Este documento presenta definiciones y teoremas relacionados con la topología y los espacios métricos. En particular, demuestra que el conjunto de los reales no es numerable y define la noción de sucesión controlada y espacio métrico cuasi-completo asociado a las sucesiones de Cauchy de un espacio métrico.

1. UNIVERSIDAD VERACRUZANA
12 de Marzo a 16 de Marzo
TOPOLOG´ I
IA
Corolario no es numerable
Demostraci´n:o
Supongamos que R es numerable,
por lo que existir´ una sucesi´n {x1 , x2 , x3 , ..., xn , ...} cuyos t´rminos son
a o e
todos los puntos de R.
Sea I1 = [a, b] un intervalo cerrado que no contenga a x1 . Como extremos
de I1 se pueden tomar dos puntos a, b ∈ R que verifiquen x1 < a < b
estrictamente.
Existe un intervalo cerrado I2 , tal que I2 ⊂ I1 y x2 = I2 . Se contin´a u
el proceso y supuesto que se han construido los intervalos cerrados I1 ⊃
I2 ⊃ ... ⊃ In con xi = Ii (i = 1, 2, ..., n), luego, existe un intervalo cerrado
In+1 ⊂ In con xn+1 = In+1 .
Este m´todo recurrente determina una sucesi´n {In } de intervalos cerra-
e o
dos, con xn = In , para todo n ∈ ℵ. El principio de encaje asegura la existencia
de un punto x ∈ , por lo menos, que est´ contenido en todos los intervalos
a
In , y por lo tanto x = xn para todo n ∈ ℵ. Lo que contradice la hip´tesis de o
que en xn est´n todos los puntos de .
a
Recordatorio:
* Teorema (Teorema de Cantor)
Sea X un espacio m´trico completo y {Fn }n∈ℵ una sucesi´n decreciente de
e o
conjuntos cerrados (no vac´ıos) tales que si Diam Fn −→ 0, entonces F =
n∈ℵ Fn = {x0 }
* Teorema (Teorema de Bolzano-Wiesstras)
Toda sucesi´n acotada en n tiene un punto de acumulaci´n
o o
1

2. Lema Sea X un espacio m´trico y {xn }n∈ℵ una sucesi´n de Cauchy. Si
e o
xϕ(n) ⊂ {xn } tal que xϕ(n) −→ x entonces xn −→ x
n
Lema es completo.
Definici´n 1.21 Sean (X, d) un espacio m´trico y A ⊂ X
o e
(A, d/A ) es un subespacio m´trico de (X, d) donde:
e
d/A : A × A −→
(x, y) −→ d(x, y)
Teorema Si (X, d) es un espacio m´trico completo y F ⊂ X es cerrado,
e
entonces (F, d/F ) es completo
Demostraci´n:
o
Sea {xn }n∈ℵ una sucesi´n de Cauchy en F , queremos probar que ∃l ∈ F
o
tal que xn − → l. Como {xn }n∈ℵ ⊂ F ⊂ X, entonces {xn }n∈ℵ es sucesi´n de
−
n→∞ o
Cauchy en X.
Y como X es completo, ∃l ∈ X tal que l es punto de acumulaci´n de
o
{xn }n∈ℵ y como F es cerrado, se sigue que F a ⊂ F
Dado que l ∈ F a ⊂ F ⇒ l ∈ F ⇒ (F, d/F ) es completo.
Definici´n 1.22 Dados X un espacio m´trico y {xn }n∈ℵ una sucesi´n en X.
o e o
1
Decimos que {xn } est´ controlada si ∀n, p ∈ ℵ, se tiene que d(xn , xn+p ) < n+1
a
a) ¿Toda sucesi´n de Cauchy est´ controlada?
o a
No necesariamente.
b) ¿Toda sucesi´n controlada es de Cauchy?
o
1
Si, sea > 0 cualquiera, d(xn , xm ) < n+1 < con m = n + p
Observaci´n:
o
Una sucesi´n de Cauchy {xn } no necesariamente es controlada, pero s´ tie-
o ı
ne una subsucesi´n xϕ(n) controlada.
o
Demostraci´n:o
Sea {xn } una sucesi´n de Cauchy, es decir dado > 0 ∃N ∈ ℵ, tal que
o
d(xn , xm ) < m, n > N
Sea = 1, entonces ∃N1 ∈ ℵ tal que d(xn , xm ) < 1 para m > n > N1
tomemos ϕ(1) = N1 , tenemos que d(xϕ(1) , xϕ(1)+p ) < 1
Sea = 2 entonces ∃N 1 ∈ ℵ tal que d(xn , xm ) < 1 para m > n > N 1
1
2
2 2
2

3. tomemos ϕ(2) = N 1
2
.
.
.
xϕ(n) ⊂ {xn }, con ϕ creciente
1
Por lo tanto xϕ(n) est´ controlada ya que d(xϕ(n) , xϕ(n)+p ) <
a n+1
Definici´n 1.23 Sean X un espacio m´trico y
o e
X´= { {xn } ⊂ X : {xn } es sucesi´n de Cauchy }
o
X´= { U : ℵ −→ X : U es sucesi´n de Cauchy }
o
Observaci´n: Para u, v ∈ X´
o
Sea kn : n −→ d(u(n), v(n)), entonces {kn }n∈ℵ ⊂ es una sucesi´n.
o
Afirmaci´n:
o
1. {kn }n∈ℵ es de Cauchy
Demostraci´n:
o
Queremos probar que dado > 0 ∃N ∈ ℵ tal que d(kn , km ) < para
m>n>N
|kn − km | = |d(u(n), v(n)) − d(u(m), v(m))| =
= |d(un , vn ) − d(um , un ) + d(um , un ) − d(um , vm )| =
≤ |d(un , vn ) − d(um , un )| + |d(um , un ) − d(um , vm )| ≤
≤ d(un , un+p ) + d(un , vn+p ) < 2 + 2 =
Por lo tanto {kn }n∈ℵ es de Cauchy
2. Sea d : X´× X´ −→
´ (u, v) −→ limn→∞ d(u(n), v(n)) ¿Es d una
´
m´trica sobre X´
e
Demostraci´n:
o
Veamos si cumple las 3 propiedades de la definici´n de m´trica:
o e
i)d(u, v) = 0 pero no necesariamente u = v
´
Por lo tanto d´no es una m´trica sobre X´
e
Definici´n 1.24 Sea R ⊂ X´× X´ entonces uRv si y s´lo si
o , o
limn→∞ (u(n), n(n)) = 0. Donde R es una relaci´n de equivalencia.
o
Observaciones:
[a]R = {b ∈ A : bRa} Clase de equivalencia modulo R
3

4. ˜
X = {[u]R : u es una sucesi´n de Cauchy en X}
o
d´induce una m´trica sobre X
e ˜
X´ R = X
/ ˜
TAREA 1.11
Probar que d ˜
´induce en X´ ∼ una m´trica d
/ e
Demostraci´n:o
Sean [u] , [v] ∈ X˜
d˜ : X × X −→
˜ ˜
([u] , [v]) −→ d(u, v)
´
Bajo estas condiciones: u u y v v
´∼ ´∼
d (u , v ) ≤ d (u , u) + d (u, v) + d (v, v )
dado que u ∼ u y v ∼ v se tiene que d (u , u) = 0 y d (v, v ) = 0, as´
ı
d (u , v ) ≤ d (u, v)
d (u, v) ≤ d (u , v ) ≤ d (u, v)
⇒ d (u, v) = d (u , v )
Por lo tanto d est´ bien definida.
a
˜ ˜ ˜
Ahora veamos si d es una m´trica sobre X × X, es decir, si cumple las 3
e
propiedades de la definici´n de m´trica.
o e
i) d([u] , [v]) = 0 si y s´lo si d´ v) = 0 con u ∈ [u] y v ∈ [v]
˜ o (u,
´ v) = 0 si y s´lo si u ∼ v, si y s´lo si [u] = [v]
d(u, o o
ii) d([u] , [v]) = d´ v) = d´ u) = d([v] , [u])
˜ (u, (v, ˜
˜ ˜
Por lo tanto d([u] , [v]) = d([v] , [u])
iii) d([u] , [v]) = d´ v) ≤ d´ w) + d´ v) = d([u] , [w]) + d([w] , [v])
˜ (u, (u, (w, ˜ ˜
ı ˜ ˜ ˜
As´ d([u] , [v]) ≤ d([u] , [w]) + d([w] , [v])
˜ ˜
Por lo tanto (X, d) es un espacio m´trico.
e
˜ ˜
Teorema (X, d) es un espacio m´trico completo
e
Demostraci´n: o
˜
Sean {[u]n }n∈ℵ una sucesi´n de Cauchy en X y (un ) un representante de
o
[u]n , (un ) ∈ X´
{un (n)}n∈ℵ ∈ X es de Cauchy
4

5. u1 (1) u1 (2) u1 (3) ........... u1 (n) ......
u2 (1) u2 (2) u2 (3) ........... u2 (n) ......
.
.
.
un (1) un (2) un (3) ........... un (n) .....
Sea W = {u1 (1), u2 (2), u3 (3), ......, un (n), ...} una sucesi´n.
o
wn = un (n)
Queremos que W sea de Cauchy.
d(Wn , Wn+p ) = d(un (n), un+p (n + p))
≤ d(un (n), un (n + p)) + d(un (n + p), un+p (n + p))
1
≤ n+1 + d(un (n + p), un (q)) + d(un (q), un+p (q)) + d(un+p (q), un+p (n + p))
1 1 1
≤ n+1 + n+1 + n+1 + d (un , un+p )
3 3 1 4
≤ n+1 + d (un , un+p ) ≤ n+1 + n+(p+1) < n+1
˜
Por lo tanto W es de Cauchy, lo cual implica que W ∈ X´ as´ [W ] ∈ X
, ı
Nos falta ver que [un ] − → [W ]
−
n→∞
Tenemos que cada sucesi´n de la diagonal converge a W
o
Por demostrar que d(u ˜ n, W ) < ∀ > 0
d(un , W ) = limp−→∞ d(un (p), W (p)) = limp−→∞ d(un (p), up (p))
´
|d(un , W ) − d(un (p), up (p))| < para n suficientemente grande
´
1 1 3
d(un (p), up (p)) < n+1 + d(un , up ) + p+1 < + n+1
´
ı ˜
As´ d(un , W ) < , [u]n −→ W
˜ ˜
Por lo tanto (X, d) es un espacio m´trico completo
e
5