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Estudiante Facultad de Ciencias UNAM
5 de Dec de 2017โ€ขโ€ข
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  1. ๐‘ฅ2 = โˆ’1 Nรบmeroscomplejos ๐‘Ž + ๐‘๐‘– ๐‘Ž, ๐‘๐œ–โ„ ๐‘– โˆ’ ๐‘ข๐‘›๐‘–๐‘‘๐‘Ž๐‘‘ ๐‘–๐‘š๐‘Ž๐‘”๐‘–๐‘›๐‘Ž๐‘Ÿ๐‘–๐‘Ž Igualdadde nรบmeroscomplejos โˆ’๐‘Ž + ๐‘๐‘– = ๐‘ + ๐‘‘๐‘– ๐‘ ๐‘– ๐‘ฆ ๐‘ ๐‘œ๐‘™๐‘œ ๐‘ ๐‘– ๐‘Ž = ๐‘ ๐‘ = ๐‘‘ โˆ’( ๐‘Ž + ๐‘๐‘–) + ( ๐‘ + ๐‘‘๐‘–) = ( ๐‘Ž + ๐‘) + (( ๐‘‘ + ๐‘) ๐‘–) โˆ’( ๐‘Ž + ๐‘๐‘–) + ( ๐‘ + ๐‘‘๐‘–) = ( ๐‘Ž๐‘ โˆ’ ๐‘๐‘‘) + ( ๐‘Ž๐‘‘ + ๐‘๐‘)๐‘– ๐‘–2 = (0 + ๐‘–)(0 + ๐‘–) = (0 โˆ™ 0 โˆ’ 1 โˆ™ 1) + (0 โˆ™ 1 + 1 โˆ™ 0) = โˆ’1 ๐‘–2 = โˆ’1 Realizarlassiguientesoperacionesyescribircadaresultadoenlaforma(a+bi) a) (2+3i)+(5-i)=7+2i b) (4-i)-(1+2i)=3-3i c) (3-2i)(4+3i)=12+9i-8i+6=18+i d) 3 + 2๐‘– 5 + 2๐‘– โˆ™ 5 + 2๐‘– 5 + 2๐‘– โˆ™ 5 โˆ’ 2๐‘– 5 โˆ’ 2๐‘– = 15 โˆ’ 6๐‘– + 10๐‘– + 4 25 + 4 = 15 + 4๐‘– โˆ’ 4(โˆ’1) 25 โˆ’ (4)(โˆ’1) = 15 + 4๐‘– + 4 25 + 4 = 19 + 4๐‘– 29 = 19 29 + 4 29 ๐‘– a) (3+2i)+(6-4i)=9-2i b) (3-5i)-(1-3i)=2-2i c) (2-4i)(3+2i)=6+6i-12i+8=6-6i+8=14-8i d) 2 + 4๐‘– 3 + 2๐‘– ; 2 + 4๐‘– 3 + 2๐‘– โˆ™ 3 โˆ’ 2๐‘– 3 โˆ’ 2๐‘– = 6 โˆ’ 4๐‘– + 12๐‘– โˆ’ 8๐‘–2 9 โˆ’ 4๐‘–2 = 6 โˆ’ 8๐‘– + 8 9 + 4 = 14 โˆ’ 8๐‘– 15 = 14 15 โˆ’ 8 15 ๐‘– a) (3 โˆ’ 2๐‘–)2 โˆ’ 6(3 โˆ’ 2๐‘–) + 13 = 9 โˆ’ 12๐‘– + ๐‘–2 โˆ’ 18 + 12๐‘– + 13 = 22 โˆ’ 4 โˆ’ 1 = 0 b) 2 โˆ’ 3๐‘– 2๐‘– ; 2 โˆ’ 3๐‘– 2๐‘– โˆ™ ๐‘– ๐‘– = 2๐‘– + 3 โˆ’2 = โˆ’๐‘– โˆ’ 3 2 = โˆ’ 3 2 โˆ’ ๐‘– a) (3 + 2๐‘–)2 โˆ’ 6(3 + 2๐‘–) + 13 = 9 + 12๐‘– โˆ’ 4 โˆ’ 18 โˆ’ 12๐‘– + 13 = 5 โˆ’ 18 + 13 = 0 b)
  2. 4 โˆ’ ๐‘– 3๐‘– ; 4 โˆ’ ๐‘– 3๐‘– โˆ™ ๐‘– ๐‘– = 4๐‘– โˆ’ ๐‘–2 โˆ’3 = 4๐‘– + 1 โˆ’3 = โˆ’ 4 3 ๐‘– โˆ’ 1 3 = โˆ’ 1 3 โˆ’ 4 3 ๐‘– Escribirenla forma a+bi a) โˆšโˆ’4 = 0 + 2๐‘– = 2๐‘– b) 4 โˆ’ โˆšโˆ’5 = 4 + โˆš5๐‘– c) โˆ’3โˆ’โˆšโˆ’5 2 = โˆ’ 3 2 โˆ’ โˆš5 2 ๐‘– d) 1 1 โˆ’ โˆšโˆ’9 = 1 1 โˆ’ 3๐‘– = 1 1 โˆ’ 3๐‘– โˆ™ 1 + 3๐‘– 1 + 3๐‘– = 1 + 3๐‘– 1 โˆ’ 9๐‘–2 = 1 + 3๐‘– 1 โˆ’ 9(โˆ’1) = 1 + 3๐‘– 1 + 9 = 1 10 + 3 10 ๐‘– a) โˆšโˆ’16 = 4๐‘– b) 5 + โˆš7 = 5 + โˆš7๐‘– c) โˆ’5 โˆ’ โˆšโˆ’2 2 = โˆ’ 5 2 โˆ’ โˆš2 2 ๐‘– d) 1 3 โˆ’ โˆšโˆ’4 = 1 3 โˆ’ 2๐‘– โˆ™ 3 + 2๐‘– 3 + 2๐‘– = 3 + 2๐‘– 9 + 4 = 3 + 2๐‘– 13 = 3 13 + 2 13 ๐‘– 1) (2 โˆ’ โˆšโˆ’4) + (5 โˆ’ โˆšโˆ’9) = (2 โˆ’ 2๐‘–) + (5 โˆ’ 3๐‘–) = 7 โˆ’ 5๐‘– 2) (3 โˆ’ โˆšโˆ’4 )(โˆ’2 + โˆšโˆ’49) = (3 โˆ’ 2๐‘–)(2 โˆ’ 7๐‘–) = โˆ’6 + 21๐‘– + 4๐‘– โˆ’ 14๐‘–2 = โˆ’6 + 25๐‘– + 14 = 8 + 25๐‘– Evalรบese ๐‘ฅ2 โˆ’ 2๐‘ฅ + 2 ๐‘ฅ = 1 โˆ’ ๐‘– (1 โˆ’ ๐‘–)2 โˆ’ 2(1 โˆ’ ๐‘–) + 2 = 1 โˆ’ 2๐‘– โˆ’ ๐‘–2 โˆ’ 2 + 2๐‘– = 2 โˆ’ 2 = 0 Para que valoresrealesโ€œxโ€yโ€œyโ€ se tendrรกque (2x-1)+(3y+2)i=5-4i (2x-1)+(3y+2)i=5-4i 2x-1=5 3y+2=-4 2x=6 3y=-6 x=3 y=-2 Coordenadaspolares (4,45ยฐ) (4,-315ยฐ)
  3. (-4,-135ยฐ) (5,30ยฐ) (5,-330ยฐ) (-5,210ยฐ) (-5,150ยฐ) sin 30ยฐ = 1 2 = cos60ยฐ cos30ยฐ = โˆš3 2 = sin 60ยฐ tan30ยฐ = 1 โˆš3 = cot60ยฐ sin 45ยฐ = 1 โˆš2 โˆ™ โˆš2 โˆš2 = โˆš2 2 = cos45ยฐ tan 45ยฐ = 1 = cot45ยฐ ๐‘Ÿ2 = ๐‘ฅ2 + ๐‘ฆ2 sin ๐œƒ = ๐‘ฆ ๐‘Ÿ ๐‘ฆ = ๐‘Ÿ sin ๐œƒ cos ๐œƒ = ๐‘ฅ ๐‘Ÿ ๐‘ฅ = ๐‘Ÿ cos ๐œƒ tan ๐œƒ = ๐‘ฆ ๐‘ฅ Transformara coordenadasrectangulares a) A(4,๐œ‹ 4โ„ ) b) B(-2,5 6โ„ โˆ™ ๐œ‹) c) C(-6,โˆ’๐œ‹ 4โ„ ) a) ๐‘ฅ = ๐‘Ÿ cos ๐œƒ = 4 cos45ยฐ = 4 โˆ™ 1 โˆš2 = 4 โˆš2 โˆ™ โˆš2 โˆš2 = 4โˆš2 2 = 2โˆš2 ๐‘ฆ = ๐‘Ÿ sin ๐œƒ = 4 sin 45ยฐ = 4 โˆ™ โˆš2 2 = 2โˆš2
  4. ๐ด(2โˆš2,2โˆš2) b) ๐ต(โˆ’2,5 6โ„ ๐œ‹) ๐‘ฅ = โˆ’2 cos150ยฐ = โˆ’2(โˆ’ โˆš3 2 ) = โˆš3 ๐‘ฆ = โˆ’2sin 150ยฐ = โˆ’2 sin 150ยฐ = โˆ’2( 1 2 ) = โˆ’1 ๐ต(โˆš3,โˆ’1) c) ๐‘ฅ = โˆ’6 ( โˆš2 2 ) = โˆ’3โˆš2 ๐‘ฆ = โˆ’6sin โˆ’45ยฐ = โˆ’6 (โˆ’ โˆš2 2 ) = 3โˆš2 ๐ถ(โˆ’3โˆš2,3โˆš2) a) A(2,60ยฐ) ๐‘ฅ = 2cos60ยฐ = 2 ( 1 2 ) = 1 ๐‘ฆ = 2 sin 60ยฐ = 2( โˆš3 2 ) = โˆš3 (1, โˆš3) b) B(-8,210ยฐ) ๐‘ฅ = โˆ’8 cos210ยฐ = โˆ’8(โˆ’ โˆš3 2 ) = 4โˆš3 ๐‘ฆ = โˆ’8 sin 210ยฐ = โˆ’8(โˆ’ 1 2 ) = 4 (4โˆš3,4) c) (-6,-30ยฐ) ๐‘ฅ = โˆ’6cos(โˆ’30ยฐ) = โˆ’6( โˆš3 2 ) = โˆ’3โˆš3 ๐‘ฆ = โˆ’6sin(โˆ’30ยฐ) = โˆ’6 (โˆ’ 1 2 ) = 3 ๐ถ(โˆ’3โˆš3,3)
  5. Transformara laforma Polar ๐ด(โˆ’โˆš3,1) ๐‘Ÿ โ‰ฅ 0 0 โ‰ค ๐œƒ < 2๐œ‹ ๐‘Ÿ2 = ๐‘ฅ2 + ๐‘ฆ2 ๐‘Ÿ = โˆš(โˆ’โˆš3) 2 + 12 = โˆš3 + 1 = 2 ๐œƒ = 150ยฐ tan ๐œƒ = ๐‘ฆ ๐‘ฅ tan ๐œƒ = 1 โˆ’โˆš3 ๐œƒ = arctan(1/โˆ’โˆš3) = 30ยฐ Transforma(1, โˆ’โˆš3)a la formaPolarrโ‰ฅ 0 yโˆ’90ยฐ โ‰ค 0 โ‰ค 90ยฐ ๐‘Ÿ = โˆš(โˆ’โˆš3) 2 + 12 = 2 (2,โˆ’60ยฐ) Nรบmeroscomplejosenlaformarectangulary polar ๐‘Ž + ๐‘๐‘– (๐‘Ž, ๐‘) ๐‘ง = ๐‘ฅ + ๐‘ฆ๐‘– ๐‘ฅ = ๐‘Ÿcos ๐œƒ ๐‘ฆ = ๐‘Ÿsin ๐œƒ ๐‘ง = ๐‘Ÿ cos ๐œƒ + ๐‘ฆ ๐‘Ÿsin ๐œƒ ๐‘– ๐‘ง = ๐‘Ÿ(cos ๐œƒ + ๐‘– sin ๐œƒ)
  6. cos ๐œƒ = cos( ๐œƒ + 2๐œ‹๐‘˜) sin ๐œƒ = sin( ๐œƒ + 2๐œ‹๐‘˜) ๐‘ง = ๐‘Ÿ[cos( ๐œƒ + 2๐œ‹๐‘˜) + ๐‘– sin( ๐œƒ + 2๐œ‹๐‘˜)] = ๐‘๐‘–๐‘  ( ๐œƒ + 2๐œ‹๐‘˜) Escribirenla forma polar,empleandoel รกngulo() mรกspequeรฑocomoargumentode z a) z=1+i b) z=โˆ’โˆš3 + ๐‘– c) z=-5i ๐‘ง = โˆš2 ๐‘๐‘–๐‘  45ยฐ ๐‘ง = 2 ๐‘๐‘–๐‘  150ยฐ ๐‘ง = 5 ๐‘๐‘–๐‘  270ยฐ ๐‘ง = โˆš2 ๐‘๐‘–๐‘  135ยฐ ๐‘ง = 2๐‘๐‘–๐‘  300ยฐ ๐‘ง = 6 ๐‘๐‘–๐‘  180ยฐ a) z=2 cis ๐œ‹ 6 b) z=5 ๐‘๐‘–๐‘  ๐œ‹/2 c) z=3 cis300ยฐ a) ๐‘ง = 2[cos30ยฐ + ๐‘–sin 30ยฐ] = 2 ( โˆš3 2 + ๐‘– 1 2 ) = โˆš3 + ๐‘– b) ๐‘ง = 5[cos90ยฐ + ๐‘–sin 90ยฐ] 5[0 + ๐‘–] = 0 + 5๐‘–
  7. c) ๐‘ง = 3 [ 1 2 + ๐‘– (โˆ’ โˆš3 2 )] ๐‘ง = 3 2 โˆ’ 3โˆš3 2 ๐‘– a) z=3 cis2๐œ‹/3 ๐‘ง = 3[cos120ยฐ + ๐‘–sin 120ยฐ] ๐‘ง = 3 [โˆ’ 1 2 + ๐‘– โˆš3 2 ] = โˆ’ 3 2 + 3โˆš3 2 ๐‘– b) z=2 cis 210ยฐ ๐‘ง = 2[cos210ยฐ + ๐‘–sin 210ยฐ] ๐‘ง = 2 [โˆ’ โˆš3 2 + ๐‘– โˆ’1 2 ] = โˆ’โˆš3 โˆ’ ๐‘– c) z=โˆš2 ๐‘๐‘–๐‘  7๐œ‹ 4 ๐‘ง = โˆš2[cos3150ยฐ + ๐‘–sin 3150ยฐ] ๐‘ง = โˆš2 [ 1 โˆš2 + ๐‘– โˆ’โˆš2 2 ] ๐‘ง = 1 โˆ’ ๐‘– Multiplicaciรณnydivisiรณnenformapolar ๐‘ง1 ๐‘ง2 = ( ๐‘Ÿ1 ๐‘๐‘–๐‘  ๐œƒ1)( ๐‘Ÿ2 ๐‘๐‘–๐‘ ๐œƒ2) = ๐‘Ÿ1 ๐‘Ÿ2 ๐‘๐‘–๐‘  ( ๐œƒ1 + ๐œƒ2) ๐‘ง1 ๐‘ง2 = ๐‘Ÿ1 ๐‘๐‘–๐‘ ๐œƒ1 ๐‘Ÿ2 ๐‘๐‘–๐‘ ๐œƒ2 = ๐‘Ÿ1 ๐‘Ÿ2 ๐‘๐‘–๐‘ ( ๐œƒ2 โˆ’ ๐œƒ1) 1) ๐‘ง1 = 8 ๐‘๐‘–๐‘  30ยฐ ๐‘ง2 = 2 ๐‘๐‘–๐‘  45ยฐ a) ๐‘ง1 ๐‘ง2 = (8(2)) ๐‘๐‘–๐‘ (30ยฐ + 45ยฐ) = 16 ๐‘๐‘–๐‘  75ยฐ b) ๐‘ง1 ๐‘ง2โ„ = (8) 2โ„ ๐‘๐‘–๐‘ (30ยฐ โˆ’ 45ยฐ) = 4 ๐‘๐‘–๐‘  (โˆ’15ยฐ) Encontrar ๐‘ง = [ 1 2 + ๐‘– ( โˆš3 2 )] 2
  8. En la formaa+bi conviรฉrtase primeroalaformapolar yluegoelevaral cuadrado ๐‘Ÿ2 = ๐‘ฆ2 + ๐‘ฅ2 ๐‘Ÿ2 = 1 4 + 3 4 = 1 tan ๐œƒ = ๐‘ฆ ๐‘ฅ = โˆš3 2 1 2 tan ๐œƒ = โˆš3 1 ๐‘ง = 1[cos60ยฐ + ๐‘–sin 60ยฐ] ๐‘ง = 1 ๐‘๐‘–๐‘  60ยฐ ๐‘ง๐‘ง = 1 ๐‘๐‘–๐‘  120ยฐ ๐‘ง = 1[cos120ยฐ + ๐‘–sin 120ยฐ] ๐‘ง = 1 [โˆ’ 1 2 + โˆš3๐‘– 2 ] = โˆ’ 1 2 + โˆš3 2 ๐‘– Teoremade Demoive ( ๐‘ฅ + ๐‘ฆ๐‘–)2 = ( ๐‘Ÿ ๐‘๐‘–๐‘  ๐œƒ)2 = ( ๐‘Ÿ ๐‘๐‘–๐‘  ๐œƒ)( ๐‘Ÿ ๐‘ ๐‘–๐‘  ๐œƒ) = ๐‘Ÿ2 ๐‘๐‘–๐‘ 2๐œƒ ( ๐‘ฅ + ๐‘ฆ๐‘–)3 = ( ๐‘Ÿ ๐‘๐‘–๐‘  ๐œƒ)3 = ( ๐‘Ÿ ๐‘๐‘–๐‘  ๐œƒ)2( ๐‘Ÿ ๐‘ ๐‘’๐‘  ๐œƒ) = ๐‘Ÿ2 ๐‘๐‘–๐‘  2๐œƒ( ๐‘Ÿ ๐‘๐‘–๐‘  ๐œƒ) = ๐‘Ÿ3 ๐‘๐‘–๐‘  3๐œƒ ( ๐‘ฅ + ๐‘ฆ๐‘–)4 = ( ๐‘Ÿ ๐‘๐‘–๐‘  ๐œƒ)4 = ( ๐‘Ÿ ๐‘๐‘–๐‘  ๐œƒ)3( ๐‘Ÿ ๐‘๐‘–๐‘  ๐œƒ) = ( ๐‘Ÿ3 ๐‘๐‘–๐‘  3๐œƒ)( ๐‘Ÿ ๐‘๐‘–๐‘  ๐œƒ) = ๐‘Ÿ4 ๐‘๐‘–๐‘ 4๐œƒ ( ๐‘ฅ + ๐‘ฆ๐‘–) ๐‘› = ๐‘Ÿ ๐‘› ๐‘๐‘–๐‘  ๐‘›๐œƒ; ๐‘›๐œ€โ„• Usar el teoremade de Movie para encontraren (1 + ๐‘–)10 escribirlarespuestaenlaformax+yi (1 + ๐‘–)10 = (โˆš2 ๐‘๐‘–๐‘  45ยฐ) 10 = (2 1 2 ๐‘๐‘–๐‘  45ยฐ) 10 25 ๐‘๐‘–๐‘  450ยฐ = 32 ๐‘๐‘–๐‘  90ยฐ = 32[cos90ยฐ + ๐‘– sin 90ยฐ] = 32๐‘– (1 + โˆš3๐‘–) 5 (1 + โˆš3๐‘–) 5 = (2 ๐‘๐‘–๐‘  60ยฐ)5 = 32 ๐‘๐‘–๐‘  300ยฐ = 32[cos300ยฐ + ๐‘– sin 300ยฐ]
  9. 32[ 1 2 + ๐‘– โˆ’โˆš3 2 ] = 16 โˆ’ 16โˆš3๐‘– 2 ๐‘๐‘–๐‘  60ยฐ Extracciรณnde raรญces de nรบmeroscomplejos ๐‘ง = ( ๐‘Ÿ ๐‘๐‘–๐‘  ๐œƒ) 1 ๐‘› = ๐‘Ÿ 1 ๐‘› ๐‘๐‘–๐‘  1 ๐‘› ( ๐œƒ + 2๐œ‹๐‘˜) ๐‘˜ = 0,1,2, โ€ฆ, ๐‘› โˆ’ 1 Encontrar las6 raรญces distintasde ๐‘ง = (โˆ’1 + โˆš3๐‘–) y grafรญquese ๐‘ง = 2 ๐‘๐‘–๐‘  120ยฐ ๐‘ง = (2 ๐‘๐‘–๐‘  120ยฐ) 1 6 = 2 1 6 ๐‘๐‘–๐‘  1 6 (120 + 360ยฐ๐‘˜) ๐œ”1 = 2 1 6 ๐‘๐‘–๐‘  1 6 (120) = 2 1 6 ๐‘๐‘–๐‘  20ยฐ ๐œ”2 = 2 1 6 ๐‘๐‘–๐‘  1 6 (120ยฐ + 360 โˆ™ 1) = 2 1 6 ๐‘๐‘–๐‘  20ยฐ ๐œ”3 = 2 1 6 ๐‘๐‘–๐‘  1 6 (120ยฐ + 360ยฐ(2)) = 2 1 6 ๐‘๐‘–๐‘  140ยฐ ๐œ”4 = 2 1 6 ๐‘๐‘–๐‘  1 6 (120ยฐ + 360ยฐ(3)) = 2 1 6 ๐‘๐‘–๐‘  200ยฐ ๐œ”5 = 2 1 6 ๐‘๐‘–๐‘  1 6 (120ยฐ + 360ยฐ(4)) = 2 1 6 ๐‘๐‘–๐‘  260ยฐ ๐œ”6 = 2 1 6 ๐‘๐‘–๐‘  1 6 (120ยฐ + 360ยฐ(5)) = 2 1 6 ๐‘๐‘–๐‘  320ยฐ z=1+i raรญces 5ยฐ โˆš2 ๐‘๐‘–๐‘  45ยฐ = (2 1 2) 1 5 ( ๐‘๐‘–๐‘  45ยฐ) 1 5 = 2 1 10( ๐‘๐‘–๐‘  45) 1 5 ๐œ”1 = 2 1 10 ๐‘๐‘–๐‘  9ยฐ ๐œ”2 = 2 1 10 ๐‘๐‘–๐‘  81ยฐ ๐œ”3 = 2 1 10 ๐‘๐‘–๐‘  153ยฐ ๐œ”4 = 2 1 10 ๐‘๐‘–๐‘  225ยฐ ๐œ”5 = 2 1 10 ๐‘๐‘–๐‘  297ยฐ Usando el teoremade DeMoive evaluarlaexpresiรณnexpresarrespuestaenformax+yi
  10. (โˆš3+ ๐‘–) 4 (โˆ’1 + ๐‘–โˆš3) 6 = (2 ๐‘๐‘–๐‘  300ยฐ)4 (2 ๐‘๐‘–๐‘  120ยฐ)6 = 24 ๐‘๐‘–๐‘  4(30ยฐ) 26 ๐‘๐‘–๐‘  6(120ยฐ) = 16 ๐‘๐‘–๐‘ 120ยฐ 64 ๐‘๐‘–๐‘ 720ยฐ = 1 4 ๐‘๐‘–๐‘ (โˆ’600ยฐ) = 1 4 [cosโˆ’600ยฐ + ๐‘– sin โˆ’600ยฐ] = 1 4 [cos120ยฐ + ๐‘–sin 120ยฐ] = 1 4 [โˆ’ 1 2 + ๐‘– โˆš3 2 ] = โˆ’ 1 8 + โˆš3 8 ๐‘– โˆ’โˆš3 + ๐‘– (1 + ๐‘–โˆš3) 5 = 2 ๐‘๐‘–๐‘  150ยฐ (2 ๐‘๐‘–๐‘  60ยฐ)5 = 2 ๐‘๐‘–๐‘  150ยฐ 32 ๐‘๐‘–๐‘  300ยฐ = 1 16 ๐‘๐‘–๐‘ (โˆ’150ยฐ) 1 16 [cos(โˆ’150ยฐ) + ๐‘– sin(โˆ’150ยฐ)] 1 16 [โˆ’ โˆš3 2 + โˆ’1 2 ๐‘–] = โˆ’ โˆš3 32 โˆ’ 1 32 ๐‘– PolinomiosoTeoremade Ecuaciones ax+b=0 ax2 +bx+c=0 ๐‘ฅ = โˆ’ ๐‘ ๐‘Ž ๐‘ƒ( ๐‘ฅ) = ๐‘Ž๐‘ฅ ๐‘› + ๐‘Ž ๐‘›โˆ’1 ๐‘ฅ ๐‘›โˆ’1 + ๐‘Ž1 ๐‘ฅ + ๐‘Ž0 ๐‘ƒ( ๐‘ฅ) = ๐‘ฅ2 โˆ’ 4๐‘ฅ + 3 ( ๐‘ฅ โˆ’ 3)( ๐‘ฅ โˆ’ 1) = 0 ๐‘ฅ1 = 3, ๐‘ฅ2 = 1 P(1)=0 P(3)=0 Se dice que r esun 0 de la funciรณnP,oun 0 de polinomioP(x) ounasoluciรณnoraรญz de la ecuaciรณn P(x)=0,si P(x)=0lasinterseccionesx de lagrรกfica y=P(x) sonlos0โ€™srealesde P(x) yP y las solucionesrealesoraรญcesde laecuaciรณnP(x)=0 Propiedadesde laDivisiรณn 2 9 24 6
  11. 24 9 = 2 + 6 9 24 = 2 โˆ™ 9 + 6 Algoritmosde ladivisiรณn Si a, b son enterosconb>0, entoncesexistenenterosรบnicosq,r,talesque a=bq+r, donde r 0 โ‰ค ๐‘Ÿ < ๐‘ Determinarcociente yresiduocuando4126 se divide en23.Encontrar la forma especรญficaa=bq+r 179 23 4126 182 161 216 207 09 4126 = (179)(23) + 9 ๐‘ฅ4 โˆ’ 16 ๐‘ฅ2 + 3๐‘ฅ + 1 ๐‘ฅ2 โˆ’ 3๐‘ฅ + 8 ๐‘ฅ2 + 3๐‘ฅ + 1 ๐‘ฅ4 + 0๐‘ฅ3 + 0๐‘ฅ2 + 0๐‘ฅ โˆ’ 16 โˆ’๐‘ฅ4 โˆ’ 3๐‘ฅ3 โˆ’ ๐‘ฅ2 โˆ’3๐‘ฅ3 โˆ’ ๐‘ฅ2 + 0๐‘ฅ +3๐‘ฅ3 + 9๐‘ฅ2 + 3 0 + 8๐‘ฅ2 + 3๐‘ฅ โˆ’ 16 โˆ’8๐‘ฅ2 โˆ’ 24๐‘ฅ โˆ’ 8 โˆ’21๐‘ฅ โˆ’ 24 ๐‘Ž = ๐‘๐‘ž + ๐‘Ÿ ๐‘ฅ4 โˆ’ 16 = ( ๐‘ฅ2 + 3๐‘ฅ + 1)( ๐‘ฅ2 โˆ’ 3๐‘ฅ + 8) + (โˆ’21๐‘ฅ โˆ’ 24) Algoritmode ladivisiรณn Si f(x) yg(x) sonpolinomiosysi g(x)โ‰ 0entoncesexistenpolinomiosรบnicosq(x),r(x) talesque f(x)=g(x)q(x)+r(x),donder(x)=0el gradoe r(x) esmenorque el grado de g(x) f(x)=g(x)q(x)+r(x) f(x)=(x-r)q(x)+r(x) f(x)=(x-r)q(x)+d f(r)=(r-r)q(r)+d
  12. f(r)=d f(x)=(x-r)q(x)+f(r) Teoremadel Residuo Cuandose divide el polinomiof(x) entre el polinomior(x),enel residuode ladivisiรณnse obtiene el valorde ladivisiรณnevaluadaenr Verificarel teoremade residuo ๐‘“( ๐‘ฅ) = ๐‘ฅ3 โˆ’ 3๐‘ฅ2 + ๐‘ฅ + 5 ๐‘“(2) = 23 โˆ’ 3(2)2 + 2 + 5 = 8 โˆ’ 3(4) + 2 + 5 = 8 โˆ’ 12 + 2 + 5 = 3 ๐‘ฅ2 โˆ’ ๐‘ฅ โˆ’ 1 ๐‘ฅ โˆ’ 2 ๐‘ฅ3 โˆ’ 3๐‘ฅ2 + ๐‘ฅ + 5 โˆ’๐‘ฅ3 + 2๐‘ฅ2 โˆ’ ๐‘ฅ2 + ๐‘ฅ + ๐‘ฅ2 โˆ’ 2๐‘ฅ โˆ’๐‘ฅ + 5 +๐‘ฅ โˆ’ 2 3 = ๐‘ƒ(2) ๐‘“( ๐‘ฅ) = ( ๐‘ฅ โˆ’ ๐‘Ÿ) ๐‘ž( ๐‘ฅ) + ๐‘Ÿ( ๐‘ฅ) Teoremadel factor Si r es un 0 del polinomiof(x),entoncesx-resunfactor de f(x) yrecรญprocamente si x-resun factor de f(x) entoncesesun0 de f(x),mostrarque r-2 es unfactor del polinomio ๐‘“( ๐‘ฅ) = ๐‘ฅ3 โˆ’ 4๐‘ฅ2 + 3๐‘ฅ + 2 ๐‘ฅ2 โˆ’ 2๐‘ฅ โˆ’ 1 ๐‘ฅ โˆ’ 2 ๐‘ฅ3 โˆ’ 4๐‘ฅ2 + 3๐‘ฅ + 2 โˆ’๐‘ฅ3 + 2๐‘ฅ2 โˆ’2๐‘ฅ2 + 3๐‘ฅ +2๐‘ฅ2 โˆ’ 4๐‘ฅ โˆ’1๐‘ฅ + 2 ๐‘ฅ โˆ’ 2 0 Cuรกlessonloscerosdel polinomiof(x)=3(x-5)(x+2)(x-3) r=5, r=-2, r=+3 Divisiรณnsintรฉtica Dividendo -2 2 3 0 -1 -5 -4 +2 -4 +10 2 -1 +2 -5 +5 Cociente Residuo
  13. 2๐‘ฅ3 โˆ’ ๐‘ฅ2 + 2๐‘ฅ โˆ’ 5 ๐‘ฅ + 2 2๐‘ฅ4 + 3๐‘ฅ3 + 0๐‘ฅ2 โˆ’ ๐‘ฅ โˆ’ 5 2๐‘ฅ4 + 4๐‘ฅ3 โˆ’๐‘ฅ3 + 0๐‘ฅ2 โˆ’๐‘ฅ3 โˆ’ 2๐‘ฅ2 2๐‘ฅ2 โˆ’ ๐‘ฅ 2๐‘ฅ2 + 4๐‘ฅ โˆ’5๐‘ฅ โˆ’ 5 โˆ’5๐‘ฅ โˆ’ 10 5 a) (4๐‘ฅ5 โˆ’ 30๐‘ฅ3 โˆ’ 50๐‘ฅ โˆ’ 2) รท (๐‘ฅ + 3) b) (3๐‘ฅ4 โˆ’ 11๐‘ฅ3 โˆ’ 18๐‘ฅ + 8) รท (๐‘ฅ โˆ’ 4) c) (2๐‘ฅ3 โˆ’ 3๐‘ฅ + 1) รท (๐‘ฅ โˆ’ 2) a) 4 0 -30 -0 -50 -2 -3 -12 +36 -18 54 -12 4 -12 +6 -18 4 -14 4๐‘ฅ4 โˆ’ 12๐‘ฅ3 + 6๐‘ฅ2 โˆ’ 18๐‘ฅ โˆ’ 14 ๐‘Ÿ( ๐‘ฅ) = 14 b) 3 -11 0 -18 8 4 12 4 16 -8 3 1 4 -2 0 ๐‘ฅ3 + ๐‘ฅ2 + 4๐‘ฅ โˆ’ 2 ๐‘Ÿ( ๐‘ฅ) = 0 c) 2 0 -3 1 +2 4 8 10 2 4 5 11 ๐‘ฅ2 + 4๐‘ฅ + 5 ๐‘Ÿ( ๐‘ฅ) = 11 Si ๐‘“( ๐‘ฅ) = 4๐‘ฅ4 + 10๐‘ฅ3 + 19๐‘ฅ + 5, encuentraP(-3)โˆ™ ๐‘Ž Teoremade residuoydivisiรณnsintรฉtica Evaluaciรณndirecta ๐‘ƒ(โˆ’3) = 4(โˆ’3)4 + 10(โˆ’3)3 + 19(โˆ’3) + 5 ๐‘ƒ(โˆ’3) = +2
  14. 4 10 0 19 5 -3 +2 +6 -18 -3 4 -2 6 1 2 Ceroscomplejode Polinomioconcoeficiente real z=x+yi ๐‘งฬ… = ๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ๐‘– Teoremasi ๐‘ง1 = ๐‘ฅ1 + ๐‘ฆ1 ๐‘– y ๐‘ง2 = ๐‘ฅ2 + ๐‘ฆ2 ๐‘– y si ๐‘Ž๐œ–โ„ entonces a) ๐‘ง1 + ๐‘ง2ฬ…ฬ…ฬ…ฬ…ฬ…ฬ…ฬ…ฬ…ฬ… = ๐‘ง1ฬ… + ๐‘ง2ฬ… b) ๐‘ง1 โˆ™ ๐‘ง2ฬ…ฬ…ฬ…ฬ…ฬ…ฬ…ฬ…ฬ… = ๐‘ง1ฬ… โˆ™ ๐‘ง2ฬ… c) ๐‘Žฬ… = ๐‘Ž a) ๐‘ง1 + ๐‘ง2 = ( ๐‘ฅ1 + ๐‘ฆ1 ๐‘–) + ( ๐‘ฅ2 + ๐‘ฆ2 ๐‘–) = ( ๐‘ฅ1 + ๐‘ฅ2)+ ( ๐‘ฆ1 + ๐‘ฆ2)๐‘–ฬ…ฬ…ฬ…ฬ…ฬ…ฬ…ฬ…ฬ…ฬ…ฬ…ฬ…ฬ…ฬ…ฬ…ฬ…ฬ…ฬ…ฬ…ฬ…ฬ…ฬ…ฬ…ฬ…ฬ…ฬ…ฬ…ฬ…ฬ…ฬ… = ( ๐‘ฅ1 + ๐‘ฅ2) โˆ’ ( ๐‘ฆ1 โˆ’ ๐‘ฆ2)๐‘– = ( ๐‘ฅ1 โˆ’ ๐‘ฆ1 ๐‘–) + ( ๐‘ฅ2 โˆ’ ๐‘ฆ2 ๐‘–) โˆด ๐‘ง1 + ๐‘ง2ฬ…ฬ…ฬ…ฬ…ฬ…ฬ…ฬ…ฬ…ฬ… = ๐‘ง1ฬ… + ๐‘ง2ฬ… b) ๐‘ง1 ๐‘ง2 = ( ๐‘ฅ1 + ๐‘ฆ1 ๐‘–)( ๐‘ฅ2 + ๐‘ฆ2 ๐‘–) = ๐‘ฅ1 ๐‘ฅ2 + ๐‘ฅ1 ๐‘ฆ2 ๐‘– + ๐‘ฅ2 ๐‘ฆ1 ๐‘– โˆ’ ๐‘ฆ1 ๐‘ฆ2 ๐‘ง1 ๐‘ง2ฬ…ฬ…ฬ…ฬ…ฬ…ฬ… = ( ๐‘ฅ1 ๐‘ฅ2 โˆ’ ๐‘ฆ1 ๐‘ฆ2) + ( ๐‘ฅ1 ๐‘ฆ2 + ๐‘ฅ2 ๐‘ฆ1)๐‘–ฬ…ฬ…ฬ…ฬ…ฬ…ฬ…ฬ…ฬ…ฬ…ฬ…ฬ…ฬ…ฬ…ฬ…ฬ…ฬ…ฬ…ฬ…ฬ…ฬ…ฬ…ฬ…ฬ…ฬ…ฬ…ฬ…ฬ…ฬ…ฬ…ฬ…ฬ…ฬ…ฬ…ฬ…ฬ…ฬ…ฬ…ฬ…ฬ…ฬ… = ( ๐‘ฅ1 ๐‘ฅ2 โˆ’ ๐‘ฆ1 ๐‘ฆ2) โˆ’ ( ๐‘ฅ1 ๐‘ฆ2 + ๐‘ฅ2 ๐‘ฆ2)๐‘– = ๐‘ฅ1 ๐‘ฅ2 + ๐‘ฆ1 ๐‘ฆ2 ๐‘–2 โˆ’ ๐‘ฅ1 ๐‘ฆ2 ๐‘– โˆ’ ๐‘ฅ2 ๐‘ฆ1 ๐‘– = ๐‘ฅ1( ๐‘ฅ2 โˆ’ ๐‘ฆ2 ๐‘–) + ๐‘ฆ1 ๐‘–( ๐‘ฆ2 ๐‘– โˆ’ ๐‘ฅ2) = ๐‘ฅ1( ๐‘ฅ2 โˆ’ ๐‘ฆ2 ๐‘–) โˆ’ ๐‘ฆ1 ๐‘–( ๐‘ฅ2 โˆ’ ๐‘ฆ2 ๐‘–) = ( ๐‘ฅ1 โˆ’ ๐‘ฆ1 ๐‘–)( ๐‘ฅ2 โˆ’ ๐‘ฆ2 ๐‘–) ๐‘ง1 ๐‘ง2ฬ…ฬ…ฬ…ฬ…ฬ…ฬ… = ๐‘ง1ฬ… โˆ™ ๐‘ง2ฬ… ๐‘Žฬ… = ๐‘Ž + 0๐‘– ๐‘Žฬ… = ๐‘Ž โˆ’ 0๐‘– ๐‘Žฬ… = ๐‘Ž Teoremadel 0 complejo Si ๐‘ƒ( ๐‘ฅ) = ๐‘Ž ๐‘› ๐‘ฅ ๐‘› + ๐‘Ž ๐‘›โˆ’1 ๐‘ฅ ๐‘›โˆ’1 + โ‹ฏ+ ๐‘Ž1 ๐‘ฅ + ๐‘Ž0 esun polinomioconcoeficientesrealesysi P(r)=0,donde r es unnรบmerocomplejoentoncesP(r)=0 ๐‘ƒ( ๐‘Ÿฬ…) = 0
  15. Es decir los0โ€™s complejosde unpolinomioconcoeficientesrealessi existen,se presentapor paresconjugados. ๐‘ƒ( ๐‘ฅ) = ๐‘Ž ๐‘› ๐‘ฅ ๐‘› + ๐‘Ž ๐‘›โˆ’1 ๐‘ฅ ๐‘›โˆ’1 + โ‹ฏ+ ๐‘Ž1 ๐‘ฅ + ๐‘Ž0 ๐‘ƒ( ๐‘ฅ) = ๐‘Ž ๐‘› ๐‘Ÿ ๐‘› + ๐‘Ž ๐‘›โˆ’1 ๐‘Ÿ ๐‘›โˆ’1 + โ‹ฏ+ ๐‘Ž1 ๐‘Ÿ + ๐‘Ž0 = 0 ๐‘ƒ( ๐‘ฅ) = ๐‘Ž ๐‘› ๐‘Ÿ ๐‘›ฬ…ฬ…ฬ…ฬ…ฬ…ฬ…ฬ… + ๐‘Ž ๐‘›โˆ’1 ๐‘Ÿ ๐‘›โˆ’1ฬ…ฬ…ฬ…ฬ…ฬ…ฬ…ฬ…ฬ…ฬ…ฬ…ฬ…ฬ…+ โ‹ฏ+ ๐‘Ž1 ๐‘Ÿ + ๐‘Ž0 = 0ฬ… ๐‘ƒ( ๐‘ฅ) = ๐‘Ž ๐‘›ฬ…ฬ…ฬ…๐‘Ÿ ๐‘› + ๐‘Žฬ… ๐‘›โˆ’1 ๐‘Ÿ ๐‘›ฬ…โˆ’1ฬ…ฬ…ฬ…ฬ… + โ‹ฏ+ ๐‘Ž1ฬ…ฬ…ฬ…๐‘Ÿฬ… + ๐‘Ž0ฬ…ฬ…ฬ… = 0 ๐‘ƒ( ๐‘ฅ) = ๐‘Ž ๐‘› ๐‘Ÿ ๐‘›ฬ… + ๐‘Ž ๐‘›โˆ’1 ๐‘Ÿ ๐‘›โˆ’1ฬ…ฬ…ฬ…ฬ…ฬ…ฬ… + โ‹ฏ+ ๐‘Ž1 ๐‘Ÿฬ… + ๐‘Ž0 = 0 Ejemplo ๐‘“( ๐‘ฅ) = ๐‘ฅ2 โˆ’ 6๐‘ฅ + 10 ๐‘ฅ = โˆ’(โˆ’6) ยฑ โˆš(โˆ’6)2 โˆ’ 4(1)(10) 2(1) = 6 ยฑ โˆš36 โˆ’ 40 2 = 6 ยฑ โˆšโˆ’4 2 ๐‘ฅ = 6 ยฑ 2๐‘– 2 ๐‘ฅ1 = 3 + ๐‘– ๐‘ฅ2 = 3 โˆ’ ๐‘– TeoremaFundamental Todo polinomioP(x) de grado ๐‘› โ‰ฅ 1 concoeficientesrealesocomplejostieneal menosun0 real o complejo. Teoremade losn ceros Todo polinomioP(x) de grado ๐‘› โ‰ฅ 1 concoeficientesrealesocomplejosse puede expresarcomo el productode n factorespor tanto tiene nceros Por ejemplo: ๐‘ƒ( ๐‘ฅ) = 4( ๐‘ฅ โˆ’ 5)3( ๐‘ฅ + 1)2( ๐‘ฅ + ๐‘–)( ๐‘ฅ โˆ’ ๐‘–) ๐‘Ÿ = 5; ๐‘Ÿ = โˆ’1 Si -2 esun cerodoble de ๐‘ƒ( ๐‘ฅ) = ๐‘ฅ4 โˆ’ 7๐‘ฅ2 + 4๐‘ฅ + 20 escribase P(x) comounproductode factoresde primergrado r=-2(doble) ๐‘ƒ( ๐‘ฅ) = ๐‘ฅ4 โˆ’ 7๐‘ฅ2 + 4๐‘ฅ + 20 ๐‘ƒ( ๐‘ฅ) = ( ๐‘ฅ + 2)2 ๐‘„( ๐‘ฅ) ๐‘„( ๐‘ฅ) = ๐‘ƒ( ๐‘ฅ) ( ๐‘ฅ + 2)2 = ๐‘ฅ4 โˆ’ 7๐‘ฅ2 + 4๐‘ฅ + 20 ๐‘ฅ2 + 4๐‘ฅ + 4 = ๐‘ฅ2 + 4๐‘ฅ + 5
  16. ๐‘ฅ2 โˆ’ 4๐‘ฅ + 5 ๐‘ฅ2 + 4๐‘ฅ + 4 ๐‘ฅ4 + 0๐‘ฅ3 โˆ’ 7๐‘ฅ2 + 4๐‘ฅ + 20 โˆ’๐‘ฅ4 โˆ’ 4๐‘ฅ3 โˆ’ 4๐‘ฅ2 โˆ’4๐‘ฅ3 โˆ’ 112 + 4๐‘ฅ +4๐‘ฅ3 + 16๐‘ฅ2 + 16๐‘ฅ 5๐‘ฅ2 + 20๐‘ฅ + 20 โˆ’ 5๐‘ฅ2 โˆ’ 20๐‘ฅ โˆ’ 20 0 ๐‘ฅ = โˆ’(โˆ’4) ยฑ โˆš(โˆ’4)2 โˆ’ 4(1)(5) 2(1) = 4 ยฑ โˆšโˆ’4 2 ๐‘ฅ = 4 ยฑ 2๐‘– 2 โˆด ๐‘ฅ1 = 4 + 2๐‘– 2 ๐‘ฅ1 = 2 + ๐‘– ๐‘ฅ2 = 4 โˆ’ 2๐‘– 2 ๐‘ฅ2 = 2 โˆ’ ๐‘– ๐‘ƒ( ๐‘ฅ) = ( ๐‘ฅ + 2)2[ ๐‘ฅโˆ’ (2 + ๐‘–)][ ๐‘ฅ โˆ’ (2 โˆ’ ๐‘–)] ๐‘ƒ( ๐‘ฅ) = ( ๐‘ฅ + 2)( ๐‘ฅ + 2)( ๐‘ฅ โˆ’ 2 โˆ’ ๐‘–)( ๐‘ฅ โˆ’ 2 + ๐‘–) r=3(doble) ๐‘ƒ( ๐‘ฅ) = ๐‘ฅ4 โˆ’ 12๐‘ฅ3 โˆ’ 55๐‘ฅ2 โˆ’ 1114๐‘ฅ + 80 ๐‘ƒ( ๐‘ฅ) = ( ๐‘ฅ + 3)2 SeaP(x) unPolinomiode tercergradoconcoeficientesreales.Unae las siguientespreposiciones esfalsa.Indรญquese cual. a) P(x) Tiene unceroreal b) P(x) tiene 3ceros c) P(x) puede tener2 cerosrealesyuno comocomplejo SeaP(x) unPolinomiode cuartogradocon coeficientesrealesunade lassiguientespreposiciones esfalsa,indรญquese cual a) P(x) tiene 4ceros b) P(x) al menos2 cerosreales c) Si se sabe que P(x) tiene 3raรญces o cerosrealesentoncesel 4cero debe serreal Encuรฉntrese otros2 cerosde P(x) apartir de cero dado ๐‘ƒ( ๐‘ฅ) = ๐‘ฅ3 โˆ’ 5๐‘ฅ2 + 4๐‘ฅ + 10 3 โˆ’ ๐‘– ๐‘’๐‘  ๐‘ข๐‘› ๐‘๐‘’๐‘Ÿ๐‘œ ๐‘ƒ( ๐‘ฅ) = ๐‘ฅ3 โˆ’ 5๐‘ฅ2 + 4๐‘ฅ + 10 ๐‘ฅ1 = 3 โˆ’ ๐‘– ๐‘ฅ2 = 3 + ๐‘– ๐‘ƒ( ๐‘ฅ) = [ ๐‘ฅ โˆ’ (3 โˆ’ ๐‘–)][ ๐‘ฅ โˆ’ (3 + ๐‘–)] ๐‘„( ๐‘ฅ)
  17. = [ ๐‘ฅ โˆ’ 3 + ๐‘–][ ๐‘ฅ โˆ’ 3 โˆ’ ๐‘–] = ๐‘ฅ2 โˆ’ 3๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฅ๐‘– โˆ’ 3๐‘ฅ + 9 + 3๐‘– + ๐‘–๐‘ฅ โˆ’ 3๐‘– โˆ’ ๐‘–2 = ๐‘ฅ2 โˆ’ 6๐‘ฅ + 10 ๐‘ฅ + 1 ๐‘ฅ2 โˆ’ 6๐‘ฅ + 10 ๐‘ฅ3 โˆ’ 5๐‘ฅ2 + 4๐‘ฅ + 10 โˆ’๐‘ฅ3 + 6๐‘ฅ2 โˆ’ 10๐‘ฅ +๐‘ฅ2 โˆ’ 6๐‘ฅ + 10 โˆ’๐‘ฅ2 + 6๐‘ฅ โˆ’ 10 0 Las solucionese laec. ๐‘ฅ3 โˆ’ 1 = 0 son lasraรญces cรบbicas de una a) ยฟCuรกntasraรญces cรบbicasde l existen(3) b) Uno esobviamente raรญzcubicade 1 encuรฉntrese todas ๐‘ฅ = โˆš1 3 ๐‘ฅ1 = 1, ๐‘ฅ2 = 1, ๐‘ฅ3 = 1 ๐‘ฅ2 + ๐‘ฅ โˆ’ 1 ๐‘ฅ โˆ’ 1 ๐‘ฅ3 + 0๐‘ฅ2 + 0๐‘ฅ + 0 โˆ’๐‘ฅ3 + ๐‘ฅ2 ๐‘ฅ2 + 0๐‘ฅ โˆ’๐‘ฅ2 โˆ’ 1๐‘ฅ + ๐‘ฅ + 0 โˆ’ ๐‘ฅ + 0 0 โˆ’1 + 3๐‘– 2 1 + 3๐‘– 2 ( ๐‘ฅ โˆ’ 1)( ๐‘ฅ2 + ๐‘ฅ + 1) ๐‘ฅ = โˆ’1 ยฑ โˆš1 โˆ’ 4 2 = โˆ’1 ยฑ โˆš3 2 ๐‘ฅ1 = โˆ’1 + โˆš3๐‘– 2 ๐‘ฅ2 = โˆ’1 โˆ’ โˆš3๐‘– 2 Si P es unafunciรณnPolinomial de gradoโ€œnโ€con n impar,entonces,cual esel nรบmeromรกximode vecesenla grรกficaque y=P(x) puede cruzarel eje X,cuรกl esel nรบmeromรญnimode veces ๐‘šรก๐‘ฅ๐‘–๐‘š๐‘œ โ†’ ๐‘› ๐‘šรญ๐‘›๐‘–๐‘š๐‘œ โ†’ 1 Teoremadel โ€œ0โ€ complejo
  18. Dado ๐‘ƒ( ๐‘ฅ) = ๐‘ฅ2 + 2๐‘–๐‘ฅ โˆ’ 5 con un 0, igual a 2-i demuestre que dosmรกsi no esun cero de P(x) ยฟEste contradice el teoremade cerocomplejo? (2-i) ๐‘ฅ2 + 2๐‘–๐‘ฅ โˆ’ 5 (2 โˆ’ ๐‘–)(2 + ๐‘–) = 4 + 2๐‘– โˆ’ 2๐‘– + ๐‘–2 (2 โˆ’ ๐‘–)2 + 2(๐‘–(2) โˆ’ 5) 4 โˆ’ 2๐‘– + ๐‘–2 + 2๐‘–(2 + ๐‘–) โˆ’ 5 = 4 โˆ’ 2๐‘–2 + ๐‘– + 4๐‘– + 2๐‘–2 โˆ’ 5 (2 + ๐‘–)2 + 2๐‘–(2 + ๐‘–) โˆ’ 5 4 + 4๐‘– + ๐‘–2 + 4๐‘– + 4๐‘–2 โˆ’ 5 = 8๐‘– โˆ’ 1 โˆ’ 5 = 6๐‘– โˆ’ 6 (2 โˆ’ ๐‘–)2 + 2๐‘–(2 โˆ’ ๐‘–) โˆ’ 5 4 โˆ’ 4๐‘– + ๐‘–2 + 4๐‘–2 โˆ’ 2๐‘–2 โˆ’ 5 = 4 Aislamientode 0โ€™sreales Seael polinomio ๐‘ƒ( ๐‘ฅ) = 2๐‘ฅ5 โˆ’ 7๐‘ฅ4 + 3๐‘ฅ2 + 6๐‘ฅ โˆ’ 5 ๐‘ƒ(โˆ’๐‘ฅ) = 2(โˆ’๐‘ฅ)5 โˆ’ 7(โˆ’๐‘ฅ)4 + 3(โˆ’๐‘ฅ)2 + 6(โˆ’๐‘ฅ) โˆ’ 5 ๐‘ƒ(โˆ’๐‘ฅ) = โˆ’2๐‘ฅ5 โˆ’ 7๐‘ฅ4 + 3๐‘ฅ2 โˆ’ 6๐‘ฅ โˆ’ 5 Teoremade la Reglade Descartes Si P(x) esun Polinomioconcoeficientesrealesentonces 1) El nรบmerode 0 realespositivosde P(x) esigual al nรบmerode variaciรณnde signooigual aeste nรบmeromenosunenteropar 2) El nรบmerode 0 realesnegativode P(x)esigual al nรบmerode variaciรณnde signosde P(-x)oes igual a este nรบmero(-) unenteropar Ej. Determinarel tipoposible de cerosrealesonegativosdel polinomio ๐‘ƒ( ๐‘ฅ) = 3๐‘ฅ4 โˆ’ 2๐‘ฅ3 + 3๐‘ฅ โˆ’ 5 ๐‘ƒ( ๐‘ฅ) = 3๐‘ฅ4 โˆ’ 2๐‘ฅ3 + 3๐‘ฅ โˆ’ 5 ๐‘ƒ(โˆ’๐‘ฅ) = 3๐‘ฅ4 + 3๐‘ฅ3 + 3๐‘ฅ โˆ’ 5 3 cerospositivosouncero positivo 1 ceronegativosoningรบnceronegativo 1 3 1 3 1 - 2 2 0 0 C
  19. T 4 4 4 4 1 3 3 1 1 - 1 0 1 0 C 1 1 2 3 T 4 4 4 4 + 3 1 - 1 1 0 0 1 ๐‘ƒ( ๐‘ฅ) = 4๐‘ฅ5 + 2๐‘ฅ4 โˆ’ ๐‘ฅ3 + ๐‘ฅ โˆ’ 5 ๐‘ฆ ๐‘„( ๐‘ฅ) = ๐‘ฅ3 + 3๐‘ฅ2 + 5 3 o 1 (+) ๐‘ƒ(โˆ’๐‘ฅ) = โˆ’4๐‘ฅ5 + 2๐‘ฅ4 + ๐‘ฅ3 โˆ’ ๐‘ฅ โˆ’ 5 3 o 1 (-) T 5 5 5 + 3 3 1 - 2 0 2 C 0 2 2 0 (+) ๐‘ƒ(โˆ’๐‘ฅ) = โˆ’๐‘ฅ3 + 3๐‘ฅ2 + 5 1 (-) + 3 + 0 - 1 C 2 Cotas de 0โ€™s reales Cota superiore los0โ€™s Es cualquiernรบmeroque esigual omayoral cero mรกs grande del polinomio. Cota inferior Es cualquiernรบmeroque esmenoroigual al 0 mรกs pequeรฑodel polinomio Teorema
  20. Supรณngase que P(x) esunpolinomioconcoeficientesrealescuyo coeficiente principal espositivo si supรณngase efectuadaladivisiรณnsintรฉtica ๐‘ƒ( ๐‘ฅ) ๐‘ฅโˆ’1 1) Si r mayor que 0 y si todoslosnรบmerosdel coeficienteenel procesoladivisiรณnsonpositivoso0 entoncesres uncota superiorde los0โ€™sde P(x) 2) Si r menorque 0 y si losnรบmerosdel coeficiente enel procesode ladivisiรณnsonalternamente + o โ€“ entoncesresuna cota inferiorde los0โ€™s de P(x) Ejemplo:Determinarcotas sup.E inf.De loscerosdel polinomio ๐‘ƒ( ๐‘ฅ) = 2๐‘ฅ3 + 5๐‘ฅ2 โˆ’ 8๐‘ฅ โˆ’ 7 ๐‘ƒ( ๐‘ฅ) = 2๐‘ฅ3 + 5๐‘ฅ2 โˆ’ 8๐‘ฅ โˆ’ 7 2 5 -8 -7 1 2 7 -1 -8 C.Sโ†’-2 2 9 10 13 -1 2 3 -11 4 -2 2 1 -10 13 -3 2 -1 -3 8 C.Iโ†’-4 2 -3 4 -23 2๐‘ฅ3 + 5๐‘ฅ2 โˆ’ 8๐‘ฅ โˆ’ 7 = ( ๐‘ฅ โˆ’ 2)(2๐‘ฅ3 + 9๐‘ฅ2 + 10๐‘ฅ) + 13 El ๐‘ƒ( ๐‘ฅ) = ๐‘ฅ3 โˆ’ 4๐‘ฅ2 โˆ’ 5๐‘ฅ + 8 1 -4 -5 8 1 1 -3 -8 0 2 1 -2 -9 -10 3 1 0 4 1 -1 C.S 5 1 1 -1 1 -1 -1 10 -2 1 -1 9 -10 Cambiosde signoenP(x) ๐‘ƒ( ๐‘ฅ) = ๐‘ฅ3 โˆ’ 2๐‘ฅ2 โˆ’ 5๐‘ฅ + 6 x P(x) -3 -24 -2 0 -1 8 0 6 1 0 2 -4 3 0 Teoremade localizaciรณn
  21. Si P(x) esun polinomioconcoef.Realesysi P(a) yP(b) sonde signosopuestos,entoncesexistenal menosun0 real entre a y b. Mostrar que existe al menosunceroreal de ๐‘ƒ( ๐‘ฅ) = ๐‘ฅ4 โˆ’ 2๐‘ฅ3 โˆ’ 6๐‘ฅ2 + 6๐‘ฅ + 9 entre unoy dos 1 -2 -6 6 9 1 1 -1 -7 -1 -8; P(1)=-8 2 1 0 -6 -6 -3; P(2)=-3 Pruรฉbese que lagrรกficade ๐‘ƒ( ๐‘ฅ) = ๐‘ฅ5 + 3๐‘ฅ3 + ๐‘ฅ cruza el eje x una solavezsingrรกficar P(0)=0 Probar que lagrรกfica ๐‘ƒ( ๐‘ฅ) = ๐‘ฅ4 + 3๐‘ฅ2 + 7 no cruza el eje x.Nose grafique ay=P(x) P(0)=7 Localizaciรณnde cerosracionales ๐‘ƒ( ๐‘ฅ) = 6๐‘ฅ2 โˆ’ 13๐‘ฅ โˆ’ 5 6๐‘ฅ2 โˆ’ 13๐‘ฅ โˆ’ 5 = 0 (6๐‘ฅ)2 โˆ’ 13(6๐‘ฅ) โˆ’ 30 = 0 (6๐‘ฅ โˆ’ 15)(6๐‘ฅ + 2) = 0 6๐‘ฅ โˆ’ 15 = 0 6๐‘ฅ = 15 ๐‘ฅ = 15 6 = 5 2 6๐‘ฅ + 2 = 0 6๐‘ฅ = โˆ’2 ๐‘ฅ = โˆ’ 2 6 = โˆ’ 1 3 Teoremadel 0 racional Si el nรบmeroracional b/c,en losteoremasmenores,esun0 del polinomio ๐‘ƒ( ๐‘ฅ) = ๐‘Ž ๐‘› ๐‘ฅ ๐‘› + ๐‘Ž ๐‘›โˆ’1 ๐‘ฅ ๐‘›โˆ’1 + โ‹ฏ+ ๐‘Ž1 ๐‘ฅ + ๐‘Ž0 con coeficientesenteros,entoncesbdebe serunfactorde a0 (el tรฉrminoconstante) yc debe serunfactor de a0 (el tรฉrminoprincipal) Listar todosloscerosracionalesde ๐‘ƒ( ๐‘ฅ) = 2๐‘ฅ4 โˆ’ 3๐‘ฅ3 + ๐‘ฅ โˆ’ 9 valoresposiblesde b:ยฑ1, ยฑ3, ยฑ9 c: ยฑ1, ยฑ2 Posiblescerosracionales ยฑ1, ยฑ3, ยฑ9, ยฑ 1 2 ,ยฑ 3 2 , ยฑ 9 2
  22. Encontrar todoslosceros racionalesde ๐‘ƒ( ๐‘ฅ) = 2๐‘ฅ3 โˆ’ ๐‘ฅ2 โˆ’ 8๐‘ฅ + 4 1. Listar losposiblescerosracionales b: ยฑ1, ยฑ2, ยฑ4 c: ยฑ1, ยฑ2 2. Identificartiposposiblesde ceros ๐‘ƒ( ๐‘ฅ) = 2๐‘ฅ3 โˆ’ ๐‘ฅ2 โˆ’ 8๐‘ฅ + 4 2 o 0 cerosposibles ๐‘ƒ(โˆ’๐‘ฅ) = โˆ’2๐‘ฅ3 โˆ’ ๐‘ฅ2 + 8๐‘ฅ + 4 un cero negativo (T) Total 3 3 (+) Positivo 2 0 (-) Negativo 1 1 (C) Complejo 0 2 3. Probar losposiblescerosracionalesdel paso1 2 -1 -8 4 1 2 1 -7 -3 2 2 3 -2 0 ๐‘ƒ( ๐‘ฅ) = ( ๐‘ฅ โˆ’ 2)(2๐‘ฅ2 + 3๐‘ฅ โˆ’ 2) ๐‘„( ๐‘ฅ) = 2๐‘ฅ2 + 3๐‘ฅ โˆ’ 2 2๐‘ฅ2 + 3๐‘ฅ โˆ’ 2 = 0 (2๐‘ฅ)2 + 3(2๐‘ฅ) โˆ’ 4 = 0 (2๐‘ฅ + 4)(2๐‘ฅ โˆ’ 1) = 0 2๐‘ฅ + 4 = 0 ๐‘ฅ = โˆ’2 2๐‘ฅ โˆ’ 1 = 0 ๐‘ฅ = 1 2 ๐‘ฅ1 = โˆ’2 ๐‘ฅ2 = 1 2 ๐‘ฅ3 = 2 Encontrar todoslosceros racionalespara ๐‘ƒ( ๐‘ฅ) = 3๐‘ฅ3 + 3๐‘ฅ2 + ๐‘ฅ โˆ’ 6 a:ยฑ1, ยฑ2, ยฑ3, ยฑ6 b: ยฑ1, ยฑ2 ๐‘ƒ( ๐‘ฅ) = 3๐‘ฅ3 + 3๐‘ฅ2 + ๐‘ฅ โˆ’ 6 1 cero(+) ๐‘ƒ(โˆ’๐‘ฅ) = โˆ’3๐‘ฅ3 + 3๐‘ฅ2 โˆ’ ๐‘ฅ โˆ’ 6 2 o 0 ceros(-) Total 3 3 + 1 1 - 2 0 C 0 2 ๐‘Ž ๐‘โ„ = ยฑ1,ยฑ 1 3 , ยฑ2,ยฑ 2 3 , ยฑ6,ยฑ3
  23. 3 10 1 -6 CS +1 3 13 14 8 -1 3 7 -6 0 ( ๐‘ฅ + 1)(3๐‘ฅ2 + 7๐‘ฅ โˆ’ 6) ( ๐‘ฅ + 1)(3๐‘ฅ2 + 9๐‘ฅ โˆ’ 2๐‘ฅ โˆ’ 6) ( ๐‘ฅ + 1)(3๐‘ฅ( ๐‘ฅ + 3) โˆ’ 2( ๐‘ฅ + 3)) ( ๐‘ฅ + 1)(3๐‘ฅ โˆ’ 2)( ๐‘ฅ + 3) โˆ’3, โˆ’1, 2 3 ๐‘ฅ1 = โˆ’1 ๐‘ฅ2 = 2 3 ๐‘ฅ3 = โˆ’3 Encontrar todoslosceros para ๐‘ƒ( ๐‘ฅ) = 2๐‘ฅ3 โˆ’ 5๐‘ฅ2 โˆ’ 8๐‘ฅ + 6 b: ยฑ1, ยฑ2, ยฑ3, ยฑ6 c: ยฑ1, ยฑ2 ยฑ1, ยฑ2,ยฑ3, ยฑ6,ยฑ 1 2 , ยฑ 3 2 ๐‘ƒ( ๐‘ฅ) = โˆ’2๐‘ฅ2 โˆ’ 5๐‘ฅ2 + 8๐‘ฅ + 0 + 2 0 - 1 1 c 0 2 2 -5 -8 6 1 2 -3 -11 -5 2 2 -1 -10 -14 3 2 1 -5 -9 CSโ†’4 2 3 4 22; cero irracional entre x=3y x=4 -1 2 -7 -1 7; ceroentre x=-1 y x=1 0 2 -5 -8 6; ceroentre x=0 y x=1 ยฝ -4 -4 -10 1 ceroirracional entre x=0 y x=1 C.I -2 2 -9 10 -14; ceroentre x=-1 y x=-2 -3/2 2 -8 4 0 ๐‘ƒ( ๐‘ฅ) = ( ๐‘ฅ + 3 2 ) (2๐‘ฅ2 โˆ’ 8๐‘ฅ + 4)
  24. ๐‘ƒ( ๐‘ฅ) = 2( ๐‘ฅ + 3 2 )( ๐‘ฅ2 โˆ’ 4๐‘ฅ + 2) ๐‘ฅ2 โˆ’ 4๐‘ฅ + 2 = 0 +4 ยฑ โˆš16 โˆ’ 4(1)(2) 2(โˆ’4) = 4 ยฑ โˆš16 โˆ’ 8 โˆ’8 = 4 ยฑ โˆš8 โˆ’8 = 4 ยฑ 2โˆš2 8 ๐‘ฅ1 = 4 + โˆš2 8 ๐‘ฅ2 = 4 โˆ’ โˆš2 8 Encontrar tooslos cerosde ๐‘ƒ( ๐‘ฅ) = 2๐‘ฅ3 โˆ’ 7๐‘ฅ2 + 6๐‘ฅ + 5 a:ยฑ1, ยฑ5 b: ยฑ1, ยฑ2 ๐‘Ž ๐‘โ„ = ยฑ5, ยฑ 5 2 ,ยฑ 1 2 , ยฑ1 ๐‘ƒ( ๐‘ฅ) = 2๐‘ฅ3 โˆ’ 7๐‘ฅ2 + 6๐‘ฅ + 5 2 o 0 (+) ๐‘ƒ( ๐‘ฅ) = โˆ’2๐‘ฅ3 โˆ’ 7๐‘ฅ2 โˆ’ 6๐‘ฅ + 5 1 T 3 3 + 2 0 - 1 1 C 0 2 2 -7 6 5 1 2 -5 1 5 CS 4 2 1 10 45 raรญz irracional entre 3 y 4 CI -1 2 -9 15 -10 -1/2 2 -8 10 0 2 ( ๐‘ฅ + 1 2 ) ( ๐‘ฅ2 โˆ’ 4๐‘ฅ + 5) ๐‘ฅ = โˆ’4 ยฑ โˆš16 โˆ’ 4(5)(1) 2(1) = 2 + 4๐‘– 2 ๐‘ฅ1 = 4 + 2๐‘– 2 = 2 + ๐‘– ๐‘ฅ2 = 2 โˆ’ ๐‘– Encontrar todoslosceros irracionales ๐‘ƒ( ๐‘ฅ) = ๐‘ฅ4 โˆ’ 7๐‘ฅ3 + 17๐‘ฅ2 โˆ’ 17๐‘ฅ + 6 b:ยฑ1, ยฑ2, ยฑ3, ยฑ6 c: ยฑ1
  25. ๐‘ ๐‘ = ยฑ1,ยฑ2,ยฑ3, ยฑ6 ๐‘ƒ( ๐‘ฅ) = ๐‘ฅ4 โˆ’ 7๐‘ฅ3 + 17๐‘ฅ2 โˆ’ 17๐‘ฅ + 6 4,2 o 0 (+) ๐‘ƒ(โˆ’๐‘ฅ) = ๐‘ฅ4 + 7๐‘ฅ3 + 17๐‘ฅ2 + 17๐‘ฅ + 6 Nohay ceros (-) 4 4 4 + 4 2 0 - 0 0 0 c 0 2 4 1 -7 +17 -17 6 1 1 -6 11 -6 0 ๐‘ƒ( ๐‘ฅ) = ( ๐‘ฅ โˆ’ 1)( ๐‘ฅ3 โˆ’ 6๐‘ฅ2 + 11๐‘ฅ โˆ’ 6) ๐‘„( ๐‘ฅ) = ๐‘ฅ3 โˆ’ 6๐‘ฅ2 + 11๐‘ฅ โˆ’ 6 b: 1, 2, 3, 6 c: 1 1 -6 11 -6 1 1 -5 6 0 ๐‘„( ๐‘ฅ) = ( ๐‘ฅ โˆ’ 1)( ๐‘ฅ2 โˆ’ 5๐‘ฅ + 6) ๐‘…( ๐‘ฅ) = ( ๐‘ฅ2 โˆ’ 5๐‘ฅ + 6) ๐‘ฅ2 โˆ’ 5๐‘ฅ + 6 = 0 ( ๐‘ฅ โˆ’ 3)( ๐‘ฅ โˆ’ 2) = 0 ๐‘ฅ = 3 ๐‘ฅ = 2 Encontrar todoslosceros racionalesde ๐‘ƒ( ๐‘ฅ) = ๐‘ฅ4 + 8๐‘ฅ3 + 23๐‘ฅ2 + 28๐‘ฅ + 12 b= ยฑ1 c= ยฑ1, ยฑ2, ยฑ3, ยฑ4, ยฑ6, ยฑ12 ๐‘ ๐‘ = ยฑ1, ยฑ2,ยฑ3, ยฑ4,ยฑ6,ยฑ12 ๐‘ƒ( ๐‘ฅ) = ๐‘ฅ4 + 8๐‘ฅ3 + 23๐‘ฅ2 + 28๐‘ฅ + 12 0(+) ๐‘ƒ(โˆ’๐‘ฅ) = ๐‘ฅ4 โˆ’ 8๐‘ฅ3 + 23๐‘ฅ2 โˆ’ 28๐‘ฅ + 12 4, 2 o 0 (-) 1 8 23 28 12 -1 1 7 16 12 0
  26. ๐‘ƒ( ๐‘ฅ) = ( ๐‘ฅ + 1)( ๐‘ฅ3 + 7๐‘ฅ2 + 16๐‘ฅ + 12) ๐‘„( ๐‘ฅ) = ๐‘ฅ3 + 7๐‘ฅ2 + 16๐‘ฅ + 12 ๐‘ ๐‘ = โˆ’1,โˆ’2, โˆ’3,โˆ’4, โˆ’12 1 7 16 12 -1 1 6 10 2 -2 1 5 6 0 ๐‘ƒ( ๐‘ฅ) = ( ๐‘ฅ + 2)( ๐‘ฅ2 + 5๐‘ฅ + 6) ๐‘ฅ2 + 5๐‘ฅ + 6 = 0 ( ๐‘ฅ + 2)( ๐‘ฅ + 3) = 0 ๐‘ฅ1 = โˆ’2 ๐‘ฅ2 = โˆ’3 ๐‘ฅ3 = โˆ’2 ๐‘ฅ4 = โˆ’1
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