comprobacion numerica de teorema de cauchy-gourmet para funcion analitica, resolviendo integrales de linea sobre rectas en coordenadas rectangulares y en coordenadas polares, demostración por inducción de la analiticidad de desarrollo de Taylor mediante función producto.

1. [1]
Teorema de Cauchy-Goursat Ejemplo numérico
Teorema de Cauchy-Goursat
By Hector L. Cervantes C.
Abstract.- Ejemplo numérico de integración de línea de 𝑓(𝑧) = 𝑧2, sobre triangulo en torno al punto (2, 𝑖) en coordenadas
rectangulares, y comprobación numérica en coordenadas polares que incluye la parametrización de la recta para tramo 𝐶1,
utilizando traslación de ejes al vértice (1) y también, parametrizando la recta 𝐶1 en su posición a ejes coordenados originales,
demostración de teorema para poliedro cualquiera irregular utilizando inducción matemática para función 𝑓(𝑧) = 𝑧 𝑛
.
Introducción.- El teorema de Cauchy-Goursat es normalmente explicado para integrales de línea sobre un
círculo, y parece un tanto particularizante para esa línea cerrada, pero por inducción matemática haciendo uso
de integración por partes se puede extender esa demostración para cualquier conjunto de líneas rectas que
envuelvan el punto deseado.
EJERCICIO DE COMPROBACIÓN NUMÉRICA DEL TEOREMA DE CAUCHY-GOURSAT
𝑓(𝑧) = 𝑧2
punto escogido es: (𝟐, 𝒊) El contorno es el triángulo mostrado
PARAMETRIZACIÓN DE LAS RECTAS DEL CONTORNO
Cristo cabe mencionar que las líneas ó línea del contorno debe estar parametrizado siempre para
poder hacer la integral de línea.
𝑟𝐶1
(𝑡) − 𝑟(1) = 𝑡(𝑟(2) − 𝑟(1)) ∴ 𝑟𝐶1
(𝑡) = (1 − 𝑡)𝑟(1) + 𝑡𝑟2
𝑟1(𝑡) = (1 − 𝑡)(3,0.5) + 𝑡(2,2) 𝑝𝑎𝑟𝑎 0 ≤ 𝑡 ≤ 1 𝑑𝑒 𝐶1
𝑟2(𝑡) = (2 − 𝑡)(2,2) + (𝑡 − 1)(1,0.5) 𝑝𝑎𝑟𝑎 1 ≤ 𝑡 ≤ 2 𝑑𝑒 𝐶2
𝑟3(𝑡) = (3 − 𝑡)(1,0.5) + (𝑡 − 2)(3,0.5) 𝑝𝑎𝑟𝑎 2 ≤ 𝑡 ≤ 3 𝑑𝑒 𝐶3
Simplificando
𝑟1(𝑡) = (3 − 𝑡, 0.5 + 1.5𝑡)
𝑥 = 3 − 𝑡; 𝑑𝑥 = −𝑑𝑡
𝑦 = 0.5 + 1.5𝑡; 𝑑𝑦 = 1.5𝑑𝑡

2. [2]
Teorema de Cauchy-Goursat Ejemplo numérico
𝑟2(𝑡) = (3 − 𝑡, −1.5𝑡 + 3.5)
𝑥 = 3 − 𝑡; 𝑑𝑥 = −𝑑𝑡
𝑦 = −1.5𝑡 + 3.5; 𝑑𝑦 = −1.5𝑑𝑡
𝑟3(𝑡) = (2𝑡 − 3,0.5)
𝑥 = 2𝑡 − 3; 𝑑𝑥 = 2𝑑𝑡
𝑦 = 0.5; 𝑑𝑦 = 0
Nota: el rango de variación del parámetro t, para cada recta, es de suma importancia, ya que es el
rango de integración.
Como 𝑓(𝑧) = 𝑧2
; z= 𝑥 + 𝑦𝑖 ∴ 𝑓(𝑥, 𝑦) = (𝑥 + 𝑦𝑖)2
= (𝑥2
− 𝑦2) + (2𝑥𝑦)𝑖
∫ 𝐶
𝑓(𝑧)𝑑𝑧 = ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦) (𝑑𝑥 + 𝑖𝑑𝑦)
𝑖+1
𝑖
∫ 𝐶
𝑓(𝑧)𝑑𝑧 = ∮ [(𝑥2
− 𝑦2)𝑑𝑥 − (2𝑥𝑦)𝑑𝑦] + 𝑖[(𝑥2
− 𝑦2)𝑑𝑦 + (2𝑥𝑦)𝑑𝑥]
𝑡=𝑖+1
𝐶𝑖,𝑡=𝑖
(1)
Integrando numéricamente por computadora con la regla trapezoidal para 5,000
tramos, y para cada segmento de recta, sustituyendo anteriormente a cada
integración, las variables (x,y) parametrizada de acuerdo a la parametrización
anterior, obtenemos:
∫ 𝐶1
= −13.583333 + 0.875𝑖
∫ 𝐶2
= 5.4166666 − 4.875𝑖
∫ 𝐶3
= 8.166666 + 4𝑖
∑ ∫ 𝐶𝑖
≈ −0.0000004 + 0𝑖
Cristo este es un resultado esperado de acuerdo con el teorema de
Cauchy-Goursat
CALCULO DEL TRAMO INTEGRAL PARA 𝑐1 UTILIZANDO COORDENADAS
RECTANGULARES
∫ 𝐶1
𝑓(𝑧)𝑑𝑧 = − ∫ (13.25 + 4.5𝑡 − 5.75𝑡2)𝑑𝑡 + 𝑖 ∫ (1.125𝑡2
− 19.25𝑡 + 10.125)𝑑𝑡
1
0
1
0
= −13.583333 + 0.875𝑖

3. [3]
Teorema de Cauchy-Goursat Ejemplo numérico
CALCULO DEL TRAMO INTEGRAL PARA 𝑐1 UTILIZANDO COORDENADAS POLARES
LOCALIZADA EN EL CENTRO ORIGINAL Y PARAMETRIZANDO EN POLARES.
La representación polar de una recta que no pasa por el origen, produce una parametrización
automática con el argumento del ángulo como parámetro.
Sea: d la distancia perpendicular de la recta al origen, formando un ángulo φ con eje horizontal
𝑟( 𝜃) =
𝑑
cos(𝜃−𝜑)
(1)
EL PRODUCTO PUNTO COMO AUXILIAR EN LA DETERMINACIÓN DE LA DISTANCIA d
Entonces tenemos que el producto interno es:
𝑒1,2 ∗ 𝑟2 = (−𝟎. 𝟓𝟓𝟒𝟕, 𝟎. 𝟖𝟑𝟐𝟎𝟓) ∗ (2, 2) = 0.5547
Así el valor obtenido 0.5547 es la proyección de 𝑟2 en la dirección (1)-(2) y por el teorema de
Pitágoras se obtiene 𝑑 = √(2.8284)2 − (0.5547)2
𝒅 = 𝟐. 𝟕𝟕𝟑𝟓 (2)
LA PENDIENTE DE LA RECTA (1)-(2) EN LA DETERMONACIÓN DEL ÁNGULO φ
Cristo el recíproco de signo contrario a la pendiente (1)-(2) será la pendiente de la recta d
Cristo hay que determinar tanto d como φ, la distancia es
perpendicular a la recta dada (en rojo)
El producto interno (producto punto) de un vector
unitario 1-2 al que llamo 𝑒1,2. Multiplicado por el
vector 𝑟2, me dará la distancia d que requiere la
ecuación polar (1).
𝑒1,2 =
(𝟐, 𝟐) − (𝟑, 𝟎. 𝟓)
√(2 − 3)2 + (2 − 0.5)2
= (−𝟎. 𝟓𝟓𝟒𝟕, 𝟎. 𝟖𝟑𝟐𝟎𝟓)

4. [4]
Teorema de Cauchy-Goursat Ejemplo numérico
tan 𝑟1,2 =
2 − 0.5
2 − 3
= −1.5
𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝒅 = − (
1
(−1.5)
) = tan 𝜑 = 1/1.5
𝝋 = 𝟑𝟑. 𝟔𝟗° = 𝟎. 𝟓𝟖𝟖𝑟𝑎𝑑 (3)
Cristo introduciendo (2) y (3) en (1) obtenemos la ecuación polar de la recta (1)-(2) buscada.
𝑟𝐶1
(𝜃) =
2.7735
cos(𝜃 − 0.588)
= 𝜌(𝜃)
(4)
Cristo la forma polar de 𝑧 = 𝜌𝑒 𝑖𝜃
, y con la parametrización polar de 𝑟𝐶1
(𝜃) = 𝜌(𝜃) ya
podemos integrar a lo largo de la recta 𝐶1 respecto del parámetro θ.
𝑧2
= 𝜌2
𝑒 𝑖2𝜃
(5)
y como 𝑑𝑧 = 𝑑(𝜌𝑒 𝑖𝜃
) =
𝑑
𝑑𝜌
(𝜌𝑒 𝑖𝜃
)𝑑𝜌 +
𝑑
𝑑𝜃
(𝜌𝑒 𝑖𝜃
)𝑑𝜃
Así 𝑑𝑧 = 𝑒 𝑖𝜃
𝑑𝜌 + 𝑖𝜌𝑒 𝑖𝜃
𝑑𝜃 (6)
Insertando (5) y (6); ∫ 𝐶1
𝑧2
𝑑𝑧 = ∫ 𝐶1
𝜌2
𝑒 𝑖2𝜃
(𝑒 𝑖𝜃
𝑑𝜌 + 𝑖𝜌𝑒 𝑖𝜃
𝑑𝜃)
Así ∫ 𝐶1
𝑧2
𝑑𝑧 = ∫ 𝐶1
𝜌2
𝑒 𝑖3𝜃
𝑑𝜌 + 𝑖𝜌3
𝑒3𝑖𝜃
𝑑𝜃 (7)
CALCULO DE 𝒅𝝆 A PARTIR DE LA FORMA PARAMETRIZADA (4)
2.7735
cos(𝜃 − 0.588)
= 𝜌(𝜃) = 2.7735 sec(𝜃 − 0.588)
De esta relación 𝑑𝜌 = 2.7735 {
𝑑
𝑑𝜃
sec(𝜃 − 0.588)} 𝑑𝜃
O sea 𝑑𝜌 = 2.7735 sec(𝜃 − 0.588) tan(𝜃 − 0.588)𝑑𝜃 (8)
𝜌(𝜃)
2
= (2.7735)2
𝑠𝑒𝑐2(𝜃 − 0.588) (9)
𝜌(𝜃)
3
= (2.7735)3
𝑠𝑒𝑐3(𝜃 − 0.588) (10)
Como 𝑒3𝑖𝜃
= cos 3𝜃 + 𝑖 sin 3𝜃 (11)
∫ 𝐶1
𝑧2 𝑑𝑧 = (2.7735)
3
∫ 𝑠𝑒𝑐3( 𝜃 − 0.588)
𝜃2
𝜃1
tan( 𝜃 − 0.588)(cos3𝜃+ 𝑖sin3𝜃) 𝑑𝜃

5. [5]
Teorema de Cauchy-Goursat Ejemplo numérico
+𝑖(2.7735)3
∫ 𝑠𝑒𝑐3(𝜃 − 0.588)(cos 3𝜃 + 𝑖 sin 3𝜃)𝑑𝜃
𝜃2
𝜃1
CALCULANDO LOS LÍMITES DE INTEGRACIÓN
tan 𝜃1 =
0.5
3
= 0.166666 ∴ 𝜃1 = 9.6392° = 0.165148𝑟𝑎𝑑
tan 𝜃2 =
2
2
= 1 ∴ 𝜃2 = 45° =
𝜋
4
= 0.7854𝑟𝑎𝑑
RESULTADO NUMERICO DE LA INTEGRACIÓN
∫ 𝐶1
𝑧2
𝑑𝑧 = {−1.60833 − 1.3285𝑖} + 𝑖{11.97447𝑖 + 2.20301} =
∫ 𝐶1
𝑧2
𝑑𝑧 = −13.5828 + 0.87451𝑖
Cristo este es un valor esperado que concordó con el resultado obtenido por
coordenadas rectangulares.
CALCULO DEL MISMO TRAMO DE INTEGRACIÓN C1 UTILIZANDO TRASLACIÓN DE
POLARES AL PUNTO (3, 0.5)
𝑓(𝑧) = 𝑧2
= {[𝑧 − (3, 0.5𝑖)] + (3, 0.5𝑖)}2
= [𝜁 + (3,0.5𝑖)]2
Donde: 𝜁 = 𝑧 − (3,0.5𝑖) ∴ 𝑑𝑧 = 𝑑𝜁
Entonces simplificando tenemos:
𝑓(𝑧) = [𝜁 + (3,0.5𝑖)]2
= 𝜁2
+ 2(3,0.5𝑖)𝜁 + (3,0.5𝑖)2

6. [6]
Teorema de Cauchy-Goursat Ejemplo numérico
𝑓(𝑧) = 𝜁2
+ (6, 𝑖)𝜁 + (8.75,3𝑖)
∫ 𝐶1
𝑓(𝑧)𝑑𝑧 = ∫ 𝐶1
𝜁2
𝑑𝜁 + (6, 𝑖)∫ 𝐶1
𝜁 𝑑𝜁 + (8.75,3𝑖)∫ 𝐶1
𝑑𝜁 (12)
Cristo en este caso la variable θ se convierte en constante para el tramo de recta C1
FORMA POLAR DE ζ
𝜁 = 𝜌𝑒 𝑖𝜃
∴ 𝑑𝜁 = 𝑒 𝑖𝜃
𝑑𝜌, 𝑎 𝑙𝑜 𝑙𝑎𝑟𝑔𝑜 𝑑𝑒 𝐶1,
𝜃 = 180° − 56.3099° = 𝟏𝟐𝟑. 𝟔𝟗° .
INTEGRACIÓN TÉRMINO A TÉRMINO DE (12)
∫ 𝐶1
𝜁2
𝑑𝜁 = ∫ 𝜌2
𝑒3𝑖𝜃
𝑑𝜌 = 𝑒3𝑖𝜃
∫ 𝜌2
𝑑𝜌
1.802775
0
|𝑟1−2|
0
∫ 𝐶1
𝜁2
𝑑𝜁 =
(cos 3𝜃 + 𝑖 sin 3𝜃)
3
𝜌3
⎹
1.802775
0
=
=
(1.802775)3
3
{cos[3(𝟏𝟐𝟑. 𝟔𝟗°)] + 𝑖 sin[3(𝟏𝟐𝟑. 𝟔𝟗°)]} =
∫ 𝐶1
𝜁2
𝑑𝜁 = 1.953(cos 11.07° + 𝑖 sin 11.07°) = 1.916659 + 0.37499𝑖
(13)
Cristo análogamente se obtiene también: ∫ 𝐶1
𝜁 𝑑𝜁 = −0.625 − 1.49999𝑖 (14)
∫ 𝐶1
𝑑𝜁 = 1.802775(cos 123.69° + 𝑖 sin 123.69°) = −1 + 1.49999𝑖 (15)
Cristo ahora inserto valores (15), (14) y (13) en (12)
∫ 𝐶1
𝑓(𝑧)𝑑𝑧 = −13.5833 + 0.87499𝑖
Cristo este es el mismo resultado obtenido para ese tramo por los dos
procedimientos anteriores, es por tanto, un resultado esperado.
PRUEBA POR INDUCCIÓN DE LA ANALITICIDAD DEL DESARROLLO DE TAYLOR
Cristo esta demostración se realiza mediante dos funciones analíticas conocidas y simples que
previamente se demuestra son analíticas, entonces su producto será también una función analítica.
Sean 𝑓1(𝑧), 𝑓2(𝑧) dos funciones analíticas y por lo tanto exactas, entonces cumplen lo siguiente:

7. [7]
Teorema de Cauchy-Goursat Ejemplo numérico
𝑓1(𝑧) = 𝑢1(𝑥, 𝑦) + 𝑣1(𝑥, 𝑦)𝑖
𝑓2(𝑧) = 𝑢2(𝑥, 𝑦) + 𝑣2(𝑥, 𝑦)𝑖
; ∴
𝜕𝑢1
𝜕𝑥
=
𝜕𝑣1
𝜕𝑦
;
𝜕𝑢1
𝜕𝑦
= −
𝜕𝑣1
𝜕𝑥
𝜕𝑢2
𝜕𝑥
=
𝜕𝑣2
𝜕𝑦
;
𝜕𝑢2
𝜕𝑦
= −
𝜕𝑣2
𝜕𝑥
Cristo estas son condiciones presupuestas para estas dos funciones y lo que se demostrará es que
el producto de esas dos funciones también será analítica, entonces por inducción la serie de Taylor
será también analítica en su totalidad.
Sea 𝑓3 = 𝑓1 ∙ 𝑓2 ∴ 𝑓3 = (𝑢1 + 𝑣1 𝑖) ∗ (𝑢2 + 𝑣2 𝑖)
𝑓3 = (𝑢1 𝑢2 − 𝑣1 𝑣2) + (𝑢1 𝑣2 + 𝑣1 𝑢2)𝑖 (16)
Cristo ahora analizo la analiticidad de (16) de acuerdo a las suposiciones anteriores.
𝜕
𝜕𝑥
(𝑢1 𝑢2 − 𝑣1 𝑣2) = 𝑢2
𝜕𝑢1
𝜕𝑥
+ 𝑢1
𝜕𝑢2
𝜕𝑥
− 𝑣1
𝜕𝑣2
𝜕𝑥
− 𝑣2
𝜕𝑣1
𝜕𝑥
(17)
𝜕
𝜕𝑦
(𝒖 𝟏 𝒗 𝟐 + 𝒗 𝟏 𝒖 𝟐) = 𝑢1
𝜕𝑣2
𝜕𝑦
+ 𝑣2
𝜕𝑢1
𝜕𝑦
+ 𝑣1
𝜕𝑢2
𝜕𝑦
+ 𝑢2
𝜕𝑣1
𝜕𝑦
(18)
Cristo ahora introduzco condiciones de analíticas en (18) y (17)
Llamando: 𝑢3 = 𝑢1 𝑢2 − 𝑣1 𝑣2; 𝑣3 = 𝒖 𝟏 𝒗 𝟐 + 𝒗 𝟏 𝒖 𝟐 ; (19)
entonces re-escribiendo (17)
𝜕𝑢3
𝜕𝑥
= 𝑢2 (
𝜕𝑣1
𝜕𝑦
) + 𝑢1 (
𝜕𝑣2
𝜕𝑦
) − 𝑣1 (−
𝜕𝑢2
𝜕𝑦
) − 𝑣2 (−
𝜕𝑢1
𝜕𝑦
)
𝜕𝑢3
𝜕𝑥
= 𝑢2 (
𝜕𝑣1
𝜕𝑦
) + 𝑢1 (
𝜕𝑣2
𝜕𝑦
) + 𝑣1 (
𝜕𝑢2
𝜕𝑦
) + 𝑣2 (
𝜕𝑢1
𝜕𝑦
) (20)
Cristo comparando (20) con (18) vemos que son idénticas, lo que significa que la primer condición
de ser analítica para 𝑓3 se cumplió ya que:
𝜕𝑢3
𝜕𝑥
=
𝝏𝒗 𝟑
𝝏𝒚
Cristo ahora verifico la segunda condición de analiticidad para la función 𝑓3 = 𝑢3 + 𝑣3 𝑖
Segunda condición:
𝜕𝑢3
𝜕𝑦
= −
𝜕𝑣3
𝜕𝑥
(21)
De (19) aplicando (21) tenemos:
𝜕𝑢3
𝜕𝑦
= 𝑢2
𝜕𝑢1
𝜕𝑦
+ 𝑢1
𝜕𝑢2
𝜕𝑦
− 𝑣1
𝜕𝑣2
𝜕𝑦
− 𝑣2
𝜕𝑣1
𝜕𝑦
(23)

8. [8]
Teorema de Cauchy-Goursat Ejemplo numérico
𝜕𝑣3
𝜕𝑥
= 𝑢2 (
𝜕𝑣1
𝜕𝑥
) + 𝑢1 (
𝜕𝑣2
𝜕𝑥
) + 𝑣1 (
𝜕𝑢2
𝜕𝑥
) + 𝑣2 (
𝜕𝑢1
𝜕𝑥
)
(24)
Aplicando condiciones para las funciones f1 , f2 tenemos en (23):
𝜕𝑢3
𝜕𝑦
= 𝑢2 (−
𝜕𝑣1
𝜕𝑥
) + 𝑢1 (−
𝜕𝑣2
𝜕𝑥
) − 𝑣1
𝜕𝑣2
𝜕𝑦
− 𝑣2
𝜕𝑣1
𝜕𝑦
(25)
Comparando (24) con (25) vemos que:
𝜕𝑣3
𝜕𝑥
= −
𝜕𝑢3
𝜕𝑦
(26)
Cristo la condición (26) es precisamente la segunda condición de
analiticidad para la función f3
Cristo como conclusión por inducción matemática el polinomio de Taylor es totalmente analítico.
∑ 𝑎 𝑛 𝑥 𝑛
= 𝑓(𝑥)
∞
𝑛=0
𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎𝑛𝑎𝑙í𝑡𝑖𝑐𝑜.