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Dinámica de Estructuras con CEINCI-LAB
Book · April 2012
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Roberto Aguiar
Universidad de Fuerzas Armadas ESPE
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DINAMICA DE
ESTRUCTURAS CON
CEINCI - LAB
ROBERTO AGUIAR FALCONI
SEGUNDA EDICIÓN 2012

SISTEMAS DE UN GRADO DE LIBERTAD
2
DINÁMICA DE ESTRUCTURAS CON CEINCI-LAB
2a
EDICIÓN
ROBERTO AGUIAR FALCONÍ
Centro de Investigaciones Científicas
Escuela Politécnica del Ejército
Quito, Ecuador
CEINCI ESPE, Quito, Ecuador
Escuela Politécnica del Ejército
Quito - Ecuador

CEINCI-ESPE
3
DINÁMICA DE ESTRUCTURAS CON CEINCI-LAB, SEGUNDA EDICIÓN
Copyright ® 2012 El Autor
Edita: Centro de Investigaciones Científicas.
Escuela Politécnica del Ejército.
Av. Gral Rumiñahui s/n
Valle de los Chillos, Ecuador
ISBN-13: ISBN-978-9978-301-02-9
Registro del Instituto Ecuatoriano de Propiedad Intelectual N.- 029970
Abril de 2012

4
A la memoria de mi querida madre Blanca Falconí

CEINCI-ESPE
5
PRESENTACIÓN
La primera edición de este libro fue publicado en marzo de 2007 y ahora luego de cinco
años tengo el agrado de presentar la segunda edición; a pesar de que la Dinámica de
Estructuras es una materia básica para el Análisis Sísmico de Estructuras, en que
aparentemente no hay muchos cambios, el Dr. Roberto Aguiar Falconí, se ha preocupado en
publicar esta nueva obra motivado principalmente por la publicación de la nueva Norma
Ecuatoriana de la Construcción, NEC-11.
Tres aspectos son fundamentales del NEC-11 y son la nueva zonificación sísmica del
Ecuador; los nuevos espectros de diseño y los factores con los cuales se pasa del espectro
elástico al inelástico en función de las tipologías estructurales. Estos temas y otras nuevas
contribuciones del NEC-11 se presentan en este libro.
El sistema de computación CEINCI-LAB que el autor de este libro empezó a desarrollar
a partir del 2009, para facilitar la enseñanza es una notable herramienta informática que
permite realizar el análisis sísmico en forma elemental de problemas complejos y actuales
como el de estructuras con aisladores de base sobre la cimentación o sobre las columnas del
primer piso. El listado de estos programas se encuentran en el libro por dos motivos, el primero
para que cualquier lector pueda copiarlos y el segundo debido a que la lectura de los mismos
ayuda notablemente a entender la teoría. La librería de programas de CEINCI-LAB sirve
además para la práctica profesional.
Las lecciones dejadas por el Mega Sismo de Chile de 2010 también han sido acogidas
en este libro donde se vio el magnífico comportamiento que tuvieron las estructuras con
aisladores de base o disipadores de energía, en contraste con las construcciones clásicas. Por
este motivo en algunos capítulos se habla sobre estos sistemas de Control Pasivo que día a
día se van imponiendo en los Países con alta Peligrosidad Sísmica como es el Ecuador.
En esta nueva edición se ha incrementado el número de ejercicios resueltos, con lo que
se facilita notablemente la enseñanza y se presentan temas que no fueron tratados en el primer
libro, como la Integral de Duhamel para encontrar la respuesta en el tiempo de estructuras de
un grado de libertad; el cálculo de la Disipación de Energía para determinar la matriz de
amortiguamiento, entre otros.
Finalmente debo manifestar que este es uno de los libros de consulta de los
estudiantes que reciben la materia de Análisis Sísmico de Estructuras con el Dr. Roberto
Aguiar.
Gral. Carlos Rodríguez Arrieta
Rector de la Escuela Politécnica del Ejército

6
INDICE GENERAL
CAPíTULO 1
1. SISTEMAS DE UN GRADO DE LIBERTAD
RESUMEN ……………………………………………………………………………………….1
1.1 VIBRACIONES LIBRES …………………………………………………………………….2
1.1.1 Solución de la ecuación diferencial……………………………………………….3
1.1.2 Vibración libre sin amortiguamiento………………………………………………4
1.1.3 Vibración libre subamortiguada …………………………………………………..5
1.1.4 Vibración libre sobre amortiguada ……………………………………………….7
1.2 PROGRAMA v_ libre Y COMENTARIOS .………………………………………………..9
1.3 FACTOR DE AMORTIGUAMIENTO………………………………………………………11
1.4 VIBRACIONES FORZADA EXCITACIÓN ARMONICA…………………………………12
1.4.1 Respuesta ante una excitación sinusoidal………………………………………13
1.4.2 Factor de amplificación …………………………………………………………...16
1.4.3 Fuerza transmitida a la fundación ……………………………………………….19
1.5 EXITACIONES ARBITRARIAS…………………………………………………………….21
1.5.1 Escalón unitario……………………………………………………………………….21
1.5.2 Pulso rectangular……………………………………………………………………..24
1.6 RESPUESTA IMPULSIVA………………………………………………………………….25
1.6.1 Respuesta en ausencia de condiciones iniciales ………………………………26
1.6.2 Casos Particulares…………………………………………………………………27
1.7 INTEGRAL DE CONVOLUCIÓN…………………………………………………………..27
1.8 TRANSFORMADA DE FOURIER………………………………………………………….28
1.9 FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA…………………………………………………………28
1.10 INTEGRAL DE DUHAMEL……………………………………………………………..29
1.11 EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS ………………………………………………..34
1.12 APLICACIÓN PRÁCTICA………………………………………………………………36
CAPITULO 2
2. ESPECTROS DE RESPUESTA
RESUMEN……………………………………………………………………………………..…41
2.1 MÉTODOS DE ACELERACIÓN LINEAL EN SISTEMAS DE 1GDL…………………..42
2.2 PROGRAMA lineal…………………………………………………………………………..43
2.3 MODELOS DE UN GRADO DE LIBERTAD………………………………………………46
2.4 ESPECTROS DE RESPUESTA ..…………………………………………………………47
2.4.1 Definición de espectro……………………………………………………………..47
2.4.2 Programa espectro ………………………………………………………………..49
2.5 USO DEL PROGRAMA DEGTRA…………………………………………………………51
2.6 IMPORTANCIA DE LAS FORMAS ESPECTRALES…………………………………….55
2.7 EL MEGA SISMO DE CHILE DE 2010……………………………………………………56
2.8 PSEUDO ESPECTROS…………………………………………………………………….60
CAPITULO 3
3. ESPECTROS DE DISEÑO
RESUMEN………………………………………………………………………………..………65
3.1 OBTENCIÓN DE UN ESPECTRO DE DISEÑO………………………………………….66
3.2 RESEÑA HISTÓRICA……………………………………………………………………….69
3.3 CÓDIGO ECUATORIANO DE LA CONSTRUCCIÓN CEC 2000………………………70
3.4 NORMA ECUATORIANA DE LA CONSTRUCIÓN NEC-11……………………………72

CEINCI-ESPE
7
3.5 COMPARACIÓN DE ESPECTROS DEL CEC-2000 Y NEC-11………………………..76
3.6 ESPECTROS POR DESEMPEÑO PARA EDIFICIOS…………………………………..77
3.7 DESEMPEÑO ESTRUCTURAL SEGÚN VISION 2000…………………………………81
3.8 CAPACIDAD DE DISIPACIÓN DE ENERGÍA……………………………………………82
3.8.1 Ductilidad de una estructura………………………………………………………83
3.8.2 Ductilidad por curvatura……………………………………………………………85
3.8.3 Ductilidad del material……………………………………………………………..86
3.8.4 Sobre resistencia…………………………………………………………………...86
3.8.5 Redundancia ……………………………………………………………………….87
3.9 FORMULACIONES DE CÁLCULO DEL FACTOR R……………………………………88
3.10 FACTOR DE REDUCCIÓN POR DUCTILIDAD Ru ………………………………..90
3.10.1 Regla de igual desplazamiento…………………………………………………...90
3.10.2 Regla de Igual Energía…………………………………………………………….92
3.10.3 Formulación de Newmark y Veletsos (1960)……………………………………93
3.10.4 Formulación de Newmark y Hall (1982)…………………………………………93
3.10.5 Formulación de Aguiar, Romo y Aragón…………………………………………97
3.11 FACTOR DE SOBRE RESISTENCIA RΩ …………………………………………..101
3.12 FACTOR DE REDUNDANCIA
RR…………………………………………………...103
3.13 RECOMENDACIÓN PARA EL ECUADOR SOBRE EL FACTOR R…………….106
3.14 ESPECTRO INELÁSTICO……………………………………………………………107
3.15 EL MEGA SISMO DE CHILE DE 2010 Y EL PARÁMETRO β……………………108
3.16 ESPECTROS PARA PRESAS……………………………………………………….110
CAPITULO 4
4. MATRIZ DE RIGIDEZ
RESUMEN……………………………………………………………………………………….113
4.1 MATRIZ DE RIGIDEZ DE UN ELEMENTO……………………………………………..114
4.1.1 Análisis sin nudo rígido…………………………………………………………..114
4.1.2 Análisis con nudo rígido………………………………………………………….119
4.2 MATRIZ DE RIGIDEZ DE LA ESTRUCTURA…………………………………………..122
4.2.1 Coordenadas Generalizadas…………………………………………………….123
4.2.2 Vector de colocación……………………………………………………………..125
4.2.3 Ensamblaje directo…………………………………………………………...…..127
4.3 CONDENSACIÓN DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ……………………………………….131
4.3.1 Condensación a las coordenadas “a”…………………………………………..132
4.3.2 Condensación a las coordenadas “b”…………………………………………..132
4.4 CONDENSACIÓN MEDIANTE SOLUCIÓN DE ECUACIONES ……………………..133
4.4.1 Caso en que Qb=0……………………………………………………………….134
4.4.2 Caso en que Qa=0………………………………………………………………..135
4.5 CONDENSACIÓN MEDIANTE TRIANGULARIZACIÓN DE GAUSS………………..135
4.6 MATRIZ DE RIGIDEZ LATERAL…………………………………………………………137
4.6.1 Vigas axialmente rígidas…………………………………………………………138
4.6.2 Vigas y columnas axialmente rígidas…………………………………………..139
4.7 USO DE CEINCI-LAB……………………………………………………………………...143
4.8 PROGRAMA rlaxinfi………………………………………………………………………..152
4.9 MATRIZ DE RIGIDEZ DE EL ELEMENTO MANPOSTERIA………………………….156
4.10 PROGRAMA rlaxinfimanposteria…………………………………………………….160

8
CAPÍTULO 5
5. MATRIZ DE MASAS
RESUMEN……………………………………………………………………………………….165
5.1 ENERGÍA CINÉTICA………………………………………………………………………166
5.2 RAGLA DE CÁLCULO DE LA MATRIZ DE MASAS…………………………………...167
5.3 PROCEDIMIENTO DE CÁLCULO DE LA ENERGÍA CINÉTICA……………………..168
5.4 MATRIZ DE PASO…………………………………………………………………………171
5.5 ANÁLISIS PLANO………………………………………………………………………….173
5.5.1 Análisis de masas concentradas a nivel de piso………………………………173
5.5.2 Análisis con entrepisos flexibles………………………………………………...175
5.6 PÉNDULO INVERTIDO……………………………………………………………………177
5.7 MOMENTO DE INERCIA DE LA MASA……………………………………….………...177
5.8 INTERACCIÓN SUELO ESTRUCTURA………………………………………………...179
5.8.1 Péndulo Invertido…………………………………………………………………179
5.8.2 Interacción suelo estructura para el caso plano……………………………….180
5.9 AISLADORES DE BASE…………………………………………………………………..185
5.9.1 Matriz De Masas…………………………………………………………….……186
5.9.2 Matriz de Rigidez y Amortiguamiento…………………………………………..186
5.9.3 Ecuación diferencial del movimiento…………………………………………...187
5.10 ANÁLISIS ESPACIAL………………………………………...……………………….192
5.10.1 Matriz de Masas……………….………………………………………………….193
5.10.2 Matriz de Rigidez en coordenadas de piso…………………………………….194
5.10.3 Programa matriz _es……………………………………………………………..196
5.11 EJERCICIO DE REFUERZO…………………………………………………………199
CAPITULO 6
6. MODOS DE VIBRACIÓN
RESUMEN……………………………………………………………………………………….203
6.1 VIBRACIÓN LIBRE SIN AMORTIGUAMIENTO..………………………………………204
6.1.1 Valores propios……………………………………………………………………205
6.1.2 Propiedades dinámicas…………………………………………………………..206
6.1.3 Modos de vibración……………………………………………………………….206
6.2 ALGORITMO DE …………………………………………….…………………………209
6.3 MÉTODO DE JACOBI……………………………………………………………………..214
6.3.1 Desarrollo del Método………………………………………………………...….214
6.3.2 Procedimiento de cálculo………………………………………………………...215
6.3.3 Cálculo de los vectores propios…………………………………………………216
6.4 MODOS RITZ………………………….……………………………………………………217
6.5 INTERACCIÓN SUELO ESTRUCTURA……………….………………………………..219
6.6 AISLADORES DE BASE…………..………………………………………………………226
6.7 PROGRAMAS DE CEINCI-LAB PARA AISLADORES DE BASE……………….……230
CAPITULO 7
7. MATRIZ DE AMORTIGUAMIENTO
RESUMEN……………………………………………………………………………………….241
7.1 DISIPACIÓN DE ENERGÍA……………………………………………………………….243
7.1.1 Energía disipada……………………………………………………………….....244
7.1.2 Factor de amortiguamiento equivalente………………………………………..245
7.1.3 Modelo Bilineal…………………………………………..………………………..246
7.1.4 Recomendaciones del ATC-40………………………………………………….248

CEINCI-ESPE
9
7.1.5 Modelo de Kelvin Voight………………………………………...……………….253
7.2 TASA DE DISIPACIÓN DE ENERGÍA…………………………………………………...256
7.3 AMORTIGUAMIENTO TIPO RAYLEIGH……………………………………………......261
7.4 ALGORITMO DE WILSON Y PENZIEN…………………………………………………262
7.5 PROGRAMA amortiguamiento…………………………………………………………..266
7.6 ECUACIONES DIFERENCIALES DESACOPLADAS………………………………….266
7.7 VIBRACIÓN LIBRE CON AMORTIGUAMIENTO………………………………………270
7.7.1 Exponencial de una matriz……………………………………………………....271
7.7.2 Resumen del procedimiento de cálculo………………………………………..273
7.8 PROPIEDADES DINAMICAS COMPLEJAS……………………………………………277
7.8.1 Deducción en base a un sistema de un grado de libertad…………………...280
CAPITULO 8
8. RESPUESTA ELÁSTICA EN EL TIEMPO
RESUMEN……………………………………………………………………………………….283
8.1 MÉTODO DE NEWMARK…………………………………………………………………284
8.2 APLICACIÓN DEL MÉTODO DE NEWMARK………………………………………….288
8.3 PROCEDIMIENTO DE CÁLCULO……………………………………………………….289
8.4 MODELO NUMÉRICO PARA ANÁLISIS PLANO………………………………………293
8.5 PROCEDIMIENTO DE ESPACIO DE ESTADO……………………………………….300
8.5.1 Formulación del problema……………………………………………………….300
8.5.2 Primera fórmula de solución……………………………………………………..301
8.5.3 Formulación de la repuesta en la Primera forma……………………………...301
8.5.4 Programa pse……………………………………………………………………..302
8.5.5 Segunda forma de solución ……………………………………………............306
8.6 AISLADORES DE BASE ELASTOMÉRICOS CASO PLANO………………………...307
8.6.1 Método Cuasi-Estático…………………………………………………………...309
8.6.2 Método de Masa Corregida……………………………………………………...309
8.7 ESTRUCTURAS CON AISLADORES SOBRE LAS COLUMNAS……………………310
8.7.1 Cálculo de las reacciones………………………………………………………..312
8.7.2 Matriz de rigidez de los aisladores ……………………………………………..314
8.7.3 Matriz de Masas…………………………………………………………………..317
8.7.4 Matriz de Amortiguamiento………………………………………………………318
CAPÍTULO 9
9. MÉTODO DE SUPERPOSICIÓN MODAL
RESUMEN……………………………………………………………………………………….325
9.1 INTRODUCCIÓN…………………………………………………………………………...326
9.2 DESPLAZAMIENTOS MÁXIMOS………………………………………………………...327
9.3 FUERZAS MÁXIMAS MODALES………………………………………………………...329
9.4 CRITERIOS DE COMBINACIÓN MODAL………………………………………………330
9.5 ANÁLISIS SÍSMICO PLANO……………………………………………………………...333
9.6 ANÁLISIS SÍSMICO ESPACIAL………………………………………………………….343
9.7 ESTRUCTURAS CON AISLADORES DE BASE……………………………………….346
CAPÍTULO 10
10. SISTEMAS CONTINUOS: VIGA DE FLEXIÓN
RESUMEN……………………………………………………………………………………….351
10.1 ECUACIÓN DIFERENCIAL DEL MOVIMIENTO……………………………...…...352
10.2 VIBRACIÓN LIBRE…………………………………...……………………………….354
10.2.1 Viga en voladizo……………….………………………………………………….355

10
10.2.2 Viga apoyada……………………………………………………………………...357
10.2.3 Interacción suelo estructura……………………………………………………..360
10.2.4 Variación del periodo con la interacción………………………………………..364
10.3 ORTOGONALIDAD DE LOS MODOS DE VIBRACIÓN…………………………..365
10.3.1 Valores propios y modos normalizados………………………………………….368
10.4 VIBRACIÓN FORZADA………………………………………………………………368
10.4.1 Masas modales……………………………………………………………………370
10.4.2 Respuesta en el tiempo………………………………………………………….372
CAPÍTULO 11
11. SISTEMAS CONTINUOS: VIGA DE CORTE
RESUMEN……………………………………………………………………………………….377
11.1 ECUACIÓN DIFERENCIAL DEL MOVIMIENTO………………..………………...377
11.2 VIBRACIÓN LIBRE………………………………………………..………………….379
11.2.1 Viga en Voladizo………………………………………………………….………380
11.2.2 Comparación de formas modales………………………………………………383
11.2.3 Frecuencias de vibración………………………………………………………...384
11.3 ORTOGONALIDAD DE MODOS DE VIBRACIÓN…………………………..……385
11.4 VIBRACIÓN FORZADA……………………………………………………..…..…...386
11.5 CORTANTE BASAL…………………………………………………………………..387
11.6 MASA MODAL…………………………………………………………………………389
CAPITULO 12
1. VIGA DE CORTE ACOPLADO A UNA DEFLEXION
RESUMEN………………………………………………………...………………………….393
1.1 IMPORTANCIA DEL ESTUDIO………………………………………………………..394
1.2 MODELO DE MIRANDA………………………………………………………………..395
1.2.1 Respuesta en desplazamiento…………………………..…………………..398
1.2.2 Efecto de la distribución de cargas…………………………………………..401
1.3 APLICACIONES ……………………………………………………...………………...403
1.3.1 Parámetro β1…………………………………………………………………...404
1.3.2 Desplazamiento lateral………………………………………………………..408
1.4 DERIVADA DE PISO……………………………………………………………………410
1.5 EVALUACIÓN RÁPIDA DE LA DERIVA MÁXIMA DE PISO……………………….413

CAPÍTULO 1
RESUMEN
Se inicia el capítulo con el estudio de Vibraciones Libres en un sistema de un grado de
libertad, para el efecto se analizan cuatro casos en función del valor del factor de
amortiguamiento. Estos casos son: sin amortiguamiento; subamortiguada; críticamente
amortiguada y sobre amortiguada. Las definiciones que se presentan son muy útiles en la
Ingeniería Sismo Resistente. En la parte final del capítulo se aplica el caso de vibración libre sin
amortiguamiento para modelar el comportamiento del impacto de las olas en una estructura,
durante un Tsunami.
Posteriormente se analiza el caso de Vibración Forzada con excitación armónica, como
una introducción al caso de cimentación de motores. Se estudia con bastante detenimiento el
factor de amplificación dinámica, se deducen sus ecuaciones y como aplicación, se presenta
un ejemplo muy práctico que consiste en determinar la frecuencia de vibración de un suelo; la
frecuencia de vibración de una estructura y luego se determina el factor de amplificación
dinámica en la estructura por efecto del suelo.
Luego se estudia la respuesta en el tiempo de un sistema de un grado de libertad ante
un escalón unitario; un pulso rectangular; la respuesta impulsiva y se termina con la Integral de
Convolución. De esta manera se orienta el estudio a encontrar la respuesta en el tiempo de un
sistema de un grado de libertad ante acciones sísmicas empleando la Integral de Duhamel.
Como caso de aplicación se halla la respuesta de una estructura de un piso sometida a un
sismo impulsivo como fue el de Northridge de 1994, con el propósito de ir conociendo cómo se
comportan las estructuras ante este tipo de sismos de corta duración.
Se presentan los siguientes programas en este capítulo: v_libre para el estudio de
vibraciones libres en sistemas de un grado de libertad; fad con el que se obtiene los factores
de amplificación dinámica y duhamel que halla la respuesta en el tiempo de un sistema de un
grado de libertad ante una acción sísmica empleando la Integral de Duhamel.
Finalmente, como caso práctico se analiza la rotura de vidrios de la fachada de un
edificio, modelando como un sistema de vibración forzada con excitación armónica y con
condiciones iniciales debido a que la losa que trabaja en voladizo tiene una deformación
vertical, la misma que se incrementó con las vibraciones producidas, por las máquinas, en la
compactación de la ampliación de la vía.

2
1.1 VIBRACIONES LIBRES
En las estructuras se tienen dos tipos de vibraciones que son: vibración libre y
vibración forzada. En el primer caso, que se presenta en este apartado, la estructura vibra
debido a condiciones iniciales. Para deducir la ecuación diferencial que gobierna el
comportamiento de vibración libre en un sistema de un grado de libertad, en la figura 1.1 se
indica el modelo numérico de cálculo; en la parte superior izquierda se tiene un resorte que
tiene una rigidez k como se aprecia en la posición (1), se ha notado por P.I. a la posición
inicial del sistema.
Se considera que la fuerza que se genera en el resorte es proporcional a la
deformación del mismo, con ésta hipótesis, se pasa a la posición (2) en que coloca la masa del
sistema m sobre el resorte, se lo hace de tal manera que el sistema no vibre al terminar de
colocar la masa el resorte se ha deformado una cantidad  y ahora la Posición Inicial P.I.,
pasa a la Posición de Equilibrio Estático que se ha llamado P.E.E. En la posición (2) del
equilibrio de fuerzas verticales se tiene:

k
g
m 
Figura 1.1 Descripción del modelo numérico para vibración libre.
En la posición (3) se ha colocado el amortiguador c que entrará en funcionamiento
cuando el sistema se encuentre en movimiento. La fuerza del amortiguador se considera
proporcional a la velocidad. En (3) se dan las condiciones iniciales del sistema, para un tiempo
0

t la masa se desplaza una cantidad con una velocidad ̇ . Si existe velocidad la masa
se desplaza hacia abajo, antes de regresar.
(1.1)

CEINCI-ESPE
3
Se debe recalcar que el desplazamiento en un instante cualquiera se mide a partir
de P.E.E. Finalmente en (4) se presenta una posición genérica del movimiento en la que se ha
colocado que la fuerza en el resorte vale hacia arriba, el peso del sistema vale
hacia abajo, la fuerza en el amortiguador ̇ hacia arriba y la fuerza inercial ̈ hacia arriba.
Del equilibrio, de fuerzas verticales, se tiene:
̇ ̈
Al sustituir (1.1) en ésta última ecuación, se tiene:
̈ ̇
Se conoce que la frecuencia natural n
W y el período de vibración T , valen:
n
n
W
T
m
k
W

2


Por otra parte, se define el factor de amortiguamiento  como:
k
m
c
2


Si la ecuación diferencial (1.2) se divide para m se tiene:
0
2
.
..


 q
W
q
m
c
q n
Al multiplicar y dividir el término c/m por mk
2 y al utilizar la ecuación (1.4) se tiene:
n
W
m
mk
mk
c
m
c

2
2
2


Luego otra forma de presentar la ecuación diferencial del movimiento es:
0
2 2
.
..


 q
W
q
W
q n
n

1.1.1 Solución de la ecuación diferencial
Se plantea la solución de la ecuación diferencial (1.5) de la siguiente forma:
t
e
a
t
q 

)
(
Donde a es una constante de integración y  es una variable a determinar. Al derivar
la ecuación (1.6) con respecto al tiempo y reemplazar en (1.5) se tiene:
̇
̈
Al reemplazar en la ecuación diferencial, se tiene:
(1.2)
(1.3)
(1.4)
(1.5)
(1.6)

4
  0
2
0
2
2
2
2
2






n
n
t
t
n
t
n
t
W
W
e
a
e
a
W
e
a
W
e
a










Para que la última ecuación sea igual a cero es necesario que la cantidad del
paréntesis sea cero.
1
2
4
4
2
0
2
2
2
2
2
2
2




















n
n
n
n
n
n
n
W
W
W
W
W
W
W
Las raíces de  dependen del valor de  ya que el radical puede ser positivo, cero o
negativo.
1.1.2 Vibración libre sin amortiguamiento
En este caso 0

 , es un caso ideal que significa que la estructura queda vibrando
indefinidamente. Al ser 0

 las raíces que se obtienen de (1.7) son:
1


 n
W

Luego la solución se transforma en:
     
2
2
cos
)
(
B
A
C
t
W
sen
C
t
W
sen
B
t
W
A
t
q n
n
n





 
Siendo  el ángulo de fase y la amplitud máxima.
 EJEMPLO 1
Encontrar la respuesta en el tiempo de un sistema de un grado de libertad cuyo período
de vibración es 0.2 s., que no tiene amortiguamiento y que en el tiempo igual a cero el
desplazamiento inicial es de 2.cm., y la velocidad inicial es 10 cm/s. Determinar además la
amplitud máxima y el ángulo de fase
 SOLUCIÓN
   
   
t
W
W
B
t
W
sen
W
A
t
q
t
W
Bsen
t
W
A
t
q
s
T
W
n
n
n
n
n
n
n
cos
)
(
cos
)
(
1
416
.
31
2
.
0
2
2
.










Para 0

t se tiene:
(1.7)
(1.8)

CEINCI-ESPE
5
3183
.
0
416
.
31
10
10
10
2






n
n
W
B
W
B
A
Luego:
 
t
sen
t
t
q 416
.
31
3183
.
0
)
416
.
31
cos(
2
)
( 

√
( )
Figura 1.2 Respuesta en el tiempo de sistema de 1 gdl sin amortiguamiento.
En la figura 1.2 se tiene la respuesta en el tiempo y es importante tener en cuenta los
siguientes comentarios:
 La respuesta empieza en 2 cm., por la condición inicial.
 Como la velocidad inicial es positiva, la pendiente de la figura 1.2 en t=0 es positiva
razón por la cual la trayectoria va hacia arriba, hasta un valor máximo de 2.03 cm.
 El tiempo que se demora en una oscilación completa es igual a 0.2 s., que corresponde
al período de vibración.
 Como el sistema no tiene amortiguamiento la amplitud de la oscilación no decrece.
1.1.3 Vibración libre subamortiguada
Corresponde al caso real en el cual vibran las estructuras, el valor de 1
0 
  . En
este caso las raíces son también números complejos.
Las raíces son:
2
1
1









n
a
a
n
W
W
W
W
Luego la solución es:
-2,5
-2
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
2
2,5
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6
Tiempo (s.)
Desplazamiento
(cm.)
(1.9)

6
   
 
   
 
t
W
B
t
W
sen
A
t
W
t
q
t
W
B
t
W
sen
A
e
t
q
a
a
n
a
a
t
Wn
cos
)
exp(
)
(
cos
)
(




 


La respuesta en el tiempo para el caso de vibración libre sin amortiguamiento se ha
escrito de dos formas en la ecuación (1.10) toda vez que en la primera no se ve tan claro el
exponente. Al igual que el caso anterior la suma de dos armónicos es otro armónico por lo que
la ecuación (1.10) en función del ángulo de fase queda:

√
 EJEMPLO 2
Encontrar la respuesta en el tiempo del ejemplo anterior sí 05
.
0

 . El período del
sistema es 0.2 s. Además hallar la amplitud máxima.
.
/
10
)
0
(
.
2
)
0
(
0
.
s
cm
q
cm
q
t



 SOLUCIÓN
 
 
 
3767
.
31
05
.
0
1
416
.
31
)
(
)
cos(
)
exp(
)
cos(
)
(
)
exp(
)
(
)
cos(
)
(
)
exp(
)
(
2
.













a
a
a
a
a
n
a
a
n
n
a
a
n
W
t
W
sen
W
B
t
W
W
A
t
W
t
W
B
t
W
sen
A
t
W
W
t
q
t
W
B
t
W
sen
A
t
W
t
q




Para t=0 se tiene:
41883
.
0
3767
.
31
2
416
.
31
05
.
0
10
2








A
A
B
√ = 2.03 cm.
Luego la respuesta en el tiempo es:
     
 
t
t
sen
t
t
q 3767
.
31
cos
2
3767
.
31
41883
.
0
5708
.
1
exp
)
( 




En la figura 1.3 se presenta la respuesta en el tiempo para el ejemplo 2 que tiene 5%
de amortiguamiento.
Los comentarios que se hacen al ejemplo 2, son los siguientes:
 La pendiente en t=0 es positiva, por este motivo se llega a la amplitud máxima.
(1.10)
(1.11)

CEINCI-ESPE
7
Figura 1.3 Respuesta en el tiempo para sistema con 05
.
0


 El período de la oscilación en este caso vale:
a
a
W
T

2

 Conforme transcurre el tiempo el desplazamiento tiende a cero.
1.1.4 Vibración libre sobre amortiguada
Corresponde al caso en que  es mayor que la unidad. En este caso las dos raíces
son reales. Luego la respuesta en el tiempo es:
 
   
 
t
W
W
B
t
W
W
A
t
q n
n
n
n 1
exp
1
exp
)
( 2
2







 



 EJEMPLO 3
Encontrar la respuesta en el tiempo del ejemplo 1 si 2
.
1

 . El período del sistema es
0.2 s. Las condiciones iniciales son las siguientes:
.
/
10
)
0
(
.
2
)
0
(
0
.
s
cm
q
cm
q
t 


 SOLUCIÓN
Se procede en forma similar a los ejercicios anteriores y la respuesta que se obtiene es
la siguiente:
   
t
t
t
q 5382
.
58
exp
049
.
1
8602
.
16
exp
049
.
3
)
( 



En la figura 1.4 se presenta la respuesta encontrada y los comentarios son:
 La pendiente en t=0 es positiva.
-2
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
2
2,5
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8
Tiempo (s.)
Desplazamiento
(cm.)
(1.12)

8
 El sistema tiene tanto amortiguamiento que no oscila.
Figura 1.4 Respuesta en el tiempo para 2
.
1


1.1.5 Vibración libre críticamente amortiguada
En caso 1

 . El radical de la ecuación (1.7) es cero y las dos raíces son iguales. Por
lo tanto, la respuesta en el tiempo es:
   
t
W
B
t
A
t
q n


 exp
)
(
 EJEMPLO 4
Encontrar la respuesta en el tiempo del ejemplo 1 si 0
.
1

 . El período del sistema es
0.2 s. Las condiciones iniciales, son las siguientes:
.
/
10
)
0
(
.
2
)
0
(
0
.
s
cm
q
cm
q
t



 SOLUCIÓN
   
 
n
n W
B
t
A
A
t
W
t
q 


 exp
)
(
.
Al reemplazar las condiciones iniciales se encuentra:
2
832
.
72 
 B
A
La respuesta en el tiempo viene dada por:
   
t
t
t
q 416
.
31
exp
2
832
.
72
)
( 


La gráfica de la respuesta es similar a la de la figura 1.4
0
0,5
1
1,5
2
2,5
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8
Tiempo (s.)
Desplazamiento
(cm.)
(1.13)

CEINCI-ESPE
9
1.2 PROGRAMA v_libre Y COMENTARIOS
El programa v_libre encuentra la respuesta en el tiempo de un sistema de un grado de
libertad, sometida a vibración libre. Se puede tener cualquiera de los cuatro casos indicados en
el apartado anterior o una combinación de ellos. Los datos de entrada del programa, son:
zi Es un vector que contiene los factores de amortiguamiento. Está programado
para que dibuje la respuesta en el tiempo para 2 valores de  . Si solo se tiene
un solo valor de  , copiar dos veces ese valor.
w Frecuencia natural de vibración.
qo Desplazamiento inicial para
qpo Velocidad inicial para
function v_libre(zi,w,qo,qpo)
%
% Vibraciones libres en sistemas de un grado de libertad
%
% Por: Roberto Aguiar Falconi
% CEINCI-ESPE
% 5 de octubre de 2011
%-------------------------------------------------------------
% vlibre(zi,w,qo,qpo)
%-------------------------------------------------------------
% zi: Vector que contiene dos factores de amortiguamiento para
% los cuales se encuentra la respuesta en el tiempo.
% w : frecuencia natural del sistema de 1 gdl.
% qo: desplazamiento en t=0
% qpo: velocidad en t=0
% tmax: tiempo maximo de la respuesta igual a 0.6 segundos.
t=linspace(0,0.6,1000)';
np=length (zi); % np es el número de factores de amortiguamiento
for i=1:np
if zi(i)<1
wa=w*sqrt(1-zi(i)*zi(i));
B=qo;A=(qpo+zi(i)*w*B)/wa;q1=(A*sin(wa*t)+B*cos(wa*t));
q2=exp(-zi(i)*w*t); q(:,i)=q2.*q1;
elseif zi(i)==1
B=qo; A=qpo+B*w;q(:,i)=(A*t+B).*exp(-w*t);
else
landa1=-zi(i)*w+w*sqrt(zi(i)*zi(i)-1);
landa2=-zi(i)*w-w*sqrt(zi(i)*zi(i)-1);
C=[1 1; landa1 landa2]; D=[qo; qpo];
X=CD; A=X(1); B=X(2);
q(:,i)=A*exp(landa1*t)+B*exp(landa2*t);
end
end
plot (t,q(:,1),'r','LineWidth',2); hold on; plot (t,q(:,2), 'LineWidth',2)
xlabel ('Tiempo'); ylabel ('Desplazamiento')
title ('Vibracion libre en sistema de 1 gdl')
%---fin---

10
 EJEMPLO 5
Encontrar la respuesta en el tiempo de la estructura que se ha venido analizando pero
para dos casos de amortiguamiento y . Comentar los resultados orientados al
Diseño Sismo Resistente.
 SOLUCIÓN
>> zi=[0.05;0.25]; w=31.416; qo=2;qpo=10;
>> v_libre(zi,w,qo,qpo)
Figura 1.5 Respuesta en el tiempo que se obtiene con programa v_libre
En la figura 1.5 se indica lo que reporta el programa v_libre. Si bien es cierto la gráfica
corresponde a un caso de vibración libre, no es menos cierto que los comentarios que se
indican a continuación son aplicados a la Ingeniería Sismo Resistente, en lo referente al
amortiguamiento.
 La diferencia entre las dos curvas de la figura 1.5, es notable. Mientras más
amortiguamiento tiene la estructura menor es la respuesta. Por lo tanto, se debe
conferir amortiguamiento a la estructura para que se mueva menos durante un sismo y
la forma de hacerlo es mediante la incorporación de disipadores de energía visco
elásticos (Aguiar, 2008) o aisladores de base (Aguiar et al. 2008).
 En las estructuras sin sistemas de control pasivo (sin disipadores o aisladores), se verá
más adelante que a mayor amortiguamiento, más daño se espera en la estructura. De
esta manera se comportan las estructuras tradicionales, en este caso no conviene que
la estructura incursione demasiado en el rango no lineal; no conviene que tenga un
alto debido a que se tiene más daño.

CEINCI-ESPE
11
1.3 FACTOR DE AMORTIGUAMIENTO
Una de las aplicaciones del caso de vibración libre sub amortiguada se presenta en el
cálculo del factor de amortiguamiento  para el efecto se mide el decremento logarítmico 

del movimiento, mediante la siguiente ecuación:











)
(
)
(
ln
2
1
a
nT
t
q
t
q
n


Donde n es el número de períodos que se considera para la medición, )
(t
q es la
amplitud en un instante de medición y )
( a
nT
t
q  es la amplitud luego de n períodos. El valor
de a
T es el período de la vibración amortiguada. En la figura 1.6 se ilustra el cálculo del
decremento logarítmico, en este caso se ha medido las amplitudes en un período a
T . Por otra
parte se tiene que:
2
1 





Figura 1.6 Cálculo del decremento logarítmico.
Newmark y Hall (1982) recomiendan los valores de  que se indican en la tabla 1.1.
Los comentarios que se pueden hacer al respecto son los siguientes:
 El valor de  depende del tipo de material y del sistema estructural.
 El valor de  depende del nivel de esfuerzos, mientras más bajo sea el nivel de
esfuerzos menor será  .
 Para estructuras de Hormigón Armado el valor de  es superior a 10 si el nivel de
daño en la estructura es grande. Chopra (1996).
(1.14)
( 1.15 )

12
Tabla 1.1 Valores recomendados de  en porcentaje.
Material y/o sistema estructural Nivel de esfuerzos o deformaciones  
%

Columnas aisladoras de porcelana Deformaciones elásticas 0.5 a 1
Sistemas de tuberías que pueden
vibrar libremente
Esfuerzos admisibles; y

5
.
0
 1 a 2
Cercanos a y
 , sin excederlo 2 a 3
Sistemas estructurales de acero
soldado
Esfuerzos admisibles; y

5
.
0
 2 a 3
Cercanos a y
 , sin excederlo 5 a 6
Concreto pretensado Esfuerzos admisibles; y

5
.
0
 2 a 3
Cercanos a estados últimos,
Sin pérdida de pretensión
5 a 7
Sin pretensión residual 7 a 10
Sistemas estructurales de Hormigón
Armado
Esfuerzos admisibles sin agrietamiento
visible
2 a 3
Agrietamiento visible generalizado 3 a 5
Cercanos a estados últimos 7 a 10
Estructuras de acero apernadas Esfuerzos admisibles; y

5
.
0
 5 a 6
Esfuerzos a nivel de cadencia 8 a 12
Sistemas estructurales de madera, con
elementos clavados o apernados.
Esfuerzos admisibles 5 a 7
Cercano a estados últimos, con juntas
apernadas
10 a 15
Estado de agotamiento con juntas
clavadas
15 a 20
 Normalmente los espectros de diseño se presentan para 05
.
0

 lo que implica que
existe un agrietamiento visible en la estructura.
 En el diseño de Presas de Hormigón de Proyectos Hidroeléctricos también suelen
trabajar con espectros para valores de o , dependiendo del daño que
esperan en la Presa ante el sismo máximo creíble. (MCE).
1.4 VIBRACIONES FORZADA. EXCITACIÓN ARMÓNICA
Se tienen varios casos de vibración forzada de ellos, para quienes vivimos en una zona
de alta peligrosidad sísmica como es el Ecuador, el sismo y el oleaje debido a un Tsunami son
los más importantes pero para otros puede ser muy importante la acción del viento o las
vibraciones que producen los motores de máquinas. En el Ecuador, para las torres de
transmisión que se encuentran en las montañas la acción del viento es más importante que la
acción sísmica. Lo importante es empezar el estudio de las vibraciones forzadas y lo más fácil
es la excitación armónica, que se aborda en este apartado.
La excitación de una máquina puede se modela mediante un pulso el mismo que
puede ser rectangular, triangular, trapezoidal, etc., pero para su solución se puede aproximar
estas funciones periódicas por funciones armónicas tipo seno o coseno. Por este motivo es
necesario estudiar la respuesta de un sistema de un grado de libertad ante una excitación
armónica.

CEINCI-ESPE
13
1.4.1 Respuesta ante una excitación sinusoidal
Se desea encontrar la respuesta en el tiempo para el sistema de 1 gdl indicado en la
figura 1.7. La excitación vale t
sen
Fo  ; siendo  la frecuencia de vibración de la excitación,
o
F el valor de la amplitud máxima y t la variable tiempo.
Figura 1.7 Sistema de 1 gdl sometido a una fuerza armónica.
La ecuación diferencial del movimiento es:
t
sen
F
q
k
q
c
q
m o 



.
..
La solución del problema )
(t
q será igual a la solución homogénea más la solución
particular.
)
(
)
(
)
( t
q
t
q
t
q p
h 

La solución homogénea se halla igualando a cero la ecuación diferencial, es decir se
resuelve la ecuación diferencial de vibración libre, la misma que se la repite a continuación.
0
.
..


 h
h
h q
k
q
c
q
m
La solución particular depende de la forma de la excitación, se halla de la solución de:
t
sen
F
q
k
q
c
q
m o
p
p
p 



.
..
La solución homogénea es importante en los primeros instantes de tiempo, luego
desaparece por lo que el sistema queda vibrando en base a la solución particular, se resolverá
a continuación únicamente la solución particular ya que la solución homogénea fue resuelta en
el apartado anterior. Sea
t
B
t
sen
A
qp 
 cos


Donde B
A, son constantes de integración que se determinan en base a la ecuación
diferencial. Las derivadas de p
q con respecto al tiempo, son:
t
B
t
sen
A
q
t
sen
B
t
A
q








cos
cos
2
2
..
.





(1.16)
(1.17)

14
Al reemplazar en ecuación diferencial y agrupando términos se tiene:
    t
sen
F
t
B
k
c
A
m
B
t
sen
A
k
c
B
A
m o 





 






 cos
2
2
Al igualar coeficientes se tiene un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas:
 
  0
2
2






B
m
k
A
c
F
B
c
A
m
k o




En forma matricial, el sistema de ecuaciones lineales se escribe a continuación:
























0
2
2
o
F
B
A
m
k
c
c
m
k




El determinante de los coeficientes es:
   2
2
2

 c
m
k 



Al aplicar la regla de Cramer se tiene:
 







2
2
0 


m
k
F
m
k
c
F
A o
o





 o
o
F
c
c
F
m
k
B



0
2
Figura 1.8 Suma de dos armónicos
En el triángulo rectángulo de la figura 1.8 se tiene:

 sen
X
B
X
A 
 cos
Al reemplazar B
A, en la ecuación (1.17) se tiene:
 





 


 t
sen
X
t
sen
X
t
sen
X
qp cos
cos
De la figura 1.8 se tiene:
(1.18)

CEINCI-ESPE
15
       
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2














 c
m
k
F
F
c
m
k
F
B
A
X o
o
o
   2
2
2

 c
m
k
F
X o



El ángulo de fase es:
















 

2
1
1



m
k
c
tg
A
B
tg
En resumen si la respuesta del sistema viene dada por la respuesta permanente se
tiene que:
   
 







 t
sen
c
m
k
F
q o
2
2
2
 EJEMPLO 6
Encontrar la respuesta en el tiempo para un sistema de 1 gdl., para el caso de
vibración forzada armónica, con los siguientes datos:
cm
s
kg
mk
c
cm
kg
k
cm
s
Kg
m 943
.
68
2
05
.
0
27146
.
51
.
17
2





 

La excitación está definida por: , ver figura 1.9.
s
T
s
T
kg
T
F
a
a
o
1
944
.
20
2
3
.
0
1000
1 







Figura 1.9 Excitación  
t
sen
t
sen
F
t
f o 944
.
20
1000
)
( 
 
-1500,000
-1000,000
-500,000
0,000
500,000
1000,000
1500,000
0,00 2,00 4,00 6,00 8,00 10,00
TIEMPO (t)
f(t)
(1.19)
(1.20)
(1.21)

16
 SOLUCIÓN
El sistema de ecuaciones lineales a resolver para encontrar las constantes de
integración es el siguiente:
























0
2
2
o
F
B
A
m
k
c
c
m
k




 
  



























0
.
0
0
.
1000
944
.
20
51
.
17
27146
944
.
20
943
.
68
944
.
20
943
.
68
944
.
20
51
.
17
27146
2
2
B
A
3
2
10
78996
.
3
10
10919
.
5
0
.
0
0
.
1000
21861
.
19465
943
.
1443
943
.
1443
21861
.
19465

























 
B
A
B
A
   
t
t
sen
t
q 944
.
20
cos
10
78996
.
3
944
.
20
10
10919
.
5
)
( 3
2 





En la figura 1.10 se presenta la respuesta en el tiempo de los desplazamientos )
(t
q .
Figura 1.10 Respuesta en el tiempo de desplazamientos.
En el ejercicio resuelto se ha despreciado la solución homogénea.
1.4.2 Factor de amplificación
Si en la ecuación (1.19) se divide al numerador y denominador para la rigidez del
sistema se tiene:
-0,06000
-0,04000
-0,02000
0,00000
0,02000
0,04000
0,06000
0,00 2,00 4,00 6,00 8,00 10,00 12,00
Tiempo (s)
Desplazamiento
(cm)

CEINCI-ESPE
17
   
2
2
2
2
k
c
m
k
k
F
X
o

 


Se denomina:
k
F
X o
o 
De la ecuación (1.22) se tiene que
De tal manera que es el desplazamiento que tiene el sistema, sin considerar la
frecuencia de la excitación .
o
n
X
X
W
r




En la ecuación (1.23) se ha denominado r a la relación de la frecuencia de la
excitación con respecto a la excitación de la frecuencia natural y  es el factor de
amplificación dinámica. De tal manera que el desplazamiento sistema es igual al factor de
amplificación dinámica por el desplazamiento elástico sin considerar la frecuencia de
excitación. Luego se tiene:
2
2
2
1 
















k
c
k
m
X
X o


De donde:
   2
2
2
2
1
1
r
r 




Figura 1.11 Factor de amplificación dinámica en función del factor de amortiguamiento.
FACTOR DE AMPLIFICACION DINAMICA
0
1
2
3
4
5
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5
r

0,01
0,1
0,15
0,25
0,5
(1.22)
(1.23)
(1.24)
(1.25)

18
En la figura 1.11 se presenta el factor de amplificación dinámica, en función de la
relación de frecuencias r , y para valores del factor de amortiguamiento  desde 0.01 a 0.5.
De esta figura y de la ecuación (1.25) se tienen los siguientes comentarios:
 Para el caso de vibración forzada, sin amortiguamiento 0

 y para 1

r en la
ecuación ( 1.25 ) se tiene que 

 , que constituye el pico principal de resonancia.
 A medida que  aumenta el factor de amplificación dinámica  disminuye.
 Para 1

r el valor de  tiene un máximo valor para factores de amortiguamiento
menores a 0.15. Tener 1

r significa que la frecuencia de la excitación es igual a la
frecuencia natural del sistema y para estos casos el factor de amplificación dinámica es
mayor que la unidad.
 A medida que el valor de  se incrementa más ancho es el pico de amplitudes
máximas.
A continuación se presenta el programa FAD que obtiene en forma gráfica el factor de
amplificación dinámica  para cuatro valores del factor de amortiguamiento  . La forma de
uso del programa, en MATLAB es la siguiente:
 [f] = fad(z1,z2,z3,z4)
Como ejemplo de aplicación, se desea encontrar las curvas del factor de amplificación
para valores de  igual a 0.01, 0.1, 0.15 y 0.5.
[f] = fad(0.01,0.1,0.15,0.5)
En la figura 1.12 se indican las curvas que se encuentran en el MATLAB, para los
datos indicados.
function [f]=fad(z1,z2,z3,z4)
%
% Factor de Amplificación Dinámica
%
% CEINCI-ESPE
% ---------------------------------------
% [f]=fad(z1,z2,z3,z4)
% ---------------------------------------
% z1: Factor de amortiguamiento 1
% r : Relación entre la frecuencia excitación a frecuencia natural
% f : Factor de amplificación dinámica
hold off
dr=0.02;r=0;
for i=1:150
r=r+dr;
f(i)=1.0/(sqrt((1-r^2)^2+(2*z1*r)^2));f1(i)=1.0/(sqrt((1-r^2)^2+(2*z2*r)^2));
f2(i)=1.0/(sqrt((1-r^2)^2+(2*z3*r)^2));f3(i)=1.0/(sqrt((1-r^2)^2+(2*z4*r)^2));
rr(i)=r;
end
plot (rr,f); hold on
plot (rr,f1,'--'); plot (rr,f2,':'); plot (rr,f3,'-.')
xlabel('r'); ylabel('Factor de amplificacion');

CEINCI-ESPE
19
axis([0,3,0,5]);
text (2.0,4.5,'z1 ---- ','Fontname','symbol'); text (2.0,4.0,'z2 - - -','Fontname','symbol')
text (2.0,3.5,'z3 .......','Fontname','symbol'); text (2.0,3.0,'z4 .-.-.-','Fontname','symbol')
hold off
% ---fin---
1.4.3 Fuerza transmitida a la fundación
Se ha visto que la solución de la ecuación diferencial ( 1.16 ) en régimen permanente
viene dada por:
 

 
 t
sen
X
q
De donde la derivada con respecto al tiempo es:
 


 
 t
X
q cos
.
La fuerza que llega a la cimentación, t
f , viene dada por la contribución de la fuerza del
resorte,
k
t
f , más la contribución de la fuerza del amortiguador
c
t
f .
   




 







t
X
c
t
sen
X
k
f
q
c
q
k
f
f
f
t
c
t
k
t
t
cos
.
Figura 1.12 Curvas que se obtienen con programa FAD en MATLAB.
Nuevamente se tiene la suma de dos armónicos por lo que la fuerza transmitida a la
fundación vale:

20
     



 


 t
sen
X
c
X
k
ft
2
2
Por lo tanto el valor máximo de la fuerza transmitida a la fundación T
F es:
  X
c
k
FT
2
2



Al reemplazar el valor de X de la ecuación (1.21) se tiene:
 
   2
2
2
2
2



c
m
k
c
k
F
F o
T




o
F es la fuerza aplicada al sistema de 1 gdl y T
F es la fuerza transmitida a la
fundación. Se denomina  a la relación entre la fuerza transmitida a la cimentación con
relación a la fuerza aplicada.
o
T
F
F


Pero de ecuación ( 1.26 ) se tiene que:
 
   2
2
2
2
2




c
m
k
c
k




Al dividir el numerador y denominador del radical para
2
k y al expresarle en función
del factor y  , el factor de transmisibilidad  queda:
 
   2
2
2
2
2
1
2
1
r
r
r







En la figura 1.13 se grafica  para valores de  igual a 0.01; 0.1; 0.15; 0.25 y 0.50.
Del análisis de esta figura se desprende lo siguiente:
 Cuando 0

r el valor de 1

 .
 Cuando 2

r el valor de 1

 . Además es el punto en el cual cambia la forma de
la curva.
 Para 0

 el valor de )
1
/(
1 2
r


 ; y para 1

r el valor de 

 .
 Independiente del valor de  , cuando 

r , el valor de 0

 . De ahí la necesidad
de que el valor de  difiera lo mayor que se pueda con relación a n
W .
r
(1.27)
(1.28)
(1.26)

CEINCI-ESPE
21
Figura 1.13 Factor de transmisibilidad de las fuerzas a la cimentación.
1.5 EXCITACIONES ARBITRARIAS
Se desea encontrar la respuesta en el tiempo de un sistema de 1 gdl, ante una fuerza
)
(t
f arbitraria, para lo cual en la figura 1.14 se indica el modelo numérico de cálculo. La
ecuación diferencial del movimiento es:
)
(
.
..
t
f
q
k
q
c
q
m 


Figura 1.14 Excitación arbitraria
1.5.1 Escalón unitario
En la figura 1.15 se presenta la fuerza escalón unitario que vale 0 para valores
negativos del tiempo y vale la unidad para valores positivos del tiempo.
0
1
)
( 
 t
t
f
Se consideran nulas las condiciones iniciales. Luego: 0
)
0
(
)
0
(
.

 q
q
FACTOR DE TRANSMITIBILIDAD
0
1
2
3
4
5
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5
r

0,01
0,1
0,15
0,25
0,5

22
Figura 1.15 Función escalón unitario.
La ecuación diferencial a resolver es:
0
1
1
.
..
.
..














k
q
k
q
c
q
m
q
k
q
c
q
m
Se realiza el siguiente cambio de variable:
z
k
q 

1
Luego la ecuación diferencial se transforma en:
0
.
..


 z
k
z
c
z
m
Por el cambio de variable, las condiciones iniciales, son:
0
)
0
(
1
)
0
(
.


 z
k
z
Por lo tanto la solución se ha transformado en un problema de vibración libre con
condiciones iniciales que se estudió en el apartado 1.1. Se denomina )
(t
g a la solución del
escalón unitario. Las soluciones son:
 Caso sin amortiguamiento
   
   
t
W
W
B
t
W
sen
W
A
t
z
t
W
sen
B
t
W
A
t
z
n
n
n
n
n
n
cos
)
(
cos
)
(
.





Al reemplazar las condiciones iniciales, se tiene:
B
A
k


 0
1
Luego:
 
t
W
k
t
z n
cos
1
)
( 


CEINCI-ESPE
23
Con el cambio e variable se tiene:
 
 
 
t
W
k
t
q
k
t
W
k
k
t
z
t
q
n
n
cos
1
1
)
(
1
cos
1
1
)
(
)
(







A la solución se denomina )
(t
g . Luego:
 
 
t
W
k
t
g n
cos
1
1
)
( 

 Caso sub amortiguado
Al proceder en forma similar al caso de vibración libre sin amortiguamiento se obtiene:
0 .
√
/1
Siendo √ , frecuencia natural del sistema amortiguado.
 Caso sobre amortiguado
 























t
W
senh
t
W
t
W
k
t
g a
a
n
1
cosh
exp
1
1
)
(
2



1
2




n
a W
W
Si la fuerza actuante no fuera unitaria sino que tiene una magnitud 0
F la respuesta en
el tiempo, sería:
)
(
)
( t
g
F
t
q o

 EJEMPLO 7
Encontrar la respuesta en el tiempo para la fuerza )
(t
f que se indica en la figura 1.16
en que la fuerza empieza en el tiempo T y tiene una magnitud 0
F .
(1.29)
(1.30)
(1.31)
(1.32)

24
Figura 1.16 Fuerza escalón de magnitud 0
F .
 SOLUCIÓN
Para un tiempo T
t  se tiene que el tiempo de duración de la fuerza 0
F es T
t  .
Luego:
 
T
t
g
F
t
q 
 0
)
(
1.5.2 Pulso rectangular
Se desea hallar la respuesta en el tiempo para el pulso rectangular indicado en la figura
1.17 en que la fuerza vale 0
F hasta el tiempo T y luego es nula.
Figura 1.17 Pulso rectangular.
Se tienen dos formas de resolver el problema del pulso rectangular, la primera resolver
la ecuación diferencial del movimiento y la segunda utilizar la respuesta )
(t
g . Para el primer
caso se procedería así:
0
)
0
(
)
0
(
0
.
0
.
..







q
q
T
t
F
q
k
q
c
q
m

CEINCI-ESPE
25
Se resuelve la ecuación diferencial indicada, considerando condiciones iniciales nulas,
después se halla la respuesta en )
(T
q y )
(
.
T
q que son las condiciones iniciales de la
siguiente ecuación diferencial que es válida para T
t  .
T
t
q
k
q
c
q
m 


 0
.
..
Figura 1.18 Artificio para resolver un pulso rectangular.
La segunda forma de solución se presenta en forma gráfica en la figura 1.18 en que el
pulso rectangular es igual a una fuerza escalón de magnitud 0
F más otra fuerza escalón pero
de magnitud negativa 0
F y que empieza en el tiempo T .
La solución para el caso indicado en la figura 1.18 es la siguiente:
1.6 RESPUESTA IMPULSIVA
Si en el pulso rectangular de la figura 1.18 se considera que la fuerza . De tal
manera que el área del pulso rectangular valga la unidad. El Impulso de la fuerza valdrá.
Ahora si decrece, el tamaño de la fuerza para que el área sea la unidad, tiene que
aumentar. Para cuando , la fuerza aplicada tiende al . Este es el caso en que se da un
(1.33)

26
golpe a un sistema, a esto se llama Acción de Percusión y el modelo numérico se denomina
delta de dirac
, -
En este modelo se cumple, lo siguiente:
∫ ∫
Donde es un instante antes de que se aplique el golpe (martillazo) y es un
instante después de aplicarse el golpe.
1.6.1 Respuesta en ausencia de condiciones iniciales
Se define al Impulso como el producto de la Velocidad por la Masa, también se conoce
con el nombre de Momentum. Ahora bien se desea encontrar la respuesta en el tiempo de un
sistema de un grado de libertad, como el indicado en la figura 1.19 si la fuerza es un golpe.
León (1981).
Figura 1.19 Descripción del problema ante un Impulso Unitario
Como la fuerza (martillazo) se aplica en un instante de tiempo tan pequeño, el
desplazamiento inicial es cero. Pero la velocidad inicial no y esta es igual al Impulso dividido
para la masa. Luego las condiciones iniciales que se generan por el golpe dado al sistema son:
̇
En la ecuación (1.33) se tiene la respuesta en el tiempo para un pulso rectangular,
esta vale para
Pero (Impulso Unitario) y además . Al reemplazar todo esto en la expresión
anterior se encuentra luego de factorar .
[ ]
A la respuesta a un Impulso Unitario se le denomina . Luego:

CEINCI-ESPE
27
1.6.2 Casos Particulares
En ausencia de condiciones iniciales, los casos particulares para cuando a un sistema
de un grado de libertad se da un golpe, la respuesta del sistema se halla derivando la
función con respecto al tiempo. Con lo que se halla.
 Sistema Sin Amortiguamiento
 Sistema Subamortiguado
-
√
 Sistema Sobreamortiguado
̂
( ̂ )
̂ √
 Sistema Críticamente Amortiguado
-
1.7 INTEGRAL DE CONVOLUCIÓN
Sea una función de fuerzas arbitrarias en función del tiempo, como la que aparece
en la figura 1.20, la misma que actúa en un sistema de un grado de libertad. Se desea conocer
la respuesta en el tiempo.
Figura 1.20 Excitación arbitraria en el tiempo.
(1.34)
(1.35)
(1.36)
(1.37)
(1.38)

28
Para encontrar la respuesta del sistema, en el tiempo, la excitación la discretizo en una
serie de pulsos, cada uno de ellos tiene un intervalo de tiempo . Mientras más pequeño es el
valor de los pulsos se van a aproximar a la función
La Fuerza Impulsiva valdrá . Siendo el valor de la fuerza del pulso
rectangular que debe ser aproximada al valor de en ese instante de tiempo. La respuesta
de desplazamiento para un pulso cualquiera será: . Para todos los pulsos la
respuesta se convierte en una sumatoria.
∑
∫
1.8 TRANSFORMADA DE FOURIER
Sea una función en el dominio del tiempo. Se define la la Transformada de
Fourier en el dominio de las frecuencias de la siguiente manera.
∫
Por otra parte, la transformada inversa de Fourier, viene definida por:
∫
Donde es una función continua en el dominio del tiempo; es una función
continua en el dominio de las frecuencias; frecuencia angular analógica medida en radianes o
grados/seg; es la variable tiempo; √ .
1.9 FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA
La ecuación diferencial del movimiento, de un sistema de un grado de libertad, ante
acciones sísmicas definidas por un acelerograma , es la siguiente.
̈ ̇
La transformada de Fourier de la excitación viene definida por:
∫ ∫
Donde es la frecuencia de excitación; la transformada de Fourier de la
aceleración Ahora, la transformada de Fourier de la respuesta , es:
∫
La transformada inversa de la respuesta como de la excitación, son:
∫
∫
(1.39)
(1.40)
(1.41)
(1.42)
(1.43)
(1.44)
(1.45)

CEINCI-ESPE
29
Se define la función de transferencia en el campo complejo como la relación entre
la respuesta (salida) y la excitación (entrada) Barbat y Canet (1994)
Por lo tanto, la respuesta en el dominio de las frecuencias viene dada por:
Al remplazar (1.47) en la primera ecuación de (1.45) se halla.
∫
1.10 INTEGRAL DE DUHAMEL
La solución de la ecuación diferencial (1.42) está compuesta por una solución
homogénea y una solución particular. La solución homogénea se obtiene sin considerar la
acción sísmica es decir igualando a cero; esta solución ya fue presentada cuando se estudio
vibraciones libres.
La solución particular queda determinada por la Integral de Duhamel, la misma que se
presenta a continuación.
∫
Donde es la frecuencia amortiguada (ecuación 1.9); es la frecuencia natural
(ecuación 1.3); es el factor de amortiguamiento; es la aceleración del suelo.
La solución homogénea desaparece en los primeros instantes por lo que la respuesta
del sistema tiene solamente el aporte de la solución particular, por este motivo en lugar de
escribir se denominará .
Al resolver las funciones exponencial y trigonométrica, indicada en la ecuación (1.49)
se obtiene:
∫ [ ]
La ecuación (1.50) puede escribirse de la siguiente manera:
[ ]
∫
∫
Las integrales indicadas en las ecuaciones (1.52) y (1.53) pueden resolverse con
Métodos Numéricos pero en este capítulo, no se lo va a realizar de esa manera sino que se
pretende encontrar una solución analítica lo más exacta posible ya que en el próximo capítulo
se resuelve con el Método de Newmark.
Es lo más exácta posible ya que la eceleración del sismo, se la discretiza y se
considera que la variación entre dos instantes de tiempo y es lineal, como se muestra en
(1.46)
(1.47)
(1.48)
(1.49)
(1.50)
(1.51)
(1.52)
(1.53)

30
la figura 1.21. Para un instante de tiempo en el intervalo indicado la variación de la aceleración
está definida por la ecuación de una recta, con pendiente
Figura 1.21 Variación lineal de la excitación.
Al reemplazar la ecuación (1.54) en (1.52) y (1.53), se obtiene las variables en el
tiempo discreto . (Barbat y Caicedo, 1992),
[ ]
[ ]
Los límites de integración de las ecuaciones (1.55) y (1.56) son desde hasta
El programa Duhamel encuentra la respuesta en el tiempo de: desplazamiento,
velocidad y aceleración de un sistema de un grado de libertad sometido a una acción sísmica.
Los datos del programa, son:
 p Archivo que contiene las aceleraciones del sismo.
 dt Incremento de tiempo del archivo de aceleraciones.
 m Masa del sistema.
 k Rigidez del sistema.
 zeda Factor de amortiguamiento.
function Duhamel (p,dt,m,k,zeda)
%
% Programa para encontrar la respuesta en el tiempo
% de un sistema de un grado de libertad aplicando la
% Integral de Duhamel
%
% CEINCI-ESPE
% 12 de octubre de 2011
%-------------------------------------------------------------
% duhamel(p,m,k,zeda)
%-------------------------------------------------------------
(1.54)
(1.55)
(1.56)

CEINCI-ESPE
31
% p: Archivo que contiene al acelerograma
% dt: Incremento de tiempo del acelerograma entre dos puntos discretos
% m: Masa del sistema de un grado de libertad
% k: Rigidez del sistema de un grado de libertad
% zeda: Factor de amortiguamiento
%-------------------------------------------------------------
w=sqrt(k/m);wa=w*(1-zeda*zeda); % Frecuencias sin y con amortiguamiento
np=length(p); % Numero de puntos del acelerograma
q(1)=0;qp(1)=0; %Condiciones iniciales nulas
Asum=0; Bsum=0;
for i=2:np
a1=p(i-1); %Aceleración en tiempo discreto i-1
t1=dt*(i-1); %Tiempo
a2=p(i); %Aceleración en tiempo discreto i
t2=dt*i;t(i)=t2; %Tiempo
s=(a2-a1)/(t2-t1); % Pendiente de variación de la aceleración (sismo)
valA1=Aintegral(s,a2,t2,zeda,w,wa);valA2=Aintegral(s,a1,t1,zeda,w,wa);
Asum=Asum+valA1-valA2;
valB1=Bintegral(s,a2,t2,zeda,w,wa);valB2=Bintegral(s,a1,t1,zeda,w,wa);
Bsum=Bsum+valB1-valB2;
q(i)=exp(-zeda*w*t2)/wa*(Asum*sin(wa*t2)-Bsum*cos(wa*t2));
qp(i)=exp(-zeda*w*t2)*(Asum*cos(wa*t2)+Bsum*sin(wa*t2))-w*zeda*q(i);
qpp(i)=-w*w*q(i)-2*zeda*w*qp(i);
end
figure(1)
plot (t,q,'LineWidth',1.5);xlabel ('Tiempo'); ylabel ('Desplazamiento')
figure(2)
plot (t,qp,'LineWidth',1.5);xlabel ('Tiempo'); ylabel ('Velocidad')
figure (3)
plot(t,qpp,'LineWidth',1.5);xlabel ('Tiempo'); ylabel ('Aceleracion')
% fin
function [valor]=Aintegral(m,a,t,zeda,w,wa)
fac1=(zeda*w*a+m*(1-2*zeda*zeda))*cos(wa*t);
fac2=(wa/w)*(w*a-2*zeda*m)*sin(wa*t);
valor=exp(zeda*w*t)/(w*w)*(fac1+fac2);
return
function [valor1]=Bintegral(m,a,t,zeda,w,wa)
fac11=(zeda*w*a+m*(1-2*zeda*zeda))*sin(wa*t);
fac22=(wa/w)*(w*a-2*zeda*m)*cos(wa*t);
valor1=exp(zeda*w*t)/(w*w)*(fac11+fac22);
return
 EJEMPLO 8
Encontrar la respuesta en el tiempo, de la estructura indicada en la figura 1, ante el
registro obtenido en la estación Sylmar, durante el sismo de Northridge del 17 de enero de
1994, que tuvo una magnitud de 6.7. El acelerograma tuvo una aceleración máxima de 826.76
gals. Se considera un factor de amortiguamiento
 SOLUCIÓN
Como complemento a la información sísmica se debe indicar que el registro de Sylmar
fue obtenido en un suelo de bastante resistente (Clasificación tipo B según el Servicio
Sismológico de los Estados Unidos con velocidades de la onda de corte comprendidas entre
360 y 750 m/s), la estación se encontraba a 18 km., de la zona epicentral. Es un sismo
impulsivo cuya fase intensa tuvo una duración de 2 seg.

32
Se obtuvo la matriz de rigidez lateral utilizando el programa rlaxinfi. Aguiar (2008). El
valor obtenido es:
Figura 1.22 Estructura de Ejemplo 8.
La rigidez lateral obtenida significa que si se aplica una fuerza lateral de 43.886 T., a la
altura del primer piso la estructura se desplaza 1 cm. En el capítulo IV, de este libro se
presenta el cálculo de la Matriz de Rigidez Lateral.
Se hizo el cambio de unidades, debido a que el acelerograma está en gals (cm/s
2
). Las
respuestas en el tiempo se obtuvieron con el Programa Duhamel y se obtuvieron las
respuestas que se indican en la figura 1.23.

CEINCI-ESPE
33
Figura 1.23 Acelerograma Sylmar. Respuestas de: desplazamientos; velocidad; aceleración.

34
Se presentan cuatro figuras, la primera es el acelerograma de Sylmar, a partir de los 20
seg., la aceleración del suelo es prácticamente nula (sismo). La segunda figura es la respuesta
de desplazamiento relativo de la estructura con respecto al suelo, nótese que el
desplazamiento máximo no llega a 1 cm., esto es consecuencia del sismo impulsivo que
prácticamente no le da tiempo a la estructura a desplazarse pero eso si le introduce una gran
cantidad de energía por esto la velocidad relativa es apreciable y que decir con la aceleración
relativa de la estructura con respecto al suelo que se presentan en la tercera y cuarta figura.
1.11 EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS
Con el propósito de reforzar ciertos temas que se han expuesto en este capítulo se
resuelven algunos ejemplos que pueden ser de interés para el lector.
 EJEMPLO 9
Las olas que destruyeron Japón, (11 de marzo de 2011, magnitud de 8.8), tenían una
altura de 10 m., cuando en la costa se produjo un movimiento sísmico de 2.5 Hz. Hallar la
altura a la cual se desplaza la plataforma para producir estas olas; establecer el modelo
matemático de lo sucedido sabiendo que los mares tiene un peso específico de 2.3 T/m
3
(corteza más agua). Si se desplaza 1 m
3
, de agua, que fuerza se generan en las estructuras, si
se modela como un caso de vibración libre sin amortiguamiento. (Merchán, 2011).
 SOLUCIÓN
En la figura 1.24 se presenta un modelo matemático muy sencillo sobre la generación
de un Tsunami. En el sismo se rompe la corteza y empieza a vibrar, esta vibración es la que
genera las olas las mismas que se desplazan hacia la costa, como se observa en la figura 1.24.
Figura 1.24 Modelo elemental para la generación de un Tsunami. (Tomado de Wikipedia).
Si el movimiento de la plataforma marina, se modela como un caso de vibración libre
sin amortiguamiento (aproximación), la altura es de 20 m. Debido a que 10 m., se desplaza
hacia arriba y 10 m., se desplaza hacia abajo, la plataforma.
El modelo numérico de vibración libre sin amortiguamiento, en sistemas de un grado de
libertad se ha presentado en este capítulo. La respuesta de desplazamientos, es la siguiente:
Donde es la amplitud; es la frecuencia natural de vibración; es el ángulo de
fase; es la variable tiempo. Se deriva dos veces para sacar la aceleración.
̇ ̈

CEINCI-ESPE
35
La fuerza que se genera en las estructuras es igual a masa por aceleración. Pero
interesa la fuerza máxima en valor absoluto, esta vale:
La fuerza de impacto en la estructura, es bastante alta. Ahora pensemos si la cantidad
de agua que llevó la ola es mayor o la frecuencia es mayor, la fuerza de impacto será mucho
más alta.
 EJEMPLO 10
Si la estructura del Ejemplo 8 se encuentra en el perfil de suelo indicado en la figura
1.25. Encontrar el Factor de Amplificación Dinámica considerando la frecuencia natural del
suelo y la frecuencia natural de la estructura.
Figura 1.25 Perfiles de suelo en que se halla la estructura del Ejemplo 8.
 SOLUCIÓN
Con los datos indicados se obtiene en primer lugar la velocidad de la onda de corte del
perfil de suelo ; luego se encuentra el período de vibración suelo y posteriormente la
frecuencia de vibración del suelo
=
Por otra parte con los datos del ejemplo 8,se halla la frecuencia natural de la estructura.

36
√ √
Finalmente, se obtiene la relación entre las frecuencias y el factor de amplificación
dinámica . (Ecuación 1.25).
       
28
.
0
17
.
2
05
.
0
2
17
.
2
1
1
2
1
1
2
2
2
2
2
2









r
r 

La estructura analizada no tiene problemas de amplificación de las ondas sísmicas por
efecto del tipo de suelo.
1.12 APLICACIÓN PRÁCTICA
El Edificio Administrativo de la Universidad Nacional del Chimborazo, en enero de
2012, presentaba varias rajaduras en los vidrios de las ventanas de la fachada, que se indica
en la figura 1.26, debido a que se hallan en el extremo del voladizo y las vibraciones que se
generaron durante la ampliación de la vía a Guano.
Figura 1.26 Edificio Administrativo de la Universidad Nacional del Chimborazo.
En la figura 1.27 se presenta solamente la parte de la estructura que trabaja en
voladizo; las columnas se encuentran cada 5.0 m., la losa es de 25 cm., de peralte, alivianada
con los bloques que están indicados en la gráfica superior y el voladizo es de longitud variable.
El gráfico inferior corresponde al modelo de cálculo, que es una malla espacial, en la cual se
considera que las columnas están completamente empotradas y los restantes nudos tienen tres
grados de libertad, dos rotaciones y un desplazamiento vertical. Aguiar (2006).
Debido al peso de los elementos (carga muerta) y de las personas (carga viva) que en
ella laboran, los máximos desplazamientos verticales se producen entre los ejes: F-E-D. En la
figura 1.28 se indican los corrimientos verticales en el borde, los mismos que están en función
de la carga vertical que sobre ellos gravita, donde se tiene mayor cantidad de hormigón se
presentan desplazamientos más grandes, de ahí la importancia de no dejar vigas banda de
considerable dimensión en los extremos de un voladizo debido a que no se requiere y lo único
que ocasionan es un mayor desplazamiento vertical.

CEINCI-ESPE
37
Figura 1.27 Macizado de la losa que trabaja en voladizo y malla de cálculo.
Figura 1.28 Desplazamientos verticales entre los ejes F-E
Se va a ver el comportamiento del nervio que tiene 2.65 mm., de deformación vertical y
que está con una línea más gruesa en la figura 1.28. Este nervio tiene 10 cm., de ancho y 25
cm., de peralte. Para el estudio de cómo se incrementan los desplazamientos verticales por las
vibraciones producidas por una máquina, se modela este elemento como un sistema de un
grado de libertad como el de la figura 1.29 sometido a una excitación armónica.
Figura 1.29 Vibración forzada armónica en un sistema de un grado de libertad.
La ecuación diferencial para el caso de vibración forzada armónica, sin
amortiguamiento (hipótesis de cálculo) es la siguiente:
̈ Ω

38
Donde son la masa y rigidez del modelo; ̈ son el desplazamiento y aceleración
que es función del tiempo , como se aprecia a la derecha de la figura 1.29; Ω es la fuerza y
frecuencia de la excitación que generan vibraciones en la estructura.
El sistema tiene condiciones iniciales y son la deformación vertical en el extremo del
voladizo por efecto de la carga vertical , se considera que la velocidad es nula en La
solución de la ecuación diferencial es:
Donde es la solución homogénea y es la solución particular, que valen.
( Ω )
Ω
( Ω )
Ω
Donde son constantes de integración que se obtienen en función de las
condiciones iniciales; es la frecuencia de vibración del sistema.
√
Donde es el módulo de elasticidad del hormigón; es el momento de inercia de la
viga; es la longitud del voladizo. Al reemplazar las condiciones iniciales en , se hallan las
constantes de integración.
Ω
( Ω )
Finalmente la respuesta en el tiempo del sistema es:
Ω
( Ω ) ( Ω )
Ω
En la tabla 1.2 se presentan los datos con los que se resuelve el problema de vibración
forzada con condiciones iniciales y en la figura 1.30 se indica la respuesta en el tiempo.
Tabla 1.2 Datos del nervio analizado, para el cálculo de las deformaciones verticales.
Dato Valor
Ancho y peralte del nervio
Condiciones iniciales ̇
Longitud de nervio y masa puntual
Fuerza y Frecuencia de excitación armónica Ω
En la figura 1.30 se aprecia que la deformación vertical del extremo del nervio, antes de
que operen los equipos viales es 2.65 mm., y cuando entran en funcionamiento se incrementan
hasta tener alrededor de 6 mm., tanto hacia arriba como hacia abajo.

CEINCI-ESPE
39
Por otra parte, el desplazamiento vertical máximo, para edificios que tienen elementos
no estructurales que pueden sufrir daño es. ACI (318 S-05).
Siendo , la longitud del voladizo. En este caso , con lo que el
desplazamiento máximo permitido es 3.44 mm., cantidad que si fue sobrepasada con el
movimiento vibratorio durante la construcción de la vía.
El desplazamiento de 2.65 mm., que se obtuvo en el cálculo por efecto de las cargas
verticales, se da cuando termina la construcción, luego con el paso del tiempo, en los voladizos
estos desplazamientos verticales se incrementan por lo que se denomina Flujo Plástico del
Hormigón. Un libro clásico que trata muy bien este tema es el de Park y Paulay (1979)
Figura 1.30 Respuesta en el tiempo del desplazamiento vertical de un nervio mientras está en
funcionamiento las máquinas viales.
Por lo tanto, cuando se tiene una ventana bajo un voladizo se debe dejar una
separación entre el marco de la ventana y la viga o losa, para permitir esta deformación vertical
instantánea, en el transcurso del tiempo y que puede incrementarse con las vibraciones de
equipos; esta separación que puede estar entre 5 y 10 mm., debe ser llenada con un material
amortiguante, como una goma.
REFERENCIAS
1. ACI (2005), Requisitos de Reglamento para Concreto Estructural y Comentario (ACI
318S-05). American Concrete Institute, 490 p.

40
2. Aguiar R., (2008), Análisis Sísmico de Edificios, Centro de Investigaciones Científicas.
Escuela Politécnica del Ejército, 322 p., Quito, Ecuador.
3. Aguiar R., Almazán J. L., Dechent P., Suárez V., (2008), Aisladores de base
elastoméricos y FPS, Centro de Investigaciones Científicas. Escuela Politécnica del
Ejército, 292 p., Quito, Ecuador.
4. Aguiar R., (2006), Análisis Estático de Estructuras, Centro de Investigaciones
Científicas. Escuela Politécnica del Ejército. Colegio de Ingenieros Civiles de Pichincha,
161 p., Quito.
5. Barbat A., Canet J., (1994), Estructuras sometidas a acciones sísmicas. Cálculo por
ordenador, Centro Internacional de Métodos Numéricos en Ingeniería. Universidad
Politécnica de Cataluña. Segunda Edición, 809 p., Barcelona, España.
6. Barbat A., Caicedo C., (1992), “Dos soluciones exactas para la ecuación del
movimiento”, Trabajo presentado en el Curso de Post grado Ingeniería Sísmica y
Dinámica Estructural. Universidad Politécnica de Cataluña, 8 p., Barcelona, España.
7. Chopra A., (1996), Dynamics of structures: Theory and applications to earthquakes
engineering, Prentice Hall, N.J.
8. León J., (1981), Introducción a las Vibraciones Mecánicas, Materia del Curso de Post
grado en Ingeniería Sismo Resistente. Universidad Central de Venezuela, Caracas,
Venezuela.
9. Merchán P. (2011), Vibraciones Libres. Clase de Física en la Carrera de Mecatrónica.
Escuela Politécnica del Ejército, Quito, Ecuador.
10. Newmark N., and Hall W., (1982), Earthquake Spectra and Design. California, United
States of America: Earthquake Engineering Research Institute.
11. Park R., Paulay T., (1979), Estructuras de concreto reforzado, Editorial Limusa, 796 p.,
México.

CEINCI-ESPE
41
CAPÍTULO 2
ESPECTROS DE RESPUESTA
RESUMEN
Se presenta en forma práctica el método de aceleración lineal para encontrar la
respuesta de un sistema de un grado de libertad ante una acción sísmica, para el efecto se ha
elaborado un programa denominado lineal.
Posteriormente se indica la definición de espectros de respuesta elásticos, los mismos
que se hallan con el programa espectro. Pero antes se presenta una breve reseña histórica de
este tema, hasta 1960, fundamental para el diseño sísmico de estructuras como es el de los
Espectros.
Al leer detenidamente cada una de las instrucciones de los programas lineal y
espectro se entenderá mejor la forma como se obtiene la respuesta en el tiempo de un
sistema de un grado de libertad y como se encuentran los espectros de respuesta elásticos.
Por considerarlo muy práctico se presenta también el uso del programa DEGTRA que
permite obtener espectros de respuesta elásticos e inelásticos y más aspectos relacionados
con la dinámica de estructuras.
Luego, se ve la importancia de conocer las formas espectrales en base a dos registros
sísmicos, el uno de México de 1985 y el otro de Chile de 1985. Posteriormente se habla sobre
el Mega Sismo de Chile de 2010, que tuvo una magnitud de 8.8 y dejó importantes lecciones
para la Ingeniería Sísmica. Con relación a los espectros se vio como influye la fuente sísmica a
más del tipo de suelo, en la forma del espectro. Vale la pena acotar que el sismo de
Esmeraldas de 1906, en Ecuador, tuvo una magnitud de 8.8, de tal manera que las lecciones
del sismo de Chile son muy oportunas.
Finalmente se presenta la definición de Pseudo Espectros, por la importancia que tiene
en el Método de Superposición Modal. Como ejemplo de aplicación se obtiene los Pseudo
Espectros de Velocidad y Desplazamiento, a partir del Espectro de Aceleraciones del Código
Ecuatoriano de la Construcción, CEC-2000, para el efecto se desarrollo el programa
pseudo_espectro. Se hace una crítica a la forma del Pseudo Espectro de Desplazamientos
para períodos altos, debido a que crece conforme se incrementa el período. Ventajosamente
en la Norma Ecuatoriana de la Construcción de 2011 se corrigió esto que era un problema para
las estructuras con aisladores de base.
2.1 MÉTODO DE ACELERACIÓN LINEAL EN SISTEMAS DE 1GDL
La ecuación diferencial que gobierna un sistema de un grado de libertad ante una
acción sísmica definida por un acelerograma es la siguiente:

42
g
U
m
q
k
q
c
q
m
..
.
..




Donde m es la masa; c es el amortiguamiento; k es la rigidez, del sistema de un
grado de libertad, 1gdl, q es la respuesta en el tiempo de desplazamiento;
.
q es la respuesta
en el tiempo de velocidad;
..
q es la respuesta en el tiempo de aceleración y g
U
..
es la
aceleración del suelo.
Existe una gran cantidad de métodos para encontrar la respuesta lineal de la ecuación
diferencial (2.1). Uno de ellos es el método de Aceleración Lineal que está deducido en el
capítulo 4 del libro: Sistema de Computación CEINCI3 para evaluar daño sísmico en los Países
Bolivarianos, Aguiar (2002). Aquí se presenta una síntesis del método, orientado a la
elaboración de un programa de computación pero antes de ello es necesario manifestar que la
ecuación diferencial (2.1) se puede escribir también de la siguiente manera, al dividir todo para
la masa del sistema m .
g
n
n U
q
W
q
W
q
..
2
.
..
2 


 
Siendo n
W la frecuencia natural del sistema y  es el factor de amortiguamiento
crítico. En el capítulo 1 se vio que:
m
k
Wn 
k
m
c
2


El método de aceleración lineal, considera que en la respuesta del sistema la
aceleración entre dos instantes de tiempo varía en forma lineal. Sea i
q , i
q
.
y i
q
..
, el
desplazamiento, velocidad y aceleración en el tiempo discreto i
t y sea 1

i
q , 1
.

i
q y 1
..

i
q , lo
propio pero en el tiempo discreto 1

i
t . El procedimiento de cálculo es el siguiente:
i. Se determina la masa equivalente del sistema

M
6
2
2
t
k
t
c
m
M






Donde t
 es el incremento de tiempo con el cual se desea hallar la respuesta sísmica.
ii. Se halla el incremento de carga

i
Q

t
k
q
t
k
t
c
q
Q
Q i
i
i 




.
2
..
2



















  i
i U
U
m
Q
..
1
..

Siendo
..
1
..
, 
i
i U
U la aceleración del suelo en los tiempos discretos i
t y 1

i
t .
iii. Se halla el incremento de aceleraciones
..
q

(2.1)
(2.2)
(2.3)
(2.4)

CEINCI-ESPE
43



M
Q
q i


..
iv. Se encuentra el incremento de velocidad
.
q

t
q
t
q
q i 



2
..
..
.


v. Se determina el incremento de desplazamiento q

2
..
2
..
.
6
2
t
q
t
q
t
q
q i
i 



 


vi. Se obtiene el nuevo desplazamiento, velocidad y aceleración en 1

i
t
..
..
1
..
.
.
1
.
1
q
q
q
q
q
q
q
q
q
i
i
i
i
i
i












vii. Los valores obtenidos en el tiempo 1

i
t se asignan a i
t
1
..
..
1
.
.
1






i
i
i
i
i
i
q
q
q
q
q
q
Para un nuevo incremento de tiempo se repite desde el paso dos. Es importante
destacar que en el Análisis Lineal, la masa equivalente

M se determina una sola vez.
2.2 PROGRAMA lineal
El programa lineal, halla en forma gráfica, la respuesta en el tiempo de un sistema de
un grado de libertad, ante una acción sísmica, definida por su acelerograma, aplicando el
Método de Aceleración Lineal indicado en el apartado anterior.
El programa ha sido elaborado en MATLAB y antes de utilizarlo se debe grabar el
archivo que contiene únicamente las aceleraciones del sismo en formato ASCII. El nombre
tiene extensión .dat. Después de ello cuando se encuentra en la modalidad consola se carga
el acelerograma y después se ejecuta lineal, de la siguiente manera:
[d,v,a] = lineal (p,m,c,k,dt)
 p es el nombre del archivo que contiene el acelerograma.
 m es la masa del sistema de 1 gdl.
 c es el amortiguamiento del sistema de 1 gdl.
 k es la rigidez del sistema de 1 gdl.
(2.5)
(2.6)
(2.7)

44
 dt es el incremento de tiempo con el cual se desea hallar la respuesta. El mismo que
tiene que ser igual al incremento de tiempo con el cual se obtuvo el acelerograma.
Una vez que se ejecuta lineal aparecen cuatro gráficas, la primera de ellas es el
acelerograma, que es dato. La segunda la respuesta en el tiempo de los desplazamientos, la
tercera de las velocidades y la última de las aceleraciones.
function [d,v,a]=lineal(p,m,c,k,dt)
%
% Respuesta en el tiempo de un sistema de un grado de libertad
% por el Método de la Aceleración Lineal
%
% CEINCI ESPE
%------------------------------------------------------------------
% [d,v,a]=lineal(p,m,c,k,dt)
%------------------------------------------------------------------
% p : vector que contiene los registros del acelerograma
% m : masa del sistema
% c : amortiguamiento del sistema
% k : rigidez del sistema
% d, v, a : desplazamiento, velocidad y aceleración de la respuesta
% dt : incremento de tiempo
%
n=length(p); tmax=dt*n; t=linspace(0,tmax,n)';
ma=m+(c*dt/2)+(k*dt*dt/6);
d(1)=0; v(1)=0; a(1)=0;
for i=1:n-1
dq=-m*(p(i+1)-p(i));
dqa=dq-a(i)*(c*dt+k*dt*dt/2)-v(i)*k*dt;
inca=dqa/ma; incv=a(i)*dt+inca*dt/2; incd=v(i)*dt+a(i)*dt*dt/2+inca*dt*dt/6;
d(i+1)=d(i)+incd; v(i+1)=v(i)+incv; a(i+1)=a(i)+inca;
d(i)=d(i+1); v(i)=v(i+1); a(i)=a(i+1);
end
subplot (4,1,1); plot (t,p); title('Acelerograma');
subplot (4,1,2); plot (t,d); ylabel('Desplazamiento');
subplot (4,1,3); plot (t,v); ylabel('Velocidad');
subplot (4,1,4); plot (t,a);xlabel('Tiempo'); ylabel('Aceleracion');
%---fin---
 EJEMPLO 1
Hallar la respuesta en el tiempo del oscilador indicado en la figura 2.1, que tiene una
masa
cm
s
T
m
2
004898
.
0
 , una frecuencia natural
s
Wn
1
2832
.
6
 y un coeficiente de
amortiguamiento 05
.
0

 . Ante el sismo del 9 de noviembre de 1974, registrado en el Perú.
El acelerograma fue obtenido a 80 Km., del epicentro sobre un suelo limo arcilloso. El evento
tuvo una magnitud de 6. La aceleración máxima del sismo, en valor absoluto fue de 117 gals
(cm/s
2
). El incremento de tiempo con el cual fue obtenido el registro es s
t 02
.
0

 .
 SOLUCIÓN
Para utilizar el programa lineal se debe determinar el amortiguamiento y la rigidez del
sistema, en base a la frecuencia natural y al coeficiente de amortiguamiento.

CEINCI-ESPE
45
cm
T
m
W
k
m
k
W n
n /
19336619
.
0
004898
.
0
*
4786
.
39
/ 2
2





Figura 2.1 Modelo de un sistema de 1 gdl.
cm
Ts
mk
c
mk
c /
0030775
.
0
193366
.
0
*
004898
.
0
*
05
.
0
*
2
2
2
/ 



 

El período del sistema que se analiza es n
W
T /
2
 = 1 s. Una vez cargado el
acelerograma como un vector, en la modalidad consola, se ejecuta el programa lineal.
>>load Peru04.dat
>>[d,v,a] = lineal (Peru04, 0.004898, 0.00307751136, 0.19336619, 0.02)
Es importante tener muy en cuenta las unidades. Si el acelerograma viene en gals.
Se debe trabajar todo con cm y s. Así es como se ha procedido en el ejemplo realizado.
En la figura 2.2 se indica la respuesta en el tiempo del sistema de 1 gdl., del ejemplo 1.
Como se indicó aparece el acelerograma, los desplazamientos, velocidad y aceleración.
Se puede hallar las respuestas máximas, en valor absoluto, desde la modalidad
consola de la siguiente manera:
>>Sd=max(abs(d))
Sd=
2.9842
>>Sv=max(abs(v))
Sv=
23.8650
>>Sa=max(abs(a))
Sa=
213.5134
Se ha denominado Sd, Sv, Sa a la máxima respuesta, en valor absoluto, de los
desplazamientos, velocidades y aceleraciones, respectivamente.

46
Figura 2.2 Respuesta en el tiempo de Ejemplo 1.
2.3 MODELOS DE UN GRADO DE LIBERTAD
En el capítulo 1 se presentó un modelo de un sistema de 1 gdl. En la figura 2.1 se
mostró otro modelo de 1 gdl. Todo esto, con el objeto de que el lector se familiarice con la
forma como se acostumbra representar los sistemas de 1 gdl.
Figura 2.3 Modelo de un sistema de un grado de libertad.
Con este antecedente, en la figura 2.3 se indican dos modelos más. A la izquierda se
ha dibujado un pórtico de un vano y un piso en el que se ha resaltado la masa, se ha indicado
la rigidez y el amortiguamiento. A la derecha se tiene otra forma de presentar un sistema de un

CEINCI-ESPE
47
grado de libertad, en base a una columna con una masa puntual. Lo importante es que el lector
observe que todos ellos, son formas de representar un sistema de 1 gdl.
Por su sencillez en el dibujo, se utilizará en el presente capítulo el último modelo
compuesto por una columna y la masa puntual.
 EJEMPLO 2
Hallar la respuesta en el tiempo de un sistema cuya masa es 0.0024 Ts
2
/cm, la rigidez
es 0.023687 T/cm y el amortiguamiento vale 0.000753981 Ts/cm. Ante el sismo utilizado en el
ejemplo 1.
 SOLUCIÓN
El sistema de 1 gdl del ejercicio anterior, tenía un período de vibración de 1 segundo y
el de este ejercicio, tiene un período de 2 segundos. Es importante tener esto presente para el
tema que se tratará en el próximo apartado.
>>load Peru04.dat
>>[d,v,a] = lineal (Peru04, 0.0024, 0.000753981, 0.023687, 0.02)
La respuesta en desplazamientos, velocidades y aceleraciones, que reporta el
MATLAB, al utilizar el programa lineal, se indica en la figura 2.4. Por otra parte, las respuestas
máximas son: cm
Sd 6702
.
2
 . .
/
0933
.
15 s
cm
Sv  y
2
/
5191
.
129 s
cm
Sa  .
2.4 ESPECTROS DE RESPUESTA
Por los años de 1915, Naito diseñaba sus estructuras ante sismos considerando como
fuerzas laterales una fracción del peso de sus elementos y sus edificaciones tuvieron un buen
comportamiento durante el sismo de Tokyo de 1923 lo que no ocurrió con otras edificaciones
que colapsaron. El primer código de diseño sísmico del mundo fue el de Japón de 1919.
(Rosenblueth, 1965)
A partir de 1930 se reconoció el problema sísmico como un problema de dinámica de
estructuras y ya se empezaron a definir modelos numéricos de cálculo, en los que se
establecieron bien las variables involucradas (Suyehiro, 1932; Freeman, 1932; Biot, 1943). En
1934 Benioff introduce la definición de espectro de respuesta. Sin embargo de esto todavía
existen proyectistas estructurales que a lo mucho la naturaleza dinámica del problema sísmico,
la consideran al calcular el cortante basal Vo; por otra parte, determinan el período de vibración
T de la estructura utilizando ecuaciones muy elementales, lo propio realizan con la
determinación de las fuerzas laterales estáticas equivalentes. Existen importantes avances en
el análisis lineal y no lineal de estructuras que deben ser acogidas.
En 1952, Housner presenta el pseudo espectro de velocidades. Luego en 1959,
Housner propuso el primer grupo de formas espectrales promedio, normalizando para el efecto
8 registros obtenidos de los siguientes terremotos: El Centro 1934 y 1940, Western
Washington, (Olympia) 1949 y Kerb County (Taft) 1952. Nótese que ya se empieza con el tema
del espectro de diseño que será abordado en el siguiente capítulo en forma extensa.
2.4.1 Definición de espectro
Se define el espectro de respuesta como la respuesta máxima de un conjunto de
osciladores de 1 gdl que tienen el mismo amortiguamiento, sometidas a una historia de
aceleraciones dadas.

48
Figura 2.4 Respuesta en el tiempo de Ejemplo 2.
En la figura 2.5 se muestra el esquema de cálculo de los espectros de respuesta. A la
izquierda aparecen un conjunto de osciladores de 1 gdl, todos ellos tienen 05
.
0

 y cada
uno va a ser sometido al sismo cuyo acelerograma se indica en la parte inferior izquierda. En
este caso, corresponde al sismo del 9 de noviembre de 1974, utilizado en los ejemplos 1 y 2.
Figura 2.5 Esquema de cálculo de los Espectros de Respuesta.

CEINCI-ESPE
49
En la parte central de la figura 2.5, se tiene la respuesta en el tiempo de
desplazamiento, se ha colocado únicamente de dos osciladores, el uno tiene un período de 1 s.
(ejemplo 1) y el otro un período de 2 s. (ejemplo 2). Se ha identificado las respuestas máximas
en cada uno de ellos, como Sd1 para el sistema con T=1 s., y Sd2 para el sistema con T=2 s.
Nótese que Sd1 es negativo ya que se halla en la parte inferior y Sd2 es positivo por estar en la
parte superior pero para encontrar el espectro se considera en valor absoluto
En la parte derecha, de la figura 2.5 se han colocado los valores de Sd1 y Sd2 asociados
a períodos de 1 y 2 s., se han colocado además los desplazamientos máximos
correspondientes a los restantes períodos del conjunto de osciladores, la gráfica que resulta de
unir las respuestas máximas es el Espectro de Respuesta Elástica de Desplazamientos,
ante el sismo del 9 de Noviembre de 1974.
En la parte central de la figura 2.5 se pudo haber colocado las respuestas máximas de
velocidades o de aceleraciones, con lo que se habría hallado los espectros de respuesta
elásticos de velocidad y aceleración, respectivamente.
Por lo tanto, se pueden obtener espectros de respuesta elásticos de desplazamientos,
velocidades y aceleraciones, encontrando las máximas respuestas en valor absoluto de
)
(
),
(
.
t
q
t
q y )
(
..
t
q . A estas respuestas máximas se las denomina con las letras v
d S
S , y a
S .
max
)
(t
q
Sd  ( 2.8 )
max
v t
q
S )
(

 ( 2.9 )
max
a t
q
S )
(


 ( 2.10 )
Las respuestas máximas en valor absoluto, de los ejercicios resueltos, se indican en la
tabla 2.1. Al graficar d
S
T  se tiene el espectro de desplazamientos, al graficar v
S
T  se
tiene el espectro de velocidades y al graficar a
S
T  se tiene el espectro de aceleraciones.
Tabla 2.1 Respuestas máximas encontradas en los dos ejercicios realizados.
n
W T d
S v
S a
S






s
1
 
s  
.
cm 





s
cm.






2
.
s
cm
6.2832 1.00 2.98 23.87 213.51
3.1416 2.00 2.67 15.09 129.52
En la tabla 2.1 se tienen dos puntos de los espectros. Para tener el espectro completo se
deben analizar por lo menos 100 sistemas de 1 gdl.
2.4.2 Programa espectro
Se ha elaborado un programa en MATLAB denominado espectro, en base al
programa lineal. En este programa se ha omitido las sentencias con las cuales se imprime la
respuesta en el tiempo de desplazamiento, velocidad y aceleración, así como se suprimido la
sentencia que dibujaba el acelerograma. El programa que encuentra las respuestas paso a
paso de un oscilador de 1 gdl pero que no presenta las respuestas en el tiempo se denomina
lineales. Es importante verificar que se encuentre el programa antes de ejecutar el programa
espectro.

50
La forma de utilizar el programa espectro es:
>> [Sd,Sv,Sa] = espectro (p,dt,zeda)
 Sd Matriz que contiene los desplazamientos espectrales para diferentes valores de .
 Sv Matriz que contiene las velocidades espectrales para diferentes valores de  .
 Sa Matriz que contiene las aceleraciones espectrales para diferentes valores de  .
 p Vector que contiene las aceleraciones del suelo para el cual se hallan los espectros
 dt Incremento de tiempo con el cual se halla la respuesta, igual al incremento de
tiempo del acelerograma.
 zeda Vector que contiene los valores de  para los cuales se desean los espectros.
El período obtiene los espectros, desde un período inicial igual a 0.01 s., hasta un
período máximo de 3.0 s., con un incremento en los períodos de 0.03 s. De tal manera que se
calculan los espectros en base a 100 osciladores, si se desea incrementar el número de
osciladores se debe disminuir el incremento de período. Cualquiera de estos valores se puede
modificar al ingresar al programa espectro
Antes de utilizar el programa, se debe cargar el archivo de datos en el cual se halla el
acelerograma y el vector que contiene los valores, del factor de amortiguamiento para los
cuales se desea encontrar los espectros.
function [Sd,Sv,Sa]=espectro(p,dt,zeda)
%
% Espectros de respuesta elástica de: desplazamientos, velocidad y aceleración.
% Empleando Método de Aceleración Lineal.
%
% CEINCI-ESPE
%
%------------------------------------------------------------------------------------------------
% [Sd,Sv,Sa]=espectro(p,dt,zeda)
%------------------------------------------------------------------------------------------------
%
% p Vector que contiene el acelerograma.
% dt Intervalo de tiempo con el que se halla la respuesta igual al
% valor con que fueron tomados los datos del acelerograma.
% zeda Vector que contiene los valores de amortiguamiento.
% Sd Valores máximos de los desplazamientos en absoluto.
% Sv Valores máximos de las velocidades en absoluto.
% Sa Valores máximos de las aceleraciones en absoluto.
% DT Intervalo de Periodos = 0.03 s.
% Tmin Período mínimo que se considera igual a 0.01 s.
% Tmax Período máximo que se considera igual a 3.00 s.
%
hold off; Tmin=0.01; Tmax=3.0; DT=0.03; n=((Tmax-Tmin)/DT)+1;
m=length(zeda); T=linspace(Tmin,Tmax,n)'; W=2*pi./T; K=W.*W;
for i=1:m
zi=zeda(i); C=(2*zi).*sqrt(K);
for j=1:n
xj=K(j); yj=C(j);
[d,v,a]=lineales(p,1,yj,xj,dt);
Sd(i,j)=max(abs(d)); Sv(i,j)=max(abs(v)); Sa(i,j)=max(abs(a));
end
end

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