tesis de matematica

1. Soluciones acotadas para una
clase de ecuaciones
integro-diferenciales
semilineales en un espacio de
Banach.
Silvia Andrea Rueda Sanchez
Directores
Ph.D. Edgardo ´Alvarez,
Dr.rer.nat. Carlos Lizama

2. UNIVERSIDAD DEL ATL´ANTICO.
FACULTAD DE CIENCIAS B´ASICAS.
PROGRAMA DE MATEM´ATICAS.
Soluciones acotadas para una
clase de ecuaciones
integro-diferenciales
semilineales en un espacio de
Banach.
Trabajo de Grado presentado como requisito para optar al
t´ıtulo de Matem´atico.
Autor: Silvia Andrea Rueda Sanchez.
Director: Ph.D. Edgardo Alvarez , Dr.rer.nat. Carlos
Lizama.
Barranquilla-Atl´antico.
Diciembre-2014

3. Nosotros, los abajo firmantes, designados por la Universidad del Atl´antico
como integrantes del Jurado Examinador del Trabajo de Grado titulado “So-
luciones acotadas para una clase de ecuaciones integro-diferenciales
semilineales en un espacio de Banach”, presentado por Silvia Andrea
Rueda Sanchez, titular de la C´edula de Ciudadan´ıa 1.045.703.522, cer-
tificamos que este trabajo cumple con los requisitos exigidos por nuestra
Universidad para optar al t´ıtulo de Matem´atico y fue calificado como:
Ph.D. Edgardo Alvarez.
Director
Dr.rer.nat. Carlos Lizama.
Director
Jurado
Jurado
Secretario Acad´emico

5. Agradecimientos
Agradezco a Dios por haberme guiado en esta etapa de desarrollo profesio-
nal, por darme la fortaleza en los momentos dif´ıciles y a todas las personas
que aportaron en el desarrollo de esta tesis de manera directa o indirecta,
revis´andola, entregando observaciones o simplemente dandome una palabra
de ´animo.
Le agradezco de manera especial a mis asesores Edgardo Alvarez y Car-
los Lizama por guiarme en este trabajo.
Gracias a mis padres por una vida llena de ense˜nanzas y consejos que me
permitieron culminar mis estudios de pregrado, a mis hermanos que siempre
estuvier´on apoyandome dandome palabras de ´animo y al resto de mi familia
que estuvo presente en el desarrollo de mi carrera.
A todos mis compa˜neros con los que compart´ı en estos a˜nos de estudio,
en especial a Johan, William, Jose, Boris, Julet, Kimberly y Hern´an.
5

7. ´Indice general
Agradecimientos 5
Resumen 9
Introducci´on 11
1. Preliminares 13
1.1. Definiciones y teoremas b´asicos . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2. Semigrupos de operadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.2.1. Semigrupos Uniformemente Continuos . . . . . . . . . 16
1.2.2. Semigrupos Fuertemente Continuos . . . . . . . . . . . 16
1.2.3. Semigrupos Anal´ıticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.2.4. Problema abstracto de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . 18
1.3. Subespacios de BC(X) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2. Problema lineal 25
3. Problema Semilineal 33
A. S´ımbolos especiales 41
7

9. Resumen
En el siguiente trabajo estudiamos la existencia y unicidad de soluciones
acotadas para las ecuaciones integro-diferenciales con retardo infinito
u (t) = Au(t) + α
t
−∞
e−β(t−s)
Au(s)ds + f(t, u(t)) (caso semilineal) (1)
u (t) = Au(t) + α
t
−∞
e−β(t−s)
Au(s)ds + f(t) (caso lineal), (2)
donde A es el generador de un C0-semigrupo inmediatamente continuo en
norma sobre un espacio de Banach X y f pertenece a un subespacio cerrado
de las funciones continuas y acotadas. Establecemos condiciones suficientes
para la existencia y unicidad de soluciones casi peri´odicas, casi autom´orfi-
cas, asint´oticamente casi peri´odicas entre otros tipos de soluciones, adem´as
mostramos teoremas de convoluci´on y composici´on, los cuales son de vital
importancia para garantizar la existencia de soluciones suaves del problema.
Finalizamos este trabajo con un ejemplo concreto, para demostrar la viabi-
lidad de los resultados abstractos.
9

11. Introducci´on
El principal objetivo de este trabajo es el estudio de la existencia y unicidad
de soluciones acotadas para las ecuaciones integro-diferenciales semilineales
con retardo infinito
u (t) = Au(t) + α
t
−∞
e−β(t−s)
Au(s)ds + f(t, u(t)) (caso semilineal)
u (t) = Au(t) + α
t
−∞
e−β(t−s)
Au(s)ds + f(t) (caso lineal),
donde t, α, β ∈ R, A : D(A) ⊂ X → X un operador lineal cerrado definido
sobre un espacio de Banach, f pertenece al subespacio cerrado de las funcio-
nes continuas y acotadas que satisfacen diversas condiciones tipo Lipschitz.
Se establecen condiciones suficientes para garantizar la existencia y unicidad
de soluciones casi peri´odicas, casi autom´orficas, asint´oticamente casi peri´odi-
cas entre otros tipos de soluciones.
El problema de la existencia y unicidad de las soluciones casi peri´odicas o
casi autom´orficas, as´ı como el estudio de su comportamiento en el infinito ha
sido objeto de mucho estudio en las ´ultimas d´ecadas, puesto que tienen una
gran importancia en la teor´ıa de viscoelasticidad o conducci´on de calor con
memoria.
Se presume que los primeros resultados para estas ecuaciones fueron ob-
tenidos por J.M. Le Roux y V. Volterra quienes establecieron teoremas de
existencia y unicidad para ecuaciones del tipo
11

12. 12 ´INDICE GENERAL
f(x) +
x
a
k(x, t)f(t)dt = g(x).
Aunque los resultados de estos dos matem´aticos fueron similares, el trabajo
de Volterra tuvo una mayor influencia posterior al resaltar las propiedades
de los operadores.
Los semigrupos de operadores lineales acotados son fundamentales en la so-
luci´on de ecuaciones integro-diferenciales lineales y semilineales en las cuales
intervienen operadores no acotados, bajo la hip´otesis de que un operador A
genera un C0–semigrupo inmediatamente continuo en norma en un espacio de
Banach X, luego el principal inter´es es estudiar de manera unificada la exis-
tencia y unicidad de, entre otros, casi peri´odica, casi autom´orfica y soluciones
casi autom´orficas compacta de la Ecuaci´on (1). M´as a´un, como consecuencia
inmediata de la aplicaci´on de este m´etodo, las condiciones necesarias para el
comportamiento asint´otico y pseudo asint´otico de la Ecuaci´on (1).
Cabe resaltar que este trabajo est´a basado en el art´ıculo de C. Lizama y R.
Ponce [4].

13. Cap´ıtulo 1
Preliminares
Este cap´ıtulo est´a dividido en tres secciones, en la primera secci´on presentare-
mos definiciones y teoremas b´asicos del An´alisis Funcional que nos permitir´an
afrontar problemas particulares a lo largo del desarrollo del trabajo, en la se-
gunda secci´on haremos una introducci´on a la noci´on de semigrupo, generador
infinitesimal y algunos tipos de semigrupos, por ´ultimo definiremos diferentes
subespacios de las funciones continuas y acotadas, adem´as mostraremos los
teoremas de convoluc´ıon y composici´on, los cuales son de vital importancia
para garantizar la existencia de soluciones suaves del problema.
1.1. Definiciones y teoremas b´asicos
Definici´on 1.1 Sea X un conjunto no vac´ıo y T : X → X una aplicaci´on.
Un punto x ∈ X se llama punto fijo de T si T(x) = x.
Para cada aplicaci´on T : X → X, definimos el conjunto de puntos fijos como
fix(T) = {x ∈ X : x = T(x)}.
Definici´on 1.2 Sea X = (X, d) un espacio m´etrico. Una aplicaci´on T :
X → X se llama una contracci´on sobre X si existe un n´umero real positivo
α < 1 tal que, para todo x, y ∈ X
d(Tx, Ty) ≤ αd(x, y).
Teorema 1.1 [5][Teorema del punto fijo de Banach]. Sea X = (X, d) un
espacio m´etrico completo, X = ∅. T : X → X una contracci´on sobre X.
Entonces existe un ´unico punto fijo x de T.
Demostraci´on. Construiremos una sucesi´on (xn)n≥1 y mostraremos que es
de Cauchy, esta resulta ser convergente en el espacio completo X y proba-
remos entonces que su l´ımite x es un punto fijo de T y que T no tiene m´as
13

14. 14 CAP´ITULO 1. PRELIMINARES
puntos fijos. Para x0 ∈ X arbitrario definimos los elementos de la sucesi´on
iterada (xn)n≥1 por
xn = Txn−1; n = 1, 2, ...
x1 = Tx0, x2 = Tx1 = T(Tx0) = T2
x0,
en general
xn = Tn
x0, n = 1, 2, ...
Claramente esta es una sucesi´on de im´agenes de x0 bajo repetidas aplicacio-
nes de T. Ahora, demostremos que (xn)n≥1 es una sucesi´on de Cauchy en X.
Para m ≥ 1, tenemos
d(xm+1, xm) = d(Txm, Txm−1) ≤ αd(xm, xm−1) = αd(Txm−1, Txm−2)
≤ α2
d(xm−1, xm−2) ≤ α3
d(xm−2, xm−3)
... = αm
d(x0, x1).
Por lo tanto, por la desigualdad del tri´angulo y la f´ormula para la suma de
una progresi´on geom´etrica obtenemos que para n > m.
d(xm, xn) ≤ d(xm, xm+1) + d(xm+1, xm+2) + ... + d(xn−1, xn)
≤ (αm
+ αm+1
+ αn−1
)d(x0, x1)
= αm 1 − αn−m
1 − α
d(x0, x1).
Dado que 0 < α < 1, en el numerador tenemos que 1 − αn−m
< 1. Por lo
tanto d(xm, xn) ≤ αm
1−α
d(x0, x1), n > m.Adem´as
l´ım
m→∞
αm
= 0. (1.1)
Por lo tanto de (1.1) obtenemos
l´ım
m,n→∞
d(xm, xn) = 0.
Luego la sucesi´on (xn)n≥1 es de Cauchy en X. Como X es completo,(xn)n≥1
converge a un punto de X, digamos x ∈ X es tal que xn → x. Vamos a
demostrar que x es un punto fijo de T. En efecto, tenemos
d(Tx, x) ≤ d(Tx, xn) + d(xn, x),
pero como xn = Txn−1, tenemos
d(Tx, x) ≤ αd(x, xn−1) + d(xn, x).

15. 1.1. DEFINICIONES Y TEOREMAS B ´ASICOS 15
Observemos que cada t´ermino del segundo miembro de la igualdad anterior
tiende a 0, esto implica que Tx = x. Ahora probaremos la unicidad.
Supongamos que existe y ∈ X otro punto fijo de T con x = y,entonces
0 < d(x, y) = d(Tx, Ty) ≤ αd(x, y),
lo cual implica d(x, y) = 0 dado que α < 1. Por lo tanto x = y
Corolario 1.1 [5] Sea (X, d) un espacio m´etrico completo y T : X → X
una aplicaci´on tal que para alg´un entero m ≥ 1, la aplicaci´on Tm
es una
contracci´on en X. Entonces T tiene un ´unico punto fijo.
Teorema 1.2 [5](Teorema de Acotaci´on Uniforme) Sea (Tn)n∈N una suce-
si´on de operadores lineales acotados Tn : X → Y , donde X es un espacio
de Banach e Y es un espacio normado. Suponga que Tnx ≤ cx para todo
x ∈ X, para todo n ∈ N. Entonces Tn ≤ c para todo n ∈ N.
Operadores Lineales Cerrados
Definici´on 1.3 Sean X,Y espacios normados y T : D(T) ⊂ X → Y un
operador lineal. Entonces T es cerrado si el grafo de T
G(T) = {(x, y) : y = Tx, x ∈ D(T)} es cerrado en X × Y.
Aqu´ı (x, y) = x x + y y.
Teorema 1.3 [5][Teorema 4.13-2](Teorema del Grafo Cerrado) Sean X,Y
espacios de Banach y T : D(T) ⊂ X → Y un operador lineal cerrado. Si el
dominio de T es cerrado en X, entonces el operador T es acotado.
Proposici´on 1.1 [5][Teorema 4.13-3] Sea T : D(T) ⊂ X → Y un operador
lineal, donde X e Y son espacios normados. Entonces T es cerrado si y solo
s´ı tiene la siguiente propiedad: Si
(xn)n∈N ⊂ D(T)
y
xn → x,
Txn → y.
Entonces x ∈ D(T) y Tx = y.

16. 16 CAP´ITULO 1. PRELIMINARES
1.2. Semigrupos de operadores
1.2.1. Semigrupos Uniformemente Continuos
Definici´on 1.4 Una familia {T(t)}t≥0 ⊂ B(X) es un semigrupo (unipa-
ram´etrico) de operadores acotados si:
i) T(0) = I.
ii) T(t + s) = T(t)T(s) para todo t, s ≥ 0.
Si un semigrupo satisface adem´as que
iii) T(t) − I → 0, cuando t → 0+
, entonces se dice que es un semigrupo
uniformemente continuo.
Definici´on 1.5 (Generador de un Semigrupo)
Sea T(t) un semigrupo uniformemente continuo. El generador infinitesimal
de T(t) se define por :
D(A) = {x ∈ X : l´ım
t→ 0+
T(t)x − x
t
existe}
Ax = l´ım
t→ 0+
T(t)x − x
t
=
d+
dt
T(t)x
t=0
= l´ım
t→ 0+
T(t)x − T(0)x
t − 0
Teorema 1.4 [3][Corolario 1.5] Un operador lineal A es el generador infi-
nitesimal de un semigrupo uniformemente continuo si y s´olo si A es acotado.
1.2.2. Semigrupos Fuertemente Continuos
Definici´on 1.6 Un semigrupo T(t), 0 ≤ t < ∞ de operadores lineales aco-
tados se dice fuertemente continuo si
l´ım
t→0+
T(t)x = x para todo x ∈ X
esto es,
T(t)x − x → 0 cuando t → 0+
.
A esta clase de semigrupos lo llamamos C0-semigrupos.
Teorema 1.5 [10][Teorema 2.2] Sea T(t) un C0-semigrupo, entonces existe
M ≥ 1 y ω ≥ 0 tal que
T(t) ≤ Meωt
.

17. 1.2. SEMIGRUPOS DE OPERADORES 17
Teorema 1.6 [10][Teorema 2.4] Sea T(t) un C0-semigrupo y A su generador
infinitesimal
Ax = l´ım
t→ 0+
T(t)x − x
t
=
d+
dt
T(t)x
t=0
D(A) = {x ∈ X : l´ım
t→ 0+
T(t)x − x
t
existe}
Entonces
a) Para todo x ∈ X
l´ım
t→ 0+
1
h
t+h
t
T(s)xds = T(t)x.
b) Para todo x ∈ X
t
0
T(s)xds ∈ D(A) y
A
t
0
T(s)xds = T(t)x − x.
c) Para todo x ∈ D(A)
T(t)x ∈ D(A) y
d
dt
[T(t)x] = AT(t)x = T(t)Ax.
d)Para todo x ∈ D(A)
T(t)x − T(s)x =
t
s
T(τ)Axdτ =
t
s
AT(τ)xdτ.
1.2.3. Semigrupos Anal´ıticos
A diferencia de los semigrupos uniformemente continuos y fuertemente con-
tinuos, los semigrupos anal´ıticos tienen como dominio alg´un sector del plano
complejo, el cual incluye el eje de n´umeros reales no negativos.
Definici´on 1.7 Sea {T(t)}t≥0 un C0-semigrupo en X. {T(t)}t≥0 se dice
anal´ıtico si existe un sector del plano complejo S = {z ∈ C : ϕ1 < argz < ϕ2}
con ϕ1 < 0 < ϕ2 y una familia de operadores lineales continuos T(z) : X →
X, z ∈ S, que coinciden con T(t) para todo t ≥ 0 y tal que
1. z → T(z)x es anal´ıtica en S, para cada x ∈ X.

18. 18 CAP´ITULO 1. PRELIMINARES
2. l´ımz→0,z∈S T(z)x = x, para todo x ∈ X.
3. T(z + w) = T(z)T(w), para todo z, w ∈ S.
Teorema 1.7 [10][Teorema de Hille Yosida] Un operador lineal no acotado
A es el generador infinitesimal de un C0-semigrupo de contracciones T(t),
t ≥ 0 si y solo si
1. A es cerrado y D(A)=X.
2. (0, ∞) ⊂ (A) y R(λ, A) ≤ 1
λ
, λ > 0
1.2.4. Problema abstracto de Cauchy
Sea X un espacio de Banach y A : D(A) ⊂ X → X un operador lineal.
Consideremos el problema de valor inicial abstracto
du
dt
= Au(t) t ∈ R+
u(0) = f f ∈ D(A)
(1.2)
1.3. Subespacios de BC(X)
Definici´on 1.8 Sea (X, . ) un espacio de Banach. Denotaremos
BC(X) := {f : R → X; f es continua, f ∞ := sup
t∈R
f < ∞}.
Definici´on 1.9 (funciones casi peri´odicas) Una funci´on continua f ∈
BC(X), se dice casi peri´odica si para cada > 0 existe l > 0 tal que en
cada intervalo de longitud l, existe s tal que f(s + t) − f(t) < , para todo
t ∈ R.
Denotaremos por AP(X) el conjunto de estas funciones.
El siguiente es un ejemplo de una funci´on casi peri´odica
f(t) = cos(t) + cos(
√
2t), t ∈ R. (1.3)
Definici´on 1.10 (funciones casi autom´orficas) Una funci´on f ∈ BC(X)
pertenece a AA(X) si para cada sucesi´on de n´umeros reales (Sn) existe una
subsucesi´on (Sn)n∈N tal que l´ımn→∞ f(t+Sn) = g(t) y l´ımn→∞ g(t−Sn) = f(t)
esten bien definidos para cada t ∈ R. Este espacio lo denotaremos por AA(X).

19. 1.3. SUBESPACIOS DE BC(X) 19
El siguiente es un ejemplo de una funci´on casi autom´orfica
f(t) = sin
1
2 + cos(t) + cos(
√
2t)
, t ∈ R. (1.4)
Definici´on 1.11 (funciones compactas casi autom´orficas) Una funci´on
f ∈ BC(X) pertenece a AAc(X) si para cada sucesi´on de n´umeros reales
(Sn) existe una subsucesi´on (Sn)n∈N tal que l´ımn→∞ f(t + Sn) = g(t) y
l´ımn→∞ g(t − Sn) = f(t) existen para cada t ∈ R y adem´as la convergen-
cia de ellos es uniforme sobre cada subconjunto compacto de R. Este espacio
lo denotaremos por AAc(X).
Denotaremos Pw(X) al conjunto de todas las funciones peri´odicas y conti-
nuas, con per´ıodo fijo w > 0. Note que Pw(X), AP(X), AA(X) y AAc(X)
son espacios de Banach bajo la norma · ∞ y Pw(X) ⊂ AP(X) ⊂ AA(X) ⊂
AAc(X) ⊂ BC(X).
Consideremos el conjunto C0(X) = {f ∈ BC(X) : l´ım|t|→∞ f(t) = 0}
y definamos el espacio de las funciones asint´oticamente peri´odicas como
APw(X) = Pw(X)⊕C0(X), analogamente definiremos el espacio de funciones
asint´oticamente casi peri´odicas como AAPw(X) = APw(X)⊕C0(X), el espa-
cio de funciones asint´oticamente caso autom´orficas compactas AAAC(X) =
AAC(X)⊕C0(X) , el espacio de funciones asint´oticamente casi autom´orficas
AAA(X) = AA(X) ⊕ C0(X).
Tenemos las siguientes inclusiones propias
APw(X) ⊂ AAP(X) ⊂ AAAc(X) ⊂ AAA(X) ⊂ BC(X). (1.5)
Denotemos por SAPw(X) = {f ∈ BC(X) : ∃w > 0, f(t + w) − f(t) →
0, t → ∞} est´a clase de funciones son llamadas S-asint´oticamente w-peri´odi-
ca. Ahora consideremos el siguiente conjunto y definimos los siguientes espa-
cios.
P0(X) = {f ∈ BC(X) : l´ım
T→∞
1
2T
T
−T
f(s) ds = 0}.
Espacio de funciones pseudo- peri´odicas:
PPw(X) = Pw(X) ⊕ P0(X).
Espacio de funciones pseudo- casi peri´odicas:
PAP(X) = AP(X) ⊕ P0(X).

20. 20 CAP´ITULO 1. PRELIMINARES
Espacio de funciones pseudo- compactas casi autom´orficas :
PAAc(X) = AAc(X) ⊕ P0(X).
Espacio de funciones pseudo- casi autom´orficas :
PAA(X) = AA(X) ⊕ P0(X).
Como antes tambi´en tenemos las siguientes inclusiones
PPw(X) ⊂ PAP(X) ⊂ PAAc(X) ⊂ PAA(X) ⊂ BC(X).
Denotemos por N(R, X), ´o simplemente N(X) el siguiente espacio de fun-
ciones
N(X) = {Pw(X), AP(X), AAc(X), AA(X), APw(X), AAP(X), AAc(X), AAA(X),
PPw(X), PAP(X), PAAc(X), PAA(X), SAPw(X), BC(X)}. (1.6)
Teorema 1.8 [7](Convoluci´on) Sea {S(t)}t≥0 ⊂ B(X) una familia integra-
ble y fuertemente continua. Si f pertenece a uno de los espacios de N(X)
entonces
w(t) =
t
−∞
S(t − s)f(s)ds
pertenece al mismo espacio de f.
Demostraci´on. La demostraci´on de este teorema la haremos para el espacio
N(X) = AA(X), para los dem´as espacios ver [5].
Sea (Sn) ⊂ R una sucesi´on arbitraria. Como f ∈ AA(X), existe una subsu-
cesi´on Sn de Sn tal que
l´ım
n→∞
f(t + Sn) = v(t), para todo t ∈ R
y
l´ım
n→∞
v(t − Sn) = f(t), para todo t ∈ R.
Tenemos que
w(t + Sn) =
t+Sn
−∞
S(t + Sn − s)f(s)ds.

21. 1.3. SUBESPACIOS DE BC(X) 21
Sea u = s − Sn, du = ds
s = t + Sn u = t
s = −∞ u = −∞.
Entonces
w(t + Sn) =
t
−∞
S(t − u)f(u + Sn)du (1.7)
=
t
−∞
S(t − s)f(s + Sn)ds. (1.8)
Ahora, sea u = t − s, du = −ds
s = t u = 0
s = −∞ u = ∞.
Entonces
w(t + Sn) =
∞
0
S(u)f(t − u + Sn)du.
Por tanto
w(t + Sn) =
∞
0
S(u)f(t − u + Sn)du
≤
∞
0
S(u) f(t − u + Sn) du
≤ S f ∞.
Ahora de (1.8) tenemos que:
l´ım
n→∞
w(t + Sn) = l´ım
n→∞
t
−∞
S(t − s)f(s + Sn)ds
por la continuidad de S(·)x
S(t − θ)f(θ + Sn) → S(t − θ)v(θ), para todo θ ∈ R y t ≥ 0
por el Teorema de Convergencia Dominada
l´ım
n→∞
w(t + Sn) =
t
−∞
S(t − θ)v(θ)dθ
= v(θ).
De manera an´aloga
l´ım
n→∞
v(t − Sn) = w(t).

22. 22 CAP´ITULO 1. PRELIMINARES
Definimos el conjunto N(R × X, X) el cual consiste de todas las funciones
f : R × X → X tal que f(·, x) ∈ N(R, X) uniformemente para cada x ∈ K,
donde K es un subconjunto acotado de X.
Si M(X) denota uno de los espacios Pw(X), AP(X), AA(X), APw(X),
AAP(X), AAA(X), PPw(X),PAP(X), PAA(X) , SAPw(X), entonces te-
nemos el siguiente teorema de composici´on.
Teorema 1.9 [7](Composici´on)Sea f ∈ M(R × X, X), supongamos que exis-
te una constante Lf tal que
f(t, u) − f(t, v) ≤ Lf u − v ,
para todo t ∈ R y u, v ∈ X. Si ψ ∈ M(X) entonces f(·, ψ(·)) ∈ M(X).
Demostraci´on. La demostraci´on de este teorema la haremos para el espacio
N(X) = AA(X), para los dem´as espacios ver [7].
Sea (Sn) una sucesi´on en R, entonces existe una subsucesi´on (Sn) tal que
l´ım
n→∞
f(t + Sn, x) = g(t, x) para todo x ∈ X, t ∈ R,
l´ım
n→∞
g(t − Sn, x) = f(t, x) para todo x ∈ X, t ∈ R.
Como ϕ es casi autom´orfica para esta subsucesi´on (Sn) existe una subsucesi´on
(Sn) tal que
l´ım
n→∞
ϕ(t + Sn) = h(t),
l´ım
n→∞
h(t − Sn) = ϕ(t).
Adem´as, por condici´on de Lipschitz
f(t + Sn, ϕ(t + Sn)) − g(t, h(t)) ≤ f(t + Sn, ϕ(t + Sn)) − f(t + Sn, h(t))
+ f(t + Sn, h(t)) − (g(t, h(t))
≤ L ϕ(t + Sn) − h(t)
+ f(t + Sn), h(t)) − g(t, h(t)) .
Luego cuando n → ∞
f(t + Sn, ϕ(t + Sn)) − g(t, h(t)) → 0. (1.9)
De manera an´aloga se prueba
g(t − Sn, h(t − Sn)) − f(t, ϕ(t)) → 0. (1.10)

23. 1.3. SUBESPACIOS DE BC(X) 23
Por ´ultimo recordaremos algunos resultados recientes de la estabilidad ex-
ponencial uniforme de soluciones de la ecuaci´on hom´ogenea abstracta de
Volterra
u (t) = Au(t) + α
t
0
e−β(t−s)
Au(s)ds, con t ≥ 0,
u(0) = x.
(1.11)
Decimos que una soluci´on de (2.3) es exponencialmente acotada si para algun
w ∈ R existe una constante M > 0 tal que para cada x ∈ D(A),la soluci´on
correspondiente u(t) satisface
u(t) ≤ Me−wt
, t ≥ 0. (1.12)
En particular la soluci´on de
u (t) = Au(t) + α
t
0
e−β(t−s)
Au(s)ds, con t ≥ 0,
u(0) = x.
(1.13)
es exponencialmente estable si en (1.12) w > 0 y M > 0.
Definici´on 1.12 Sea T(t)t≥0 un semigrupo. Diremos que T es inmediata-
mente continuo en norma si T : (0, ∞) → B(X) es continua.
El siguiente teorema es demostrado en [2, Corolario 3.5]
Teorema 1.10 Sean β > 0, α = 0 y α + β > 0, supongamos que
a) A genera de un C0-semigrupo inmediatamente continuo en norma de-
finido en un espacio de Banach X;
b) sup{ λ, λ ∈ C : λ(λ + β)(λ + α + β)−1
∈ σ(A)} < 0.
Entonces las soluciones de (2.3) son exponencialmente estable.

25. Cap´ıtulo 2
Problema lineal
Sean α, β ∈ R. Analizemos las soluciones acotadas de la ecuaci´on lineal
integro-diferencial
u (t) = Au(t) + α
t
−∞
e−β(t−s)
Au(s)ds + f(t), (2.1)
donde A genera un C0-semigrupo inmediatamente continuo en norma definido
en un espacio de Banach X. Note en la siguiente proposici´on que bajo la
hip´otesis dada sobre A es posible construir para (2.1) una familia fuertemente
continua de operadores lineales acotados que conmuten con A y satisface
cierta ecuaci´on resolvente.
Proposici´on 2.1 Sean β > 0, α = 0 y α + β > 0, supongamos que
a) A genera un C0-semigrupo inmediatamente continuo en norma definido
en un espacio de Banach X;
b) sup{ λ, λ ∈ C : λ(λ + β)(λ + α + β)−1
∈ σ(A)} < 0.
Entonces existe una familia de operadores {S(t)}t≥0 ⊂ B(X) exponencial-
mente estable y fuertemente continua tal que S(t) conmute con A, es decir
S(t)D(A) ⊂ D(A), AS(t)x = S(t)Ax , para todo x ∈ D(A), t ≥ 0 y
S(t)x = x +
t
0
b(t − s)AS(s)xds, para todo x ∈ X, t ≥ 0 (2.2)
donde b(t) = 1 + α
β
[1 − e−βt
], t ≥ 0.
Demostraci´on. Para t ≥ 0 y x ∈ X definamos S(t)x := u(t; x), donde
u(t; x) es la soluci´on ´unica de la ecuaci´on
u (t) = Au(t) + α
t
0
e−β(t−s)
Au(s)ds, con t ≥ 0,
u(0) = x.
(2.3)
25

26. 26 CAP´ITULO 2. PROBLEMA LINEAL
Para la existencia de la soluci´on y su continuidad fuerte ver [3, Corolario 7.22,
pag. 449]. Veamos que S(·)x satisface la Ecuaci´on resolvente (2.2). Dado que
S(t)x es soluci´on de (2.3), entonces S(t)x es diferenciable y satisface
S (t)x = AS(t)x + α
t
0
e−β(t−s)
AS(s)xds. (2.4)
Integrando (2.4) tenemos que
t
0
S (s)xds =
t
0
AS(s)xds + α
t
0
s
0
e−β(s−τ)
AS(τ)xdτds
S(t)x − x =
t
0
AS(s)xds + α
t
0
s
0
e−β(s−τ)
AS(τ)xdτds.
Aplicando el Teorema de Fubini tenemos
S(t)x − x =
t
0
AS(s)xds + α
t
0
t
τ
e−β(s−τ)
AS(τ)xdsdτ.
Sea v = s − τ, dv = ds; entonces
S(t)x − x =
t
0
AS(s)xds + α
t
0
t−τ
0
e−βv
AS(τ)xdvdτ
=
t
0
AS(s)xds + α
t
0
−e−βv
β
AS(τ)x
t−τ
0
dτ
=
t
0
AS(s)xds + α
t
0
−e−β(t−τ)
β
AS(τ)x +
AS(τ)x
β
dτ
=
t
0
AS(s)xds +
α
β
t
0
[1 − e−β(t−τ)
]AS(τ)xdτ
=
t
0
ASτxdτ +
α
β
t
0
[1 − e−β(t−τ)
]AS(τ)xdτ
=
t
0
AS(τ)x [1 +
α
β
[1 − e−β(t−τ)
] dτ
=
t
0
b(t − τ)AS(τ)xdτ.
Ahora, probemos la conmutatividad de S(t) con A. Para x ∈ D(A)
S(t)Ax = u(t; Ax)
= Ax +
t
0
b(t − s)AS(s)Axds para todo x ∈ X, t ≥ 0.

27. 27
Como A es cerrado
S(t)Ax = Ax + A
t
0
b(t − s)AS(s)xds
= A[x +
t
0
b(t − s)AS(s)xds]
= AS(t)x = Au(t, x).
La estabilidad exponencial esta dada por el Teorema 1.10.
Definici´on 2.1 Una funci´on u ∈ C1
es una soluci´on fuertemente continua
de (2.1) sobre R si u ∈ C(R; D(A)) y (2.1) es v´alida para todo t ∈ R, si
u(t) ∈ X en lugar de u(t) ∈ D(A) y (2.1) es v´alida para todo t ∈ R , decimos
que u es una soluci´on suave de (2.1).
Teorema 2.1 Sean β > 0, α = 0 y α + β > 0, supongamos que
a) A genera un C0-semigrupo inmediatamente continuo en norma definido
en un espacio de Banach X;
b) sup{ λ, λ ∈ C : λ(λ + β)(λ + α + β)−1
∈ σ(A)} < 0.
Si f pertenece a alg´un espacio de N(X) entonces la ´unica soluci´on suave de
el problema (2.1) pertenece al mismo espacio de f y est´a dada por
u(t) =
t
−∞
S(t − s)f(s)ds, t ∈ R (2.5)
donde {S(t)}t≥0 esta dada por la Proposici´on 2.1.
Demostraci´on. Por la Proposici´on 2.1 la familia {S(t)}t≥0 es exponencial-
mente estable y por lo tanto u est´a bien definida. Dado que S satisface la
ecuaci´on resolvente
S(t)x = x +
t
0
b(t − s)AS(s)xds, (2.6)
donde b(t) = 1+α
β
[1−e−βt
], t ≥ 0, tenemos que b es diferenciable y la ecuaci´on
anterior muestra que para cada x ∈ X, S (t)x existe y
S (t)x =
t
0
d
dt
1 +
α
β
(1 − e−β(t−s)
)AS(s)x ds + AS(t)x
= α
t
0
e−β(t−s)
AS(s)xds + AS(t)x.

28. 28 CAP´ITULO 2. PROBLEMA LINEAL
Mostremos que u es una soluci´on suave de (2.1). Dado que A genera un
C0-semigrupo entonces A es un operador cerrado, por tanto
u (t) = S(0)f(t) +
t
−∞
S (t − s)f(s)ds
= f(t) +
t
−∞
AS(t − s)f(s) + α
t−s
0
e−β(t−s−τ)
AS(τ)f(s)dτ ds
= f(t) +
t
−∞
AS(t − s)f(s)ds + α
t
−∞
t−s
0
e−β(t−s−τ)
AS(τ)f(s)dτds.
Sea v = τ + s, dv = dτ
τ = 0 v = s
τ = t − s v = t.
Entonces
u (t) = f(t) +
t
−∞
AS(t − s)f(s)ds + α
t
−∞
t
s
e−β(t−v)
AS(v − s)f(s)dvds.
Aplicando el Teorema de Fubini
u (t) = f(t) + Au(t) +
t
−∞
v
−∞
e−β(t−v)
AS(v − s)f(s)dsdv
= f(t) + Au(t) +
t
−∞
e−β(t−v)
v
−∞
AS(v − s)f(s)dsdv
= f(t) + Au(t) +
t
−∞
e−β(t−v)
Au(v)dv.
Por ´ultimo dado que f pertenece a alg´un espacio de N(X), entonces por el
Teorema de convoluci´on 1.8 se sigue que u pertenece al mismo espacio de f.

29. 29
En el caso de espacios de Hilbert, podemos usar el resultado de [12, Teorema
1] el cual caracteriza los C0-semigrupos inmediatamente continuos en norma
obteniendo el siguiente resultado.
Corolario 2.1 Sea A el generador de un C0-semigrupo inmediatamente con-
tinuo en norma sobre un espacio de Hilbert H. Sea s(A) := sup{Rλ : λ ∈
ρ(A)}, s(A) denota la cota espectral de A. Sean β > 0, α = 0, α + β > 0.
Supongamos que
a) l´ımµ∈R,|µ|→∞ (µ0 + iµ − A)−1
= 0 para alg´un µ0 > s(A);
b) sup{ λ, λ ∈ C : λ(λ + β)(λ + α + β)−1
∈ σ(A)} < 0.
Si f pertenece a alg´un espacio de N(X) entonces la ´unica soluci´on suave de
el problema (2.1) pertenece al mismo espacio de f.
Observaci´on En el caso A = ρI, ρ ∈ C, usando (2.2) y la transformada de
Laplace obtenemos que para cada x ∈ X:
Sρ(t)x = e
(ρ−β)t
2 cosh
t (β + ρ)2 + 4ρα
2
+
sinh t
2
(β + ρ)2 + 4ρα (β + ρ)
(β + ρ)2 + 4ρα
x.
(2.7)
Demostraci´on. Usando (2.2) con A = ρI tenemos que
ˆS(λ)x =
x
λ
+ ρˆb(λ) ˆSx
ˆS(λ)x − ρˆb(λ) ˆSx =
x
λ
ˆS(λ)[1 − ρˆb(λ)] =
1
λ
ˆS(λ) =
1
λ(1 − ρˆb(λ))
.
Ahora
ˆb(λ) =
1
λ
+
α
β
1
λ
−
1
λ + β
=
1
λ
+
α
λ(λ + β)
=
λ + β + α
λ(λ + β)
.

30. 30 CAP´ITULO 2. PROBLEMA LINEAL
Entonces
ˆS(λ) =
1
λ 1 − ρ λ+β+α
λ(λ+β)
=
λ + β
λ(λ + β) − ρ(λ + α + β)
=
2λ − ρ + β
2λ(λ − ρ + β) − 2ρ(β + α)
+
β + ρ
2λ(λ − ρ + β) − 2ρ(β + α)
=
2(2λ − ρ + β)
(2λ − ρ + β)2 − (β + ρ)2 − 4ρα
+
2(β + ρ)
4λ2 − 4λρ + 4βλ − 4βρ − 4ρα
=
2λ−ρ+β
2
(2λ−ρ+β
4
)2 − (β+ρ)2+4ρα
4
+
(β+ρ)
√
(β+ρ)2+4ρα
2
(β + ρ)2 + 4ρα(2λ−ρ+β
2
)2 − (β+ρ)2+4ρα
4
.
Aplicando la transformada inversa obtenemos
Sρ(t)x = e
(ρ−β)t
2 cosh
t (β + ρ)2 + 4ρα
2
+
sinh t
2
(β + ρ)2 + 4ρα (β + ρ)
(β + ρ)2 + 4ρα
x.
Teorema 2.2 Sea A := ρI, ρ ∈ R. Supongamos que ρ < β y (α + β)ρ < 0.
Sea f ∈ N(X).Consideremos la ecuaci´on
u (t) = ρu(t) + ρα
t
−∞
e−β(t−s)
u(s)ds + f(t), t ∈ R. (2.8)
Entonces la Ecuaci´on (2.8) tiene soluci´on ´unica u la cual pertenece al mismo
espacio de f y est´a dada por
u(t) =
t
−∞
Sρ(t − s)f(s)ds, t ∈ R, (2.9)
donde {Sρ(t)}t≥0 est´a definido como en la Ecuaci´on (2.7).
Demostraci´on. Sea f ∈ Ω, Ω un espacio de N(X). A genera un C0-semigrupo
inmediatamente continuo en norma. Adem´as σ(A) = C − (A) y (A) =
C − {ρ}, entonces σ(A) = {ρ}.
Veamos que:

31. 31
λ(λ + β)(λ + α + β)−1
∈ σ(A) si y solo si λ2
+ λ(β − ρ) − ρ(α + β) = 0
Supongamos que λ(λ + β)(λ + α + β)−1
∈ σ(A), entonces
λ(λ + β)(λ + α + β)−1
= ρ
λ(λ + β)(λ + α + β)−1
− ρ = 0
λ(λ + β) − ρ(λ + α + β)
(λ + α + β)
= 0
λ2
+ λβ − ρλ − ρα − ρβ
(λ + α + β)
= 0
λ2
+ λ(β − ρ) − ρ(α + β)
(λ + α + β)
= 0
⇔ λ2
+ λ(β − ρ) − ρ(α + β) = 0.
Afirmamos que Sρ(t) es integrable. De hecho, podemos reescribir Sρ(t) en
(2.7) de la siguiente manera:
Sρ(t) =
1
2
e
t(ρ−β)+c
2 + e
t(ρ−β)−c
2 +
(β + ρ)
2c
e
t(ρ−β)+c
2 + e
t(ρ−β)−c
2 ,
donde c = (β + ρ)2 + 4ρα. Por lo tanto,
|Sρ(t)| ≤
1
2
(e
tR(ρ−β)+c
2 + e
tR(ρ−β)−c
2 ) +
|β + ρ|
2c
(e
tR(ρ−β)+c
2 + e
tR(ρ−β)−c
2 ),
donde β − ρ > c porque (β + α)ρ < 0 y β > ρ, por lo tanto ρ − β − c <
ρ − β + c < 0. Llegamos a la conclusi´on de que Sρ(t) es integrable. Por lo
tanto, por el Teorema 2.1, existe una soluci´on ´unica de la Ecuaci´on (2.8) que
pertenece al mismo espacio al cual pertenece f y est´a dada por (2.9).
Ejemplo. Sean ρ = −1, α = 1, β = 1. Por el Teorema 2.2, para alg´un
f ∈ N(X) existe una soluci´on ´unica u ∈ N(X) de la ecuaci´on
u (t) = −u(t) −
t
−∞
e(s−t)
u(s)ds + f(t), t ∈ R, (2.10)
dada por
u(t) =
t
−∞
e−(t−s)
cos(t − s)f(s)ds, t ∈ R. (2.11)

32. 32 CAP´ITULO 2. PROBLEMA LINEAL
Puesto que
S−1(t) =
et( 2i−2
2
)
+ et( −2i−2
2
)
2
=
e−t
(eit
+ e−it
)
2
= e−t
cos t.

33. Cap´ıtulo 3
Problema Semilineal
En esta secci´on estudiaremos la existencia y unicidad de soluciones en M(X)
para la ecuaci´on semilineal integro-diferencial
u (t) = Au(t) + α
t
−∞
e−β(t−s)
Au(s)ds + f(t, u(t)), t ∈ R. (3.1)
Definici´on 3.1 Una funci´on u : R → X se dice que es una soluci´on suave
de la Ecuaci´on (3.1) si
u(t) =
t
−∞
S(t − s)f(s, u(s))ds, (3.2)
para todo t ∈ R, donde {S(t)}t≥0 est´a dada en la Proposici´on 2.1. Note que
M(X) denota uno de las espacios Pw(X), APw(X), PPw(X), SAPw(X),
AP(X), AAP(X), PAP(X), AA(X), AAA(X) ´o PAA(X) definidos en el
Cap´ıtulo 1.
Teorema 3.1 Sean β ≥ 0, α = 0 y α + β > 0. Supongamos que A genera
un C0-semigrupo inmediatamente continuo en norma sobre un espacio de
Banach X y
sup{Rλ : λ(λ + β)(λ + α + β)−1
∈ σ(A)} < 0. (3.3)
Si f ∈ M(R × X, X) satisface
f(t, u) − f(t, v) ≤ Lf (t) u − v (3.4)
para todo t ∈ R y u, v ∈ X, donde Lf ∈ L1
(R). Entonces la Ecuaci´on (3.1)
tiene una ´unica soluci´on suave u ∈ M(X).
33

34. 34 CAP´ITULO 3. PROBLEMA SEMILINEAL
Demostraci´on. Definamos el operador F : M(X) → M(X) por
(Fϕ)(t) :=
t
−∞
S(t − s)f(s, ϕ(s))ds, t ∈ R, (3.5)
donde {S(t)}t≥0 es dado en la Proposici´on 2.1. Por el Teorema 1.9 f(s, ϕ(s)) ∈
M(X) y por el Teorema 1.8 (Fϕ)(t) ∈ M(X). Por tanto F est´a bien definida.
Por la Proposici´on 2.1 existen w > 0 y M > 0 tales que S(t) ≤ Me−wt
para todo t ≥ 0. Para ϕ1, ϕ2 ∈ M(X) y t ∈ R tenemos:
Fϕ1 (t) − Fϕ2 (t) =
t
−∞
S(t − s)f(s, ϕ1(s))ds −
t
−∞
S(t − s)f(s, ϕ2(s))ds
≤
t
−∞
S(t − s)[f(s, ϕ1(s)) − f(s, ϕ2(s))] ds
≤
t
−∞
Lf (s) S(t − s) ϕ1(s)) − ϕ2(s))] ds
≤ M ϕ1 − ϕ2 ∞
t
−∞
e−w(t−s)
Lf (s)ds.
Sea τ = t − s, dτ = −ds
s = t τ = 0
s = −∞ τ = ∞.
Entonces
M ϕ1 − ϕ2 ∞
t
−∞
e−w(t−s)
Lf (s)ds = M ϕ1 − ϕ2 ∞
∞
0
e−wτ
Lf (t − τ)dτ
≤ M ϕ1 − ϕ2 ∞
∞
0
Lf (t − τ)dτ
≤ M ϕ1 − ϕ2 ∞
t
−∞
Lf (s)ds.
Ahora veamos que en general tenemos
Fn
ϕ1
(t) − Fn
ϕ2
(t) ≤ ϕ1 − ϕ2 ∞
( Lf 1M)n
n!
.

35. 35
Probaremos lo anterior usando el m´etodo de inducci´on matem´atica.
Fn+1
ϕ1
(t) − Fn+1
ϕ2
(t) = F(Fn
ϕ1
)(t) − F(Fn+1
ϕ2
)(t)
=
t
−∞
S(t − s)f(s, Fn
ϕ1(s))ds −
t
−∞
S(t − s)f(s, Fn
ϕ2(s))ds
≤
t
−∞
S(t − s) f(s, Fn
ϕ1(s)) − f(s, Fn
ϕ2(s)) ds.
Sea τ = t − s, dτ = −ds
s = t τ = 0
s = −∞ τ = ∞.
Entonces
t
−∞
S(t − s) f(s, Fn
ϕ1(s)) − f(s, Fn
ϕ2(s)) ds
≤
∞
0
S(τ) f(t − τ, Fn
ϕ1(t − τ)) − f(t − τ, Fn
ϕ2(t − τ)) dτ
≤ M Fn
ϕ1(t − τ) − Fn
ϕ2(t − τ)
∞
0
Lf (t − τ)dτ
≤ M Fn
ϕ1(s) − Fn
ϕ2(s)
t
−∞
Lf (τ)dτ
≤ ϕ1 − ϕ2 ∞
Mn+1
(n − 1)!
s
−∞
Lf (t)
t
−∞
Lf (τ)dτ
n−1
dτ
t
−∞
Lf (τ)dτ
≤ ϕ1 − ϕ2 ∞
Mn+1
(n − 1)!
s
−∞
Lf (t)
t
−∞
Lf (τ)dτ
n
dτ .
Sea u =
t
−∞
Lf (τ)dτ; du = Lf (τ)dτ, entonces
t
−∞
S(t − s) f(s, Fn
ϕ1(s)) − f(s, Fn
ϕ2(s))ds
≤
ϕ1 − ϕ2 ∞Mn+1
n!(n + 1)
s
−∞
Lf (t)dt
n+1
≤ ϕ1 − ϕ2 ∞
( Lf 1M)n
n!
.
Por lo tanto, dado que
( Lf 1M)n
n!
< 1 para n suficientemente grande, por el
principio de contracci´on F tiene un ´unico punto fijo u ∈ M(X).
Los siguientes corolarios son algunas consecuencias.

36. 36 CAP´ITULO 3. PROBLEMA SEMILINEAL
Corolario 3.1 Sean β ≥ 0, α = 0 y α + β > 0. Supongamos que A genera
un C0-semigrupo inmediatamente continuo en norma sobre un espacio de
Banach X y satisface la condici´on espectral (3.3). Si f ∈ AP(R × X, X)
(resp. AA(R × X, X)) satisface la condici´on de Lipschitz (3.7), entonces la
Ecuaci´on (3.1) tiene una ´unica soluci´on suave casi peri´odica (resp. soluci´on
casi autom´orfica).
Corolario 3.2 Sean β ≥ 0, α = 0 y α + β > 0. Supongamos que A genera
un C0-semigrupo inmediatamente continuo en norma sobre un espacio de
Banach X y satisface la condici´on espectral (3.3). Si f ∈ AAP(R × X, X)
(resp. AAA(R×X, X)) satisface la condici´on de Lipschitz (3.7), entonces la
Ecuaci´on (3.1) tiene una ´unica soluci´on suave asint´oticamente casi peri´odica
(resp. soluci´on asint´oticamente casi autom´orfica).
Corolario 3.3 Sean β ≥ 0, α = 0 y α + β > 0. Supongamos que A genera
un C0-semigrupo inmediatamente continuo en norma sobre un espacio de
Banach X y satisface la condici´on espectral (3.3). Si f ∈ PAP(R × X, X)
(resp. PAA(R×X, X)) satisface la condici´on de Lipschitz (3.7), entonces la
Ecuaci´on (3.1) tiene una ´unica soluci´on suave pseudo casi peri´odica (resp.
soluci´on pseudo casi autom´orfica).
En espacios de Hilbert tenemos los siguientes resultados.
Corolario 3.4 Sea A el generador de un C0-semigrupo inmediatamente con-
tinuo en norma sobre un espacio de Hilbert H. Sea s(A) := sup{ λ : λ ∈
ρ(A)}. Sean β > 0, α = 0 y α + β > 0. Supongamos que
a) l´ımu∈R,|u|→∞ u0 + iu − A)−1
= 0 para algun u0 > s(A);
b) sup{Rλ : λ(λ + β)(λ + α + β)−1
∈ σ(A)} < 0.
Si f ∈ M(R × H, H) satisface
f(t, u) − f(t, v) ≤ Lf (t) u − v (3.6)
para todo t ∈ R y u, v ∈ X, donde Lf ∈ L1
(R), entonces la ecuaci´on (3.1)
tiene una ´unica soluci´on suave u ∈ M(H).
En el caso especial A = ρI obtenemos la siguiente consecuencia del Teorema
2.2.
Teorema 3.2 Sea A := ρI, ρ ∈ R. Supongamos que ρ < β y (α + β)ρ < 0.
Sea f ∈ M(X). Consideremos la ecuaci´on
u (t) = ρu(t) + α
t
−∞
e−β(t−s)
u(s)ds + f(t, u(t)), t ∈ R. (3.7)

37. 37
Entonces (3.7) tiene soluci´on ´unica u ∈ M(X) dada por
u(t) =
t
−∞
Sρ(t − s)f(s, u(s))ds, t ∈ R, (3.8)
donde {Sρ(t)}t≥0 est´a definido en la Ecuaci´on (2.7).
Nota. Observe que en el caso α = 0 debemos asegurar que ρ < 0 y por
lo tanto tendremos los resultados sobre la existencia de soluciones para la
ecuaci´on
u (t) = ρu(t) + f(t, u(t)), t ∈ R (3.9)
en los espacios previamente definidos. Ver ejemplo en Corolario 4.6 de [7] .
Teorema 3.3 Sean β ≥ 0, α = 0 y α + β > 0. Supongamos que A genera
un C0-semigrupo inmediatamente continuo en norma sobre un espacio de
Banach X y satisface la condici´on espectral (3.3). Si f ∈ M(R × X, X)
satisface f(t, u)−f(t, v) ≤ Lf (t) u−v para todo t ∈ R y u, v ∈ X, donde
la integral
t
−∞
L(s)ds existe para todo t ∈ R. Entonces la Ecuaci´on (3.1)
tiene una ´unica soluci´on suave u ∈ M(X).
Demostraci´on. Por la Proposici´on 2.1, existen M > 0, ω > 0 tal que
S(t) ≤ Me−ωt
, para todo t ≥ 0. Definamos una nueva norma ϕ :=
supt∈R{v(t) ϕ(t) }, donde v(t) = e−k t
−∞
L(s)ds, k es una constante positiva
fija mayor que M. Definamos el operador F como en (3.5). Sea ϕ1, ϕ2 ∈
M(X). Entonces
v(t) (Fϕ1)(t) − (Fϕ2)(t) = v(t)
t
−∞
S(t − s)f(s, ϕ1(s))ds −
t
−∞
S(t − s)f(s, ϕ2(s))ds
= v(t)
t
−∞
S(t − s)[f(s, ϕ1(s)) − (f(s, ϕ2(s))]ds
≤ v(t)
t
−∞
S(t − s) [f(s, ϕ1(s)) − (f(s, ϕ2(s))] ds
≤ Mv(t)
t
−∞
Lf (s)e−ω(t−s)
ϕ1(s) − ϕ2(s) ds
= Mv(t)
t
−∞
e−ω(t−s)
Lf (s) ϕ1(s) − ϕ2(s) ds.
Sea τ = t − s, dτ = −ds
s = t τ = 0
s = −∞ τ = ∞.

38. 38 CAP´ITULO 3. PROBLEMA SEMILINEAL
Entonces
Mv(t)
t
−∞
e−ω(t−s)
Lf (s) ϕ1(s) − ϕ2(s) ds
= Mv(t)
∞
0
e−ω(t)
Lf (t − τ) ϕ1(t − τ) − ϕ2(t − τ) ds
≤ Mv(t)
∞
0
Lf (t − τ) ϕ1(t − τ) − ϕ2(t − τ) ds
= M
t
−∞
v(s)−1
v(t)Lf (s)v(s) ϕ1(s) − ϕ2(s) ds
≤
M
k
ϕ1 − ϕ2
t
−∞
kv(t)v(s)−1
Lf (s)ds
=
M
k
ϕ1 − ϕ2
t
−∞
ke
−k s
t Lf (s)ds− s
−∞ Lf (s)ds
Lf (s)ds
=
M
k
ϕ1 − ϕ2
t
−∞
ke−k t
s Lf (s)ds
Lf (s)ds
=
M
k
ϕ1 − ϕ2
t
−∞
d
ds
kek s
t Lf (τ)dτ
ds
=
M
k
[1 − ek s
t Lf (τ)dτ
] ϕ1 − ϕ2
≤
M
k
ϕ1 − ϕ2 .
Por lo tanto, como M/k < 1, F tiene un ´unico punto fijo u ∈ M(X).
Para finalizar veamos la siguiente aplicaci´on.
Ejemplo Considere el problema
∂u
∂t
(t, x) = ∂2u
∂x2 +
t
−∞
e−(t−s) ∂2u
∂x2 (s, x)ds + f(t, u(t))
u(0, t) = u(π, t) = 0
(3.10)
con x ∈ [0, π], t ∈ R. Sea X = L2
[0, π] y definamos A := ∂2u
∂x2 , con dominio
D(A) = {g ∈ H2
[0, π] : g(0) = g(π) = 0}. Entonces (3.10) puede ser escrita
de la forma (3.1) con α = β = 1. Sabemos que A genera un C0-semigrupo
T(t) anal´ıtico y compacto sobre X, por tanto inmediatamente continuo en
norma. La compacidad de T(t) implica que σ(A) = σp(A) = {−n2
: n ∈ N}.
Dado que debemos tener λ(λ + β)(λ + α + β)−1
∈ σ(A) necesitamos resolver
la ecuaci´on λ(λ+1)
λ+2
= −n2
obteniendo
λ1 = −1 ± i, λ2 = −5±7i
2
y λn =
−(n2+1)±
√
(n2−3)2−8
2
≤ −2 para todo n ≥ 3.

39. 39
Concluimos que
sup{Rλ : λ(λ + β)(λ + α + β)−1
∈ σ(A)} = −1.
Por lo tanto del Teorema 3.1 (resp Teorema 3.3) obtenemos que si f ∈
M(R × X, X) satisface f(t, u) − f(t, v) ≤ Lf (t) u − v , para todo t ∈ R y
u, v ∈ X, con Lf ∈ L1
(R) (resp.
t
−∞
b(s)ds existe para todo t ∈ R.), entonces
la Ecuaci´on (3.10) tiene una ´unica soluci´on suave u ∈ M(X). En particular,
si f(t, ϕ)(s) = b(t) sin(ϕ(s)), para todo ϕ ∈ X, t ∈ R con b ∈ M(X), enton-
ces t → f(t, ϕ) pertenece a M(X), para cada ϕ ∈ X y adem´as
f(t, ϕ1)−f(t, ϕ2) 2
2 ≤
π
0
|b(t)|2
| sin(ϕ1(s)−sin ϕ2(s))|ds ≤| b(t) |2
ϕ1−ϕ2
2
2.
En consecuencia, el problema (3.10) tiene una ´unica soluci´on suave en M(X)
si y solo si b ∈ L1
(R) (por el Teorema 3.1) ´o
t
−∞
b(s)ds existe para todo t ∈ R
(por el Teorema 3.3).

41. Ap´endice A
S´ımbolos especiales
Aqu´ı presentamos la definici´on de los s´ımbolos usados en este trabajo.
R: Conjunto de los n´umeros reales.
R+: Conjunto de n´umeros reales positivos sin el cero, (0, ∞).
D(A): Dominio de un operador A.
· : Norma.
λ: Parte real de un n´umero complejo.
B(X): Espacio de los operadores lineales acotados.
(A): Conjunto resolvente de A.
σ(A): Espectro de A.
L2
(Ω): Espacio de las funciones integrables sobre Ω; Ω
|f(x)|2
dx < ∞.
H2
(Ω) = W2,2
(Ω) = u ∈ L2
(Ω) : d2u
dx2 ∈ L2
(Ω)
41

43. Bibliograf´ıa
[1] W. Arendt, C.J.K. Batty, M. Hieber, F. Neubrander. Vector-valued La-
place Transforms and Cauchy Problems. Monographs in Mathematics,
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[3] K.-J. Engel, R. Nagel, One-Parameter Semigroups for Linear Evolution
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[4] J.A. Goldstein, G.M. N’Gu´er´ekata, Almost automorphic solutions of se-
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[7] C. Lizama, G.M. N’Gu´er´ekata, Bounded mild solutions for semilinear
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[8] C. Lizama, F. Poblete, Regularity of mild solutions for a class of fractio-
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[9] G.M. N’Gu´er´ekata, Existence and uniqueness of almost automorphic
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group Forum 69 (2004) 80–86.
[10] A. Pazy, Semigroups of linear operador and applications to parcial dif-
ferential equations, Springer-Verlag, New York.
43

44. 44 BIBLIOGRAF´IA
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