ecuaciones parametricas vectoriales

1. ECUACIONES PARAMÉTRICAS
CONCEPTO DE ECUACIONES PARAMÉTRICAS
Son expresiones donde las coordenadas (𝑥,𝑦) del punto P de una curva
C, están dadas en función de una tercera variable llamada
PARÁMETRO.
Notación: C:
{
𝑥 = 𝑓(𝑡)
.
.
𝑦 = 𝑔(𝑡)
.
|
Donde, cada valor de 𝑡 le corresponde un punto de coordenadas
P(𝑓(𝑡),𝑔(𝑡)) del plano XY.
CURVA PARAMÉTRICA
Es el lugar geométrico que describe un punto P; del cual, se
obtiene una ECUACIÓN CARTESIANA que elimina el parámetro 𝑡, para
obtener una ecuación de FORMA CARTESIANA de la siguiente manera:
FORMA EXPLÍCITA: 𝑦 = 𝑓(𝑥)
FORMA IMPLÍCITA: 𝐸 = (𝑥,𝑦) = 0
ECUACIONES PARAMÉTRICAS: C:
{
𝑥 = 𝑓(𝑡)
.
.
𝑦 = 𝑔(𝑡)
.
|
; 𝑡: parámetro
ELIMINACIÓN DEL PARAMÉTRO:
Para transformar una curva paramétrica a una ecuación cartesiana
o rectangular en FORMA EXPLÍCITA O IMPLÍCITA, hay que ELIMINAR EL
PARÁMETRO 𝑡 de la VARIABLE INDEPENDIENTE y SUSTITUIRLA en la
VARIABLE DEPENDIENTE.
Existen dos maneras de realizar este proceso:

2. a) TRANSFORMAR A RECTANGULARES CON EL PARÁMETRO t:
C:
⎩
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎧
𝑖
𝑥 = 𝑓(𝑡)
.
. ⇒ se despeja 𝑡 = 𝑓−1
(𝑥)
.
𝑦 = 𝑔(𝑡)
.
| ⇒ se reemplaza 𝑦 = 𝑔(𝑓−1
(𝑥))
𝑦 = 𝐹(𝑥)|
|
Ej. Transforme la curva C:
{
𝑥 = 2𝑡
.
.
𝑦 = −5𝑡
.
|
a una ecuación cartesiana:
Se despeja 𝑡 de (1): 𝑥 = 2𝑡
𝑡 = 𝑥
2
Se reemplaza 𝑡 en (2): 𝑦 = −5(
𝑥
2)
𝒚 = − 𝟓
𝟐
𝒙
Ej. Transforme la curva C:
{
𝑥 = 𝑡 − 1
.
.
𝑦 = 𝑡2
.
|
a una ecuación cartesiana:
Se despeja 𝑡 de (1): 𝑥 = 𝑡 − 1
𝑡 = 𝑥 + 1
Se reemplaza 𝑡 en (2): 𝑦 = (𝑥 + 1)2
𝒚 = 𝒙𝟐
+ 𝟐𝒙 + 𝟏
Ej. Transforme la curva C:
{
𝑥 = 𝑒−𝑡.
.
𝑦 = 𝑒3𝑡 .
|
a una ecuación cartesiana:
Se despeja 𝑡 de (1): 𝑥 = 𝑒−𝑡
ln(𝑥) = ln(𝑒−𝑡
)

3. ln(𝑥) = −𝑡 ⋅ ln(𝑒)
ln(𝑥) = −𝑡 ⋅ 1
−𝑡 = ln(𝑥)
𝑡 = − ln(𝑥)
Se reemplaza 𝑡 en (2): 𝑦 = 𝑒3 ln(𝑥)
𝒚 = 𝑒ln(𝑥3
)
𝒚 = 𝒙𝟑
b) TRANSFORMAR A RECTANGULARES CON EL PARÁMETRO θ:
Este método es aplicable cuando se tenga EXPRESIONES
TRIGONOMÉTRICAS. Para este caso, se utilizan las IDENTIDADES
PITAGÓRICAS según cómo se exprese las ecuaciones de la curva.
C:
⎩
⎪
⎨
⎪
⎧
𝑜
𝑥 = 𝑎 ⋅ cos(𝑡)
.
. ⇒ se despeja cos(𝑡) =
𝑥
𝑎
.
.
𝑦 = 𝑏 ⋅ sin(𝑡)
.
.
.
| ⇒ se despeja sin(𝑡) =
𝑦
𝑏
.
Luego: sin2
(𝑡) + cos2
(𝑡) = 1 (Identidad Pitagórica)
(
𝑦
𝑏)
2
+ (
𝑥
𝑎)
2
= 1
Ej. Transforme la curva C:
{
𝑥 = −1 + cos(𝑡)
.
.
𝑦 = 2 + 2 sin(𝑡)
.
|
a una ecuación
cartesiana:
Se despeja cos(𝑡) en (1): 𝑥 = −1 + cos(𝑡)
𝑥 + 1 = cos(𝑡)
cos(𝑡) = 𝑥 + 1 (*)
Se despeja sin(𝑡) en (2): 𝑦 = 2 + 2 sin(𝑡)
𝑦 − 2 = 2 sin(𝑡)
sin(𝑡) =
𝑦−2
2
(**)

4. Luego: sin2
(𝑡) + cos2
(𝑡) = 1 (***)
(
𝑦−2
2 )
2
+ (𝑥 + 1)2
= 1 (*) y (**) en (***)
(𝒙 + 𝟏)𝟐
+ (𝒚−𝟐)
𝟐
𝟒
= 𝟏
Ej. Transforme la curva C:
{
𝑥 = 2cos(𝑡)
.
.
𝑦 = sin(2𝑡)
.
|
a una ecuación cartesiana:
Se despeja cos(𝑡) en (1): 𝑥 = 2 cos(𝑡)
cos(𝑡) = 𝑥
2
(*)
Se despeja sin(𝑡) en (2): 𝑦 = sin(2𝑡)
𝑦 = 2 sin(𝑡)cos(𝑡)
sin(𝑡) =
𝑦
2cos(𝑡)
(**)
Luego: sin2
(𝑡) + cos2
(𝑡) = 1 (***)
(
𝑦
2 cos(𝑡))
2
+ (
𝑥
2)
2
= 1 (*) y (**) en (***)
(
𝑦
2⋅𝑥
2)
2
+ 𝑥2
4
= 1 (*) en (***)
𝑦2
𝑥2 + 𝑥2
4
= 1
4𝑦2
+ 𝑥4
4𝑥2 = 1
𝒙𝟒
− 𝟒𝒙𝟐
+ 𝟒𝒚𝟐
= 𝟎

5. Ej. Transforme la curva C:
{
𝑥 = sin(𝑡)
.
.
𝑦 = tan(𝑡) ⋅ (1 + sin(𝑡))
.
|
a una
ecuación cartesiana:
Se despeja sin(𝑡) en (1): 𝑥 = sin(𝑡)
sin(𝑡) = 𝑥 (*)
Se despeja sin(𝑡) en (2): 𝑦 = tan(𝑡) ⋅ (1 + sin(𝑡))
𝑦 = sin(𝑡)
cos(𝑡)
⋅ (1 + sin(𝑡))
cos(𝑡) =
sin(𝑡)
𝑦
⋅ (1 + sin(𝑡)) (**)
Luego: sin2
(𝑡) + cos2
(𝑡) = 1 (***)
𝑥2
+
(
sin(𝑡)
𝑦 ⋅ (1 + sin(𝑡))
)
2
= 1 (*) y (**) en (***)
𝑥2
+ (
𝑥
𝑦)
2
(1 + 𝑥)2
= 1 (*) en (***)
𝑥2
+ 𝑥2
𝑦2 ⋅ (1 + 𝑥)2
= 1
𝑥2
𝑦2
+ 𝑥2
(1 + 𝑥)2
= 𝑦2
𝑥2
𝑦2
− 𝑦2
+ 𝑥2
(1 + 𝑥)2
= 0
𝑦2
(𝑥2
− 1) + 𝑥2
(1 + 𝑥)2
= 0
𝒙𝟐
(𝟏 + 𝒙)𝟐
+ 𝒚𝟐
(𝒙𝟐
− 𝟏) = 𝟎

6. ESTUDIO DE GRAFICACIÓN DE ECUACIONES PARAMÉTRICAS
Para este estudio, se contemplarán expresiones algebraicas de
hasta TERCER GRADO.
Ej. Graficar la siguiente ecuación paramétrica: C:
⎩
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎧
.
𝑥 = (𝑡+1)
2
𝑡
𝑜
𝑦 = 𝑡+1
3
.
.
𝑜
a) DOMINIO:
Se transforma a una ecuación cartesiana:
𝑥 = (𝑡+1)
2
𝑡 (1)
𝑥𝑡 = (𝑡 + 1)2
𝑥𝑡 = 𝑡2
+ 2𝑡 + 1
0 = 𝑡2
+ 2𝑡 − 𝑥𝑡 + 1
𝑡2
+ (2 − 𝑥)𝑡 + 1 = 0
𝑎 = 1 ; 𝑏 = 2 − 𝑥 ; 𝑐 = 1
𝑡 =
−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
𝑡 =
−(2 − 𝑥) ± √(2 − 𝑥)2 − 4(1)(1)
2(1)
𝑡 =
𝑥 − 2 ± √4 − 4𝑥 + 𝑥2 − 4
2
𝑡 =
𝑥 − 2 ± √𝑥2 − 4𝑥
2
𝑡 en (2): 𝑦 = 𝑡+1
3
𝑦 = 1
3
𝑡 + 1
3
𝑦 = 1
6 (𝑥 − 2 ± √𝑥2 − 4𝑥) + 1
3

7. C.R. 𝑥2
− 4𝑥 ≥ 0
𝑥(𝑥 − 4) ≥ 0
∴ 𝑫𝒐𝒎.𝑪 = 𝒙 ∈ (−∞, 𝟎.
.
( ∪ [ 𝟒,+∞.
.[
b) RANGO:
Se transforma a una ecuación cartesiana:
𝑦 = 𝑡+1
3
(2)
3𝑦 = 𝑡 + 1
𝑡 = 3𝑦 − 1
𝑡 en (1): 𝑥 = (𝑡+1)
2
𝑡
𝑜
𝑥 = (3𝑦−1+1)
2
3𝑦−1
𝑜
𝑥 = (3𝑦)
2
3𝑦−1
𝑜
𝑥 =
9𝑦2
3𝑦−1
𝑜
C.D. 3𝑦 − 1 ≠ 0
3𝑦 ≠ 1
𝑦 ≠ 1
3
∴ 𝑹𝒈𝒐.𝑪 = 𝒚 ∈ R − .
𝟏
𝟑
/

8. c) ASÍNTOTAS:
ASÍNTOTA VERTICAL (A.V.):
𝑡 ≠ 0 (Restricción en 𝑥)
𝑦 ≠ 0 + 1
3
(Reemplazo en 𝑦)
𝑦 ≠
1
3
A.V. 𝒚 = 𝟏
𝟑
ASÍNTOTA OBLICUA (A.O.):
𝑦 = 𝑡+1
3
(Despeje de 𝑡)
3𝑦 = 𝑡 + 1
𝑡 = 3𝑦 − 1
𝑡 en (1): 𝑥 = (𝑡+1)
2
𝑡
𝑜
𝑥 = (3𝑦−1+1)
2
3𝑦−1
𝑜
𝑥 = (3𝑦)
2
3𝑦−1
𝑜
𝑥 =
9𝑦2
3𝑦−1
𝑜
9𝑦2
3𝑦 − 1
−9𝑦2
+ 3𝑦 3𝑦 + 1
3𝑦
−3𝑦 + 1
1
𝑥 = 3𝑦 + 1 (Relación final)
𝑥 − 1 = 3𝑦
A.O. 𝒚 = 𝟏
𝟑
(𝒙 − 𝟏)

9. d) PUNTOS DE RETORNO:
Para 𝑥(𝑡):
𝑥(𝑡) = 𝑥(𝑘)
(𝑡+1)2
𝑡
=
(𝑘+1)2
𝑘
(𝑡+1)2
𝑡
−
(𝑘+1)2
𝑘
= 0
𝑘(𝑡+1)2 −𝑡(𝑘+1)2
𝑡𝑘
= 0
𝑘(𝑡2
+2𝑡+1)−𝑡(𝑘2
+2𝑘+1)
𝑡𝑘
= 0
𝑘𝑡2
+2𝑘𝑡+𝑘−𝑡𝑘2
−2𝑘𝑡−𝑡
𝑡𝑘
= 0
𝑘𝑡2
+𝑘−𝑡𝑘2
−𝑡
𝑡𝑘
= 0
(𝑘𝑡2−𝑡𝑘2
)+(𝑘−𝑡)
𝑡𝑘
= 0
𝑘𝑡(𝑡−𝑘)−(𝑡−𝑘)
𝑡𝑘
= 0
(𝑡−𝑘)(𝑘𝑡−1)
𝑡𝑘
= 0
Donde 𝑡 − 𝑘 = 0
𝑘𝑡−1
𝑡𝑘
= 0 (**)
𝑡 = 𝑘 (*)
(*) en (**):
(𝑡)𝑡−1
𝑡(𝑡)
= 0
𝑡2 −1
𝑡2 = 0
𝑡2
− 1 = 0
(𝑡 − 1)(𝑡 + 1) = 0
𝑡1 = 1 𝑡2 = −1

10. 𝑡1 en (1): 𝑡2 en (1):
𝑥 = (1+1)
2
1
𝑜
𝑥 = (−1+1)
2
−1
𝑜
𝑥1 = 4 𝑥2 = 0
𝑡1 en (2): 𝑡2 en (2):
𝑦 = 1+1
3
𝑜
𝑥 = −1+1
3
𝑜
𝑦1 = 2
3
𝑦2 = 0
PUNTOS DE RETORNO: (𝟒, 𝟐
𝟑) , (𝟎,𝟎)
Para 𝑦(𝑡):
𝑦(𝑡) = 𝑦(𝑘)
𝑡+1
3
=
𝑘+1
3
𝑡+1
3
−
𝑘+1
3
= 0
1
3
(𝑡 + 1 − 𝑘 − 1) = 0
(𝑡 − 𝑘) ⋅ 1
3
= 0
Donde 𝑡 − 𝑘 = 0
1
3
= 0
𝑡 = 𝑘
NO HAY PUNTOS DE RETORNO
Además: 𝒙′
= 𝒕𝟐 −𝟏
𝒕𝟐 ; 𝒚′
= 𝟏
𝟑

11. e) COMPORTAMIENTO DE LA CURVA:
Considerando el Dominio de 𝑡:
𝑥(𝑡) = (𝑡+1)
2
𝑡 ; 𝑦(𝑡) = 𝑡+1
3
∴ 𝐷𝑜𝑚.𝐶(𝑡) = 𝑡 ∈ R − {0}
Los puntos críticos de 𝑡: 𝑡 = −1 ⇒ (0,0)
𝑡 = 0
𝑡 = 1 ⇒ (4, 2
3)
Y las funciones derivables: 𝑥′
= 𝑡2 −1
𝑡2
𝑦′
= 1
3
Se establece los siguientes esquemas:
𝑡 = −∞ 𝑡 = −1 𝑡 = 0
𝑥′
+ −
𝑦′
+ +
𝑥 → ←
𝑦 ↑ ↑
𝐂 ↗ ↖
(0,0)
(−∞,−∞) (−∞,+∞)

12. 𝑡 = 0 𝑡 = 1 𝑡 = +∞
𝑥′
− +
𝑦′
+ +
𝑥 ← →
𝑦 ↑ ↑
𝐂 ↖ ↗
f) TABLA DE VALORES:
𝑡 𝑥 𝑦
−4 −2.25 −1
−2 −0.5 −0.33
−0.5 −0.5 −0.17
0.5 4.5 0.5
2 4.5 1
4 6.25 1.67
g) GRÁFICA DE LA CURVA:
(+∞,+∞) (+∞, +∞)
(4,
2
3)

13. Ej. Graficar la siguiente ecuación paramétrica: C:
⎩
⎪
⎨
⎪
⎧
.
𝑥 = 𝑡2
− 4
𝑜
𝑦 = 2𝑡
.
.
𝑜
a) DOMINIO:
Se transforma a una ecuación cartesiana:
𝑥 = 𝑡2
− 4 (1)
𝑥 + 4 = 𝑡2
𝑡2
= 𝑥 + 4
𝑡 = √𝑥 + 4
𝑡 en (2): 𝑦 = 2𝑡
𝑦 = 2√𝑥 + 4
C.R. 𝑥 + 4 ≥ 0
𝑥 ≥ −4
∴ 𝑫𝒐𝒎.𝑪 = 𝒙 ∈ [−𝟒, +∞.
.[
b) RANGO:
Se transforma a una ecuación cartesiana:
𝑦 = 2𝑡 (2)
𝑡 =
𝑦
2
𝑡 en (1): 𝑥 = (
𝑦
2)
2
− 4
𝑜
𝑥 = 1
4
𝑦2
− 4
𝑜
∴ 𝑹𝒈𝒐. 𝑪 = 𝒚 ∈ R

14. c) PUNTOS DE CORTE:
EJE X: 𝑦 = 2𝑡 (2)
0 = 2𝑡 (𝑦 = 0)
𝑡 = 0
𝑥 = 𝑡2
− 4 (1)
𝑥 = (0)2
− 4 (𝑡 en (1))
𝑥 = −4
∴ (−𝟒,𝟎)
EJE Y: 𝑥 = 𝑡2
− 4 (1)
0 = 𝑡2
− 4 (𝑥 = 0)
𝑡2
− 4 = 0
(𝑡 − 2)(𝑡 + 2) = 0
𝑡 = −2 ; 𝑡 = 2
𝑦 = 2𝑡 (2) 𝑦 = 2𝑡 (2)
𝑦 = 2(−2) (𝑡 en (2)) 𝑦 = 2(2) (𝑡 en (2))
𝑦 = −4 𝑦 = 4
∴ (𝟎,−𝟒) , (𝟎,𝟒)
d) SIMETRÍA:
PLANO X: 𝑥(−𝑡) = (−𝑡)2
− 4 = 𝑡2
− 4 ⇒ 𝑥(−𝑡) = 𝑥(𝑡)
PLANO Y: 𝑦(−𝑡) = 2(−𝑡) = −2𝑡 ⇒ 𝑦(−𝑡) = −𝑦(𝑡)
PLANO XY: 𝑥(−𝑡) = 𝑥(𝑡) ∧ 𝑦(−𝑡) = −𝑦(𝑡) ⇒ C es SIMÉTRICA AL EJE X

15. e) PUNTOS DE RETORNO:
Para 𝑥(𝑡):
𝑥(𝑡) = 𝑥(𝑘)
𝑡2
− 4 = 𝑘2
− 4
𝑡2
= 𝑘2
𝑡2
− 𝑘2
= 0
(𝑡 − 𝑘)(𝑡 + 𝑘) = 0
Donde 𝑡 − 𝑘 = 0 𝑡 + 𝑘 = 0 (**)
𝑡 = 𝑘 (*)
(*) en (**): 𝑡 + 𝑡 = 0
2𝑡 = 0
𝑡 = 0
𝑡 en (1): 𝑡 en (2):
𝑥 = (0)2
− 4
𝑜
𝑦 = 2(0)
𝑜
𝑥 = −4 𝑦 = 0
PUNTO DE RETORNO: (−𝟒,𝟎)
Para 𝑦(𝑡):
𝑦(𝑡) = 𝑦(𝑘)
2𝑡 = 2𝑘
2𝑡 − 2𝑘 = 0
2(𝑡 − 𝑘) = 0
(𝑡 − 𝑘) ⋅ 2 = 0
Donde 𝑡 − 𝑘 = 0 2 = 0
𝑡 = 𝑘
NO HAY PUNTOS DE RETORNO
Además: 𝒙′
= 𝟐𝒕 ; 𝒚′
= 𝟐

16. f) COMPORTAMIENTO DE LA CURVA:
Considerando el Dominio de 𝑡:
𝑥(𝑡) = 𝑡2
− 4 ; 𝑦(𝑡) = 2𝑡
∴ 𝐷𝑜𝑚.𝐶(𝑡) = 𝑡 ∈ R
El punto crítico de 𝑡: 𝑡 = 0 ⇒ (−4,0)
Y las funciones derivables: 𝑥′
= 2𝑡
𝑦′
= 2
Se establece el siguiente esquema:
𝑡 = −∞ 𝑡 = 0 𝑡 = +∞
𝑥′
− +
𝑦′
+ +
𝑥 ← →
𝑦 ↑ ↑
𝐂 ↖ ↗
g) TABLA DE VALORES:
𝑡 𝑥 𝑦
−4 12 −8
−3 5 −6
−1 −3 −2
1 −3 2
3 5 6
4 12 8
(−4,0)
(∞,−∞) (+∞,+∞)

17. h) GRÁFICA DE LA CURVA:

18. Ej. Graficar la siguiente ecuación paramétrica:
C:
⎩
⎪
⎨
⎪
⎧
.
𝑥 = 𝑡3
− 3𝑡
𝑜
𝑦 = 𝑡2 .
.
𝑜
; −3 ≤ 𝑡 ≤ 3
a) DOMINIO:
Partiendo de la condición: −3 ≤ 𝑡 ≤ 3
−3 ≤ 𝑡 ≤ 3 −3 ≤ 𝑡 ≤ 3
−27 ≤ 𝑡3
≤ 27 (a) −9 ≤ 3𝑡 ≤ 9 (b)
(a)-(b): −27 − (−9) ≤ 𝑡3
− (3𝑡) ≤ 27 − (9)
−27 + 9 ≤ 𝑡3
− 3𝑡 ≤ 27 − 9
−18 ≤ 𝑡3
− 3𝑡 ≤ 18
−18 ≤ 𝑥 ≤ 18
∴ 𝑫𝒐𝒎.𝑪 = 𝒙 ∈ 3 −𝟏𝟖, 𝟏𝟖.
.
(
b) RANGO:
Partiendo de la condición: −3 ≤ 𝑡 ≤ 3
−3 ≤ 𝑡 ≤ 3
−3 ≤ 𝑡 < 0 ∨ 0 ≤ 𝑡 < 3
3 ≥ −𝑡 > 0 ∨ 0 ≤ 𝑡 < 3
0 < −𝑡 ≤ 3 ∨ 0 ≤ 𝑡 < 3
0 < (−𝑡)2
≤ 9 ∨ 0 ≤ 𝑡2
< 9
0 < 𝑡2
≤ 9 ∨ 0 ≤ 𝑡2
< 9
0 ≤ 𝑡2
≤ 9
∴ 𝑹𝒈𝒐.𝑪 = 𝒚 ∈ 3 𝟎,𝟗.
.
(

19. c) PUNTOS DE CORTE:
EJE X: 𝑦 = 𝑡2
(2)
0 = 𝑡2
(𝑦 = 0)
𝑡 = 0
𝑥 = 𝑡3
− 3𝑡 (1)
𝑥 = (0)3
− 3(0) (𝑡 en (1))
𝑥 = 0
∴ (𝟎,𝟎)
EJE Y: 𝑥 = 𝑡3
− 3𝑡 (1)
0 = 𝑡3
− 3𝑡 (𝑥 = 0)
𝑡3
− 3𝑡 = 0
𝑡(𝑡2
− 3) = 0
𝑡 = 0 ; 𝑡2
= 3
𝑦 = 𝑡2
(2) 𝑦 = 𝑡2
(2)
𝑦 = 02
(𝑡 en (2)) 𝑦 = 3 (𝑡 en (2))
𝑦 = 0
∴ (𝟎,𝟎) , (𝟎,𝟑)
d) SIMETRÍA:
PLANO X: 𝑥(−𝑡) = (−𝑡)3
− 3(−𝑡) = −𝑡3
+ 3𝑡 = −(𝑡3
− 3𝑡 ) ⇒ 𝑥(−𝑡) = −𝑥(𝑡)
PLANO Y: 𝑦(−𝑡) = (−𝑡)2
= 𝑡2
⇒ 𝑦(−𝑡) = 𝑦(𝑡)
PLANO XY: 𝑥(−𝑡) = −𝑥(𝑡) ∧ 𝑦(−𝑡) = 𝑦(𝑡) ⇒ C es SIMÉTRICA AL EJE Y

20. e) PUNTOS DE RETORNO:
Para 𝑥(𝑡):
𝑥(𝑡) = 𝑥(𝑘)
𝑡3
− 3𝑡 = 𝑘3
− 3𝑘
𝑡3
− 3𝑡 − 𝑘3
+ 3𝑘 = 0
(𝑡3
− 𝑘3
) + (−3𝑡 + 3𝑘) = 0
(𝑡 − 𝑘)(𝑡2
+ 𝑡𝑘 + 𝑘2
) − 3(𝑡 − 𝑘) = 0
(𝑡 − 𝑘)(𝑡2
+ 𝑡𝑘 + 𝑘2
− 3) = 0
Donde 𝑡 − 𝑘 = 0 𝑡2
+ 𝑡𝑘 + 𝑘2
− 3 = 0 (**)
𝑡 = 𝑘 (*)
(*) en (**): 𝑡2
+ 𝑡(𝑡) + (𝑡)2
− 3 = 0
𝑡2
+ 𝑡2
+ 𝑡2
− 3 = 0
3𝑡2
− 3 = 0
3(𝑡2
− 1) = 0
(𝑡 − 1)(𝑡 + 1) = 0
𝑡1 = 1 𝑡2 = −1
𝑡1 en (1): 𝑡2 en (1):
𝑥 = (1)3
− 3(1)
𝑜
𝑥 = (−1)3
− 3(−1)
𝑜
𝑥1 = −2 𝑥2 = 2
𝑡1 en (2): 𝑡2 en (2):
𝑦 = (1)2
𝑜
𝑥 = (−1)2
𝑜
𝑦1 = 1 𝑦2 = 1
PUNTOS DE RETORNO: (−𝟐,𝟏) , (𝟐,𝟏)

21. Para 𝑦(𝑡):
𝑦(𝑡) = 𝑦(𝑘)
𝑡2
= 𝑘2
𝑡2
− 𝑘2
= 0
(𝑡 − 𝑘)(𝑡 + 𝑘) = 0
Donde 𝑡 − 𝑘 = 0 𝑡 + 𝑘 = 0 (**)
𝑡 = 𝑘 (*)
(*) en (**): 𝑡 + 𝑡 = 0
2𝑡 = 0
𝑡 = 0
𝑡 en (1): 𝑡 en (2):
𝑥 = (0)3
− 3(0)
𝑜
𝑦 = (0)2
𝑜
𝑥 = 0 𝑦 = 0
PUNTO DE RETORNO: (𝟎,𝟎)
Además: 𝒙′
= 𝟑𝒕𝟐
− 𝟑 ; 𝒚′
= 𝟐𝒕
f) COMPORTAMIENTO DE LA CURVA:
Considerando el Dominio de 𝑡:
𝑥(𝑡) = 𝑡3
− 3𝑡 ; 𝑦(𝑡) = 𝑡2
∴ 𝐷𝑜𝑚.𝐶(𝑡) = 𝑡 ∈ R
Los puntos críticos de 𝑡: 𝑡 = −1 ⇒ (2,1)
𝑡 = 0 ⇒ (0,0)
𝑡 = 1 ⇒ (−2,1)

22. Y las funciones derivables: 𝑥′
= 3𝑡2
− 3
𝑦′
= 2𝑡
Se establece el siguiente esquema:
𝑡 = −3 𝑡 = −1 𝑡 = 0 𝑡 = 1 𝑡 = 3
𝑥′
+ − − +
𝑦′
− − + +
𝑥 → ← ← →
𝑦 ↓ ↓ ↑ ↑
𝐂 ↘ ↙ ↖ ↗
g) TABLA DE VALORES:
𝑡 𝑥 𝑦
−3 −18 9
−2 −2 4
−0.5 1.38 0.25
0.5 −1.38 0.25
2 2 4
3 18 9
(2,1)
(−18,9) (18,9)
(−2,1)
(0,0)

23. h) GRÁFICA DE LA CURVA:
Ej. Dada la siguiente ecuación paramétrica: C:
⎩
⎪
⎨
⎪
⎧
.
𝑥 = 3 cos(𝑡)
𝑜
𝑦 = 4 sin(𝑡)
.
.
𝑜
a) Determine la Ecuación Cartesiana
b) Halle el Dominio y Rango
c) Halle los Puntos de Intersección
d) Determine la Simetría de la Curva
e) Trace la Gráfica de la Curva
a) ECUACIÓN CARTESIANA:
Se despeja cos(𝑡) en (1): 𝑥 = 3 cos(𝑡)
cos(𝑡) = 𝑥
3
(*)
Se despeja sin(𝑡) en (2): 𝑦 = 4 sin(𝑡)
sin(𝑡) =
𝑦
4
(**)
Luego: sin2
(𝑡) + cos2
(𝑡) = 1 (***)
(
𝑦
4)
2
+ (
𝑥
3)
2
= 1 (*) y (**) en (***)
𝒙𝟐
𝟗
+
𝒚𝟐
𝟏𝟔
= 𝟏

24. b) DOMINIO Y RANGO:
Despejando 𝑦:
𝑥2
9
+
𝑦2
16
= 1
𝑦2
16
= 1 −
𝑥2
9
𝑦2
= 16 (1 − 𝑥2
9 )
𝑦 = 4√1 − 𝑥2
9
C.R. 1 − 𝑥2
9
≥ 0
1 ≥ 𝑥2
9
𝑥2
9
≤ 1
𝑥2
≤ 9
𝑥2
− 9 ≤ 0
(𝑥 − 3)(𝑥 + 3) ≤ 0
∴ 𝑫𝒐𝒎.𝑪 = 𝒙 ∈ 3 −𝟑, 𝟑.
.
(
Despejando 𝑥:
𝑥2
9
+
𝑦2
16
= 1
𝑥2
9
= 1 −
𝑦2
16
𝑥2
= 9 (1 −
𝑦2
16)
𝑥 = 3√1 −
𝑦2
16

25. C.R. 1 −
𝑦2
16
≥ 0
1 ≥
𝑦2
16
𝑦2
16
≤ 1
𝑦2
≤ 16
𝑦2
− 16 ≤ 0
(𝑦 − 4)(𝑦 + 4) ≤ 0
∴ 𝑹𝒈𝒐.𝑪 = 𝒚 ∈ 3 −𝟒, 𝟒.
.
(
c) PUNTOS DE INTERSECCIÓN:
EJE X:
𝑥2
9
+
𝑦2
16
= 1
𝑥2
9
+
(0)2
16
= 1 (𝑦 = 0)
𝑥2
= 9
𝑥2
− 9 = 0
(𝑥 + 3)(𝑥 − 3) = 0
𝑥1 = −3 ; 𝑥2 = 3
∴ (−𝟑,𝟎) , (𝟑,𝟎)
EJE Y:
𝑥2
9
+
𝑦2
16
= 1
(0)2
9
+
𝑦2
16
= 1 (𝑥 = 0)
𝑦2
= 16
𝑦2
− 16 = 0
(𝑦 + 4)(𝑦 − 4) = 0
𝑦1 = −4 ; 𝑦2 = 4
∴ (−𝟒,𝟎) , (𝟒,𝟎)

26. d) SIMETRÍA:
PLANO X: 𝑥(−𝑡) = 3 cos(−𝑡) = 3 cos(𝑡) ⇒ 𝑥(−𝑡) = 𝑥(𝑡)
PLANO Y: 𝑦(−𝑡) = 4 sin(−𝑡) = −4 sin(𝑡) ⇒ 𝑦(−𝑡) = −𝑦(𝑡)
PLANO XY: 𝑥(−𝑡) = 𝑥(𝑡) ∧ 𝑦(−𝑡) = −𝑦(𝑡) ⇒ C es SIMÉTRICA AL EJE X
Siendo 𝑓(𝑥) = 4√1 − 𝑥2
9
𝑓(−𝑥) = 4√1 −
(−𝑥)2
9
𝑓(−𝑥) = 4√1 −
𝑥2
9
𝑓(−𝑥) = 𝑓(𝑥) 𝑓 es PAR ⇒ C es SIMÉTRICA AL EJE Y
e) GRÁFICA DE LA CURVA:
𝑡 𝑥 𝑦
−2 −1.24 −3.64
−1 1.62 −3.37
1 1.62 3.37
2 −1.24 3.64

27. COORDENADAS POLARES
SISTEMAS DE COORDENADAS
Para conocer específicamente la posición de un punto, existe dos
tipos de sistemas de coordenadas:
COORDENADAS RECTANGULARES COORDENADAS POLARES
CONCEPTO DE COORDENADA POLAR
Es el PAR ORDENADO (𝑟, θ) de un punto P.
La posición del punto P en el plano se indica mediante coordenadas
polares en función de:
• La distancia OP (𝑟) llamada RADIO VECTOR
• El ángulo θ llamado ÁNGULO VECTORIAL, ÁNGULO POLAR o ARGUMENTO
ANGULAR medido DESDE EL EJE POLAR AL RADIO VECTOR.

28. POSITIVIDAD DE LOS ELEMENTOS:
Si el Radio Vector gira en:
• SENTIDO ANTIHORARIO: El ángulo θ es POSITIVO (+)
• SENTIDO HORARIO: El ángulo θ es NEGATIVO (−)
Las distancias medidas a lo largo del Radio Vector (𝑟) se definen
como:
• POSITIVO (+): Si se miden desde el polo EN EL MISMO SENTIDO
• NEGATIVO (−): Si se miden hasta el polo EN SENTIDO OPUESTO
REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE COORDENADAS POLARES
Se traza el Radio Vector (𝑟) desde el POLO (Origen de Coordenadas)
hasta el Punto P(𝑟, θ) una vez que se haya medido correctamente el
Ángulo Polar (θ) según el sentido y medida que se indique.
Si un punto tiene un Radio Vector Negativo, SE MIDE PRIMERO EL
ÁNGULO POLAR. Luego, se toma el Radio Vector en LA PROLONGACIÓN
DEL LADO FINAL.
La recta que pasa por el Polo PERPENDICULARMENTE AL EJE POLAR se
conoce como EJE NORMAL o EJE A 90°.
Ej. Graficar los puntos indicados: P1(4, π
4) ; P2(−4, π
4) y P3(−4, − π
4)

29. Ej. Graficar los puntos indicados: A(5, −210°) ; 𝐵(−3,60°) y 𝐶(−6, −135°)
OBSERVACIONES:
• Un punto en el Plano Coordenado determina UNO Y SOLAMENTE UN PUNTO,
no así un par de Coordenadas Polares (𝑟, θ).
• Las Coordenadas Polares suelen ser representas en la forma
(𝑟, θ ± 2𝑘 ⋅ π), donde 𝑘 ∈ Z, donde sus ángulos coterminales determinan la
MISMA DIRECCIÓN que θ, y 𝑟 es la DISTANCIA DESDE EL POLO en cada
caso.
En general, si (𝑟, θ) son las coordenadas de un punto P, entonces
son también representaciones del punto P, los puntos:
• (𝑟, θ ± 2𝑘 ⋅ π) ∨ (𝑟, θ ± 360° ⋅ 𝑘) donde 𝑘 ∈ Z
• (−𝑟, θ ± 𝑘 ⋅ π) ∨ (−𝑟, θ ± 180° ⋅ 𝑘) donde 𝑘 ∈ Z impar
Ej. Encuentre cuatro puntos equivalentes del punto P(4,π
3)
P(4,π
3) = P(4, π
3
+ 2π) = 𝐏 (𝟒, 𝟕𝛑
𝟑 ) (radio positivo)
P(4,π
3) = P(4, π
3
− 2π) = 𝐏 (𝟒, − 𝟓𝛑
𝟑 ) (radio positivo)
P(4,π
3) = P(−4, π
3
+ π) = 𝐏 (−𝟒, 𝟒𝛑
𝟑 ) (radio negativo)
P(4,π
3) = P(−4, π
3
− π) = 𝐏 (−𝟒, − 𝟐𝛑
𝟑 ) (radio negativo)

30. Ej. Determine cuatros puntos (2 con radio negativo) equivalentes
del punto E(5,120°):
Para representar puntos y curvas en Coordenadas Polares es
recomendable el uso de un GRADUADOR, un PAPEL POLAR o de un
RETÍCULO POLAR como se muestran en las siguientes figuras:
PAPEL POLAR MEDIDO EN GRADOS (°):

31. GRADUADOR TRIGONOMÉTRICO MEDIDO EN RADIANES (p):
RELACIÓN ENTRE COORDENADAS POLARES Y RECTANGULARES
Si P es un punto con coordenadas polares (𝑟, θ), las coordenadas
rectangulares (𝑥,𝑦) de P están dadas por:
𝑥 = 𝑟 ⋅ cos(θ) 𝑦 = 𝑟 ⋅ sin(θ)
𝑥2
+ 𝑦2
= 𝑟2
⇔ 𝑟 = ±√𝑥2 + 𝑦2
cos(θ) = ±
𝑥
√𝑥2 + 𝑦2
sin(θ) = ±
𝑦
√𝑥2 + 𝑦2
tan(θ) =
𝑦
𝑥
⇔ θ = ArcTan (
𝑦
𝑥)

32. Ej. Convertir a la forma polar el punto (−√6, √2)
𝑟 = √(−√6)
2
+ (√2)
2
tan(θ) =
𝑦
𝑥
𝑟 = √6 + 2 tan(θ) =
√2
−√6
𝑟 = 2√2 tan(θ) = − 1
√3
θ = tan−1
(−
√3
3 )
θ = 60° = π
3
Sol. El punto (−√𝟔, √𝟐) en la forma polar es (𝟐√𝟐, 𝟔𝟎°) o (𝟐√𝟐, 𝛑
𝟑)
Ej. Convertir a la forma polar el punto (8,π
6)
(8,
π
6) = (8,30°)
𝑥 = 𝑟 ⋅ cos(θ) ⇔ 𝑥 = 8 ⋅ cos(30°) ⇔ 𝑥 = 8 ⋅
√3
2
⇔ 𝑥 = 4√3
𝑦 = 𝑟 ⋅ sin(θ) ⇔ 𝑦 = 8 ⋅ sin(30°) ⇔ 𝑦 = 8 ⋅
1
2
⇔ 𝑦 = 4
Sol. El punto (𝟖,𝛑
𝟔) en la forma rectangular es (𝟒√𝟑, 𝟒)
Ej. Dado el lugar geométrico: 𝑟 = 1
2cos(θ) − 3sin(θ)
Convertir en la forma rectangular
𝑟 = 1
2cos(θ) − 3sin(θ)
𝑟(2 cos(θ) − 3 sin(θ)) = 1
2(𝑟 ⋅ cos(θ)) − 3(𝑟 ⋅ sin(θ)) = 1
2𝑥 − 3𝑦 = 1
Sol. El lugar geométrico 𝒓 = 𝟏
𝟐𝐜𝐨𝐬(𝛉) − 𝟑𝐬𝐢𝐧(𝛉)
en la forma rectangular
es 𝟐𝒙 − 𝟑𝒚 = 𝟏

33. Ej. Dado el lugar geométrico: 4𝑥𝑦 = 9
Convertir en la forma polar
4𝑥𝑦 = 9
4(𝑟 ⋅ cos(θ))(𝑟 ⋅ sin(θ)) = 9
4𝑟2
⋅ cos(θ) ⋅ sin(θ) = 9
𝑟2
= 9
4cos(θ) ⋅ sin(θ)
𝑟 = 3
2√sin(θ) ⋅ cos(θ)
Sol. El lugar geométrico 𝟒𝒙𝒚 = 𝟗 en la forma polar es 𝒓 = 𝟑
𝟐√𝐬𝐢𝐧(𝛉) ⋅ 𝐜𝐨𝐬(𝛉)
Ej. Dado el lugar geométrico: 𝑟 = 4 sin(θ)
Convertir en la forma rectangular
𝑟 = 4 sin(θ)
𝑟2
= 𝑟 ⋅ 4 sin(θ) (multiplicando ambos miembros por 𝑟)
𝑥2
+ 𝑦2
= 4 ⋅ (𝑟 ⋅ sin(θ))
𝑥2
+ 𝑦2
= 4𝑦
𝑥2
+ 𝑦2
− 4𝑦 + 4 = 4 (sumando ambos miembros por 4)
𝑥2
+ (𝑦 − 2)2
= 4
Sol. El lugar geométrico 𝒓 = 𝟒 𝐬𝐢𝐧(𝛉) en la forma rectangular es
𝒙𝟐
+ (𝒚 − 𝟐)𝟐
= 𝟒
OBSERVACIONES:
• Cuando se multiplica los dos miembros de una ecuación por el valor
de 𝑟, se corre el riesgo de que 𝑟 sea CERO (0). En este caso, SE
AÑADE EL POLO a la gráfica.
• Cuando se divide los dos miembros de una ecuación por el valor de
𝑟, se corre el riesgo de que 𝑟 sea CERO (0). En este caso, SE PUEDE
ELIMINAR EL POLO de la gráfica.

34. CURVAS POLARES
ROSAS:
Son gráficas de las ecuaciones 𝑟 = 𝑎 ⋅ cos(𝑛 ⋅ θ) ; 𝑟 = 𝑎 ⋅ sin(𝑛 ⋅ θ)
• Si 𝑛 es PAR, la rosa tendrá 2𝑛 pétalos
• Si 𝑛 es IMPAR, la rosa tendrá 𝑛 pétalos
𝑟 = 4 cos(4θ) 𝑟 = 3 sin(5θ)
𝑟 = −5 cos(3θ) 𝑟 = −4 sin(2θ)
CARACOLES O LIMACONES:
Son gráficas de las ecuaciones 𝑟 = 𝑎 ± 𝑏 ⋅ cos(θ) ; 𝑟 = 𝑎 ± 𝑏 ⋅ sin(θ)
Existen cuatro tipos de caracoles:
a) CARACOL CON LAZO INTERNO:
Caracol con razón 0 < 𝑎
𝑏
< 1
𝑟 = 2 + 4 cos(θ) ; 𝑟 = 2
4
= 0.5 𝑟 = 2 − 3 sin(θ) ; 𝑟 = 2
3
= 0.67

35. b) CARDIOIDE:
Caracol con razón
𝑎
𝑏
= 1
𝑟 = 3 − 3 cos(θ) ; 𝑟 = 3
3
= 1 𝑟 = 2 + 2 sin(θ) ; 𝑟 = 2
2
= 1
c) CARACOL CÓNCAVO (CON HENDIDURA):
Caracol con razón 1 < 𝑎
𝑏 < 2
𝑟 = 3 + 2 cos(θ) ; 𝑟 = 3
2
= 1.5 𝑟 = 4 + 3 sin(θ) ; 𝑟 = 4
3
= 1.33
d) CARACOL CONVEXO U OVALADO (SIN HENDIDURA):
Caracol con razón
𝑎
𝑏
≥ 2
𝑟 = 3 − 1 cos(θ) ; 𝑟 = 3
1
= 3 𝑟 = 4 − 2 sin(θ) ; 𝑟 = 4
2
= 2

36. LEMINSCATAS O LAZOS (FORMA DE 8):
Son gráficas de las ecuaciones 𝑟2
= 𝑎 ⋅ cos(2θ) ; 𝑟2
= 𝑎 ⋅ sin(2θ)
𝑟2
= 4 cos(2θ) 𝑟2
= 12 sin(2θ)
𝑟2
= −16 cos(2θ) 𝑟2
= −8 sin(2θ)
ESPIRAL DE ARQUÍMIDES:
Son gráficas de las ecuaciones 𝑟 = 𝑎 ⋅ θ
𝑟 = 0.25θ ; 0 ≤ θ ≤ 6π 𝑟 = −0.125θ ; 0 ≤ θ ≤ 10π

37. ECUACIONES POLARES TRIVIALES
ECUACIONES POLARES DE RECTAS:
θ = α Proveniente de la ecuación: 𝑦 = 𝑚𝑥
Recta que contiene el polo y forma un ángulo α con
el eje polar
𝑏 = 𝑟 ⋅ sin(θ) Proveniente de la ecuación: 𝑦 = 𝑏
Recta paralela al eje polar con ordenada al origen
𝑏
𝑎 = 𝑟 ⋅ cos(θ) Proveniente de la ecuación: 𝑥 = 𝑎
Recta paralela al eje normal con abscisa al origen
𝑎
ECUACIONES POLARES DE CIRCUNFERENCIAS:
𝑟 = 𝑘 Proveniente de la ecuación: 𝑥2
+ 𝑦2
= 𝑘2
Circunferencia con centro en el polo y radio |𝑘|
𝑟 = 2𝑎 ⋅ cos(θ) Proveniente de la ecuación: (𝑥 − 𝑎)2
+ 𝑦2
= 𝑎2
Circunferencia de radio |𝑎|, tangente al eje normal
con centro en el eje polar o en su prolongación
𝑟 = 2𝑏 ⋅ sin(θ) Proveniente de la ecuación: 𝑥2
+ (𝑦 − 𝑏)2
= 𝑏2
Circunferencia de radio |𝑏|, tangente al eje polar
con centro en el eje normal o en su prolongación

38. TANGENTES EN EL ORIGEN
Estas rectas se calculan haciendo 𝑟 = 0 y se procede a resolver la
ecuación trigonométrica.
Ej. Hallar las tangentes en el origen de la curva 𝑟 = 3 cos(2θ)
𝑟 = 0 ⇒ 0 = 3 cos(2θ)
3 cos(2θ) = 0
cos(2θ) = 0
2θ = cos−1
(0)
2θ = π
2
∨ 2θ = 3π
2
(soluciones particulares)
θ = π
4
∨ θ = 3π
4
Sol. Las tangentes en el origen son 𝛉 = 𝛑
𝟒
y 𝛉 = 𝟑𝛑
𝟒
Ej. Hallar las tangentes en el origen de la curva 𝑟 = 1 − 2 sin(θ)
𝑟 = 0 ⇒ 0 = 1 − 2 sin(θ)
−1 = −2 sin(θ)
2 sin(θ) = 1
sin(θ) = 1
2

39. θ = π
6
∨ θ = 5π
6
(soluciones particulares)
Sol. Las tangentes en el origen son 𝛉 = 𝛑
𝟔
y 𝛉 = 𝟓𝛑
𝟔
GRAFICACIÓN DE ECUACIONES POLARES
La gráfica de una ecuación polar 𝑟 = 𝑓(θ) es el CONJUNTO DE TODOS
LOS PUNTOS P(𝑟, θ) en el plano donde tiene por lo menos un PAR
ORDENADO (𝑟, θ) que satisfacen a la ecuación dada.
Para construir una curva en coordenadas polares, se emplea los
siguientes parámetros:
a) PUNTOS DE CORTE
• CON EL EJE POLAR:
Se obtiene resolviendo la ecuación polar dada para 𝑟, cuando a θ
se le asigna sucesivamente los valores θ = 𝑛 ⋅ π ; ∀𝑛 ∈ Z
• CON EL EJE NORMAL:
Se obtiene resolviendo la ecuación polar dada para 𝑟, cuando a θ
se le asigna sucesivamente los valores θ = π
2
+ 𝑛 ⋅ π ; ∀𝑛 ∈ Z

40. b) SIMETRÍA
El análisis se lo realiza aplicando las siguientes reglas de simetría:
• SIMETRÍA CON EL EJE POLAR: 𝑓(𝑟, −θ) = 𝑓(𝑟, θ)
• SIMETRÍA CON EL EJE NORMAL: 𝑓(𝑟, π − θ) = 𝑓(𝑟, θ)
• SIMETRÍA CON EL POLO: 𝑓(𝑟, π + θ) = 𝑓(𝑟, θ)
c) TABLA DE VALORES
Dando valores a θ, podemos obtener un número suficiente de puntos para
obtener una gráfica adecuada. Por lo general, se toman los valores de
θ a intervalos de 15° o 30°.
Ej. Graficar la ecuación polar 𝑟 = 1 − sin(θ)
a) PUNTOS DE CORTE
Si θ = 0: 𝑟 = 1 − sin(0)
𝑟 = 1 − sin(0°)
𝑟 = 1 − 0
𝑟 = 1 (1,0°)
Si θ = π
2
: 𝑟 = 1 − sin(
π
2)
𝑟 = 1 − sin(90°)
𝑟 = 1 − 1
𝑟 = 0 (0,90°)
Si θ = π: 𝑟 = 1 − sin(π)
𝑟 = 1 − sin(180°)
𝑟 = 1 − 0
𝑟 = 1 (1,180°)
Si θ = 3π
2
: 𝑟 = 1 − sin (
3π
2 )
𝑟 = 1 − sin(270°)
𝑟 = 1 − (−1)
𝑟 = 2 (2,270°)

41. b) SIMETRÍA:
• EJE POLAR: 𝑟 = 1 − sin(−θ)
𝑟 = 1 + sin(θ)
𝑓(𝑟, −θ) ≠ 𝑓(𝑟, θ) ⇒ NO HAY SIMETRÍA CON EL EJE POLAR
• EJE NORMAL: 𝑟 = 1 − sin(π − θ)
𝑟 = 1 − sin(180° − θ)
𝑟 = 1 − (sin(180°) ⋅ cos(θ) − sin(θ) ⋅ cos(180°))
𝑟 = 1 − (0 ⋅ cos(θ) − sin(θ)(−1))
𝑟 = 1 − sin(θ)
𝑓(𝑟, π − θ) = 𝑓(𝑟, θ) ⇒ HAY SIMETRÍA CON EL EJE NORMAL
• POLO: 𝑟 = 1 − sin(π + θ)
𝑟 = 1 − sin(180° + θ)
𝑟 = 1 − (sin(180°) ⋅ cos(θ) + sin(θ) ⋅ cos(180°))
𝑟 = 1 − (0 ⋅ cos(θ) + sin(θ) ⋅ (−1))
𝑟 = 1 + sin(θ)
𝑓(𝑟, π − θ) ≠ 𝑓(𝑟, θ) ⇒ NO HAY SIMETRÍA CON EL POLO
c) TABLAS DE VALORES:
θ 𝑟 = 1 − sin(θ) θ 𝑟 = 1 − sin(θ)
0° 1 210° 1.5
30° 0.5 240° 1.86
60° 0.13 270° 2
90° 0 300° 1.86
120° 0.13 330° 1.5
150° 0.5 360° 1
180° 1

42. d) GRÁFICA DE LA ECUACIÓN:
Ej. Dada la ecuación polar: 𝑟 = 3 cos(2θ)
a) Grafique la curva
b) Halle las ecuaciones de las tangentes en el origen
a) Para graficar la curva, se debe hallar sus elementos:
PUNTOS DE CORTE
Si θ = 0: 𝑟 = 3 cos(2θ)
𝑟 = 3 cos(2 ⋅ 0)
𝑟 = 3 cos(0)
𝑟 = 3 cos(0°)
𝑟 = 3(1)
𝑟 = 3 (3,0°)

43. Si θ = π
2
: 𝑟 = 3 cos(2 ⋅ π
2)
𝑟 = 3 cos(π)
𝑟 = 3 cos(180°)
𝑟 = 3(−1)
𝑟 = −3 (−3,90°)
Si θ = π: 𝑟 = 3 cos(2 ⋅ π)
𝑟 = 3 cos(2π)
𝑟 = 3 cos(360°)
𝑟 = 3 cos(0°)
𝑟 = 3(1)
𝑟 = 3 (3,180°)
Si θ = 3π
2
: 𝑟 = 3 cos (2 ⋅ 3π
2 )
𝑟 = 3 cos(3π)
𝑟 = 3 cos(540°)
𝑟 = 3 cos(180°)
𝑟 = 3(−1)
𝑟 = −3 (−3,270°)
SIMETRÍA:
• EJE POLAR: 𝑟 = 3 cos(2(−θ))
𝑟 = 3 cos(−2θ)
𝑟 = 3 cos(2θ)
𝑓(𝑟, −θ) = 𝑓(𝑟, θ) ⇒ HAY SIMETRÍA CON EL EJE POLAR

44. • EJE NORMAL: 𝑟 = 3 cos(2(π − θ))
𝑟 = 3 cos(2π − 2θ)
𝑟 = 3 cos(360° − 2θ)
𝑟 = 3(cos(360°) ⋅ cos(2θ) + sin(θ) ⋅ sin(360°))
𝑟 = 3(1 ⋅ cos(2θ) + sin(θ) ⋅ 0)
𝑟 = 3(cos(2θ))
𝑟 = 3 cos(2θ)
𝑓(𝑟, π − θ) = 𝑓(𝑟, θ) ⇒ HAY SIMETRÍA CON EL EJE NORMAL
• POLO: 𝑟 = 3 cos(2(π + θ))
𝑟 = 3 cos(2π + 2θ)
𝑟 = 3 cos(360° + 2θ)
𝑟 = 3(cos(360°) ⋅ cos(2θ) − sin(θ) ⋅ sin(360°))
𝑟 = 3(1 ⋅ cos(2θ) − sin(θ) ⋅ 0)
𝑟 = 3(cos(2θ))
𝑟 = 3 cos(2θ)
𝑓(𝑟, π − θ) = 𝑓(𝑟, θ) ⇒ HAY SIMETRÍA CON EL POLO
TABLAS DE VALORES:
θ 𝑟 = 3 cos(2θ) θ 𝑟 = 3 cos(2θ) θ 𝑟 = 3 cos(2θ)
0° 3 135° 0 255° −2.6
15° 2.6 150° 1.5 270° −3
30° 1.5 165° 2.6 285° −2.6
45° 0 180° 3 300° −1.5
60° −1.5 195° 2.6 315° 0
75° −2.6 210° 1.5 330° 1.5
90° −3 225° 0 345° 2.6
105° −2.6 240° −1.5 360° 3
120° −1.5

45. GRÁFICA DE LA ECUACIÓN:
b) Se halla las tangentes en el origen:
𝑟 = 0 ⇒ 0 = 3 cos(2θ)
cos(2θ) = 0
2θ = cos−1
(0)
2θ = π
2
∨ 2θ = 3π
2
(soluciones particulares)
θ = π
4
∨ θ = 3π
4
Sol. Las tangentes en el origen son 𝛉 = 𝛑
𝟒
y 𝛉 = 𝟑𝛑
𝟒