2. Parte I: Determine la ecuación de la recta tangente de la siguiente función en el punto
indicado .
a) 𝒚 = 𝒙𝟐 − 𝒙 + 𝟏 , 𝑃(0,1)
Solución:
𝒅𝒚
𝒅𝒙
=
𝒅
𝒅𝒙
𝒙𝟐 − 𝒙 + 𝟏
𝒇,(𝒙) = 𝟐𝒙 − 𝟏
𝑚 = 𝑓,(𝑥)
𝒇,(𝟎) = 𝟐(𝟎) − 𝟏
𝒇,
(𝟎) = −𝟏
𝑚 = −1
𝒚 − 𝒚𝟏 = 𝒎(𝒙 − 𝒙𝟏)
𝒚 − 𝟏 = −𝟏(𝒙 − 𝟎)
𝒚 − 𝟏 = −𝒙
𝒙 + 𝒚 − 𝟏 = 𝟎
Ecuación de la recta
tangente
3. PARTE II Encuentra las ecuaciones de la recta tangente y la curva normal, a la curva dada
en el punto especificado.
e) La ecuación de la recta tangente a la gráfica 𝑦 = 𝑙𝑛(𝑥) + 𝑥 que es paralela a la recta
con ecuación: 4𝑥 − 2𝑦 + 1 = 0
4𝑥 − 2𝑦 + 1 = 0
m = −
𝑎
𝑏
𝑚 = 2
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑑
𝑑𝑥
ln 𝑥 + 𝑥
𝑦,
(𝑥) =
𝑑
𝑑𝑥
ln 𝑥 +
𝑑
𝑑𝑥
𝑥
𝑦,
(𝑥) =
1
𝑥
+ 1
Encontramos la pendiente Derivamos la función. 𝑚 = 𝑓,(𝑥)
2 =
1
𝑥
+ 1
2 − 1 =
1
𝑥
1 =
1
𝑥
𝑥 = 1
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0
m = −
4
−2
5. PARTE III Para cada función, determine la razón media de cambio entre los valores
de la variable que se indican.
c) Para la función 𝑝 = 0.0015𝑞3 + 0.05𝑞2 + 5
encuentre la razón instantánea de cambio cuando 𝑞 =10
Derivamos p
𝑝′(𝑞) = 0.0015(3)𝑞2
+ 0.05 2 𝑞
𝑑𝑝
𝑑𝑞
=
𝑑
𝑑𝑞
0.0015𝑞3 + 0.05𝑞2 + 5
𝑝′(𝑞) = 0.0045𝑞2 + 0.1𝑞
Para q = 10 se tiene:
𝑝′(10) = 0.0045 10 2 + 0.1(10)
𝑝′ 10 = 1.45
Razón instantánea de cambio
Solución:
6. PARTE IV: Resolver los siguientes problemas
2) Para la función de costo 𝐶 𝑥 = 8𝑥 + 4𝑥𝑒−3𝑥. Determine:
a) al producir 3 unidades ¿Cuál es el costo medio por unidad?
b) el costo marginal
c) ¿Cuál es el costo aproximado de producir la unidad número 4?
Solución:
a) ത
C(x) =
𝐶(𝑥)
𝑥
ത
C(x) =
8𝑥 + 4𝑥𝑒−3𝑥
𝑥
ത
C x =
8𝑥
𝑥
+
4𝑥𝑒−3𝑥
𝑥
ത
C x = 8 + 4𝑒−3𝑥
ത
C x = 8 + 4𝑒−3𝑥
ത
C 3 = 8 + 4𝑒−3(3)
ത
C 3 = $ 8.0005
Costo medio por unidad al
producir 3 unidades