22 : 00

   Volverán a coincidir a las 14 : 00 horas.

   Nota: m.c.m.(3, 4) = 12; 2 h + 12 h = 14 h

56 Nuria colecciona cromos de animales. Tiene más de 30 cromos pero menos de 100. Puede
   agrupar los cromos que tiene de 5 en 5 y de 7 en 7 sin que sobre ninguno, pero no puede hacer
   grupos de 10. ¿Cuántos cromos tiene?.

   Solución:
   El número buscado:
   - Es mayor que 30 pero menor que 100.
   - Es múltiplo de 5 y de 7.
   - No es múltiplo de 10, luego no puede acabar en 0.
   El único número que cumple estas características es el 35. Luego Nuria tiene 35 cromos.

57 En la clase de Yolanda son más de 15 alumnos pero menos de 30. Si trabajan en grupos de 2 no
   sobra ninguno. Si trabajan en grupos de 3 tampoco sobra nadie, pero no pueden agruparse de 4 e
   4. ¿Cuántos alumnos son en clase?

   Solución:
   El número buscado debe ser:
   - Mayor que 15 y menor que 30.
   - Múltiplo de 2 y de 3, es decir, múltiplo de 6.
   - No múltiplo de 4.
   El único número que cumple estas características es el 18. Luego en clase de Yolanda serán 18
   alumnos.

58 Los puntos que corresponden al regalo que ha elegido Luis es un número divisible por 2 y por 3
   pero no puede dividirse entre 5 de forma exacta. Fíjate en la tabla y averigua qué regalo ha
   elegido.

           Regalos                       Puntos
           Raqueta                     105 puntos
      Canasta baloncesto               910 puntos
           Bicicleta                  1.140 puntos
          Monopatín                    834 puntos


   Solución:
   El número buscado:
   - Es múltiplo de 2 y de 3, es decir de 6.
   - No es divisible por 5, luego no puede acabar ni en 0 ni en 5.
   El único número de la tabla que cumple estas características es 834. Luego Luis habrá elegido como
   regalo el monopatín.

59 Enrique y su madre han preparado rosquillas para desayunar durante la semana. Han hecho más
   de 30 pero menos de 50. Pueden agruparlas de 3 en 3 y de 4 en 4 sin que sobre ninguna, pero no
   pueden hacer grupos de 9. ¿Cuántas rosquillas han hecho?

   Solución:
   El número buscado:
   - Es mayor que 30 y menor que 50.
   - Es múltiplo de 3 y de 4, es decir, de 12.
   - No es múltiplo de 9.
   El único número que cumple estas características es el 48. Luego habrán hecho 48 rosquillas.
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  • 1. http://julio-detodounpoco.blogspot.com/ http://julio- 6º PRIMARIA JULIOPROFE …………………………………………………………………………………………………………..………. MÚLTIPLOS Y DIVISORES EJERCICIOS + SOLUCIONARIO 1 Completa la siguiente frase: Los múltiplos de un número son los números que obtenemos cuando ......................... ese número por los .......................... 2 Escribe los cinco primeros múltiplos de los siguientes números: 8 1 14 100 3 Completa en tu cuaderno: a) 24 es múltiplo de 3 porque 3 x ..... = 24 b) 75 es múltiplo de 5 porque ..... x ..... = 75 c) 14 es múltiplo de 7 porque ..... x ..... = ..... d) 70 es múltiplo de 2 porque ..... x ..... = ..... 4 Escribe los trece primeros múltiplos de 5. ¿Es posible escribir absolutamente todos los múltiplos de un número? Razona tu respuesta. 5 Escribe cuatro múltiplos de 9 mayores que 70. 6 Escribe cinco múltiplos de cada uno de estos números: a) 15 d) 25 b) 24 e) 20 c) 30 f) 18 7 Agrupa estos números según sean múltiplos de 2, de 5 o de 7. 8 119 6 7 2 21 195 15 63 55 12 8 Adela quiere comprarse unos chicles. El dependiente le dice que en cada paquete hay 18 chicles. ¿Podrá Adela comprar 54 chicles? ¿Y 70? 9 Señala cuáles de los siguientes números son múltiplos comunes de 5 y de 7: 35 10 70 14 700 140 20 10 Las natillas se venden en paquetes de 4 unidades. ¿Cuántas natillas hay en 7 paquetes? ¿Puede una persona comprar 22 natillas? 11 Señala cuáles de los siguientes números son múltiplos comunes de 6 y de 9. 12 18 27 36 96 72
  • 2. 12 Calcula el mínimo común múltiplo de los siguientes pares de números: 10 y 15 7 y 14 16 y 24 13 Calcula el mínimo común múltiplo de los siguientes pares de números: 2y4 2y3 2y5 2y7 14 Calcula los múltiplos comunes de 3 y 5 menores que 50. 15 Completa la siguiente frase: El mínimo común múltiplo de dos o más números es el ................. de los múltiplos ................, distinto de ............... 16 Resuelve los siguientes apartados: a) Escribe los múltiplos de 12 menores de 60. b) Escribe los múltiplos de 18 menores de 60. c) Escribe los múltiplos comunes de 12 y 18 menores de 60. d) ¿Cuál es el mínimo común múltiplo de 12 y 18? 17 Félix va a preparar perritos calientes, y quiere comprar el mismo número de salchichas que de bollos. Las salchichas las venden en paquetes de 6 unidades y los bollos en paquetes de 4. ¿Cuál es el menor número que tiene que comprar de cada uno? 18 María, Eva y Antonio entrenan en el polideportivo. María va a patinaje cada 2 días, Eva va a natación cada 3 días y Antonio juega al tenis cada 4 días. ¿Qué días coinciden los tres a lo largo del mes? DIVISORES 19 Completa la siguiente frase: Un número es divisor de otro si al hacer la ...................... el resto es ........... 20 Realiza los cálculos necesarios y contesta a las siguientes preguntas: a) ¿Es 6 divisor de 42? e) ¿Es 8 divisor de 96? b) ¿Es 9 divisor de 54? f) ¿Es 2 divisor de 317? c) ¿Es 7 divisor de 57? g) ¿Es 15 divisor de 98? d) ¿Es 5 divisor de h) ¿Es 11 divisor de 125? 88? 21 Completa la siguiente frase: Para calcular todos los divisores de un número, lo ....................... entre los números naturales ...................... o iguales que él. Si la división es ......................., ese número natural es un .......................... del dividendo.
  • 3. . 22 Luisa quiere repartir 22 gominolas entre sus tres hermanos pequeños, de manera que todos tengan el mismo número de gominolas y que no sobre ninguna. ¿Podrá hacerlo? ¿Por qué? Razona tu respuesta. 23 Entre estos números hay dos que no son divisores de 60. Encuéntralos. 5 12 17 30 6 15 1 4 9 24 Ramón tiene 6 cromos. ¿Cómo puede agruparlos sin que sobre ninguno? 25 Encuentra todos los divisores de los siguientes números: a) 20 e) 40 b) 16 f) 13 c) 24 g) 12 d) 25 h) 30 26 En la papelería de Diego hay 48 rotuladores sueltos y estuches de 3, de 4, de 5 y de 6 rotuladores. ¿En cuáles de estos estuches puede guardar Diego los rotuladores sin que sobre ni falte ninguno? 27 Rosa quiere embalar 32 libros en cajas iguales sin que sobre ninguno. ¿Cuáles de estas formas son posibles? - En cajas de 3 libros cada una. - En cajas de 4 libros cada una. - En cajas de 5 libros cada una. - En cajas de 8 libros cada una. - En cajas de 2 libros cada una. - En cajas de 6 libros cada una. 28 Calcula el máximo común divisor de los siguientes pares de números: 10 y 15 9 y 18 18 y 20 29 Calcula los divisores comunes de 12 y 16 30 Calcula el máximo común divisor de los siguientes pares de números: 12 y 20 25 y 30 8 y 12 9 y 21 31 Completa la siguiente frase: El máximo común divisor de dos o más números es el .................. de los divisores .................... de esos números. .
  • 4. 32 Señala cuáles de los siguientes números son divisores comunes de 20 y 50. 10 5 4 1 20 25 2 33 Clasifica los siguientes números según sean divisores de 24, de 84 o de 180 y responde a las preguntas. 3 15 6 12 14 8 45 21 a) ¿Cuáles son los divisores comunes de 24, 84 y 180? b) ¿Quién es el máximo común divisor de 24, 84 y 180? 34 a) ¿Es 3 un divisor de 15? Calcula el máximo común divisor de 3 y 15. b) ¿Es 4 un divisor de 12? Calcula el máximo común divisor de 4 y 12. c) ¿Es 5 un divisor de 20? Calcula el máximo común divisor de 5 y 20. d) ¿Qué observas? 35 Malena y Elías quieren hacer ramos con 12 claveles y 18 rosas, de manera que haya el mismo número de ramos de cada tipo. ¿Cuál es el máximo número de ramos que podrán hacer sin que sobre ninguna flor? 36 Tamara ha comprado 10 chicles de fresa y Manuel 15 de menta. Quieren repartirlos en bolsas sin que sobre ninguno. ¿Pueden hacer los dos el mismo número de bolsas? ¿Cuántos chicles pondrá cada uno en la bolsa? DIVISIBILIDAD 37 Observa los números y, sin hacer las divisiones, completa la tabla: 391 580 436 734 372 37 591 1.038 435 207 534 Números divisibles por 2 Números divisibles por 3 Números divisibles por 2 y por 3 38 Completa la siguiente frase: - Un número es divisible por 5 si ............................................................. - Un número es divisible por 9 si ............................................................. - Un número es divisible por 11 si ...........................................................
  • 5. 39 Observa el ejemplo y termina de completar la tabla: Suma de las cifras ¿Es múltiplo de 3? ¿Es divisible por 3? 915 9 + 1 + 5 = 15 Sí Divisible 1.536 2.048 828 694 40 Observa estos números y contesta a las siguientes preguntas: 58 842 106 157 60 94 513 a) ¿Cuáles de estos números acaban en 0 o en cifra par? b) ¿Cuáles de estos números son divisibles por 2? 41 Completa la siguiente frase: - Un número es divisible por 2 si ....................................................................... - Un número es divisible por 3 si ....................................................................... - Un número es divisible por 4 si ....................................................................... 42 Lee estas frases y escribe V, si son verdaderas, o F, si son falsas. Corrige las que sean falsas. Un número es divisible por 3 si acaba en 3. Un número es divisible por 5 si al dividirlo por 5, el resto es 0. 895 es divisible por 2. Un número que acaba en 4 es divisible por 4. Un número que acaba en 4 no es divisible por 5, sí lo es por 2 y puede serlo por 3. Que un número sea divisible por 9 quiere decir que la suma de sus cifras es 9. 43 Sin hacer las divisiones, averigua cuáles de los siguientes números son divisibles por 4 y cuápor 9. ¿Hay alguno divisible por 4 y por 9 a la vez? 500 424 828 918 7.443 9.109 15.759 22.134 82.368 NÚMEROS PRIMOS Y COMPUESTOS 44 Busca los números primos que hay entre 2 y 20. 45 Algunos de los números que aparecen en la siguiente tabla se han movido de la columna que les correspondía. Colócalos en el lugar correcto. Números primos Números compuestos 14 16 7 11 21 39 13 23 57 71
  • 6. 46 ¿Es 15 un número primo? En caso de no serlo, ¿sus divisores son primos? 47 Calcula los divisores de estos números y clasifícalos en primos y compuestos: 5 12 20 19 22 2 10 3 PROBLEMAS 48 Carlos tiene dos listones de madera, uno mide 40 centímetros y el otro 100 centímetros. ¿Puede cortarlos en trozos de 10 centímetros sin que le sobre madera? ¿Cuántos trozos obtendrá de cada listón? 49 Los yogures se venden en paquetes de 4 unidades. Si compramos 5 paquetes, ¿cuántos yogures tendremos? ¿Podremos comprar 52 yogures? En caso afirmativo, ¿cuántos paquetes necesitaríamos para ello? 50 ¿De qué forma puede empaquetar Alicia 10 cartones de leche sin que sobre ninguno? 51 Los bollos de chocolate se venden en cajas de 6 unidades. ¿Cuántos bollos hay en 8 cajas? ¿Es posible comprar exactamente 50 bollos? ¿Por qué? 52 La edad de Benito es un número impar, menor que 30, de dos cifras y múltiplo de 9. ¿Cuántos años tiene? 53 Los grupos de 5.º y 6.º han ido a visitar el aula de la naturaleza. El monitor quiere hacer el mismo número de equipos en cada curso sin que sobre ningún alumno. Si en 5.º hay 32 alumnos y en 6.º, 24, ¿de cuántos alumnos puede hacer cada equipo? ¿Cuál es el máximo número de alumnos que puede haber en un equipo? 54 En el mes de abril en el polideportivo habrá partidos de baloncesto cada 5 días y partidos de balonmano cada 4 días. ¿Qué días del mes coincidirán los dos deportes? 55 De la estación salen trenes de viajeros cada 3 horas y trenes de mercancías cada 4 horas. A las 2 de la mañana salió un tren de cada tipo, ¿a qué hora volverán a coincidir? 55 Nuria colecciona cromos de animales. Tiene más de 30 cromos pero menos de 100. Puede agrupar los cromos que tiene de 5 en 5 y de 7 en 7 sin que sobre ninguno, pero no puede hacer grupos de 10. ¿Cuántos cromos tiene?. 57 En la clase de Yolanda son más de 15 alumnos pero menos de 30. Si trabajan en grupos de 2 no sobra ninguno. Si trabajan en grupos de 3 tampoco sobra nadie, pero no pueden agruparse de 4 e 4. ¿Cuántos alumnos son en clase?
  • 7. . 58 Los puntos que corresponden al regalo que ha elegido Luis es un número divisible por 2 y por 3 pero no puede dividirse entre 5 de forma exacta. Fíjate en la tabla y averigua qué regalo ha elegido. Regalos Puntos Raqueta 105 puntos Canasta baloncesto 910 puntos Bicicleta 1.140 puntos Monopatín 834 puntos 59 Enrique y su madre han preparado rosquillas para desayunar durante la semana. Han hecho más de 30 pero menos de 50. Pueden agruparlas de 3 en 3 y de 4 en 4 sin que sobre ninguna, pero no pueden hacer grupos de 9. ¿Cuántas rosquillas han hecho?
  • 8. SOLUCIONARIO MÚLTIPLOS 1 Completa la siguiente frase: Los múltiplos de un número son los números que obtenemos cuando ......................... ese número por los .......................... Solución: Los múltiplos de un número son los números que obtenemos cuando multiplicamos ese número por los naturales. 2 Escribe los cinco primeros múltiplos de los siguientes números: 8 1 14 100 Solución: Cinco primeros múltiplos de 8: 8, 16, 24, 32, 40 Cinco primeros múltiplos de 1: 1, 2, 3, 4, 5 Cinco primeros múltiplos de 14: 14, 28, 42, 56, 70 Cinco primeros múltiplo de 100: 100, 200, 300, 400, 500 3 Completa en tu cuaderno: a) 24 es múltiplo de 3 porque 3 x ..... = 24 b) 75 es múltiplo de 5 porque ..... x ..... = 75 c) 14 es múltiplo de 7 porque ..... x ..... = ..... d) 70 es múltiplo de 2 porque ..... x ..... = ..... Solución: a) 24 es múltiplo de 3 porque 3 x 8 = 24 b) 75 es múltiplo de 5 porque 5 x 15 = 75 c) 14 es múltiplo de 7 porque 7 x 2 = 14 d) 70 es múltiplo de 2 porque 2 x 35 = 70 4 Escribe los trece primeros múltiplos de 5. ¿Es posible escribir absolutamente todos los múltiplos de un número? Razona tu respuesta. Solución: Los trece primeros múltiplo de 5 son: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65 No es posible escribir absolutamente todos los múltiplos de un número porque el conjunto de los números naturales es infinito. 5 Escribe cuatro múltiplos de 9 mayores que 70. Solución: Cuatro múltiplos de 9 mayores que 70 podrían ser, por ejemplo, 72, 81, 90 y 99
  • 9. 6 Escribe cinco múltiplos de cada uno de estos números: a) 15 d) 25 b) 24 e) 20 c) 30 f) 18 Solución: a) 15 15, 30, 45, 60, 75 d) 25 25, 50, 75, 100, 125 b) 24 24, 48, 72, 96, 120 e) 20 20, 40, 60, 80, 100 c) 30 30, 60, 90, 120, 150 f) 18 18, 36, 54, 72, 90 7 Agrupa estos números según sean múltiplos de 2, de 5 o de 7. 8 119 6 7 2 21 195 15 63 55 12 Solución: Múltiplos de 2 8, 6, 2, 12 Múltiplos de 5 195, 15, 55 Múltiplos de 7 119, 7, 21, 63 8 Adela quiere comprarse unos chicles. El dependiente le dice que en cada paquete hay 18 chicles. ¿Podrá Adela comprar 54 chicles? ¿Y 70? Solución: Adela sí podrá comprar 54 chicles ya que 54 es múltiplo de 18 ( 18 x 3 = 54) Sin embargo, no podrá comprar 70 chicles, ya que no hay ningún número natural que al multiplicarlo por 18 de 70. 9 Señala cuáles de los siguientes números son múltiplos comunes de 5 y de 7: 35 10 70 14 700 140 20 Solución: Son múltiplos comunes de 5 y 7: 35, 70, 700, 140 10 Las natillas se venden en paquetes de 4 unidades. ¿Cuántas natillas hay en 7 paquetes? ¿Puede una persona comprar 22 natillas? Solución: En 7 paquetes hay 7 x 4 = 28 natillas. Una persona no puede comprar 22 natillas porque no hay ningún número natural que al multiplicarlo por 4 de 22. 11 Señala cuáles de los siguientes números son múltiplos comunes de 6 y de 9. 12 18 27 36 96 72 Solución: Son múltiplos comunes de 6 y 9: 18, 36 y 72
  • 10. 12 Calcula el mínimo común múltiplo de los siguientes pares de números: 10 y 15 7 y 14 16 y 24 Solución: M.c.m. (10, 15) = 30 M.c.m. (7, 14) = 14 M.c.m. (16, 24) = 48 13 Calcula el mínimo común múltiplo de los siguientes pares de números: 2y4 2y3 2y5 2y7 Solución: M.c.m. (2, 4) = 4 M.c.m. (2, 3) = 6 M.c.m. (2, 5) = 10 M.c.m. (2, 7) = 14 14 Calcula los múltiplos comunes de 3 y 5 menores que 50. Solución: Los múltiplos comunes de 3 y 5 menores que 50 son: 15, 30 y 45 15 Completa la siguiente frase: El mínimo común múltiplo de dos o más números es el ................. de los múltiplos ................, distinto de ............... Solución: El mínimo común múltiplo de dos o más números es el menor de los múltiplos comunes, distinto de cero. 16 Resuelve los siguientes apartados: a) Escribe los múltiplos de 12 menores de 60. b) Escribe los múltiplos de 18 menores de 60. c) Escribe los múltiplos comunes de 12 y 18 menores de 60. d) ¿Cuál es el mínimo común múltiplo de 12 y 18? Solución: a) Múltiplos de 12 menores de 60 = {0, 12, 24, 36, 48, 60} b) Múltiplos de 18 menores de 60 = {0, 18, 36, 54} c) Múltiplos comunes de 12 y 18 menores de 60 = {0, 36} d) M.c.m. (12, 18) = 36 17 Félix va a preparar perritos calientes, y quiere comprar el mismo número de salchichas que de bollos. Las salchichas las venden en paquetes de 6 unidades y los bollos en paquetes de 4. ¿Cuál es el menor número que tiene que comprar de cada uno? Solución: El menor número que tiene que comprar de cada uno es el M.c.m (4,6) = 12
  • 11. 18 María, Eva y Antonio entrenan en el polideportivo. María va a patinaje cada 2 días, Eva va a natación cada 3 días y Antonio juega al tenis cada 4 días. ¿Qué días coinciden los tres a lo largo del mes? Solución: La solución que buscamos son los múltiplos comunes de 2, 3 y 4 menores de 30, es decir, 12 y 24. Luego los tres amigos coinciden en el polideportivo los días 12 y 24 del mes. DIVISORES 19 Completa la siguiente frase: Un número es divisor de otro si al hacer la ...................... el resto es ........... Solución: Un número es divisor de otro si al hacer la división el resto es cero. 20 Realiza los cálculos necesarios y contesta a las siguientes preguntas: a) ¿Es 6 divisor de 42? e) ¿Es 8 divisor de 96? b) ¿Es 9 divisor de 54? f) ¿Es 2 divisor de 317? c) ¿Es 7 divisor de 57? g) ¿Es 15 divisor de 98? d) ¿Es 5 divisor de 125? h) ¿Es 11 divisor de 88? Solución: a) ¿Es 6 divisor de 42? SÍ e) ¿Es 8 divisor de 96? SÍ b) ¿Es 9 divisor de 54? SÍ f) ¿Es 2 divisor de 317? NO c) ¿Es 7 divisor de 57? g) ¿Es 15 divisor de 98? NO NO d) ¿Es 5 divisor de 125? h) ¿Es 11 divisor de 88? SÍ SÍ 21 Completa la siguiente frase: Para calcular todos los divisores de un número, lo ....................... entre los números naturales ...................... o iguales que él. Si la división es ......................., ese número natural es un .......................... del dividendo. Solución: Para calcular todos los divisores de un número, lo dividimos entre los números naturales menores o iguales que él. Si la división es exacta, ese número natural es un divisor del dividendo. 22 Luisa quiere repartir 22 gominolas entre sus tres hermanos pequeños, de manera que todos tengan el mismo número de gominolas y que no sobre ninguna. ¿Podrá hacerlo? ¿Por qué? Razona tu respuesta. Solución: No podrá hacerlo ya que 3 no es divisor de 22.
  • 12. 23 Entre estos números hay dos que no son divisores de 60. Encuéntralos. 5 12 17 30 6 15 1 4 9 Solución: No son divisores de 60 los números 17 y 9. 24 Ramón tiene 6 cromos. ¿Cómo puede agruparlos sin que sobre ninguno? Solución: Podrá agruparlos de 1 en 1, de 2 en 2, de 3 en 3 y como un grupo de 6. 25 Encuentra todos los divisores de los siguientes números: a) 20 e) 40 b) 16 f) 13 c) 24 g) 12 d) 25 h) 30 Solución: a) D(20) = 1, 2, 4, 5 y 10 e) D(40) = 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20 y 40 b) D(16) = 1, 2, 4, 8 y 16 f) D(13) = 1 y 13 c) D(24) = 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 y 24 g) D(12) = 1, 2, 3, 4, 6 y 12 d) D(25) = 1, 5 y 25 h) D(34) = 1, 2, 17 y 34 26 En la papelería de Diego hay 48 rotuladores sueltos y estuches de 3, de 4, de 5 y de 6 rotuladores. ¿En cuáles de estos estuches puede guardar Diego los rotuladores sin que sobre ni falte ninguno? Solución: Podrá guardarlos en los estuches de 3, en los de 4 y en los de 6. 27 Rosa quiere embalar 32 libros en cajas iguales sin que sobre ninguno. ¿Cuáles de estas formas son posibles? - En cajas de 3 libros cada una. - En cajas de 4 libros cada una. - En cajas de 5 libros cada una. - En cajas de 8 libros cada una. - En cajas de 2 libros cada una. - En cajas de 6 libros cada una. Solución: Podrá embalarlos: - En cajas de 2 libros cada una. - En cajas de 4 libros cada una. - En cajas de 8 libros cada una.
  • 13. 28 Calcula el máximo común divisor de los siguientes pares de números: 10 y 15 9 y 18 18 y 20 Solución: M.c.d (10,15) = 5 M.c.d (9,18) = 9 M.c.d (18,20) = 2 29 Calcula los divisores comunes de 12 y 16 Solución: Los divisores comunes de 12 y 16 son 1, 2 y 4 30 Calcula el máximo común divisor de los siguientes pares de números: 12 y 20 25 y 30 8 y 12 9 y 21 Solución: M.c.d (12,20) = 4 M.c.d (25,30) = 5 M.c.d (8,12) = 4 M.c.d (9,21) = 3 31 Completa la siguiente frase: El máximo común divisor de dos o más números es el .................. de los divisores .................... de esos números. Solución: El máximo común divisor de dos o más números es el mayor de los divisores comunes de esos números. 32 Señala cuáles de los siguientes números son divisores comunes de 20 y 50. 10 5 4 1 20 25 2 Solución: Son divisores comunes de 20 y 50: 1, 2, 5,10 33 Clasifica los siguientes números según sean divisores de 24, de 84 o de 180 y responde a las preguntas. 3 15 6 12 14 8 45 21 a) ¿Cuáles son los divisores comunes de 24, 84 y 180? b) ¿Quién es el máximo común divisor de 24, 84 y 180? Solución: Divisores de 24 3, 6, 8 y 12 Divisores de 84 3, 6, 12, 14 y 21 Divisores de 180 3, 6, 12, 15 y 45
  • 14. a) Divisores comunes de 24, 84 y 180: 3, 6 y 12. b) M.c.d. (24, 84, 180) = 12 34 a) ¿Es 3 un divisor de 15? Calcula el máximo común divisor de 3 y 15. b) ¿Es 4 un divisor de 12? Calcula el máximo común divisor de 4 y 12. c) ¿Es 5 un divisor de 20? Calcula el máximo común divisor de 5 y 20. d) ¿Qué observas? Solución: a) 3 es un divisor de 15 y M.c.d. (3, 15) = 3 b) 4 es un divisor de 12 y M.c.d. (4, 12) = 4 c) 5 es un divisor de 20 y M.c.d. (5, 20) = 5 d) Se observa que cuando un número es divisor de otro, el máximo común divisor de ambos números es dicho divisor. 35 Malena y Elías quieren hacer ramos con 12 claveles y 18 rosas, de manera que haya el mismo número de ramos de cada tipo. ¿Cuál es el máximo número de ramos que podrán hacer sin que sobre ninguna flor? Solución: Podrán hacer 6 ramos de claveles y 6 ramos de rosas ya que M.c.d (12,18) = 6. 36 Tamara ha comprado 10 chicles de fresa y Manuel 15 de menta. Quieren repartirlos en bolsas sin que sobre ninguno. ¿Pueden hacer los dos el mismo número de bolsas? ¿Cuántos chicles pondrá cada uno en la bolsa? Solución: Sí pueden hacer el mismo número de bolsas, 5, que es el M.c.d. (10, 15) Como Tamara tiene 10 chicles, en cada una de las 5 bolsas pondrá 2 chicles. Como Manuel tiene 15 chicles, en cada una de las 5 bolsas pondrá 3 chicles. DIVISIBILIDAD 37 Observa los números y, sin hacer las divisiones, completa la tabla: 391 580 436 734 372 37 591 1.038 435 207 534 Números divisibles por 2 Números divisibles por 3 Números divisibles por 2 y por 3 Solución: Números divisibles por 2 580, 436, 734, 372, 1.038, 534 Números divisibles por 3 372, 591, 1.038, 435, 207, 534 Números divisibles por 2 y por 3 372, 1.038, 534
  • 15. 38 Completa la siguiente frase: - Un número es divisible por 5 si ............................................................. - Un número es divisible por 9 si ............................................................. - Un número es divisible por 11 si ........................................................... Solución: - Un número es divisible por 5 si acaba en 0 o en 5. - Un número es divisible por 9 si la suma de sus cifras es un múltiplo de 9. - Un número es divisible por 11 si la diferencia entre la suma de las cifras que ocupan el lugar par y la suma de las cifras que ocupan el lugar impar es un múltiplo de 11. 39 Observa el ejemplo y termina de completar la tabla: Suma de las cifras ¿Es múltiplo de 3? ¿Es divisible por 3? 915 9 + 1 + 5 = 15 Sí Divisible 1.536 2.048 828 694 Solución: Suma de las cifras ¿Es múltiplo de 3? ¿Es divisible por 3? 915 9 + 1 + 5 = 15 Sí Divisible 1.536 1 + 5 + 3 + 6 = 15 Sí Divisible 2.048 2 + 0 + 4 + 8 = 14 No No divisible 828 8 + 2 + 8 = 18 Sí Divisible 694 6 + 9 + 4 = 19 No No divisible 40 Observa estos números y contesta a las siguientes preguntas: 58 842 106 157 60 94 513 a) ¿Cuáles de estos números acaban en 0 o en cifra par? b) ¿Cuáles de estos números son divisibles por 2? Solución: a) Números que acaban en 0 o en cifra par: 58, 842, 106, 60, 94 b) Números divisibles por 2: 58, 842, 106, 60, 94 41 Completa la siguiente frase: - Un número es divisible por 2 si ....................................................................... - Un número es divisible por 3 si ....................................................................... - Un número es divisible por 4 si ....................................................................... Solución: - Un número es divisible por 2 si termina en 0 o cifra par. - Un número es divisible por 3 si la suma de sus cifras es un múltiplo de 3. - Un número es divisible por 4 si el número que forman sus dos últimas cifras es múltiplo de 4, o acaba en 100.
  • 16. 42 Lee estas frases y escribe V, si son verdaderas, o F, si son falsas. Corrige las que sean falsas. Un número es divisible por 3 si acaba en 3. Un número es divisible por 5 si al dividirlo por 5, el resto es 0. 895 es divisible por 2. Un número que acaba en 4 es divisible por 4. Un número que acaba en 4 no es divisible por 5, sí lo es por 2 y puede serlo por 3. Que un número sea divisible por 9 quiere decir que la suma de sus cifras es 9. Solución: F Un número es divisible por 3 si acaba en 3. Un número es divisible por 3 si la suma de sus cifras es un múltiplo de 3. V Un número es divisible por 5 si al dividirlo por 5, el resto es 0. F 895 es divisible por 2. 895 es divisible por 5. F Un número que acaba en 4 es divisible por 4. Un número que acaba en 4 es divisible por 4 o no. V Un número que acaba en 4 no es divisible por 5, sí lo es por 2 y puede serlo por 3. F Que un número sea divisible por 9 quiere decir que la suma de sus cifras es 9. Que un número sea divisible por 9 quiere decir que la suma de sus cifras es un múltiplo 9. 43 Sin hacer las divisiones, averigua cuáles de los siguientes números son divisibles por 4 y cuáles por 9. ¿Hay alguno divisible por 4 y por 9 a la vez? 500 424 828 918 7.443 9.109 15.759 22.134 82.368 Solución: - Divisibles por 4: 500, 424, 828, 82.368 - Divisibles por 9: 828, 918, 7.443, 15.759, 82.368 - Los números 828 y 82.368 son divisibles por 4 y por 9 a la vez. NÚMEROS PRIMOS Y COMPUESTOS 44 Busca los números primos que hay entre 2 y 20. Solución: Números primos entre 2 y 20: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 y 19
  • 17. 45 Algunos de los números que aparecen en la siguiente tabla se han movido de la columna que les correspondía. Colócalos en el lugar correcto. Números primos Números compuestos 14 16 7 11 21 39 13 23 57 71 Solución: Números primos Números compuestos 11 16 7 14 23 39 13 21 71 57 46 ¿Es 15 un número primo? En caso de no serlo, ¿sus divisores son primos? Solución: 15 no es un número primo, pues tiene más de dos divisores, que son: 1, 3, 5, y 15. Excepto el 15, el resto de divisores sí son primos. 47 Calcula los divisores de estos números y clasifícalos en primos y compuestos: 5 12 20 19 22 2 10 3 Solución: Divisores de 5 = {1, 5} Primo Divisores de 12 = {1, 2, 3, 4, 6, 12} Compuesto Divisores de 20 = {1, 2, 4, 5, 10, 20} Compuesto Divisores de 19 = {1, 19} Primo Divisores de 22 = {1, 2, 11, 22] Compuesto Divisores de 2 = {1, 2} Primo Divisores de 10 = {1, 2, 5, 10} Compuesto Divisores de 3 = {1, 3} Primo
  • 18. PROBLEMAS 48 Carlos tiene dos listones de madera, uno mide 40 centímetros y el otro 100 centímetros. ¿Puede cortarlos en trozos de 10 centímetros sin que le sobre madera? ¿Cuántos trozos obtendrá de cada listón? Solución: - Sí que podrá cortar los dos listones en trozos de 10 centímetros sin que le sobre madera, ya que 40 y 100 son múltiplos de 10. - Del listón de 40 centímetros obtendrá 4 trozos, y del listón de 100 centímetros obtendrá 10 trozos. 49 Los yogures se venden en paquetes de 4 unidades. Si compramos 5 paquetes, ¿cuántos yogures tendremos? ¿Podremos comprar 52 yogures? En caso afirmativo, ¿cuántos paquetes necesitaríamos para ello? Solución: - Si compramos 5 paquetes tendremos 5 x 4 = 20 yogures. - Sí es posible comprar 52 yogures, ya que 52 es múltiplo de 4. Para ello necesitaríamos comprar 52 : 4 = 13 paquetes de yogures. 50 ¿De qué forma puede empaquetar Alicia 10 cartones de leche sin que sobre ninguno? Solución: Podrá empaquetarlos de 1 en 1, de 2 en 2, de 5 en 5 o en un grupo de 10. 51 Los bollos de chocolate se venden en cajas de 6 unidades. ¿Cuántos bollos hay en 8 cajas? ¿Es posible comprar exactamente 50 bollos? ¿Por qué? Solución: - En 8 cajas habrá 8 x 6 = 48 bollos. - No es posible comprar 50 bollos porque 50 no es múltiplo de 6. 52 La edad de Benito es un número impar, menor que 30, de dos cifras y múltiplo de 9. ¿Cuántos años tiene? Solución: Benito tiene 27 años. 53 Los grupos de 5.º y 6.º han ido a visitar el aula de la naturaleza. El monitor quiere hacer el mismo número de equipos en cada curso sin que sobre ningún alumno. Si en 5.º hay 32 alumnos y en 6.º, 24, ¿de cuántos alumnos puede hacer cada equipo? ¿Cuál es el máximo número de alumnos que puede haber en un equipo? Solución: - Divisores de 32: 1, 2, 4, 8, 16, 32. Divisores de 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24. Podrá hacer cada equipo de 1, 2, 4, u 8 alumnos, que son los divisores comunes. - m.c.d.(32, 24) = 8. Por tanto, el número máximo de alumnos que puede haber en un equipo es 8. 54 En el mes de abril en el polideportivo habrá partidos de baloncesto cada 5 días y partidos de balonmano cada 4 días. ¿Qué días del mes coincidirán los dos deportes? Solución: Coincidirán en el día 20 del mes, ya que m.c.m. (4, 5) = 20 55 De la estación salen trenes de viajeros cada 3 horas y trenes de mercancías cada 4 horas. A las 2 de la mañana salió un tren de cada tipo, ¿a qué hora volverán a coincidir?
  • 19. Solución: Tipo de tren Horarios Viajeros 2 : 00 5 : 00 8 : 00 11 : 00 14 : 00 17 : 00 20 : 00 23 : 00 Mercancías 2 : 00 6 : 00 10 : 00 14 : 00 18 : 00 22 : 00 Volverán a coincidir a las 14 : 00 horas. Nota: m.c.m.(3, 4) = 12; 2 h + 12 h = 14 h 56 Nuria colecciona cromos de animales. Tiene más de 30 cromos pero menos de 100. Puede agrupar los cromos que tiene de 5 en 5 y de 7 en 7 sin que sobre ninguno, pero no puede hacer grupos de 10. ¿Cuántos cromos tiene?. Solución: El número buscado: - Es mayor que 30 pero menor que 100. - Es múltiplo de 5 y de 7. - No es múltiplo de 10, luego no puede acabar en 0. El único número que cumple estas características es el 35. Luego Nuria tiene 35 cromos. 57 En la clase de Yolanda son más de 15 alumnos pero menos de 30. Si trabajan en grupos de 2 no sobra ninguno. Si trabajan en grupos de 3 tampoco sobra nadie, pero no pueden agruparse de 4 e 4. ¿Cuántos alumnos son en clase? Solución: El número buscado debe ser: - Mayor que 15 y menor que 30. - Múltiplo de 2 y de 3, es decir, múltiplo de 6. - No múltiplo de 4. El único número que cumple estas características es el 18. Luego en clase de Yolanda serán 18 alumnos. 58 Los puntos que corresponden al regalo que ha elegido Luis es un número divisible por 2 y por 3 pero no puede dividirse entre 5 de forma exacta. Fíjate en la tabla y averigua qué regalo ha elegido. Regalos Puntos Raqueta 105 puntos Canasta baloncesto 910 puntos Bicicleta 1.140 puntos Monopatín 834 puntos Solución: El número buscado: - Es múltiplo de 2 y de 3, es decir de 6. - No es divisible por 5, luego no puede acabar ni en 0 ni en 5. El único número de la tabla que cumple estas características es 834. Luego Luis habrá elegido como regalo el monopatín. 59 Enrique y su madre han preparado rosquillas para desayunar durante la semana. Han hecho más de 30 pero menos de 50. Pueden agruparlas de 3 en 3 y de 4 en 4 sin que sobre ninguna, pero no pueden hacer grupos de 9. ¿Cuántas rosquillas han hecho? Solución: El número buscado: - Es mayor que 30 y menor que 50. - Es múltiplo de 3 y de 4, es decir, de 12. - No es múltiplo de 9. El único número que cumple estas características es el 48. Luego habrán hecho 48 rosquillas.