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DECLARACIÓN UNIVERSAL DE LOS DERECHOS HUMANOS
El 10 de diciembre de 1948, la Asamblea General de las Naciones Unidas aprobó y proclamó
la Declaración Universal de los Derechos Humanos, cuyos artículos figuran a continuación:
Artículo 1.-
Todos los seres humanos nacen libres e iguales en dignidad y derechos y (...)
deben comportarse fraternalmente los unos con los otros.
Artículo 2.-
Toda persona tiene todos los derechos y libertades proclamados en esta
Declaración, sin distinción alguna de raza, color, sexo, idioma, religión, opinión
política o de cualquier otra índole, origen nacional o social, posición económica,
nacimiento o cualquier otra condición. Además, no se hará distinción alguna
fundada en la condición política, jurídica o internacional del país o territorio de
cuya jurisdicción dependa una persona (...).
Artículo 3.-
Todo individuo tiene derecho a la vida, a la libertad y a la seguridad de su
persona.
Artículo 4.-
Nadie estará sometido a esclavitud ni a servidumbre; la esclavitud y la trata de
esclavos están prohibidas en todas sus formas.
Artículo 5.-
Nadie será sometido a torturas ni a penas o tratos crueles, inhumanos o
degradantes.
Artículo 6.-
Todo ser humano tiene derecho, en todas partes, al reconocimiento de su
personalidad jurídica.
Artículo 7.-
Todos son iguales ante la ley y tienen, sin distinción, derecho a igual protección
de la ley. Todos tienen derecho a igual protección contra toda discriminación
que infrinja esta Declaración (...).
Artículo 8.-
Toda persona tiene derecho a un recurso efectivo, ante los tribunales
nacionales competentes, que la ampare contra actos que violen sus derechos
fundamentales (...).
Artículo 9.-
Nadie podrá ser arbitrariamente detenido, preso ni desterrado.
Artículo 10.-
Toda persona tiene derecho, en condiciones de plena igualdad, a ser oída
públicamente y con justicia por un tribunal independiente e imparcial, para la
determinación de sus derechos y obligaciones o para el examen de cualquier
acusación contra ella en materia penal.
Artículo 11.-
1. Toda persona acusada de delito tiene derecho a que se presuma su inocencia
mientras no se pruebe su culpabilidad (...).
2. Nadie será condenado por actos u omisiones que en el momento de
cometerse no fueron delictivos según el Derecho nacional o internacional.
Tampoco se impondrá pena más grave que la aplicable en el momento de
la comisión del delito.
Artículo 12.-
Nadie será objeto de injerencias arbitrarias en su vida privada, su familia, su
domicilio o su correspondencia, ni de ataques a su honra o a su reputación. Toda
persona tiene derecho a la protección de la ley contra tales injerencias o ataques.
Artículo 13.-
1. Toda persona tiene derecho a circular libremente y a elegir su residencia
en el territorio de un Estado.
2. Toda persona tiene derecho a salir de cualquier país, incluso del propio, y
a regresar a su país.
Artículo 14.-
1. En caso de persecución, toda persona tiene derecho a buscar asilo, y a
disfrutar de él, en cualquier país.
2. Este derecho no podrá ser invocado contra una acción judicial realmente
originada por delitos comunes o por actos opuestos a los propósitos y
principios de las Naciones Unidas.
Artículo 15.-
1. Toda persona tiene derecho a una nacionalidad.
2. A nadie se privará arbitrariamente de su nacionalidad ni del derecho a
cambiar de nacionalidad.
Artículo 16.-
1. Los hombres y las mujeres, a partir de la edad núbil, tienen derecho, sin
restricción alguna por motivos de raza, nacionalidad o religión, a casarse y
fundar una familia (...).
2. Solo mediante libre y pleno consentimiento de los futuros esposos podrá
contraerse el matrimonio.
3. La familia es el elemento natural y fundamental de la sociedad y tiene derecho
a la protección de la sociedad y del Estado.
Artículo 17.-
1. Toda persona tiene derecho a la propiedad, individual y colectivamente.
2. Nadie será privado arbitrariamente de su propiedad.
Artículo 18.-
Toda persona tiene derecho a la libertad de pensamiento, de conciencia y de
religión (...).
Artículo 19.-
Todo individuo tiene derecho a la libertad de opinión y de expresión (...).
Artículo 20.-
1. Toda persona tiene derecho a la libertad de reunión y de asociación pacíficas.
2. Nadie podrá ser obligado a pertenecer a una asociación.
Artículo 21.-
1. Toda persona tiene derecho a participar en el gobierno de su país,
directamente o por medio de representantes libremente escogidos.
2. Toda persona tiene el derecho de acceso, en condiciones de igualdad, a las
funciones públicas de su país.
3. La voluntad del pueblo es la base de la autoridad del poder público; esta
voluntad se expresará mediante elecciones auténticas que habrán de
celebrarse periódicamente, por sufragio universal e igual y por voto secreto
u otro procedimiento equivalente que garantice la libertad del voto.
Artículo 22.-
Toda persona (...) tiene derecho a la seguridad social, y a obtener, (...) habida
cuenta de la organización y los recursos de cada Estado, la satisfacción de los
derechos económicos, sociales y culturales, indispensables a su dignidad y al
libre desarrollo de su personalidad.
Artículo 23.-
1. Toda persona tiene derecho al trabajo, a la libre elección de su trabajo, a
condiciones equitativas y satisfactorias de trabajo y a la protección contra el
desempleo.
2. Toda persona tiene derecho, sin discriminación alguna, a igual salario por
trabajo igual.
3. Toda persona que trabaja tiene derecho a una remuneración equitativa y
satisfactoria, que le asegure, así como a su familia, una existencia conforme
a la dignidad humana y que será completada, en caso necesario, por
cualesquiera otros medios de protección social.
4. Toda persona tiene derecho a fundar sindicatos y a sindicarse para la defensa
de sus intereses.
Artículo 24.-
Toda persona tiene derecho al descanso, al disfrute del tiempo libre, a una
limitación razonable de la duración del trabajo y a vacaciones periódicas
pagadas.
Artículo 25.-
1. Toda persona tiene derecho a un nivel de vida adecuado que le asegure, así
como a su familia, la salud y el bienestar, y en especial la alimentación, el
vestido, la vivienda, la asistencia médica y los servicios sociales necesarios;
tiene asimismo derecho a los seguros en caso de desempleo, enfermedad,
invalidez, viudez, vejez u otros casos de pérdida de sus medios de
subsistencia por circunstancias independientes de su voluntad.
2. La maternidad y la infancia tienen derecho a cuidados y asistencia especiales.
Todos los niños, nacidos de matrimonio o fuera de matrimonio, tienen derecho
a igual protección social.
Artículo 26.-
1. Toda persona tiene derecho a la educación. La educación debe ser gratuita,
al menos en lo concerniente a la instrucción elemental y fundamental. La
instrucción elemental será obligatoria. La instrucción técnica y profesional
habrá de ser generalizada; el acceso a los estudios superiores será igual
para todos, en función de los méritos respectivos.
2. La educación tendrá por objeto el pleno desarrollo de la personalidad humana
y el fortalecimiento del respeto a los derechos humanos y a las libertades
fundamentales; favorecerá la comprensión, la tolerancia y la amistad entre
todas las naciones y todos los grupos étnicos o religiosos, y promoverá el
desarrollo de las actividades de las Naciones Unidas para el mantenimiento
de la paz.
3. Los padres tendrán derecho preferente a escoger el tipo de educación que
habrá de darse a sus hijos.
Artículo 27.-
1. Toda persona tiene derecho a tomar parte libremente en la vida cultural de
la comunidad, a gozar de las artes y a participar en el progreso científico y
en los beneficios que de él resulten.
2. Toda persona tiene derecho a la protección de los intereses morales y
materiales que le correspondan por razón de las producciones científicas,
literarias o artísticas de que sea autora.
Artículo 28.-
Toda persona tiene derecho a que se establezca un orden social e internacional
en el que los derechos y libertades proclamados en esta Declaración se hagan
plenamente efectivos.
Artículo 29.-
1. Toda persona tiene deberes respecto a la comunidad (...).
2. En el ejercicio de sus derechos y en el disfrute de sus libertades, toda persona
estará solamente sujeta a las limitaciones establecidas por la ley con el único
fin de asegurar el reconocimiento y el respeto de los derechos y libertades
de los demás, y de satisfacer las justas exigencias de la moral, del orden
público y del bienestar general en una sociedad democrática.
3. Estos derechos y libertades no podrán, en ningún caso, ser ejercidos en
oposición a los propósitos y principios de las Naciones Unidas.
Artículo 30.-
Nada en esta Declaración podrá interpretarse en el sentido de que confiere
derecho alguno al Estado, a un grupo o a una persona, para emprender y
desarrollar actividades (...) tendientes a la supresión de cualquiera de los
derechos y libertades proclamados en esta Declaración.

2
secundaria
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álgebra
Matemática

Impreso en el PerÚ / Printed in Peru
La Editorial se hace responsable por el rigor
académico del contenido del texto de acuerdo con
los principios de la Ley General de Educación.
Título de la obra
® Matemática delta 2, secundaria
álgebra
© Derechos de autor reservados y registrados
Mauro Enrique Matto muzante
© Derechos de edición, arte y diagramación
reservados y registrados conforme a ley
delta editores s.a.c.
edición, 2020
Coordinador de área:
Mauro Enrique Matto Muzante
Diseño, diagramación y corrección:
Delta Editores s.a.c.
Ilustración general:
Banco de imágenes Delta Editores S.A.C.
Delta Editores S.A.C.
Jr. Pomabamba 325, Breña
Tels. 332 6314 332 6667
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www.eactiva.pe
Tiraje: 4500 ejemplares
Impresión:
Finishing S.A.C.
Jr. La Maquinaria 160, Chorrillos
Lima - Perú
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ISBN N.o 978-612-4354-33-5
Proyecto Editorial N.o 31501051900810
Ley N.o 28086
Hecho el Depósito Legal en la Biblioteca Nacional del Perú
N.o 2019-10448
PROHIBIDA
LA REPRODUCCIÓN TOTAL O PARCIAL
LEY DE LUCHA CONTRA LA PIRATERÍA LEY 28289
PUBLICADA EL 20 DE JULIO DE 2004
título vii
delitos contra los derechos intelectuales
capítulo i
delitos contra los derechos de autor
y conexos
Reproducción, difusión, distribución y circulación de la obra sin la
autorización del autor.
Artículo 217.o.- Será reprimido con pena privativa de libertad no
menor de dos ni mayor de seis años y con treinta a noventa días-multa,
el que con respecto a una obra, una interpretación o ejecución artística,
un fonograma o una emisión o transmisión de radiodifusión, o una
grabación audiovisual o una imagen fotográfica expresada en cualquier
forma, realiza alguno de los siguientes actos sin la autorización previa y
escrita del autor o titular de los derechos:
a. La modifique total o parcialmente.
b. La distribuya mediante venta, alquiler o préstamo público.
c. La comunique o difunda públicamente por cualquiera de los medios
o procedimientos reservados al titular del respectivo derecho.
d. La reproduzca, distribuya o comunique en mayor número que el
autorizado por escrito.
La pena será no menor de cuatro años ni mayor de ocho y con
sesenta a ciento veinte días-multa, cuando el agente la reproduzca total
o parcialmente, por cualquier medio o procedimiento y si la distribución
se realiza mediante venta, alquiler o préstamo al público u otra forma
de transferencia de la posesión del soporte que contiene la obra o
producción que supere las dos (2) Unidades Impositivas Tributarias,
en forma fraccionada, en un solo acto o en diferentes actos de inferior
importe cada uno.

Apertura
En esta sección
encontrarás
temas
novedosos que
propiciarán
sostener
una relación
cercana con la
Matemática.
Se aborda el
desarrollo del
tema, donde
encontrarás las
definiciones
organizadas
siguiendo una
secuencia
didáctica.
Marco
teórico
Conoce tu libro
Tema
163
MateMática DELTA 2 - álgebra
Relaciones
11
LaFIFAorganizalaseliminatoriasdelaCONMEBOL
(Confederación Sudamericana de Fútbol) o CSF
para el campeonato mundial.
¿Cuál sería el fixture de la eliminatoria?
¿Cuántos enfrentamientos en total tendrá la
eliminatoria?
Par ordenado
Es un conjunto de dos elementos donde se distingue un primer elemento y un segundo
elemento denotado por:
(a ; b)
Conceptos previos
Ejemplo:
• Son pares ordenados: (–7 ; 1)(2 ; 15)
• No es par ordenado: {3; 2}
Igualdad de pares ordenados
Dos pares ordenados son iguales si y solo si sus respectivas componentes son
iguales.
(a ; b) = (c ; d) ↔ a = c ∧ b = d
Ejemplo:
Si (7 ; 3b –1) = (2a + 3 ; 5), halla el valor de M = ab.
Resolución:
Por la propiedad de pares ordenados:
(7 ; 3b –1) = (2a + 3 ; 5)
2a + 3 = 7
2a = 4
a = 2
3b – 1 = 5
3b = 6
b = 2
Piden el valor de M = a . b = 2 . 2 = 4
Producto cartesiano
Dados dos conjuntos no vacíos A y B, definimos el producto cartesiano de A por B como
el conjunto de todos los pares ordenados (a ; b) donde el primer elemento se toma de
A y el segundo de B. Es decir:
A × B = {(a ; b) / a ∈ A ∧ b ∈ B}
El producto cartesiano se puede determinar de diferentes maneras, entre ellas tenemos
el diagrama del árbol, el diagrama sagital y el diagrama cartesiano.
primer elemento segundo elemento
Importante
Nota
Importante
(a ; b) (b ; a)
Relación: es
el resultado
de comparar
dos cantidades
expresadas en
números.
Fuente: RAE
A × B ≠ B × A
El producto
cartesiano de A por
A, es decir, A × A se
denota por A2.
Título del tema
Para una mejor
organización, los temas
están numerados.
Comentarios
y/o lecturas que
refuerzan el
desarrollo del tema
152
1
2
3
4
5
6
Resuelve la inecuación
Resolución:
2x + 5
3
+ 1 < 5.
Despeja la variable:
2x + 5
3
< 5 – 1
2x + 5 < 3(4)
2x < 12 – 5 ⇒ x <
7
2
3 7
2
4
x ∈ 〈–∞ ;
7
2
〉
Rpta. 〈–∞ ;
7
2
〉
Rpta. C.S. = [3 ; 9]
Rpta. 〈–∞ ; 5] ∪ [11 ; +∞ 〉
Resuelve la inecuación x2 + 27 ≤ 12x.
Resolución:
Tenemos: x2 – 12x + 27≤ 0
x –9
x –3
(x – 9)(x – 3) ≤ 0
P.C.: x – 9 = 0 ; x – 3 = 0
x = 9 x = 3
+ – +
3 9
P(x) ≤ 0 ↔ x ∈ [3 ; 9]
Resuelve la inecuación x2 + 55 ≥ 16x.
Resolución:
Tenemos: x2 – 16x + 55 ≥ 0
x –11
x –5
(x – 11)(x – 5) ≥ 0
P.C.: x – 11 = 0 ; x – 5 = 0
x = 11 x = 5
+ – +
5 11
P(x) ≥ 0 ↔ x 〈–∞ ; 5] ∪ [11 ; +∞ 〉
Indica el menor valor entero de x.
Resolución:
Multiplicamos por el MCM(2; 4; 5) = 20
Rpta. 21
Rpta. {–3; –1}
x
2
+
x
4
+
x
5
+ 1 < x
x
2
+
x
4
+
x
5
+ 1
20 < 20(x)
10(x) + 5(x) + 4(x) + 20(1) < 20x
19x – 20x < –20
–x < –20
× (–1): x > 20
19 20 21
El menor valor entero de x es 21.
Halla el conjunto solución de la igualdad.
|2x + 5| = |x + 4|
Resolución:
Sabemos que: |x| = |a| → x = a ∨ x = –a
Entonces:
2x + 5 = x + 4 ∨ 2x + 5 = –x – 4
2x – x = 4 – 5 2x + x = –4 – 5
x = –1 3x = –9
x = –3
Luego: C.S.= {–3; –1}
Rpta. 34
Calcula la suma de los valores enteros de x que
verifican la inecuación.
x
2
– 1 ≤ 4
Resolución:
Sabemos que: |x| ≤ a ⇒ –a ≤ x ≤ a
Entonces: –4 ≤
x
2
– 1 ≤ 4
+ 1 : –3 ≤
x
2
≤ 5
× 2 : –6 ≤ x ≤10
Los valores enteros de x:
x = {–6; –5; –4;...; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}
Piden:
S = – 6 – 5 – 4 – ...+ 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10
S = 7 + 8 + 9 + 10 = 34
Ejercicios resueltos
Nombre de la
sección
Algoritmo de
resolución
del problema
planteado.
Preguntas y/o
situaciones
problemáticas
reales o simuladas,
planteadas de
acuerdo al tema.
Ejercicios
resueltos
Se muestran
ejercicios que
están resueltos
didácticamente,
los mismos que
servirán para
el análisis del
estudiante.
3
Matemática Delta 2 - Álgebra

Síntesis
Contenido del tema,
que incluye teoremas,
postulados, fórmulas,
propiedades, leyes, etc.,
resumido en organizadores
gráficos para tener un
panorama general del
contenido.
Modela y resuelve
Los problemas con
numeración impar serán
resueltos por el docente,
mientras que los pares serán
resueltos por el estudiante
siguiendo la secuencia
realizada.
120
Síntesis
Modela y resuelve
2
4
1
3
Ecuaciones
cuadráticas
Forma
Ax2 + Bx + C = 0; A ≠ 0
Solución Propiedades de las raíces
Factorización Fórmula
Aspa simple
Agrupación
Identidades
x =
–B B2 – 4AC
2A
Discriminante
= D = B2 – 4AC
Reconstrucción de una
ecuación de raíces x1 y x2
x2 – Sx + P = 0
Donde: S = x1 + x2 ∧ P = x1 . x2
1. Suma de raíces : x1 + x2 =
–B
A
2. Producto de raíces: x1 . x2 =
C
A
Recuerda
(x1 + x2)2 – (x1 – x2)2 = 4x1 . x2
Raíces simétricas
(opuestas)
x; –x
Suma: 0
B = 0
Raíces recíprocas
(inversa multiplicativa)
x;
1
x
Producto:1
A = C
Resuelve la ecuación x2 = –3x. Resuelve la ecuación x2 = 11x.
Resolución: Resolución:
Desarrolla la ecuación 4x2 = 9. Desarrolla la ecuación 9x2 = 16.
Rpta. Rpta.
Rpta. Rpta.
Nombre de la
sección
Nombre de la
sección
Espacio para resolver
el problema.
Organizador
visual
Enunciado del
problema o de la
situación planteada.
110
5
6
7
8
Practica y demuestra
1
4
2
3
Nivel I
Indica si la proposición es verdadera (V) o falsa (F).
( ) Si x + 5 = 3 x = 2
( ) La ecuación 3x + 6 = x – 2, es lineal
( ) {(2 ; 1)} es la solución de
( ) x = 4 es la solución de 2x – 3 = 9 – x
x + y = 3
x – y = 2
A VFVF B FFVV C VVFF
D FVFV E FFVV
Relaciona la ecuación con el valor que la verifica.
I. 2(x – 1) = x + 1
II. x
2
+ 1 = 3
III. 2 + x
3
= 4
IV. 2x – 5 = 1 – x
a. 2
b. 3
c. 4
d. 5
e. 6
A Ia; IIb; IIIc; IVe B Ib; IIe; IIIc; IVa
C Ib; IIa; IIId; IVe D Ic; IIe; IIIa; IVd
E Ib; IIc; IIIe; IVa
Resuelve la ecuación x – [–(x + 1) – 4 – x] = 11.
A {–1} B {2} C {0}
D {1} E {3}
Determina el valor de x que verifica la ecuación.
x + 1
3
2 + = 5
A 5 B 6 C 9
D 7 E 8
A 10 B 9 C 7
D 11 E 12
Resuelve la ecuación.
x + 2
3
x + 1
2
+ = x
A {7} B {8} C {9}
D {6} E {5}
Indica el valor de x que verifica la ecuación.
x – 3
2
+ 1
5
+ 6 = 7
Halla el valor de x en el sistema.
3x + 2y = 10
2x – y = 9
A –1 B 4 C –2
D 5 E 6
Resuelve el sistema.
4x + y = 14
3x – 2y = 5
A {(1 ; 4)} B {(2 ; 3)}
C {(2 ; 1)} D {(3 ; 2)}
E {(2 ; 4)}
Preguntas
planteadas,
estas pueden
ser situaciones
reales o
simuladas.
Espacio
para realizar
anotaciones de
resolución.
Alternativas
Nombre de la sección
Test
Esta evaluación incluye
preguntas del contenido de
los temas desarrollados en
la unidad y son de elección
múltiple.
Practica y
demuestra
En esta sección se
plantean preguntas que
han sido organizadas por
niveles de complejidad
y de elección múltiple
en la que el estudiante
demostrará lo aprendido
durante la sesión.
Preguntas y/o
situaciones
problemáticas reales o
simuladas, planteadas de
acuerdo a la unidad.
Número de test
Alternativas
Nombre: n.° de orden: Sección:
Test n.° 4
191
MateMática DELTA 2 - álgebra
Relaciona cada inecuación con su conjunto
solución.
Determina el conjunto solución de la inecuación
x
4
+
x
3
–
x
2
> x – 11, si x es positivo.
Halla el número de valores enteros que verifican
la desigualdad.
(x – 4)(3x – 4) < 2(x – 4)
Si M = {2; 5; 2; 3; 6; 2} y N = {1; 4; 2; 1}, ¿cuántos
elementos tendrá M × N?
Si (n ; n) = (3x – 9 ; x + 7), calcula el valor de A.
A =
n
5
5
4
Luego de resolver la inecuación x2 + 1 ≤ 4x,
encuentra el mayor valor entero que puede tomar
la variable x.
1
2
3
Marca con una X la alternativa que corresponda a la respuesta.
6
A Ib; IIe; IIIc; IVa B Ie; IId; IIIc; IVb
C Ib; IIe; IIId; IVa D Ie; IIa; IIId; IVb
A 1 B 2
C 3 D 4
I. x2 > 9
II. x2 < 9
III. |x + 3| < 6
IV. –4x < –12
a. 〈–∞ ; 3〉
b. 〈3 ; +∞ 〉
c. 〈–9 ; 3〉
d. 〈–3 ; 3〉
e. 〈–∞ ; –3〉 ∪ 〈3 ; +∞ 〉
A 0 B 1
C 4 D 2
A 0 B 1
C 2 D 3
A 12 B 9
C 6 D 2
A [0 ; 12〉 B 〈0 ; 12]
C 〈0 ; 12〉 D [1 ; 12〉
4

5
1
3
2
4
Resuelve
problemas
de
regularidad,
equivalencia
y
cambio
Traduce datos
y condiciones
a expresiones
algebraicas y
gráficas.
Operaciones básicas en 8
El conjunto de números racionales ( )
Operaciones con números racionales
Número racional como decimal
Operaciones combinadas
Potenciación 23
Definiciones
Propiedades
Polinomios 37
Definiciones
Polinomios
Operaciones con polinomios
Productos notables 53
Productos de binomios
Identidades de Legendre
Binomio al cubo
Trinomio cuadrado perfecto
División algebraica 68
Métodos para dividir polinomios
Teorema del resto
Factorización 84
Factor primo
Métodos para factorizar
Ecuación lineal y Sistema de ecuaciones lineales 99
Definiciones
Sistema de ecuaciones lineales
Métodos para resolver sistemas lineales
Ecuación cuadrática 113
Análisis de las raíces
Propiedades de las raíces
Raíces especiales
Planteo de ecuaciones 128
Enunciado verbal
Enunciado algebraico
Desigualdades e inecuaciones 147
Definiciones
Sistema de inecuaciones
Planteo de inecuaciones
Relaciones 163
Conceptos previos
Tipos de relaciones
Funciones 176
Definición previa
Propiedades
Funciones especiales
Unidad
Competencia y
capacidades
Contenidos pedagógicos Páginas
Comunica su
comprensión
sobre las
relaciones
algebraicas.
Usa estrategias
y procedimientos
para encontrar
equivalencias y
reglas generales.
Argumenta
afirmaciones
sobre relaciones
de cambio y
equivalencia.
Índice

ysumétodo
paradividir
Luego, Ruffini fue elegido catedrático de Elementos de Matemáticas en 1791. Sin embargo,
Ruffini no era solo matemático. También, en 1791, obtuvo la licencia para ejercer la
medicina en Módena.
Algunos años más tarde, Napoleón Bonaparte fundó la República Cisalpina, en la que se
sugiere a Ruffini formar parte del consejo; este, al negarse a pronunciar el juramento de
fidelidad a la República, fue apartado de la docencia y cargos públicos.
Al verse en esta nueva situación, Ruffini asumió que si ya no podía enseñar Matemática,
podría dedicarle más tiempo a su profesión de médico y a sus pacientes. Así, ejerció la
medicina durante 6 años, hasta la caída del dominio napoleónico, año en que fue restituido
a su puesto por las tropas austriacas y retornó a las aulas a dar clases de matemáticas
aplicadas en la Escuela Militar.
Durante el año 1814 lo nombraron rector de la Universidad de Módena, y en 1816, presidente
de la Sociedad Italiana «Dei Quaranta». Un año más tarde, durante la epidemia de tifus,
contrajo esta enfermedad, la misma que lo acompañó hasta el día de su muerte el 9 de
mayo de 1822.
Paolo Ruffini nació el 22 de septiembre
de 1765 en Valentano (actualmente en
Italia), fue hijo de Maria Francesca Ippoliti
yelmédicoBasilioRuffini.EstudióMedicina,
Matemática, Filosofía y Literatura en la
Universidad de Módena, donde se graduó
en 1788. Tuvo como profesores a Luigui Fantini
en Geometría y a Paolo Cassiani en Cálculo.
Desde un año antes, empezó a dictar clases de
Matemática en la misma universidad.
Ruffini
Polinomios
6

Desempeños
• Establece relaciones entre valores desconocidos y las transforma a expresiones algebraicas, a
ecuaciones lineales, a inecuaciones, a funciones lineales con expresiones fraccionarias o decimales.
• Comprueba si la expresión algebraica o gráfica (modelo) que planteó le permitió solucionar el
problema, y reconoce qué elementos de la expresión representan las condiciones del problema:
datos, términos desconocidos, relaciones de equivalencia entre dos magnitudes.
• Expresa, con diversas representaciones, su comprensión sobre la solución de una ecuación lineal y
sobre el conjunto solución de una desigualdad, así como su comprensión de las diferencias entre una
proporcionalidad directa e inversa, para interpretarlas y explicarlas en el contexto de la situación.
• Selecciona y combina recursos, estrategias heurísticas y el procedimiento matemático para simplificar
expresiones algebraicas usando propiedades de la igualdad y propiedades de las operaciones,
solucionar ecuaciones e inecuaciones lineales, y evaluar el conjunto de valores de una función lineal.
• Plantea afirmaciones sobre las propiedades que sustentan la igualdad o la simplificación de expresiones
algebraicas para solucionar ecuaciones e inecuaciones lineales que descubre; también sobre las
diferencias entre la función lineal y una función lineal afín. Justifica la validez de sus afirmaciones
mediante ejemplos y sus conocimientos matemáticos.
Fuentes:
biografiasyvidas.com, buscabiografias.com, matesfacil.com, uptc.edu.co, rtve.es
El método de Ruffini
Paolo Ruffini es conocido por los
matemáticos por ser el descubridor del
método que lleva su nombre, el mismo
que permite hallar los coeficientes del
polinomio que resulta de la división de
un polinomio por el monomio x – a.
Otra de sus grandes contribuciones a la Matemática fue la demostración de la imposibilidad
de la solución general de las ecuaciones algebraicas superiores al cuarto grado, aunque
cometió ciertas inexactitudes que serían corregidas por el matemático noruego Niels
Abel. En aquella época, todo el mundo –incluido el matemático Lagrange– creía que
las ecuaciones de quinto grado podían resolverse por radicales. Sin embargo, Ruffini
aseguró todo lo contrario, basándose en la teoría de grupos siguiendo y superando a
Lagrange en el uso de permutaciones.
La mayoría de los matemáticos de su época ignoraron a Ruffini, pues se adelantó
a su tiempo con una demostración para la que no estaban preparados, incluido
Lagrange. Además se anticipó a la teoría de grupos, desarrollada más tarde
por Galois.
Entre sus obras destacan Teoría general de la ecuación general de grado
superior al cuarto y Reflexión en torno a la solución de la ecuación algebraica
general.
(3x3 – 5x2 + 2) : (x – 2)
Cociente = 3x2 + x + 2 Resto = 6
Multiplicamos
Sumamos ambas filas
Al faltar el
coeficiente en x,
ponemos 0
3 –5 0 2
2 6 2 4
3 1 2 6
•
7

8
Tema 1
Operaciones básicas en
Es todo número que puede representarse como la división de dos números enteros,
es decir, una fracción común
a
b
con numerador a y denominador b diferente de cero.
Operaciones con números racionales
El conjunto de números racionales ( )
Importante
Las fracciones
homogéneas tienen
denominadores
iguales.
Las fracciones
heterogéneas tienen
denominadores
diferentes.
=
a
b / a ∈ Z, b ∈ Z – {0}
Ejemplos:
a)
–3
4
Es la división de dos
enteros, entonces es
racional.
b)
Se puede escribir como
24
10
, entonces es racional.
2,4
c)
Es la división de dos
enteros, entonces es
racional.
d)
El valor de p no puede
escribirse como una
división de enteros,
entonces NO es racional.
p
e)
Se puede escribir como
3
1
, entonces es racional.
f) No está definido, entonces
NO es racional.
1
7
3
3
0
¿Sabías que...?
Recuerda
es la inicial de la
palabra quotient
(cociente, en inglés).
a
b
Numerador
Denominador
Adición / Sustraccion
Para realizar adición y/o sustracción en Q, se debe tomar en cuenta el denominador.
• Con el mismo denominador, se suman y/o restan los numeradores.
Ejemplos:
x
y
±
z
y =
x ± z
y
• Con denominadores diferentes, se busca un denominador
común. Luego, se suman y/o restan los numeradores.
Ejemplos:
a)
5
3
+
1
3
–
4
3
=
5 + 1 – 4
3
=
2
3
b)
2
7
–
3
7
+
8
7
=
2 – 3 + 8
7
=
7
7
= 1
a)
7
2
+
2
3
=
7 × 3 + 2 × 2
2 × 3
=
25
6
Multiplicación
• Cuando se multiplican números racionales, se multiplican los
numeradores y los denominadores.
Ejemplos:
x
y
±
z
w =
xw ± zy
yw
a
0
, no está definido b)
8
5
–
3
4
=
8 × 4 – 5 × 3
5 × 4
=
=
21 + 4
6
=
17
20
32 – 15
20
a)
9
2
. 8
3
=
9 . 8
2 . 3
= 12
b)
12
25
. 10
18
=
12 . 10
25 . 18
=
=
3 . 4
1 . 1
=
4
15
2 . 2
5 . 3
x
y
. z
w
=
xz
yw
La constante
matemática pi (p)
su valor es:
p = 3,141592.....
Se llaman:

9
Importante
Recuerda
División
Cuando se dividen números racionales en forma horizontal, se
invierte el divisor y se multiplica.
Ejemplos:
x
y
÷
z
w =
x
y
. w
z dividendo
x
y
÷
z
w
divisor
a)
9
2
÷
6
5
=
9
2
=
3 . 5
2 . 2
=
15
4
b)
5
6
.
5
3
÷
25
9
=
5
3
=
5 . 9
3 . 25
=
1 . 3
1 . 5
9
25
. =
3
5
Cuando se dividen números racionales en forma vertical, se
multiplican los extremos y este se divide entre el producto de los
medios.
Ejemplos:
a)
8
30
=
4 . 15
8 . 30
=
1
4
=
1 . 1
2 . 2
15
4
b)
15
16
=
45 . 24
15 . 16
=
9
2
=
3 . 3
1 . 2
24
45
x
y
z
w
=
xw
yz
Observa
xy
a
÷
x2
a =
xya
axx =
y
x
a2b
xy
ab2
y2
=
aabyy
xyabb =
ay
bx
Los números racionales se caracterizan por tener una escritura decimal que solo puede
ser de tres tipos, exacta, periódica pura y periódica mixta.
Número racional como decimal
Exacta
La parte decimal tiene un número finito de cifras, expresión «finita» o «terminal».
Ejemplos:
a)
2
5
= 0,4 b)
1
125
= 0,008
Periódica pura
Toda la parte decimal se repite indefinidamente.
Ejemplos:
a)
1
11
= 0,090909... = 0,09 b)
2
3
= 0,6666... = 0,6
Periódica mixta
Tiene parte decimal exacta y parte decimal que se repite.
Ejemplos:
a)
1
30
= 0,033333... = 0,03 b)
11
90
= 0,1222... = 0,12
Responde:
De los siguientes números, cuáles son racionales:
a) 0,45 decimal exacto, se puede escribir como:
45
100
=
9
20
entonces es un número
racional.
b) 0,1234567... decimal no periódico, entonces NO es un número racional.
c) 0,23333... decimal periódico mixto, se puede escribir como:
23 – 2
90
=
21
90
=
7
30
;
entonces es un número racional.
Fracción generatriz
Transformación de
un decimal a fracción
• Decimal exacto
cifras significativas
0,ab =
ab
100
dos cifras
decimales
tantos ceros
como cifras
decimales
• Decimal periódico
puro
cifras periódicas
0,ab =
ab
99
dos cifras
periódicas
tantos nueves
como cifras
periódicas
• Decimal periódico
mixto
cifras significativas
menos cifras no
periódicas
0,abc =
abc – a
990
tantos nueves como cifras
periódicas, seguidas de
tantos ceros como cifras
decimales no periódicas.

10
1 . 1
3 . 2
13
5
Cuando aparecen operaciones combinadas, es necesario seguir la prioridad de los
signos de operación en el siguiente orden:
1.° Se realizan las multiplicaciones y divisiones.
2.° Se realizan las adiciones y sustracciones.
3.° Si en un término aparecen operaciones de multiplicación y división, se evaluará de
izquierda a derecha.
4.° Si en la expresión aparecen signos de colección, deberá operarse primero la parte
interna, de acuerdo a los pasos anteriores.
Calcula el valor de
3
5
M = +
2
3
÷
5
6
×
10
4
Resolución:
Tenemos:
3
5
M = +
2
3
÷
5
6
×
10
4
Evaluamos la división.
3
5
M = +
.
2
3
×
6
5
×
10
4
Evaluamos la multiplicación.
3
5
M = +
2 . 6 . 10
3 . 5 . 4
=
3
5
+
1 . 1 . 10
1 . 5 . 1
3
5
M = +
10
5
=
.
Al final, sumamos las fracciones
homogéneas.
Determina el valor de
7
2
A = +
1
2
1
6
+
4
3
1
4
1
8
Resolución:
Tenemos:
7
2
A = +
1
2
1
6
+
4
3
1 . 2
4 . 2
1
8
Evaluamos el paréntesis interior, luego
de buscar fracciones homogéneas.
7
2
A = +
1
2
1
6
+
4
3
2 – 1
8
7
2
A = +
1
2
1
6
4 . 1
3 . 8
+ =
7
2
+
1
2
1
6
+
7
2
A = +
1
2
1 + 1
6
=
7
2
+
1 . 2
2 . 6
A =
7 . 3
2 . 3
+
1 . 1
1 . 6
=
21 + 1
6
=
22
6
=
11
3
Multiplicamos, dentro del paréntesis.
Sumamos, dentro del paréntesis.
Multiplicamos
Al final, sumamos y reducimos.
Importante
Signos de colección
( ) : paréntesis
[ ] : corchetes
{ } : llaves
Observa
Homogeneizar:
4
5
;
3
4
;
2
3
1.Buscamos el
menor número
que contiene a los
denominadores
(Mínimo común
múltiplo)
MCM(5; 4; 3) = 60
2.Buscamos
que todos los
denominadores
sean 60 (en este
caso) multiplicando
al numerador
y denominador
por una misma
cantidad en cada
fracción.
4 .12
5 .12
; ;
3 .15
4 .15
2 .20
3 .20
48
60
45
60
40
60
; ;
Ejemplo 2
Ejemplo 1

11
Encuentra el valor de R.
R =
1
3
1 +
5
3
+
5
2
1
2
+ 1
Resolución:
Tenemos:
R =
3
3
5
3
+
1
2
+
1
3
+
2
2
5
2
=
3 + 1
3
5
3
+
1 + 2
2
5
2
5
2
Homogeneizamos (denominador y
numerador) para sumar fracciones.
R =
5 . 3
3 . 4
+
2 . 3
2 . 5
=
3
5
+
5
4
R =
5 . 5
4 . 5
+
3 . 4
5 . 4
37
20
= =
25 + 12
20
Multiplicamos extremos, este dividimos entre
el producto de los medios para luego reducir.
Al final, homogeneizamos fracciones para
sumarlas.
Halla el perímetro de la figura (lados en centímetros).
3
2
2
5
1,7
0,3
3
4
7
5
Resolución:
Sabemos que el perímetro es la suma de las medidas de todos los lados.
P =
3
2
+ 1,7 +
7
5
+
3
4
+
2
5
+ 0,3
P =
3 . 2
2 . 2
+
3
4
+
7
5
+
2
5
+
17
10
+
3
10
=
6 + 3
4
+
7 + 2
5
+
17 + 3
10
P =
9 . 5
4 . 5
+
9 . 4
5 . 4
+
20 . 2
10 . 2
MCM(4; 5; 10) = 20, buscamos que los denominadores
sean 20.
P = = = 6,05 cm
45 + 36 + 40
20
121
20
Observa
En:
f =
todos los términos
(dos en el
numerador y dos
en el denominador)
tienen como factor
común a: n
Entonces:
n . b + n . c
n . d – n . e
f =
f =
nb + nc
nd – ne
b + c
d – e
Ejemplo 3
Ejemplo 4

12
A = 1 +
1
2 –
1
1 +
3
2
2 –
1
L = 2 . ÷
Determina el valor de A.
Halla el valor de L.
Resolución:
Tenemos:
Resolución:
Tenemos:
A = 1 +
1
2 –
1
1 +
3
2
2 –
1
2 . 2
2
3
2
=
1
2
Primeroreduceeldenominador.
1
1
1
1
1
n
1
a
1
2
1
a
a
1
1
a
1
n
=
=
=
=
=
1 . 2
1 . 1
a . 1
1 . 1
1 . 1
n . a
= 2
• f =
• h =
Luego, realiza producto de
extremos sobre producto de
medios.
A = 1 +
1
2 –
1
1 + 2
= 1 +
1
1
–
2 +
2 . 3
3
1
3
1
3
= 1 +
1
5
3
1
A = 1 +
1 . 3
1 . 5
1 . 5
5
3
5
8
5
3
8
3
4
= +
+
L =
1 . 7
7
3
7
10
7
=
+
L = 1
1
7
3
+
L = 1
1 . 3
1 . 7
7
3
1
1
= 1 +
+
=
Observa
.
L =
1
+
1
3
2 . 3
3
4
3
3
4
+
Ejemplo 5
Ejemplo 6

13
Determina el valor de A + B.
7
9
–
2
9
+
4
9
A =
2
3
. 9
4
B =
Resolución:
Tenemos:
7
9
–
2
9
+
4
9
A =
7 – 2 + 4
9
= =
9
9
= 1
B =
2
3
. 9
4
=
2 . 9
3 . 4
1 . 3
1 . 2
= =
3
2
A + B = 1 +
3
2
2 + 3
2
= =
5
2 5
2
Encuentra el valor de la expresión R.
Rpta.
Halla el valor de S.
Resolución:
3
5
+
1
2
÷ ×
3
4
6
5
S =
Tenemos:
3
5
+
1
2
÷ ×
3
4
6
5
S = Producto y división de
izquierda a derecha
3
5
+
1
2
× ×
4
3
6
5
=
Simplificamos para
multiplicar
3
5
= +
1 . 4 . 1
1 . 1 . 5
=
3
5
+
4
5
3 + 4
5
= =
7
5
Rpta.
Calcula el valor de R.
R =
4
3
4
3
2 +
2 –
Resolución:
Tenemos:
R =
4
3
+
2 . 3
3
4
3
–
2 . 3
3
=
2 . 3 + 4
2 . 3 – 4
=
10
2
= 5
Rpta. 5
Homogeneizamos las fracciones;
luego, simplificamos.
Multiplicamos y sumamos
Resolución:
Buscamos el MCM(2; 3; 6) = 6 de los
denominadores para homogeneizarlos:
3
2
–
1
3
+
7
6
R = 2 –
R =
2 . 6
6
–
3 . 3
2 . 3
–
1 . 2
3 . 2
+
7
6
=
12 – 9 – 2 + 7
6
=
8
6
=
4
3
Rpta.
4
3
Indica el valor de E.
E =
1
2
1
3
1
2
+ 1 + 1
+ 1
Resolución:
Tenemos:
E =
1
2
=
1
2
=
1
2
=
1
2
1
3
1
2
2
2
+ + 1
+ 1
1
3
1 + 2
2
+ 1
+ 1
1 . 3
3 . 2
+ 1
+ 1
1
2
+ 1
+
2
2
=
1
2
3
2
+ 1 =
3
4
+
4
4
=
3 + 4
4
=
7
4
Rpta.
7
4
Descubre el valor de M.
M =
1
2
1 +
1
3
1 –
1
4
1 +
1
5
1 –
Resolución:
Tenemos:
M =
1
2
+
2
2
1
3
–
3
3
1
4
+
4
4
1
5
–
5
5
=
2 + 1
2
3 – 1
3
4 + 1
4
5 – 1
5
=
3
2
2
3
5
4
4
5
= 1
Rpta. 1
1 4
5
2
3
6
7
5

14
Determina el valor de H.
Resolución:
Tenemos:
H =
4
3
÷ +
8
6
2
3
1
. 3
1
3
H =
4
3
÷ +
8
6
2
3
1 3
. 1
1
3
1
=
4
3
. 6
8
+
1 . 1
2 . 3
. 3 . 3
1 . 1
=
1 . 2
1 . 2
+
3
2
=
5
2
Rpta.
5
2
Halla el denominador de la fracción equivalente a M.
M =
2
a
+
2
3a
–
1
6a
Resolución:
Buscamos el MCM(a; 3a; 6a) = 6a, de los
denominadores para homogeneizarlos:
M =
6 . 2
6 . a
+
2 . 2
2 . 3a
–
1
6a
=
12 + 4 – 1
6a
=
15
6a
=
5
2a
Luego, el denominador es 2a.
Rpta. 2a
Calcula el perímetro de la figura (medidas en cm).
1,1
2,4
5
2
2
3
1
3
2
5
Resolución:
Tenemos:
E = 2,4 +
5
2
+ 1,1 +
2
3
+
2
5
+
1
3
= 3,5 +
5
2
+
2
5
+
2 + 1
3
=
7
2
+
5
2
+
2
5
+
3
3
=
7 + 5
2
+
2
5
+ 1 = 7 +
2
5
=
7 . 5
5
+
2
5
=
37
5
cm
Rpta.
37
5
Reduce H.
H =
x – 1
x + 3
+
2x + 16
2x + 6
3x + 6
3x + 9
+
Resolución:
Simplificamos:
H =
x – 1
x + 3
+ +
2(x + 8)
2(x + 3)
3(x + 2)
3(x + 3)
=
x – 1
x + 3
+
x + 8
x + 3
+
x + 2
x + 3
=
x – 1 + x + 8 + x + 2
x + 3
=
3x + 9
x + 3
=
3(x + 3)
x + 3
= 3
Rpta. 3
Encuentra el valor de E.
E =
1
2
1 +
1
4
1 +
1
6
1 +
1
8
1 +
1
2
1 –
1
4
1 –
1
6
1 –
1
8
1 –
Resolución:
Tenemos:
E =
1
2
2
2
+
1
4
4
4
+
1
6
6
6
+
1
8
8
8
+
1
2
2
2
–
1
4
4
4
–
1
6
6
6
–
1
8
8
8
–
=
3
2
5
4
7
6
9
8
1
2
3
4
5
6
7
8
= 9
Rpta. 9
Indica el valor de la expresión E.
E = 1 +
2 +
1
1 –
1
2
1
Resolución:
Realizamos operaciones:
E = 1 +
2 +
1
1 –
1
2
1
= 1 +
2 +
1
1
1
1
2
= 1 +
1
2 + 2
= 1 +
1
4
= =
4 + 1
4
5
4
Rpta.
5
4
7
8
9
10
11
12
cm

15
Modela y resuelve
Síntesis
Operaciones
básicas en Q
Operaciones
Adición/Sustracción
Se busca un denominador común, luego
suma y/o resta los numeradores.
Multiplicación
Se multiplican los numeradores y los
denominadores.
División
Se invierte el divisor y se multiplica.
1.o ( ); [ ]; { } signos de colección
2.o × ; ÷ multiplicación y división (de izquierda a derecha)
3.o + ; – sumas y restas
x
y
z
w
± =
xw zy
yw
x
y
z
w
. =
xz
yw
x
y
z
w
÷ =
x
y
w
z
.
a
b
a
b
Donde:
a ∈ Z
b ∈ Z – {0}
Numerador
Denominador
Fracción
• Operaciones combinadas
Determina el valor de P. Determina el valor de A.
Resolución:
5
3
P = – +
7
3
14
3
3
5
A = – +
7
5
14
5
Resolución:
Halla el valor de E. Halla el valor de N.
Resolución:
12
15
E = ÷
6
5
15
6
N = ÷
10
9
Resolución:
Rpta.
Rpta. Rpta.
Rpta.
1
3
2
4

16
Encuentra el valor de T. Encuentra el valor de E.
Calcula el valor de R. Calcula el valor de V.
Resolución:
Resolución:
T =
1
4
+ –
5
8
3
2
E =
1
3
+ –
1
2
5
6
Determina el valor de R. Determina el valor de S.
S = + 2
4
5
. 10
6
÷
4
3
R =
4
3
5
6
+
3
5
V =
3
2
1
4
+
2
3
Rpta.
Rpta.
Rpta. Rpta.
Rpta.
Rpta.
5 6
7 8
9 10
+ 1
5
6
. 18
14
÷
5
7
R =

17
Halla el valor de E. Halla el valor de R.
Reduce A. Reduce A.
Efectúa N. Efectúa A.
Resolución:
Resolución:
Resolución:
E = +
2
3
1 +
2
3
2 –
2
2
1
R = +
2
3
2 +
2
3
1 –
2
1
2
A = ÷
1
3
÷ 2 +
3
2
9
4
×
2
3
A = ÷
1
2
÷ 3 +
5
3
10
9
×
4
3
Resolución:
Rpta.
Rpta.
Rpta. Rpta.
Rpta.
Rpta.
11 12
13 14
15 16
A = 1 – 1 + 1 –
1
3
1
3
1
3
N = 1 + 1 – 1 +
1
2
1
2
1
2

18
Encuentra el valor de L. Encuentra el valor de A.
Descubre el valor de L.
Determina el valor de C.
Descubre el valor de E.
Determina el valor de R.
Resolución:
Resolución:
L = 2 +
1
2
–
2
5
+
3
10
–
2
3
A = 1 +
2
3
–
1
2
+ –
5
6
2
5
E = +
x – 1
x + 3
3x + 12
3x + 9
+
2x + 12
2x + 6
L = +
x + 3
x – 4
2x – 16
2x – 8
+
3x – 21
3x – 12
C =
1 +
1
5
1 +
1
6
1 +
1
7
1 +
1
8
1 –
1
5
1 –
1
6
1 –
1
7
1 –
1
8
R =
1 +
1
7
1 +
1
8
1 +
1
9
1 +
1
10
1 –
1
7
1 –
1
8
1 –
1
9
1 –
1
10
Rpta.
Rpta. Rpta.
Rpta. Rpta.
Rpta.
17
21 22
18
19 20

19
Halla la suma del numerador y denominador de la
expresión reducida.
Halla la suma del numerador y denominador de la
expresión reducida.
23
25
24
26
Calcula el perímetro de la figura (medidas en
metros).
Calcula el perímetro de la figura (medidas en
metros).
1,3
2
3
5
4
3
2
4
5
1,2
6
5
1,4
3
5
3
2
2,1
5
4
2
3
7
5
M =
1
4
+
1
2
1 +
1 –
1
2
3
1 +
Y =
5
3
+
1
3
1 +
1 –
1
2
3
1 –
Rpta. Rpta.
Rpta. Rpta.

20
Nivel I
6 Relaciona cada operación con su respuesta.
I.
3
2
– +
7
2
II.
5
4
+
7
4
III. 4 ×
3
2
IV.
4
3
÷
1
6
a. 8
b. 2
c. 1
d. 3
e. 6
A Ic; IId; IIIb; IVa B Ie; IId; IIIa; IVb
C Ib; IIa; IIId; IVe D Ib; IId; IIIe; IVa
E Id; IIa; IIIb; IVe
3 Ordena en forma ascendente los resultados.
E =
3
2
5
2
+
7
2
O =
4
3
8
3
+
L =
3
5
3 . . 15
9
V =
3
2
3
4
÷
A L-O-V-E B V-E-L-O
C V-O-L-E D L-E-V-O
E O-V-E-L
4 Calcula el valor de H.
A
2
3
B
4
3
C
5
6
D
1
3
E
3
2
1
2
H = +
1
3
–
1
6
5
A 2 B 5 C 6
D 3 E 1
Halla el valor de R.
R = 2 . .
3
5
25
6
. 9
15
2 Descubre el valor de x.
x = .
2
3
4
5
÷
2
5
A
5
2
B
4
3
C
3
4
D
2
3
E
5
3 7 Determina el valor de
indica la mitad de su valor.
A 3 B 1 C 5
D 2 E 4
N =
4
5
3
2
+
3
10
– + 2; luego,
1 Indica si la operación es verdadera (V) o falsa (F).
D FVFV E FFVV
2
3
+
5
2
=
7
5
( )
( )
( )
( )
4
3
–
1
2
=
5
6
3
4
. 1
6
=
1
12
5
2
÷ 3
4
=
10
3
8 Luego de reducir H =
3
4
+
2
5
1
6
; podemos afirmar:
A El valor de H está entre 1 y 2.
B El valor de H está en 2.
C El valor de H está entre 2 y 3.
D El valor de H es 1.
E El valor de H está entre 0 y 1.

21
Nivel II
9
10
11
12
13
14
15
16
Encuentra el valor de G.
G =
1
3
+
2
3
. 3
4
÷
3
4
A 1 B 2 C
1
3
D
2
3
E 3
M =
1
2
+
1
2
3
2
–
2
3
A
5
6
B
1
2
C
3
8
D
4
5
E
11
12
Calcula el valor de M.
M =
1
3
1 +
1
2
1 +
A
1
2
B 2 C
3
2
D
5
2
E 3
L =
1
2
+ 1
1 –
1
2
+ 2
A 3 B 4 C 2
D 5 E 1
Determina el valor de A.
A =
1
2
1 –
1
3
1 +
1
4
1 –
A
1
8
B
1
4
C
4
3
D
3
4
E
1
2
Encuentra el valor de E.
E =
2
5
+
1
2
–
2
3
+
1
10
A
2
3
B
1
3
C
3
5
D
4
15
E
3
10
Calcula el valor de H.
2 +
1
3
H =
3 –
1
3
+
4
2
1
D
1
4
E
3
4
A 1 B
1
8
C
2
3
Descubre el valor de L.
A
5
2
B
7
3
C
4
3
D
8
7
E
7
6
L =
2
3
+
1
3
1 +
1
3
1
2
+ 1

22
18
19
20
21
22
23
24
17 Halla el numerador reducido de A.
A =
4
3
2 +
3
2
+ 1 –
1
3
1
2
A 4 B 5 C 3
D 6 E 7
Determina el valor de M.
M =
5
4
÷ ÷
3
2
× +
2
3
1
5
5
9
A
17
3
B
8
3
C
9
2
D
7
2
E
10
3
Encuentra el valor de L =
1
2
1
2
1
2
+ 1
+ 1 + 1;
A
3
2 B
5
4
C
15
8
D
11
4
E
13
8
luego, indica los dos tercios de L.
Reduce la expresión ; luego,
A =
3
x
+
5
2x
–
1
4x
A 2x B 8x C 3x
D 6x E 4x
indica su denominador.
Descubre el valor de R.
A
5
3 B
3
5
C 5
D 15 E 18
R =
1 +
1
2
1 +
1
3
1 +
1
4
1 +
1
5
1 –
1
2
1 –
1
3
1 –
1
4
1 –
1
5
Calcula el valor de A.
A 1 B x + 1 C 2
D x – 1 E 3
Halla el valor de P.
P = 1 +
1
1
1 +
1 –
1
3
A
5
3
B
3
2
C
2
3
D
7
5
E
7
3
H = 1 +
2 +
1
3
2 –
1
1 –
1
3
D
11
3
E
11
3
A
17
3
B
13
6 C 5
Nivel III
A =
x – 3
x + 1
+
2x + 14
2x + 2
+
3x – 3
3x + 3

Tema
23
Potenciación
2
Los átomos son muy pequeños; los tamaños típicos
son alrededor de 100 pm (diez mil millonésima parte
de un metro = 10–10 m).
¿Sería cómodo hacer cálculos con cantidades muy
grandes o muy pequeñas sin expresarlas como
potencia?
Potenciación
Es la operación que permite encontrar la cantidad llamada potencia P dadas las
cantidades b (base) y n (exponente).
bn = P
bn = b × b × b × ... × b
n factores
Definiciones
Exponente entero positivo
Si b es cualquier número real y n es un número entero positivo, entonces la enésima
potencia de b es:
Ejemplos:
a) 53 = 5 . 5 . 5 = 125 b) –35 = –3 . 3 . 3 . 3 . 3 = –243
3 factores 5 factores
c) (–2)4 = (–2)(–2)(–2)(–2) = 16
4 factores
d)
2
3
–
3
= =
2
3
– . 2
3
–8
27
– . 2
3
–
3 factores
Exponente cero
Si a es un número real diferente de cero, elevado al exponente cero, entonces el
resultado es 1.
a0 = 1; a ≠ 0
Ejemplos:
a) 340 = 1 b)
c) (–7)0 = 1 d) –90 = –1
3
5
0
= 1
Exponente entero negativo
Si b es un número real diferente de cero y n es un número entero positivo, entonces:
b–n = ; b ≠ 0
1
b
n
=
1
bn
Ejemplos:
a) 3–2 =
1
3
2
=
1
3
. 1
3
=
1
9
c) = 23 = 2 . 2 . 2 = 8
1
2
–3
b) (–5)–3 =
1
–5
–1
125
1
–5
1
–5
=
d)
2
3
–
–2
=
3
2
–
2
=
3
2
–
3
2
– =
9
4
(+)par = +
(–)par = +
(+)impar = +
(–)impar = –
• 24 = 16
• (–2)4 = 16
• 23 = 8
• (–2)3 = –8
Recuerda
Observa

24
Exponentes racionales
Si n es cualquier entero positivo, entonces la raíz enésima principal de a se define
como:
a
n
= r, significa rn = a
Para cualquier exponente racional
m
n donde m y n son enteros y n > 1, definimos:
b
m
n = ( b
n
)m = bm
n
Ejemplos:
a) 9
1
2 = 9 = 3
c) 125
1
3 = 125
3
= 5
b) 4
3
2
= ( 4)3 = 23 = 8
d) 32
–1
5 =
1
32
1
5
=
1
32
5
=
1
2
Propiedades
Multiplicación de potencias de bases iguales
bm . bn = bm + n
Ejemplos:
a) 34 . 35 = 34 + 5 = 39
c)
1
2
2
. 1
2
6
=
1
2
2 + 6
=
1
2
8
b) 42 . 4–3 . 45 = 42 – 3 + 5 = 44
d)
–1
3
4
. –1
3
3
=
–1
3
4 + 3
=
–1
3
7
División de potencias de bases iguales
bm
bn
= bm – n ; b 0
Ejemplos:
a)
26
24
= 26 – 4 = 22 = 4
c)
x5
x2
= x5 – 2 = x3
b)
57
5–2
= 57 – (–2) = 59
d)
b–2
b–5
= b–2 – (–5) = b3
Potencia de una multiplicación
(a . b)n = an . bn
Ejemplos:
a) (4 × 3)3 = 43 × 33
c) (3 × 2)–4 = 3–4 × 2–4
b) (2 × 3 × 5)4 = 24 × 34 × 54
d) (x . y . z)5 = x5 . y5 . z5
Observa
Importante
(+)
(–)
(+)
(–)
impar
impar
par
par
= (+)
= (–)
= (+)
= ∃ R
b
n
= b
n
m
m
Nota
5n × 2n = (5 × 2)n
= 10n

25
Potencia de potencia
(bn)m = bn . m
Ejemplos:
a) (34)5 = 34 . 5 b) ((52)–2)3 = 52 . (–2) . 3 = 5–12
c) ((2)2)–2 = 22 . (–2) = 2–4 d) ((x2)–4)–1 = x2 . (–4)(–1) = x8
Potencia de una división
a
b
n
=
an
bn
; b 0
Ejemplos:
a) b)
4
5
3
=
43
53
x
y
4
=
x4
y4
c) d)
3
5
6
=
36
56
2
w
n
=
2n
wn
Exponentes sucesivos
bnmp
= b
nq
= ar
Ejemplos:
a) 3501
= 35
0
= 31 = 3 b) x304
= x3
0
= x1 = x
c) 12270
= 122
1
= 122 = 144 d) y2340
= y2
31
= y23
= y
8
Raíz de un producto
a . b = .
n
a
n
b
n
a) 9 . 25 = 9 . 25 = 3 . 5 = 15
b) –8 . 27 =
3
–8
3
. 27
3
= (–2) . 3 = –6
Raíz de un cociente
a
b
n
=
a
n
b
n
Ejemplos:
Ejemplos:
a)
25
9
5
3
=
25
9
=
b)
81
16
3
2
= =
4 81
4
16
4
Importante
103
23
=
10
2
3
= 53
Observa
a
n
. b
n
= a . b
n
a
b
n
=
a
n
b
n

26
Raíz de raíz
n
m p
a =
n . m . p
a
b) x5 = x5
3 . 2
= x5
6
3
d)
3
Ejemplos:
a) 81 = 81
2 . 2
= 81
4
c) 25 = 25
2 . 3 . 2
= 25
12
3
4
xy
3 . 2 . 4
xy
= = xy
24
Cuando aparecen operaciones combinadas, es necesario seguir la prioridad de los
signos de operación en el siguiente orden:
1.° Si en la expresión aparecen signos de colección, deberá operarse primero la parte
interna.
2.° Se realizan las potencias y radicales.
3.° Se realizan las multiplicaciones y divisiones evaluando de izquierda a derecha.
4.° Se realizan las adiciones y sustracciones.
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Determina el valor de
Resolución:
Tenemos: H =
5
2
–
1
2
16
9
÷ +
24 – 3 + 2
1
1
3
H =
5
2
–
1
2
4
3
. 1
8
+ +
1
3
=
5
2
–
1
2
1 . 1
3 . 2
1 . 2
3 . 2
H =
5
2
– – =
1
2
1 + 2
6
=
5 . 2
2 . 2
1 . 1
2 . 2
10 – 1
4
=
9
4
H =
5
2
–
1
2
16
9
÷ +
24
23 . 2–2
1
3
9
4
M = 2–1 – (–2) . 3 – + 33 – 4 – (–2) . 2
. 2
1
2
÷
M =
2–1
2–2
. 3 – +
1
2
9
4
÷
33
34 . 3–2
M = 2 . 3 – + 3 .
1
2
2
3
. 2
M = 6 – 5 = 1
M = 6 – + 2
1
2
5
2
. 2 = 6 – . 2
.

27
1
2
3
4
5
6
Indica la suma de todos los valores que faltan. Reduce la expresión R.
5
53
5
53
= 54
= 54
x3
x3
8
8
x3
x3
=
=
(a3) = a–6
(a3) = a–6
III.
II.
I.
III.
II.
I.
Resolución:
Completamos:
7
4
–2
Efectúa E.
E =
x10 . y12 . z6
x8 . y–4 . z5
Resolución:
Reducimos bases iguales.
Piden: 7 + 4 + (–2) = 11 – 2 = 9
E =
x10
x8
. y12
y–4
. z6
z5
= x10 – 8 . y12 – (–4) . z6 – 5 = x2 . y16 . z1
Rpta. x2 . y16 . z
Rpta. 9
Reduce E.
Resolución:
Tenemos:
E =
310
3 . 81
=
310
3 . 34
=
310
31 . 34
=
310
31 + 4
= 310 – 5 = 35
Rpta. 35
R =
x3
4
. x2
4
x–5
4
R =
x3
4
. x2
4
x–5
4
Resolución:
Tenemos:
=
x3 . x2
x–5
4
x3 + 2 – (–5)
4
=
= x10
4
= x5
Rpta. x5
Halla el valor de N.
N =
2
3
–2 2
+ +
4
9
–1
–1
7
4
Resolución:
Tenemos:
=
9
4
+
9
4
+
7
4
=
9 + 9 + 7
4
=
25
4
=
25
4
=
5
2 5
2
Rpta.
M = 27
–9–2
–1
Resolución:
Realizamos operaciones:
M =
1
27
1
27
1
9
1
2
=
1
9
=
1
27
3
= =
Rpta.
1
3 1
3
N =
3
2
2
+ +
9
4
1
7
4
1
2
1
2
1
2
E =
3 × 3 × 3. ... × 3
3 + 3 + 3 + ... + 3
10 factores
81 veces
E =
3 × 3 × 3. ... × 3
3 + 3 + 3 + ... + 3
10 factores
81 veces
1
27
1
3

28
218 . 1036 . 10–24
210 . 1012
[26 . 1012 . 10–8]3
210 . 1012
[(23 . 106)2 . (104)–2]
3
1024 . 1012
7 10
11
12
8
9
98 + 18 – 8
8
H =
Resolución:
Tenemos:
Rpta. 4
H =
49.2 + 9.2 – 4.2
4.2
=
49 . 2 + 9 . 2 – 4 . 2
4 . 2
7. 2 + 3. 2 – 2. 2
2 . 2
=
(7 + 3 – 2) . 2
2 . 2
=
8 . 2
2 2
= = = 4
8
2
Encuentra el valor de L.
L =
[(8 000 000)2 . 10 000–2]3
1 024 000 000 000 000
Resolución:
Tenemos:
L =
= = 218 – 10 . 1036 – 24 – 12
=
= 28 = 256
Rpta. 256
Halla el valor de G.
G =
63 . 95 . 43
1084
Resolución:
Tenemos:
G =
(2 . 3)3 . (32)5 . (22)3
(22 . 33)4
=
23 . 33 . 310 . 26
28 . 312
= 23 + 6 – 8 . 33 + 10 – 12
= 21 . 31 = 6
Rpta. 6
Realiza la operación A.
A = 46 ÷ [(12 ÷ 6)4 × 3 – (13 – 7)2 + 64
3
]2 – 49
Resolución:
Tenemos:
A = 46 ÷ [(2)4 × 3 – (6)2 + 64
3
]2 – 49
= 46 ÷ [16 × 3 – 36 + 4]2 – 7
= 46 ÷ [48 – 36 + 4]2 – 7
= 46 ÷ [16]2 – 7
= 46 ÷ [42]2 – 7
= 46 – 4 – 7 = 16 – 7 = 9
Rpta. 9
Reduce R.
(((xy)3y)2x)5
((x2y)3y)8
R =
Resolución:
Tenemos:
R =
(((x1y1)3y1)2x1)5
((x2y1)3y1)8
=
((x3y3y1)2x1)5
(x6y3y1)8
=
(x6y6y2x1)5
(x6y3y1)8
(x6 + 1y6 + 2)5
(x6y3 + 1)8
=
=
x7 . 5y8 . 5
x6 . 8y4 . 8
= x35 – 48 . y40 – 32 = x–13y8 =
Rpta.
y8
x13
y8
x13
Reduce la expresión V.
V = x3 . x2
3
. x3
V = x3 . x2
3
. x3
Resolución:
Tenemos:
= x3 . x2
3
.
2 3 2
x3
2
=
2
x3 .
2 3
x2 .
3 2
x3
2
= x3
2
. x2
6
. x3
12
= x
3
2
. x
2
6
. x
3
12
= x
3 . 6
2 . 6
+
2 . 2
6 . 2
3
12
+
= x
18 + 4 + 3
12 = x
25
12 = x25
12
Rpta. x25
12

29
3 4
2
Síntesis
1
Modela y resuelve
Cero
Entero negativo
Fraccionario
Potenciación
Exponente Propiedades
Entero positivo
b0 = 1; b ≠ 0
b–n =
1
bn
; b ≠ 0
bn . bm = bn + m
Multiplicación de
bases iguales
División de bases
iguales
(ab)n = an . bn
(bn)m = bn . m
Potencia de una
multiplicación
Potencia de
potencia
Potencia de una
división
bn = b × b × b × b × ... × b
n factores
= bm
n
donde
n ≠ 0
bn
bm
= bn – m
=
a
b
n an
bn
Operaciones
combinadas
Raíz de una
multiplicación a.b = .
n
a
n
b
n
Raíz de una
división
a
b
n =
a
n
b
n
m n
a =
n . m
a
Raíz de
raíz
1.° ( ); [ ]; { }
2.° ( )n; n
3.° × ; ÷
4.° + ; –
Primero parte interna de los signos de colección
Potenciación y radicación
Multiplicación y división de izquierda a derecha
Finalmente, sumas y restas
b
m
n
Indica verdadero (V) o falso (F) según corresponda.
( ) ab–2 =
1
ab2
( ) x2
6
= x1
3
( ) x3
x–2
= x5
( ) –42 = 16
( ) xy–3 =
x
y3
( ) x3
12
= x1
3
( )
a5
a–3
= a2
( ) –52 = –25
Calcula el valor de H. Calcula el valor de O.
H =
56 . 53 . 5–3
25
47 . 43 . 4–5
16
O =
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.

30
9 10
11 12
5 6
7 8
Rpta. Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
L = 64 + 64
3
Halla el valor de A.
A = 81 + 125
3
Determina la expresión equivalente a C.
C = (3–2)3 . (33)4 . (35)–1
Determina la expresión equivalente a R.
R = (2–3)3 . (25)2 . (2–2)–1
Resolución:
Resolución:
Encuentra el valor de M. Encuentra el valor de P.
Resolución:
Resolución:
M = 36
3
. 60
3
80
3
P = 12
4
. 40
4
30
4
Reduce E. Reduce E.
E =
((a2b)3b)2
(a3 . b2)3
E =
((x3y)2x)3
(x2 . y3)2

31
13
17 18
19 20
14
15 16
Rpta. Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Calcula el valor de N. Calcula el valor de A.
N =
16
9
–2
–1
A =
8
27
–3
–1
Efectúa H. Efectúa O.
H =
2n + 1 + 6 . 2n
2 . 2n O =
3n + 1+ 12 . 3n
3 . 3n
Halla el valor de Y.
Y = 232
– 231
+ 230
Halla el valor de E.
E = 223
– 222
+ 221
– 220
Reduce la expresión S. Reduce la expresión T.
S =
x3
3
x
6
. x
x
3 T =
a5
4
a
8
.
a
a
3

32
21 22
23 24
25 26
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Determina el valor de R. Determina el valor de A.
Encuentra el valor de M. Encuentra el valor de M.
M =
353 . 126
283 . 152 . 64
Calcula el valor de R. Calcula el valor de N.
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
M =
206 . 215
355 . 123 . 62
R =
3
5
–2 –1
+ +
9
4
7
9
0,5
R = 16
4
– 2
6
5
5
6
2
.
3
A =
5
4
–2 –1
– +
25
8
1
25
0,5
N = 27
3
– 10
3
5
5
3
4
.
3

33
Rpta.
27 28
¿Cuánto tiempo en minutos demoraría el viaje del
Halcón Milenario (a su velocidad máxima), de la
Tierra a la estrella Alfa Centauro?
29 30
Rpta. Rpta.
Reduce y halla el valor de S. Reduce y halla el valor de F.
x2
S = x3 x
3 4
.
. n3
F = n2 n3
3 4
.
.
El carguero ligero YT-1300 fue uno de los diseños más famosos de la Corporación de Ingeniería Corelliana. El
ejemplo más notable de este modelo era el Halcón Milenario, un YT-1300 modificado capitaneado por Han
Solo. Esta nave puede alcanzar una velocidad de 1,5c. Si tenemos las distancias aproximadas a las estrellas:
• De la Tierra a Alfa Centauro: 45 000 000 000 000 km.
• De la Tierra a Barnard : 60 000 000 000 000 km.
• De la Tierra a Wolf359 : 75 000 000 000 000 km.
Si el Halcón Milenario viajara a su velocidad
máxima de la Tierra a la estrella Wolf359, ¿cuánto
tiempo demoraría en segundos?
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Rpta.
distancia = velocidad × tiempo
1c = 3 . 105 km/s

34
5
6
7
8
1
4
2
3
Nivel I
Indica si la operación es verdadera (V) o falsa (F).
( ) 3 . 23 = 63
( ) 27 = 3 3
( ) 34 + 32 = 36
( ) 5
3
. 25
3
= 5
D FVFV E FFFV
A Ia; IId; IIId; IVc
B Ie; IId; IIIa; IVb
C Ib; IIa; IIId; IVe
D Ia; IId; IIIb; IVe
E Ic; IIb; IIIb; IVc
Relaciona cada operación con su respuesta.
I. 42–1 a. 2
II. 612
6
b. 12
III. 3 × 22
c. 1
16
IV. 4
2–1 e. 8
d. 36
Determina el valor de M.
M =
4 . 8 . 25
27
A 1 B 4 C 16
D 8 E 2
Calcula el valor de R.
R =
2
5
–2
+
4
3
–1
+ 3
A 7 B 10 C 8
D 9 E 6
Reduce E.
E =
2 × 2 × 2 × ... × 2
2 + 2 + 2 + ... + 2
10 factores
32 veces
A 8 B 16 C 32
D 4 E 64
Halla el valor de N.
A 512 B 36 C 128
D 48 E 64
N =
105
55
+ ((2–2
)
1
3 )–6
Encuentra el valor de Q.
A
5
2
B
13
2
C
11
2
D
17
2 E
7
2
Q =
5 . 6 . 8
15
+
27
3
4
A 14 B 15 C 16
D 81 E 13
M =
36 + 2 . 35 – 34
34

35
9
10
11
12
13
14
15
16
Nivel II
Determina el valor del exponente de x, luego de
reducir S.
S = x . x . x . ... . x
x2 . x2 . x2 . ... . x2
48 factores
10 factores
A 8 B 4 C 6
D 5 E 10
Indica el doble del valor de P.
P = 15 . 6–1 +
2
3
–2
– (–2)3
A 10 B 20 C 8
D 30 E 15
H =
Calcula el valor de H.
A 1 B 2 C 3
D 4 E 5
61 +
3
12 – 27
3
Halla el valor de a para que B sea 5.
A 5 B 8 C 6
D 9 E 7
B =
2a + 1 + 3 . 26
2a
Si I = 40 000 000 000 y Z = 0,00005, encuentra el
valor de L.
L = I . Z2
A 10 B 0,1 C 1
D 4 E 100
M =
1
4
–2 –2
–1
+
1
9
+
1
6
–1 –2
–1
A
1
6
B
1
3
C
1
5
D
1
4
E 2
Simplifica A.
A =
(xx + 1)y
xy
xy
A 1 B x C x–1
D x2 E x
Determina el valor de L.
A 1 B 2 C 4
D 8 E
1
2
2m + 3 . 4m + 2n
8m – 2 . 16n + 2
L =
1
x

36
17
21
22
23
24
18
19
20
Calcula el valor de A.
A 3 B 4 C 6
D 9 E 12
A =
63 . 95 . 43
1084
E = (16–4–2–1
)–2–1
A 2 B –2 C
1
2
D
1
4
E 4
Encuentra el valor de Z.
Z = 1 –
1
6
1
2
50
2
32
3–1
+
–2
– 2(–2)3
0
A – 6 B 12 C 10
D 4 E 8
Si el exponente de x al reducir F es 2, descubre
el valor de a.
F =
x
3
xa
3
x2
A 12 B 8 C 6
D 10 E 4
Nivel III
Simplifica y determina el valor de T.
Indica cuántas proposiciones son incorrectas.
• x4
1
2
= x2
• x =
x x3
4
• (xa
b
)
c
= xc . a
b
• –a3
3
= –a
A una B tres C dos
D cuatro E ninguna
T =
202 . 32 . (213)2
45 . 123 . 982 . 49
A 20 B 10 C 50
D 30 E 120
Si se sabe que abc = 4, calcula el valor de Q.
a b
Q = . b c . c a
A 7 B 9 C 11
D 8 E 10
El USS Enterprise NCC-1701 es una nave del
universo de Star Trek, tiene una velocidad máxima
de 9 Warp, si conocemos las equivalencias:
1 Warp = 2,5 . 104 c (velocidad de la luz)
1 c = 3 . 108 m/s (metros por segundos)
1 año luz = 9 . 1015 m
En cuánto tiempo viajando a velocidad máxima
llegará a la galaxia de Andrómeda, si esta dista
del planeta Tierra 2,7 . 106 años luz.
Nota: distancia = velocidad × tiempo
A 5 . 104 horas. B 106 horas
C 2 . 105 horas D 105 horas
E 3 . 106 horas

Tema
37
Polinomios
3
María compra 8 manzanas y 6 naranjas,
Elena compra 7 naranjas y 5 peras,
Lorena compra 8 peras y 4 manzanas.
¿Cómo podemos sumar lo comprado?
René Descartes
Francia: 1596
Suecia: 1650
¿Sabías que...?
René Descartes,
fue quien comenzó
la utilización de las
últimas letras del
alfabeto (x, y ∧ z)
para designar
las cantidades
desconocidas.
Importante
La notación
algebraica nos
permite reconocer
cuáles son las
variables en una
expresión.
P(x) = x3 + xy + y3
Una expresión algebraica es una combinación de números (coeficientes) y letras
(variables) enlazadas por la adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y
radicación, pero un número limitado de veces.
Ejemplos:
a) V(r) = 1,25pr3 Expresión algebraica de variable r
b) P(x) = 2x5 + 6x – 9 Expresión algebraica de variable x
c) Q(x; y) = –3x5 + 5xy2 + 16y4 Expresión algebraica de variables x e y
d) A(x) = 1 + x + x2 + x3 + .... No es una expresión algebraica, porque tiene infinitos términos
Definiciones
Término algebraico
Es la mínima expresión algebraica, está formada por el producto de números
(coeficientes) y letras (variables).
– 6x2y3
exponentes
variables
signo
coeficiente
variable
A(x; y) = 2x2 + xy + y4
variables
Observa
M(x; y) = –4x3y5
Coeficiente: –4
Parte literal: x3y5
Términos semejantes
Dos o más términos son semejantes si presentan las mismas variables con exponentes
iguales.
a) –15x5y7 ; 1x7y5 ; 3x5y5 No son términos semejantes
b) 19x3y6 ; –6y6x3 ; 33x3y6 Son términos semejantes
c) 10x2y5 ; 3y5x2z ; 42x2y5w No son términos semejantes
Ejemplo:
Calcula el valor de a . b si los siguientes términos son semejantes:
P(x; y) = 12x7y2b – 1z2; Q(x; y) = 7x3a – 2y9z3
Resolución:
Si P(x; y) y Q(x; y) son semejantes, tienen igual parte literal (exponentes de sus
respectivas variables son iguales).
Entonces: 3a – 2 = 7 ∧ 2b – 1 = 9
a = 3 b = 5
Nos piden: a . b = 3 . 5 = 15

38
Reducción de términos semejantes
Para reducir dos o más términos semejantes sumamos o restamos los coeficientes
(según indique el signo) con la misma parte literal.
Ejemplo:
Reduce la siguiente expresión H(x) = 3x3 – 5x + 6x2 – x + x3 – 4x2.
Resolución:
Juntamos los términos semejantes:
H(x) = 3x3 + 1x3 + 6x2 – 4x2 – 5x – 1x
H(x) = (3 + 1)x3 + (6 – 4)x2 + (–5 – 1)x
H(x) = 4x3 + 2x2 – 6x
Polinomios
Es aquella expresión algebraica finita, formada por uno o más términos, ligados entre
sí por operaciones de suma y/o resta, cuyos exponentes de las variables son números
enteros positivos.
En el general:
P(x) = a0xn + a1xn – 1 + ... + an – 1x + an ; a0 ≠ 0
nombre del
polinomio
mayor
exponente
variable coeficiente
principal
grado
término
independiente
Donde: a0; a1; ... ; an son coeficientes del polinomio.
Definiciones
1. Si a0 = 1, entonces P(x) es llamado mónico.
2. Si a0 = a1 = ... = an – 1 = an = 0, entonces P(x) es llamado polinomio idénticamente nulo.
3. Si los exponentes son consecutivos, entonces P(x) es llamado completo y ordenado
(creciente o decreciente).
Propiedades
1. Suma de coeficientes: a0 + a1 + ... + an – 1 + an = P(1)
2. Término independiente (T. I.): an = P(0)
Ejemplos:
Sean los polinomios:
a) P(x) = 1x4 – 2x3 + x2 – 5x + 7
El polinomio es mónico: a0 = 1
Es de grado 4: el mayor exponente es 4.
Es completo y ordenado: exponentes consecutivos.
Su término independiente es 7.
b) Q(x) = 3x5 + 3x4 – x2 + 17
El polinomio no es mónico: a0 ≠ 1
No es completo pero sí ordenado.
c) R(x) = 3x2 + 9x4 – x6 + 11
El polinomio no es mónico: a0 ≠ 1(a0 = –1)
No es completo ni ordenado.
Recuerda
Se reducen
términos solo si son
semejantes.
En un polinomio
los exponentes son
enteros positivos
Polinomio con:
• Un término:
Monomio
4xy3
• Dos términos:
Binomio
4x3 – 7xy
• Tres términos:
Trinomio
2x3 – 4xy2 + 6y4
• Con n términos:
Polinomio de n
términos.
3x – 5 + 7x2 – 2x5 + x7
Importante
El número de
términos de un
polinomio completo
es igual a su grado
más uno.
Observa
Exponentes
consecutivos desde
el mayor hasta el
T. I. (completo y
ordenado en forma
decreciente).
P(x) = 2x3 + x2 – 4x1 + 7x0
Exponentes
consecutivos desde
el T.I. hasta el mayor
(completo y ordenado
en forma creciente).
P(x) = 2x0 + 3x1 – x2 + x3

39
Valor numérico (V.N.)
Es el número que se obtiene luego de reemplazar las variables del polinomio por números.
Ejemplo 1
Sea el polinomio: R(x) = x3 + 3x2 – 6x – 7
Halla el valor de: R(2)
Resolución:
Tenemos: R(x) = x3 + 3x2 – 6x – 7
Entonces: R(2) = (2)3 + 3(2)2 – 6(2) – 7 = 8 + 3 . 4 – 12 – 7
R(2) = 8 + 12 – 12 – 7 = 1
Ejemplo 2
Sea el polinomio: P(x; y) = 3xy2 + 5x2y – 5xy + 1
Halla el valor de: P(2; 1)
Resolución:
Tenemos: P(x; y) = 3xy2 + 5x2y – 5xy + 1
Entonces: P(2; 1) = 3 . 2 .12 + 5 . 22 . 1 – 5 . 2 . 1 + 1 = 6 + 5 . 4 – 10 + 1
R(2; 1) = 6 + 20 – 10 + 1 = 17
Grado de un polinomio
Grado relativo (G.R.)
Es el mayor valor del exponente de una variable.
Ejemplo:
P(x; y) = 5x5y7 G.R.(x) = 5
G.R.(y) = 7
Q(x; y) = 2x2y3 – 5x7y + 11x5y5 G.R.(x) = 7
G.R.(y) = 5
Grado absoluto (G.A.)
- De un monomio: Es la suma de exponentes de sus variables.
- De un polinomio: Es el mayor grado absoluto de los términos del polinomio.
A(x; y) = 7x5y4
⇒ G.A.(A) = 9
B(x; y) = 3x2y7 + 7x7y6 – 13x9y2
⇒ G.A.(B) = 13
5 + 4 = 9 2 + 7 = 9 7 + 6 = 13 9 + 2 = 11
Dado el polinomio: P(x; y) = 15a4x3y9 + 9y10x5 – x12y.
Halla M = G.R.(x) + G.R.(y) + G.A.(P)
Resolución:
P(x; y) = 15a4x3y9 + 9y10x5 – x12y
G.R.(x) = 12
G.R.(y) = 10
G.A.(P) = 15
3 + 9 10 + 5 12 + 1
Luego: M = 12 + 10 + 15 ⇒ H = 37
Polinomios idénticos
Dos polinomios P(x) y Q(x) son idénticos cuando tienen los mismos valores numéricos
para cualquier valor que se asigne a sus variables. Es decir:
V.N.[P(x)] = V.N.[Q(x)] ⇒ P(x) ≡ Q(x)
Ejemplo:
Encuentra el valor de a + b + c, si 2x2 – 3x + 1 ≡ a(x + 1)2 + b(x + 1) + c
Resolución:
En los polinomios idénticos hacemos que x = 0
Entonces: 2 . 02 – 3 . 0 + 1 = a(0 + 1)2 + b(0 + 1) + c
0 – 0 + 1 = a + b + c ⇒ a + b + c = 1
Importante
Sea:
P(x) = 3x +5
Si: x → x + 1
P(x + 1) = 3(x + 1) + 5
Si: x → x2
P(x2) = 3x2 +5
Desafío
P(x; y) = 2n2x3y4z5
- ¿Es de grado 14?
- No, es de grado 7
- ¿Por qué?
Nota
Si:
P(x) Q(x)
axn + b = cxn + d
Entonces:
a = c b = d
Los coeficientes de
los términos con igual
grado son iguales.

40
Polinomios homogéneos
Un polinomio es homogéneo cuando sus términos tienen igual grado.
Ejemplos:
a) 3x2y4 – 5x6 + 2x5 y Sus términos tienen grado 6, entonces es homogéneo.
2 + 4 = 6 = 5 +1
b) 5x3y5 – 7x6y2 + 2x4y4 Sus términos tienen grado 8, entonces es homogéneo.
3 + 5 = 6 + 2 = 4 + 4
Importante
(+)(+) = (+)
(–)(–) = (+)
(–)(+) = (–)
(+)(–) = (–)
Operaciones con polinomios
Adición y sustracción de polinomios
Para sumar o restar polinomios, reducimos sus términos semejantes.
Ejemplo:
Sean los polinomios:
P(x) = 2x2 – 5x + 3; Q(x) = 3x2 + 5x – 9; R(x) = 5x2 + 2x – 5
Determina: P(x) + Q(x) – R(x)
Resolución:
Piden: P(x) + Q(x) – R(x) = 2x2 – 5x + 3 + 3x2 + 5x – 9 – (5x2 + 2x – 5)
P(x) + Q(x) – R(x) = 2x2 – 5x + 3 + 3x2 + 5x – 9 – 5x2 – 2x + 5
P(x) + Q(x) – R(x) = 0x2 – 2x – 1 = –2x – 1
Multiplicación de polinomios
Multiplicación de monomios
Multiplicamos los coeficientes (parte numérica), luego la parte literal.
Ejemplo:
(–5x2y)(7x3y2) = (–5)(7)x2 + 3y1 + 2 = –35x5y3
Multiplicación de polinomio por polinomio
Se aplica la propiedad distributiva, luego multiplicamos los monomios.
Ejemplos:
Desarrolla (x2 – x + 2)(x + 2).
(x2 – x + 2)(x + 2) = x2(x + 2) – x(x + 2) + 2(x + 2)
= x2(x) + x2(2) – x(x) – x(2) + 2(x) + 2(2)
= x3 + 2x2 – x2 – 2x + 2x + 4
= x3 – x2 + 4
Desarrolla (2x – 5)(x3 + 3x – 8).
(2x – 5)(x3 + 3x – 8) = 2x(x3 + 3x– 8) – 5(x3 + 3x – 8)
= 2x(x3) + 2x(3x) + 2x(–8) – 5(x3) – 5(3x) – 5(–8)
= 2x4 + 6x2 – 16x – 5x3 – 15x + 40
= 2x4 – 5x3 + 6x2 – 31x + 40
a)
b)
Recuerda
bn . bm = bn + m
Propiedad distributiva
a(b ± c) = ab ± ac

41
1
2
3
4
5
6
Dado el polinomio P(x) = 2x3 + x4 – 2x2 + 6 – x.
( V ) El polinomio es mónico.
El coeficiente principal es 1(1x4).
( F ) La suma de coeficientes es 7.
P(1) = 2 + 1 – 2 + 6 – 1 = 6.
( V ) El término independiente es 6.
P(0) = 0 + 0 – 0 + 6 – 0 = 6.
( F ) P(x) es de grado 3.
El mayor exponente es 4.
( F ) Es idénticamente nulo.
Los coeficientes tendrían que ser iguales a
cero.
Rpta. VFVFF
Si los términos 3axa + 3b y7 ; 5bx9y2a + 1
son semejantes, determina el valor de M = 2a – b.
Resolución:
Si los términos son semejantes, tienen igual parte
literal:
a + 3b = 9 (1)
2a + 1 = 7 (2)
De (2): 2a = 7 – 1 ⇒ a = 3
En (1): 3 + 3b = 9 ⇒ b = 2
Nos piden: M = 2(3) – 2 = 6 – 2 = 4
Rpta. 4
Sea F(x) =
2x + 1
x – 1
, halla el valor de A = F(F(2)).
Resolución:
Tenemos:
2x + 1
x – 1
F(x) = 2 . 2 + 1
2 – 1
F(2) = =
5
1
= 5
Entonces: A = F(F(2)) = F(5)
Para: x = 5
Para: x = 2
2x + 1
x – 1
F(x) = 2 . 5 + 1
5 – 1
F(5) = =
11
4
Luego: A = F(5) =
11
4
Rpta.
11
4
Si el polinomio
P(x) = 2xa – b + 3 – 3xb – c + 1 + 7xc – 2
es ordenado y completo en forma ascendente,
calcula el valor de H = 2a – 3b + 4c.
Resolución:
Tenemos el polinomio completo y ordenado en
forma ascendente:
P(x) = 2xa – b + 3 – 3xb – c + 1 + 7xc – 2
Entonces:
• c – 2 = 2 ⇒ c = 4
• b – c + 1 = 1 ⇒ b – 4 + 1 = 1 ⇒ b = 4
• a – b + 3 = 0 ⇒ a – 4 + 3 = 0 ⇒ a = 1
Nos piden: H = 2(1) – 3(4) + 4(4) = 6
0 1 2
Rpta. 6
Sea P(x – 2) = x3 – x2, reduce la expresión E.
E =
P(–1) + P(1)
P (0)
Resolución:
Tenemos: P(x – 2) = x3 – x2
• x – 2 = –1 ⇒ x = 1: P(1 – 2) = 13 – 12 ⇒ P(–1) = 0
• x – 2 = 1 ⇒ x = 3: P(3 – 2) = 33 – 32 ⇒ P(1) = 18
• x – 2 = 0 ⇒ x = 2: P(2 – 2) = 23 – 22 ⇒ P(0) = 4
Entonces: E =
0 + 18
4
=
9
2
Rpta.
9
2
Dada la identidad en x, encuentra el valor de nm.
11x – 1 ≡ n(x – 2) + m(2x + 3)
Resolución:
Tenemos polinomios idénticos (tienen igual valor
numérico)
x = 2 : 11 . 2 – 1 = n(2 – 2) + m(2 . 2 + 3)
21 = n . 0 + m . 7
3 = m
x = 1 : 11 . 1 – 1 = n(1 – 2) + 3(2 . 1 + 3)
10 = n(–1) + 15
n = 15 – 10 = 5
Piden: n . m = 5 . 3 = 15
Rpta. 15

42
7
8
9
10
11
12
Si el polinomio
P(x) = (a – b + 1)x2 + (b – 2c + 1)x + c – 2
Es idénticamente nulo, descubre el valor de M.
M = a + b + c
Resolución:
Un polinomio idénticamente nulo tiene todos los
coeficientes cero.
Entonces:
c – 2 = 0 ⇒ c = 2
b – 2c + 1 = 0 ⇒ b = 2(2) – 1
b = 3
a – b + 1 = 0 ⇒ a = (3) – 1
a = 2
Piden: M = 2 + 3 + 2 = 7
Rpta. 7
Sea H(x – 1) = 2x – 1 ∧ F(x + 1) = 2x + 3.
Determina el valor de M = F(H(2)).
Resolución:
Tenemos: H(x – 1) = 2x – 1
x – 1 = 2 ⇒ x = 3: H(x – 1) = 2x – 1
H(3 – 1) = 2 . 3 – 1
H(2) = 5
Entonces: M = F(H(2)) = F(5)
F(x + 1) = 2x + 3
x + 1 = 5 ⇒ x = 4 : F(4 + 1) = 2 . 4 + 3
F(5) = 11
Luego: M = F(5) = 11
Rpta. 11
Si el término independiente del polinomio
P(x + 1) = x2 – 3x + 2n, vale 3n + 5.
Halla la su suma de coeficientes de dicho polinomio.
Resolución:
Término independiente de P(x): P(0) = 3n + 5
x + 1 = 0 ⇒ x = –1 : P(–1 + 1) = (–1)2 – 3 (–1) + 2n
3n + 5 = 1 + 3 + 2n
n = –1
Piden:
Suma de coeficientes de P(x): P(1)
x + 1 = 1 ⇒ x = 0 : P(0 + 1) = 02 – 3(0) + 2(–1)
P(1) = 0 + 0 – 2 = –2
Rpta. –2
Calcula el valor de n, de tal manera que la
siguiente expresión:
P(x; y) = xn – 6 + xy
n
5 + 5x11 – n
sea un polinomio.
Resolución:
En un polinomio los exponentes son enteros
positivos o cero, entonces:
n – 6 ≥ 0 ⇒ n ≥ 6
n = {6; 7; 8; 9; 10; ...}
n
5
: n es múltiplo de 5 ⇒ n = {5; 10; ...}
11 – n ≥ 0 ⇒ 11 ≥ n ⇒ n ≤ 11
n = {0; 1; 2; ... ; 10; 11}
Luego: n = 10
Rpta. 10
Encuentra la suma de los coeficientes del
siguiente polinomio:
G(x – 1) = (3mx – 4m)2 + (3x – 4)2m + x2 + 4
Sabiendo que es el cuádruple de su término
independiente.
Resolución:
Dato: G(1) = 4G(0). Tenemos:
G(x – 1) = (3mx – 4m)2 + (3x – 4)2m + x2 + 4
x – 1 = 1 ⇒ x = 2: G(1) = (2m)2 + (2)2m + 22 + 4
x – 1 = 0 ⇒ x = 1: G(0) = (–m)2 + (–1)2m + (–1)2 + 4
Entonces:
4m2 + 22m + 4 + 4 = 4(m2 + 1 + 1 + 4)
4m2 + 22m + 8 = 4m2 + 24 ⇒ 22m = 22 . 2 ⇒ m = 2
Piden: G(1) = 42 + 22 . 2 + 22 + 4 = 40
Rpta. 40
Sea f(x) = ax + b un polinomio lineal tal que f(1) = 5
y f(3) = 7. Descubre el valor de f(12).
Resolución:
Tenemos: f(x) = ax + b
x = 1: f(1) = a . 1 + b ⇒ a + b = 5
b = 5 – a (1)
x = 3: f(3) = a . 3 + b ⇒ 3a + b = 7 (2)
(1) en (2): 3a + 5 – a = 7 ⇒ a = 1
En (1) : b = 5 – 1 ⇒ b = 4
Luego: f(x) = x + 4
Piden: f(12) = 12 + 4
f(12) = 16
Rpta. 16

43
Síntesis
Modela y resuelve
Polinomios
Grado Valor numérico (V.N.) Especiales
Términos semejantes
G.r.
Monomio Polinomio
G.A.
Exponente de
la variable.
Mayor exponente
de la variable.
Se suman o restan
Valor del polinomio cuando sus
variables son reemplazadas con
números.
Suma de
exponentes.
Mayor suma de
exponentes.
exponentes
enteros positivos
Suma de coeficientes de P(x): P(1)
Término independiente de P(x): P(0)
Tienen igual parte literal (variables y
sus respectivos exponentes iguales)
Ordenado
completo
Exponentes
consecutivos
hasta/desde
CERO
Homogéneo Términos de
igual grado
Idénticos
Igual valor
numérico
Idénticamente
nulo
Coeficientes
igual a cero
3
5
4
6
2
1 Dado el polinomio P(x) = (2x2 – x + 1)(3x2 + 2) + 5.
Entonces:
Dado el polinomio Q(x) = (4x2 – x + 2)(2x2 + 3) + 1.
Entonces:
• El grado del polinomio es
• El término independiente es
• La suma de coeficientes es
• El coeficiente principal es
• El grado del polinomio es
• El término independiente es
• La suma de coeficientes es
• El coeficiente principal es
Dado el polinomio P.
P(x; y; z) = 5x4y6z2 – 3x5y4z7 + 8x3y5z4w4
Entonces:
Si P(x) = 3x2 – 2x + 1, indica el valor de P(3).
Dado el polinomio P.
P(x; y; z) = 3x7y6z4 – 11x3y7z3 + 6x2y4z5w5
Entonces:
Si Q(x) = 4x2 – 3x + 2, indica el valor de Q(2).
• Grado relativo a x es
• Grado relativo a z es
• Grado relativo a y es
• Grado absoluto es
• Grado relativo a x es
• Grado relativo a z es
• Grado relativo a y es
• Grado absoluto es
Rpta. Rpta.

44
9
11
13
10
12
14
8
Rpta. Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
7 Dado el polinomio Q(x) = (2x – 3)(x + 5), determina
el término independiente de Q(x).
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Dado el polinomio M(x) = (3x – 5)(x + 2), determina
el término independiente de M(x).
Resolución:
Halla el grado del polinomio P.
P(x) = 5(x3)4 – 3x5 . x4 + 3x9 – 2
Halla el grado del polinomio Q.
Q(x) = 3x – 4(x4)2 – 7x4 . x5 + 7x6
Si P(x) = 2x2 – x + 5, encuentra el valor de P(P(2)). Si H(x) = 2x2 – 3x + 1, encuentra el valor de H(H(2)).
Si el polinomio P(x) = 2xa – 2 + 3xb – 1 + 4xc – 3 + 5
es completo y ordenado, calcula el valor de abc.
Si el polinomio P(x) = 7 + 3xa – 2 + 5xb – 1 – 11xc – 3
es completo y ordenado, calcula el valor de abc.

45
15
17
19
16
18
20
Rpta. Rpta.
Rpta.
Rpta. Rpta.
Rpta.
Descubre el valor de E(3).
A(x) = 2x – 5
V(x) = x2 – 4x + 7
E(x) = V(x – 2) + A(x)
Descubre el valor de L(2).
Z(x) = 3x – 2
I(x) = x2 – 2x + 6
L(x) = I(x – 1) + Z(x)
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Dada la identidad en x: 4x + 22 = a(x + 3) + b(3x – 1),
determina el valor de (a + b).
Dada la identidad en x: 5x + 11 = a(x + 4) + b(2x – 1),
determina el valor de (a + b).
Si el término independiente del polinomio P es
4n + 6 y P(x + 3) = x2 – 5x + n.
Halla la suma de coeficientes de dicho polinomio.
Si el término independiente del polinomio Q vale
4n + 7 y Q(x + 2) = x2 + 3x + n.
Halla la suma de coeficientes de dicho polinomio.

46
23
25
24
26
Rpta. Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
21 22
Si el G.A.(F) = 15 y G.R.(x) = 2, calcula el
coeficiente del monomio.
F(x; y) = m(n + 1)xm – ny2m + n
Si el G.A.(M) = 9 y G.R.(y) = 2, calcula el coeficiente
del monomio.
M(x; y) = a(b + 2) xa + by2a – b
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Sea el polinomio P(x) = x2 + 7, encuentra el valor
de E.
Sea el polinomio H(x) = x2 + 3, encuentra el valor
de A.
E =
P(x + 1) – P(x – 1)
2x
A =
H(x + 2) – H(x – 2)
4x
Descubre la suma de valores de n, de tal manera
que la siguiente expresión P(x; y) sea un polinomio.
Descubre la suma de valores de a, de tal manera
que la expresión Q(x; y) sea un polinomio.
P(x; y) = x
n
3 + xy
n
2 + 5x13 – n Q(x; y) = 3x
a
5 + 5xy
a
2 – 7y22 – a

47
29 30
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
27 28
Si el polinomio P(x) = ax + b es tal que
P(1) = 5; P(–1) = 9, determina el valor de P(P(4)).
Si el polinomio P(x) = ax + b es tal que
P(2) = 1; P(–1) = 10, determina el valor de P(P(3)).
Sean los polinomios P y Q; de tal manera que
P(x) Q(x), halla el valor de ab.
P(x + 1) = x2 + ax + b
Q(x – 1) = x2 + 3x ‒ 5
Sean los polinomios A y C; de tal manera que
A(x) B(x), halla el valor de mn.
A(x + 1) = x2 + 2x + 7
B(x – 1) = x2 + mx + n

48
2
3
4
1
5
6
7
Nivel I
Dado el polinomio D(x) = x4 – x5 + 3x3 – 3 + x2 + 7x,
indica el valor de verdad (V) o falsedad (F) de las
proposiciones:
( ) El polinomio es mónico.
( ) El grado del polinomio es 5.
( ) El término independiente es 3.
( ) La suma de coeficientes es 8.
A VFVF B FFVV C VVFV
D FVFV E FFFV
Relaciona correctamente.
P(x; y; z) = 3x2y3z – 7x5y2z3 + 8xy5z2w4
I. Grado relativo a x a. 3
II. Grado absoluto b. 5
III. Grado relativo a z c. 6
IV. Grado relativo a y d. 10
e. 12
A Ib; IIe; IIIa; IVc
B Ic; IId; IIIa; IVb
C Ib; IIe; IIIb; IVe
D Ib; IId; IIIa; IVb
E Ic; IIe; IIIb; IVc
Si P(x) = 2x2 + x – 4, indica el valor de M.
M = P(1) + P(–1)
A –2 B 4 C 2
D –4 E 0
Dado el polinomio P(x; y) = 7x9y5 – 12xy12 – 9x6y10,
halla el valor de M = G.A.(P) – G.R.(y).
A 4 B 7 C 16
D 12 E 9
Calcula el valor de A(x) = 3E(x) – 2C(x).
E(x) = 2x2 + 3x + 5
C(x) = 3x2 – 3x – 2
A 3x2 + 3x + 7 B 15x + 19
C 14x + 16 D 12x2 + 11
E 2x2 + x – 3
Encuentra el grado del polinomio P.
P(x) = 2(x2)3 – 3x2 . x3 + 5x4 – 7
A 4 B 3 C 5
D 7 E 6
Si P(x) = x2 – 4x + 4, determina el valor de A.
A = P(P(4))
A 1 B 4 C 3
D 16 E 2
Descubre el valor de R = P(Q(–1)) + 5,
si P(x) = 3x2 – 5x + 1 ∧ Q(x) = 3x + 5.
A 5 B 8 C 3
D 2 E 4
Si el polinomio P(x) = 3xa + 4xb + 7xc – 1, es
completo y ordenado en forma creciente, indica
el valor de B.
B = a + b + c
A 6 B 4 C 3
D 5 E 2
8
9

49
11
12
13
15
16
14
17
10
Nivel II
En el polinomio homogéneo
P(x; y) = 3x2ya – 1 + 7x5y2 – 11xb + 2y3, halla el
valor de N = 2a – b.
A 12 B 8 C 14
D 4 E 10
Calcula el coeficiente del monomio
A(x; y) = 3(a + b)xa + 2yb – 5, si el grado absoluto
es 5.
A 6 B 18 C 24
D 36 E 48
Dado el polinomio
P(x) = 3xa – 5 + 2xb – a + 2 – 5xc – b – 3
completo y ordenado en forma decreciente,
encuentra el valor de N.
N = a + 2b + c
A 24 B 26 C 28
D 30 E 32
Respecto a los polinomios:
Q(x; y) = 3x3 – 2x2y + 5xy2 – 3y3
P(x) = (x2 + 1)(x + 3)
Indica el valor de verdad (V) o falsedad (F) de las
proposiciones:
( ) Grado P(x) = Grado Q(x; y).
( ) El polinomio Q(x; y) es homogéneo.
( ) El término independiente de P(x) es 3.
( ) El grado relativo a x de Q(x; y) es 2.
A VVFF B FFVV C VVVF
D FVFV E FFFV
Si P(x – 1) = x2 + x – 3, descubre el valor de H.
H = P(1) + P(–2)
A 1 B 0 C 2
D ‒2 E 3
Determina el coeficiente del monomio
A(x; y) = m(n + 1) xm – n y2m + n, si el G.A.(A) = 15
y G.R.(x) = 2.
A 10 B 20 C 15
D 18 E 24
Halla el valor de H = a + 2b – c, si se cumple que
3x2 + 5x + 2 = (a – 2)x2 + (b + 3)x + c.
A 9 B 11 C 1
D 7 E 5
Si el polinomio P(x; y) = 2xm – 3y5 + 3x2yn + 2 se
reduce a un monomio, calcula el valor de E.
E = m + n
A 7 B 8 C 10
D 12 E 5

50
19
20
21
Determina el valor de Q(3), si P(x) = x2 – 5 y
Q(x – 2) = P(x) + x – 1.
A 25 B 5 C 16
D 20 E 24
El término independiente del polinomio P(x) es 5.
Si P(x + 1) = x2 – 2x + n, descubre la suma de
coeficientes de dicho polinomio.
A 1 B 0 C 2
D 3 E 5
Nivel III
Halla el valor de n, de tal manera que la siguiente
expresión:
P(x; y) = xn – 7 + xy
n
4 + 5x11 – n, sea un polinomio.
A 12 B 10 C 15
D 8 E 6
18 22
23
24
Si el polinomio P es idénticamente nulo, encuentra
el valor de H = a + 2b + c + d.
P(x) = (a – b)x3 + (b + 2)x2 + (3c – 12)x + d – 5
A 5 B 3 C 6
D 4 E 7
Sea el polinomio f(x) = (x – 5)2 + 31; calcula el
valor de M.
A 10 B –10 C 5x
D 5 E –10x
M =
f(x) – f(x + 10)
2x
Sean los polinomios P(x + 1) = x2 + ax + 4,
Q(x – 1) = x2 + bx + c, de tal manera que
P(x) Q(x). Determina el valor de H.
H = a + b + c
A 0 B 2 C 4
D 6 E 10
Sea el polinomio P(x) = ax + b, tal que P(1) = 2 y
P(–2) = –7. Encuentra el valor de P(3).
A 8 B 9 C 7
D 10 E 12

Nombre: n.° de orden: Sección:
Test n.° 1
51
Encuentra el valor de S.
S =
1
7
+
3
2
–
11
14
–
5
14
S =
2 × 2 × 2 × ... × 2
2 + 2 + 2 + ... + 2
Halla el perímetro de la figura (medidas en metros). 5
4 Luego de reducir P, determina el valor de P–1 + 3.
P =
1
3
2 –
1
5
2 –
2
9
1 –
14
Calcula el valor reducido de M.
M =
2x + 10
2x + 14
+
x + 5
x + 2
+
3x + 15
3x + 18
1
2
3
Marca con una X la alternativa que corresponda a la respuesta.
0
A
2
C
1
B
3
D
Descubre el valor de H.
6
A
7
4
B
1
2
C 3
5
D 1
A 32 B 8
C 16 D 64
A 2 m B 4 m
C 6 m D 8 m
A 1 B 2
C 3 D 4
A 0 B 1
C 2 D 3
Reduce S.
1
2
2,7
1,3
3
2
11
7
3
7
12 factores
128 veces
H = 21 + 2
3
5 + 16

52
Dado P(x) =
x – 1
x + 3
, halla el valor de P(P(2)).
7 10
11
12
9
8
Dado el polinomio:
P(x; y; z) = 3x3y4z2w2 + 3x2y6z3w4 – 3x4y5z4w5
A = Grado absoluto de P
B = Grado relativo a z
C = Grado relativo a y
Calcula el valor de M = A + BC.
Dado el polinomio P(x; y) = 3x4y2 – 2x5y6 + 11x2y8,
determina el valor de T.
T = G.A.(P) + G.R.(x)
Sea P(x) = x2 – 3x + 2 y P(x + 3) = ax2 + bx + c;
calcula el valor de S.
S = a + b + c
Simplifica y encuentra el valor de F.
F =
1252 × 272 × 16
152 × 253 × 64
Por curiosidades de la vida, María observó que
su edad era el triple del valor de M. ¿Qué edad
tiene María?
25
A
15
C
20
B
60
D
4 años
A
8 años
C
6 años
B
10 años
D
24
A
32
C
8
B
16
D
0
A
4
C
2
B
6
D
24
A
37
C
30
B
52
D
2
A
6
C
4
B
8
D
M =
+ +
72
32 50
18

Tema
53
Productos notables
4
Son multiplicaciones conocidas en las que no se realizan operaciones previas de la
multiplicación, entre ellas tenemos:
Observa
Producto de binomios con término común
(x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab
Tenemos:
x + b
x + a
(x + a)(x + b)
x b
x
a
x2 bx
ax ab
Ejemplos:
a) (x + 4)(x + 7) = x2 + (4 + 7)x + (4)(7) = x2 + 11x + 28
b) (y – 2)(y + 5) = y2 + (–2 + 5)y + (–2)(5) = y2 + 3y – 10
c) (n – 5)(n – 9) = n2 + (–5 – 9)n + (–5)(–9) = n2 – 14n + 45
x2 + (a + b)x + ab
Binomio suma al cuadrado
(x + y)2 = x2 + 2xy + y2
Sea un cuadrado de lado x + y.
x + y
x + y
y
x
y x
y2
xy
xy
x2
Se observa que: (x + y)2 = x2 + xy + xy + y2 = x2 + 2xy + y2
Ejemplos:
a) (x + 5)2 = x2 + 2(x)(5) + 52 = x2 + 10x + 25
b) (2n + 3m)2 = (2n)2 + 2(2n)(3m) + (3m)2 = 4n2 + 12nm + 9m2
Binomio diferencia al cuadrado
(x – y)2 = x2 – 2xy + y2
Ejemplos:
a) (x – 2)2 = x2 – 2 . x . 2 + 22 = x2 – 4x + 4
b) 2a –
b
2
= (2a)2 – 2 . 2a . b
2
+
b
2
2
= 4a2 – 2ab +
b2
4
ac × bc
= (ab)[(a + b)c](c2)
Ejemplo:
32 . 42 = 1344
U : 22 = 4
D : (3 + 4) . 2 = 14
C : 1 + 3 . 4 = 13
UM: 1 = 1
Importante
ab2 = (a2)(2ab)(b2)
Ejemplo 1
CDU
212 = 441
U: 12 = 1
D: 2 . 2 . 1 = 4
C: 22 = 4
Ejemplo 2
672 = 4489
U : 72 = 49
D : 4 + 2 . 6 . 7 = 88
C : 8 + 62 = 44
UM : 4 = 4
2

54
Producto de suma por diferencia
(x – y)(x + y) = x2 – y2
Tenemos:
Se observa la equivalencia: (x – y)(x + y) = x2 – y2
y
x
y
x
x2 – y2 (x – y)(x + y)
x
y
y
x
x – y
x y
x
y
x – y
Ejemplos:
a) (x – 5)(x + 5) = x2 – 52 = x2 – 25
b) (n2 – 6)(n2 + 6) = (n2)2 – 62 = n4 – 36
c) (3a – 7)(3a + 7) = (3a)2 – 72 = 9a2 – 49
Identidades de Legendre
(x + y)2 – (x – y)2 = 4xy (x + y)2 + (x – y)2 = 2(x2 + y2)
Tenemos:
R = (x + y)2 – (x – y)2
R = x2 + 2 . x . y + y2 – (x2 – 2 . x . y + y2)
R = x2 + 2xy + y2 – x2 + 2xy – y2
R = 4xy
Tenemos:
P = (x + y)2 + (x – y)2
P = x2 + 2 . x . y + y2 + (x2 – 2 . x . y + y2)
P = x2 + 2xy + y2 + x2 – 2xy + y2
P = 2x2 + 2y2
Binomio suma al cubo
(x + y)3 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3
Sea un cubo de lado x + y.
También:
x3
3x2y 3xy2
y3
y
x
x y
y
x
Se observa que: (x + y)3 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3
Ejemplos:
a) (x + 2)3 = x3 + 3x22 + 3x22 + 23 = x3 + 6x2 + 12x + 8
b) (2a + 3)3 = (2a)3 + 3(2a)23 + 3(2a)32 + 33 = 8a3 + 36a2 + 54a + 27
(x + y)3 = x3 + y3 + 3xy(x + y)
Observa
a2 – b2 = (a + b)(a – b)
Ejemplo:
E = 13652 – 13632
Entonces:
E = 2728 . 2
1365 + 1363
1365 – 1363
E = 5456
Nota
(a + b)2 – (a – b)2 = 4ab
Ejemplo:
F = 3072 – 2932
F = (300 + 7)2 – (300 – 7)2
F = 4 . 300 . 7 = 8400

55
Binomio diferencia al cubo
(x – y)3 = x3 – 3x2y + 3xy2 – y3
Sea un cubo de lado x – y.
(x – y)3
x – y
y
x – y
x
x
y
x
x – y
y3
x – y
y
x – y
x
x
x
x – y
(x – y)3 + y3 + 3xy(x – y) = x3 ⇒ (x – y)3 = x3 – 3x2y + 3xy2 – y3
Ejemplos:
a) (x – 3)3 = x3 – 3x2 . 3 + 3x . 32 – 33 = x3 – 9x2 + 27x – 27
b) (3a – 1)3 = (3a)3 – 3(3a)21 + 3(3a)12 – 13 = 27a3 – 27a2 + 9a – 1
También: (x – y)3 = x3 – y3 – 3xy(x – y)
Producto de binomio por trinomio
(x + y)(x2 – xy + y2) = x3 + y3 (x – y)(x2 + xy + y2) = x3 – y3
Tenemos:
A = (x + y)(x2 – xy + y2)
A = x(x2 – xy + y2) + y(x2 – xy + y2)
A = x3 – x2y + xy2 + yx2 – xy2 + y3
A = x3 + y3
Tenemos:
B = (x – y)(x2 + xy + y2)
B = x (x2 + xy + y2) – y(x2 + xy + y2)
B = x3 + x2y + xy2 – yx2 – xy2 – y3
B = x3 – y3
Ejemplos:
a) (x + 2)(x2 – 2x + 4) = x3 + 23 = x3 + 8
b) (a – 3)(a2 + 3a + 9) = a3 – 33 = a3 – 27
Trinomio al cuadrado
(x + y + z)2 = x2 + y2 + z2 + 2xy + 2xz + 2yz
(x + y + z)2 x2 + y2 + z2 + 2xy + 2xz + 2yz
z
y
x
x y z
z
y
x
x y z
xz
xy
xx
yz
yy
xy
zz
yz
xz
Observa
a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2)
Ejemplo:
x3 + 23 = (x + 2)(x2 – 2x + 42)
a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2)
Ejemplo:
n3 – 13 = (n – 1)(n2 + n . 1 + 12)
= (n – 1)(n2 + n + 1)

56
Importante
a
n
. b
n
= a . b
n
Ejemplos:
a) (x + y + 2)2 = x2 + y2 + 22 + 2xy + 2x . 2 + 2y . 2 = x2 + y2 + 4 + 2xy + 4x + 4y
b) (a + b + 1)2 = a2 + b2 + 12 + 2ab + 2a1 + 2b . 1 = a2 + b2 + 1 + 2ab + 2a + 2b
c) (x – y + 3)2 = x2 + (–y)2 + 32 + 2x(–y) + 2x . 3 + 2(–y)3 = x2 + y2 + 9 – 2xy + 6x – 6y
Ejemplo 1
Si a2 + b2 + c2 = 20 ∧ ab + ac + bc = 8, calcula el valor de M.
M = (a + 2b)2 + (b + 2c)2 + (c + 2a)2
Resolución:
Tenemos:
M = (a + 2b)2 + (b + 2c)2 + (c + 2a)2
M = a2 + 2 . a . 2b + (2b)2 + b2 + 2 . b . 2c + (2c)2 + c2 + 2 . c . 2a + (2a)2
M = a2 + 4ab + 4b2 + b2 + 4bc + 4c2 + c2 + 4ca + 4a2
M = 5a2 + 5b2 + 5c2 + 4ab + 4ac + 4bc
M = 5(a2 + b2 + c2) + 4(ab + ac + bc)
M = 5(20) + 4(8) = 132
Ejemplo 2
Sea P(x) = (x + 1)(x – 1)(x2 + x + 1)(x2 – x + 1), halla el valor numérico de P(x) para
x = 4 + 15 – 4 – 15.
Resolución:
Tenemos:
P(x) = (x + 1)(x – 1)(x2 + x + 1)(x2 – x + 1)
P(x) = (x3 + 1)(x3 – 1) = x6 – 1
También:
x = 4 + 15 – 4 – 15 Elevando al cuadrado
x2 = ( 4 + 15 – 4 – 15 )2 = 4 + 15
2
– 2 4 + 15 . 4 – 15 + 4 – 15
2
x2 = 4 + 15 – 2 (4 + 15)(4 – 15) + 4 – 15 = 8 – 2 16 – 152 = 8 – 2(1) = 6
Piden: N = P(x) = (x2)3 – 1, cuando: x = 4 + 15 – 4 – 15
N = (6)3 – 1 = 216 – 1 = 215

57
1
2
3
4
5
6
Rpta. VVFFF
Rpta. 2
Indica si la equivalencia es verdadera (V) o falsa (F).
( V ) (x – 4)(x + 4) = x2 – 16
( V ) (x + 2)(x + 5) = x2 + 7x + 10
( F ) (x – 3)(x – 1) = x2 – 4x – 3
x2 + (–3 – 1)x + (–3)(–1) = x2 – 4x + 3
( F ) (a – 3)(a + 3) = a2 – 6
a2 – 32 = a2 – 9
( F ) (x + 1)3 = x3 + 3x2 + 3x + 3
x3 + 3x2 . 1 + 3x . 12 + 13
x3 + 3x2 + 3x + 1
Desarrolla.
• (4x – 5)2 = (4x)2 – 2(4x)(5) + 52
= 16x2 – 40x + 25
• (5a – 2)(5a + 3) = (5a)2 + (–2 + 3)(5a) + (–2)3
= 25a2 + 5a – 6
• (a2 + 3)2 + (a2 – 3)2 = 2[(a2)2 + 32]
= 2[a4 + 9]
= 2a4 + 18
• (5 + 2a)2 – (5 – 2a)2 = 4(5)(2a)
= 40a
• (2a + 1)3 = (2a)3 + 3(2a)21 + 3(2a)12 + 13
= 8a3 + 12a2 + 6a + 1
Determina con productos notables.
a) E = 12452 – 12432
b) L = 6052 – 5952
c) I = 4502 . 4498
Resolución:
a) E = 12452 – 12432
= (1245 + 1243)(1245 – 1243)
= 2488 . 2 = 4976
b) L = 6052 – 5952
= (600 + 5)2 – (600 – 5)2
= 4 . 600 . 5 = 12 000
c) I = 4502 . 4498
= (4500 + 2)(4500 – 2)
= 45002 – 22
= 20 250 000 – 4
= 20 249 996
E =
(2x + y)2 – (2x – y)2
4xy
Resolución:
Según Legendre, sabemos que:
(a + b)2 – (a – b)2 = 4ab
Entonces:
(2x + y)2 – (2x – y)2 = 4(2x)(y)
Luego:
E =
8xy
4xy
= 2
Si x + y = 7 ∧ xy = 2, calcula el valor de:
a) L = x2 + y2
b) M = x3 + y3
Resolución:
a) Tenemos: x + y = 7
( )2 : (x + y)2 = 72
x2 + 2xy + y2 = 49
x2 + y2 = 49 – 2(2)
L = 45
b) Tenemos: x + y = 7
( )3 : (x + y)3 = 73
x3 + y3 + 3xy(x + y) = 343
x3 + y3 + 3 . 2 . 7 = 343
M + 42 = 343
M = 301
Rpta. 301
Rpta. 45
Reduce la expresión F.
n3 – 27
n2 + 3n + 9
F = +
n2 – 36
n – 6
Resolución:
Sabemos que:
a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2)
a2 – b2 = (a + b)(a – b)
n3 – 33
n2 + 3n + 9
F = +
n2 – 62
n – 6
(n – 3)(n2 + 3n + 9)
n2 + 3n + 9
= +
(n – 6)(n + 6)
n – 6
= n – 3 + n + 6 = 2n + 3
Rpta. 2n + 3
Rpta. 4976
Rpta. 12 000
Rpta. 20 249 996

58
7 10
11
12
8
9
Rpta. –27
Encuentra el valor del cuadrado de x.
x = 3 + 8 – 3 – 8
Resolución:
Piden:
x2 = ( 3 + 8 – 3 – 8 )2
= ( 3 + 8)
2
– 2( 3 + 8 . 3 – 8) + ( 3 – 8)
2
= 3 + 8 – 2 32 – 8 + 3 – 8
= 6 – 2 1
= 4
Rpta. 4
Si x2 + 5x + 3 = 0, descubre el valor de N en la
expresión.
N = (x + 6)(x + 3)(x + 2)(x – 1)
Resolución:
Tenemos: x2 + 5x = –3
También:
N = (x + 6)(x – 1)(x + 3)(x + 2)
Recuerda: (x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab
Entonces:
N = (x2 + (6 – 1)x + 6(–1))(x2 + (3 + 2)x + 3 . 2)
= (x2 + 5x – 6)(x2 + 5x + 6)
Reemplazando:
N = (–3 – 6)(–3 + 6)
= (–9)(3)
= –27
Si x + y = 4 ∧ xy = 1, determina el valor de N.
N = x2 – y2
Resolución:
Piden: N = x2 – y2 = (x + y)(x – y)
Sabemos que:
(x + y)2 – (x – y)2 = 4xy
Entonces: 42 – (x – y)2 = 4 . 1
16 – 4 = (x – y)2
(x – y)2 = 12
(x – y) = 12 = 4 . 3 = 4 . 3
(x – y) = 2 3
Luego:
N = 4(2 3)
N = 8 3
Rpta. 8 3
Si a + b = 6 ∧ a2 + b2 = 20, halla el valor de E.
E = a3 + b3
Resolución:
Tenemos: a + b = 6
( )2 : a2 + 2ab + b2 = 36
20 + 2ab = 36 ⇒ ab = 8
( )3 : a3 + b3 + 3ab(a + b) = 216
E + 3 . 8 . 6 = 216
= 216 – 144
= 72
Rpta. 72
Si
a
b
+
b
a
= 2, ¿cuánto es el valor de H?
7a2 + 3ab
ab + b2
H =
Resolución:
Tenemos
a
b
+
b
a
= 2 ⇒ a2 + b2
ab
= 2
a2 + b2 = 2ab
a2 – 2ab + b2 = 0
(a – b)2 = 0 ⇒ a = b
Luego:
7a2 + 3aa
aa + a2
7a2 + 3a2
a2 + a2
H = =
H =
10a2
2a2 = 5
Rpta. 5
Calcula el valor de H; si x3 = 8, x ≠ 2.
(x + 1)2
(x + 4)(x – 2)
H =
Resolución:
x3 – 23 = 0
(x – 2)(x2 + 2x + 4) = 0
• x = 2 (No se cumple por dato)
x2 + 2x + 4 = 0
x2 + 2x = –4
Piden:
x2 + 2 . x . 1 + 12
x2 + (4 – 2)x + 4(–2)
H =
x2 + 2x + 1
x2 + 2x – 8
=
–4 + 1
–4 – 8
= =
–3
–12
=
1
4
Rpta.
1
4

59
3 4
2
Síntesis
1
Modela y resuelve
Completa la tabla. Completa la tabla.
Productos notables
Legendre
(a + b)2 + (a – b)2 = 2(a2 + b2)
(a + b)2 – (a – b)2 = 4ab
4
5
6
7
8
(a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b)
(a – b)3 = a3 – b3 – 3ab(a – b)
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
(a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3
(a + b)(a2 – ab + b2) = a3 + b3
(a – b)(a2 + ab + b2) = a3 – b3
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + ac + bc)
1 (x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab
3 (a + b)(a – b) = a2 – b2
2
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2
x + 2 x – 3
x – 2
x + 2
x + 5
x + 7
F1
F2
F3
F4
×
c1 c2
x – 1 x + 3
x + 1
x – 1
x – 3
x + 5
F1
F2
F3
F4
×
c1 c2
Desarrolla.
H = (n – 2)3
Desarrolla.
E = (a + 1)3
Rpta.
Rpta.

60
7 8
9 10
5 6
Resuelve.
a) (2x – 3)2
b) (4x – 5)(4x + 5)
c) (2x + 3)(2x + 5)
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Resuelve.
a) (3a + 2)2
b) (5x – 2)(5x + 2)
c) (3x + 1)(3x + 4)
Desarrolla M.
M = (x + 1)3 + (x – 1)3
Desarrolla N.
N = (a + 1)3 – (a – 1)3
Resolución:
Resolución:
Aplicando productos notables, efectúa.
a) E = 4252 – 4242
Aplicando productos notables, efectúa.
a) E = 5322 – 5312
b) V = 9082 – 8922 b) V = 8092 – 7912
Rpta. Rpta.
Rpta.

61
11
15 16
12
13 14
Rpta.
Rpta.
Calcula H. Calcula T.
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Rpta. Rpta.
3
2
+
x
3
2 2
3
2
–
–
x
3
H =
x
5
+
5
2
2 2
x
5
−
−
5
2
T =
Determina el valor de K.
K = ( 11 + 7)2 + ( 11 ‒ 7)2
Determina el valor de N.
N = ( 13 + 5)2 + ( 13 ‒ 5)2
Halla el valor de R.
R = (2a + 4)(2a + 2) – (2a + 3)2
Halla el valor de T.
T = (2n + 6)(2n + 2) – (2n + 4)2
Rpta. Rpta.

62
17 18
19 20
Resolución:
Resolución:
Reduce la expresión N. Reduce la expresión T.
x3 – 8
x2 + 2x + 4
x2 – 9
x – 3
N = +
x3 + 1
x2 – x + 1
x2 – 4
x + 2
T = +
Rpta. Rpta.
Sea x + y = 6 ∧ xy = 3.
Efectúa.
Sea a + b = 5 ∧ ab = 2.
Efectúa.
a) E = x – y a) M = a – b
b) L = x2 + y2 b) V = a2 + b2
c) A = x3 + y3 c) L = a3 + b3
Rpta. Rpta.

63
21 22
23
25
24
26
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Si x2 + 3x + 1 = 0, halla el valor de H.
H = (x + 5)(x + 4)(x – 1)(x – 2)
Si x2 + 4x + 2 = 0, halla el valor de T.
T = (x + 5)(x + 6)(x – 1)(x – 2)
Rpta. Rpta.
Calcula el valor de R. Calcula el valor de Q.
Rpta. Rpta.
R = 20
6 + + 20
6 –
2
24
5 + + 24
5 –
2
Q =
Si
x
y
+
y
x = 2, encuentra el valor de M. Si
a
b
+
b
a
= 2, encuentra el valor de N.
Rpta. Rpta.
4x2 + 5xy
3xy – y2
M =
5a2 – ab
ab + b2
N =

64
27 28
29 30
Resolución:
Resolución:
Si x3 = y3 ∧ x ≠ y, determina el valor de A. Si a3 = b3 ∧ a ≠ b, determina el valor de M.
(x – y)2
xy
(a + b)2
ab
Rpta. Rpta.
Si x + 1
x
= 4, halla el valor de: Si a + 1
a
= 6, halla el valor de:
a) E = x –
1
x
a) V = a –
1
a
b) M = x3 –
1
x3
b) E = a3 –
1
a3
Rpta. Rpta.
A = M =

65
A 1 B 2 C 3
D 4 E 5
5
6
7
8
9
1
4
2
3
Nivel I
Indica si la operación es correcta (C) o incorrecta (I).
( ) 732 = 5329
( ) 51 × 31 = 1571
( ) 132 – 122 = 1
( ) 104 × 96 = 1600
A CICI B CIIC C CCII
D ICIC E CIII
De los desarrollos:
I. (1 + x)(1 – x) = x2 – 1
II. a3 – 1 = (a – 1)(a2 + a + 1)
III. (2 + x)2 = 4 + 2x + x2
IV. (n + 1)3 = n3 + 1 + 3(n + 1)n
V. (x + 1)(x – 3) = x2 + 2x – 3
¿Cuáles son incorrectos?
A II y IV B I, III y IV
C I, II y V D I, III y V
E I, III
Descubre el valor de E = (x + 2)2 – 2(x + 1)2 + x2.
A 3 B 2 C 4
D 5 E 1
Determina el valor de R.
R = ( 5 + 1)( 5 – 1) + ( 7 – 1)( 7 + 1)
A 12 B 16 C 10
D 15 E 11
A 3 B 2 C 4
D 6 E 1
Reduce la expresión A.
A =
(2x + y)2 – (2x – y)2
(x + y)2 – (x – y)2
Si x + y = 5 ∧ xy = 2, calcula el valor de A.
A = x2 + y2
A 1 B 3 C 2
D 5 E 7
Si x + y = 3, xy = 2; encuentra el valor de M = x – y.
Reduce la expresión E.
E = ( 15 + 3)2 + ( 15 – 3)2
A 18 B 36 C 12
D 26 E 48
Si a – b = 5 ∧ ab = 1, halla el valor de P.
P = a3 – b3
A 125 B 135 C 150
D 110 E 140

66
10 14
15
16
17
11
12
13
Nivel II
Si x +
1
x
= 3, descubre el valor de H.
H = x2 +
1
x2
A 9 B 7 C 12
D 11 E 6
Dada la condición a +
1
a = 5, determina el valor
de E.
E = a3 +
1
a3
A 125 B 90 C 115
D 110 E 120
El cuadrado de la suma de dos números es 10 y la
suma de sus cuadrados es 6. Calcula el producto
de dichos números.
A 4 B 3 C – 2
D 2 E 1
Indica si la equivalencia es correcta (C) o
incorrecta (I).
( )
x
y
y
x
+
x
y
y
x
– =
x2
y2
y2
x2
–
( )
a
b
b
a
a2
b2
b2
a2
+
2
= +
( )
x
y
x
y
y
x
y
x
+ –
2 2
+
( )
a
b
a3
b3
b
a
+
3
= + 3
+
b3
a3
a
b
b
a
+
A CICI B CIIC C CCII
D ICIC E CIII
= 4
Reduce la expresión H.
H = (x4 + 1)(x2 + 1)(x + 1)(x – 1) + 1
4
A x B x8 C x2
D 1 E x4
Efectúa E.
E = (a + b + c)(a + b – c)
A a2 – 2ab + b2– c2
B a2 – 2ab + b2 + c2
C a2 – 2ab – b2 – c2
D a2 + 2ab + b2 – c2
E a2 + 2ab + b2 + c2
Encuentra el valor de P.
P = 7 + 40 + 7 – 40
2
A 12 B 23 C 16
D 18 E 20
Reduce M = (xn + 8)(xn + 2) – (xn + 3)(xn + 7);
luego, indica el doble de su valor.
A –6 B –5 C –12
D 20 E –10

67
18
19
20
21
22
23
24
Simplifica la expresión B.
B =
x3 – 8
x – 2
x2 – 16
x + 4
A x2 + x + 8 B x2 – x + 8
C x2 + 3x D x2 + x
E x2 + 3x + 8
1 + 3 . 5 .17 . 257
L =
4
A 2 B 16 C 4
D 32 E 8
Si el volumen de un cubo es
V(x) = x3 + 6x2 + 12x + 8, descubre el área de una
de las caras de dicho cubo.
A x2 + 2x + 1 B x2 – 1
C x2 + 4x + 4 D x2 + 4
E x2 – 2x + 4
Determina el valor de H, si (a + b)2 = 4ab.
A 1 B 6 C 2
D 8 E 3
Nivel III
Si x2 + 2x + 5 = 0, calcula el valor de R.
R = (x + 5)(x + 7)(x – 3)(x – 5)
A 1000 B 6000 C 800
D 400 E 200
Siendo n > 0, encuentra el equivalente simplificado
de E.
A n B n + 1 C 2n
D 2n – 1 E n – 1
E =
(n + 1)4 – (n – 1)4
(2n + 1)2 – (2n – 1)2
– 1
Si a2 + b2 = 6; además, a4 + b4 = 30, halla el valor
de P.
P =
a4
b2
+
b4
a2
A 42 B 54 C 542
D 65 E 72
H =
2a2 + 4ab
3a2 – ab

68
Tema 5
Halla el área de la base de la piscina, si
su volumen es 2x3 + 7x2 + x + 20 y su
altura es x + 4.
¿Qué operación matemática realizaremos
para hallar lo pedido?
¿Cómo la desarrollaremos cuando
tenemos variables?
¿Sabías que...?
Dividir (del latín
dividere) es repartir
en partes iguales.
División de un polinomio por un monomio
Para realizar esta operación, dividimos cada término del polinomio entre el monomio.
Ejemplo:
Calcula el cociente de la división
12x4y3 – 8x5y + 14x6y2
2x3y
.
Resolución:
Dividimos cada término del polinomio entre el monomio.
12x4y3
2x3y
– + = 6xy2 – 4x2 + 7x3y
8x5y
2x3y
14x6y2
2x3y
División de un polinomio por un polinomio
Al dividir dos polinomios D(x) llamado dividendo y d(x) llamado divisor, se obtienen
otros dos polinomios Q(x) llamado cociente y R(x) llamado residuo, donde se cumple:
D(x) d(x)
R(x) Q(x)
D(x) ≡ d(x) . Q(x) + R(x)
Propiedades de grados
1. El grado del cociente es el grado del dividendo menos el grado del divisor:
o[Q] = o[D] – o[d]
2. El grado máximo del resto es el grado del divisor disminuido en 1.
o[R]máx = o[d] – 1
Ejemplo:
Halla el grado del cociente y el grado del residuo sabiendo que es máximo en la división.
3x7 + 2x5 + x4 – 7x2 + x – 1
x3 + 3x2 – x – 2
Resolución:
• El grado del cociente es o[Q] = o[D] – o[d] = 7 – 3 = 4
• El grado del resto como máximo es o[R]máx = o[d] – 1 = 3 – 1 = 2
Recuerda
Para dividir monomios
A =
–18x7y4
6x4y
1.° Dividimos
coeficientes
–18
6
= –3
2.° Dividimos variables
x7y4
x4y1
= x3y3
Luego, A = –3x3y3
(+)
(+)
= (+)
(–)
(+)
= (–)
(–)
(–)
= (+)
(+)
(–)
= (–)
División algebraica
Dividendo
Residuo Cociente
divisor

69
Métodos para dividir polinomios
Para realizar una división entre polinomios, el dividendo y divisor deben ser completos
y ordenados. Los métodos más usados son el de Ruffini y el de Horner.
Método de Ruffini
Este método se utiliza cuando el divisor es un polinomio de primer grado de la forma
x ± a.
Ejemplo 1
Divide el polinomio (x5 – 4x3 + 16x2 – 1) entre (x + 3).
Resolución:
Completamos y ordenamos los polinomios dividendo y divisor.
(x5 + 0x4 – 4x3 + 16x2 + 0x – 1) ÷ (x + 3)
Esquema de Ruffini.
Luego: Q(x) = x4 – 3x3 + 5x2 + x – 3
R(x) = 8
5o 4o 3o 2o 1o T.I.
1 0 –4 16 0 –1
+ + + + +
–3 9 –15 –3 9
1 –3 5 1 –3 8
Opuesto del término
independiente del
divisor d(x).
Escribe los coeficiente
(con sus signos) del
dividendo D(x).
Residuo
1
2
Coeficientes del
cociente
Suma los elementos de cada
columna y multiplica por el valor
del paso 2. Repite el proceso.
Baja el coeficiente, multiplica por el
valor del paso anterior. Escribe el
resultado en la siguiente columna.
3 4
–3
×
Ejemplo 2
Divide el polinomio (3x3 + x4 – 5x – 6) entre (x + 2).
Resolución:
Completamos y ordenamos los polinomios dividendo y divisor.
(1x4 + 3x3 + 0x2 – 5x – 6) ÷ (x + 2)
Esquema de Ruffini.
1 3 0 –5 –6
+ + + +
–2 –2 –2 4 2
× 1 1 –2 –1 –4
1
2
3 4
Luego: Q(x) = 1x3 + 1x2 – 2x – 1
R(x) = –4
¿Sabías que...?
Paolo Ruffini
Italia
(1765 -1822)
Vivía una vida con
filosofía.
Ruffini era un
hombre tranquilo
que se tomaba la
vida con filosofía
por lo que asumió
su separación de
la docencia de una
forma positiva. Si
no podía enseñar
Matemáticas, tenía
más tiempo para
dedicarse a la
medicina y a sus
pacientes.

70
Método de Horner
Este método se emplea para dividir polinomios cuyos divisores sean de grado mayor
o igual a uno.
Ejemplo:
Calcula el cociente y el residuo de la división.
Resolución:
• Ordenamos y completamos los polinomios.
• En el esquema de división.
6x5 + 7x3 – 10x4 + 4x2 + 10 – 11x
2x3 + x + 3
6x5 – 10x4 + 7x3 + 4x2 – 11x +10
2x3 + 0x2 + x + 3
1
2 6 –10 7 4 –11 10
–0
–1
–3
En columna los
coeficientes
del divisor d(x),
el primero con
su signo y los
restantes con el
signo contrario
Separamos con una línea vertical tantas columnas
como el grado del divisor.
3
2 Coeficientes del
cociente
Coeficientes del
residuo
divisor de grado 3
Colocamos los coeficientes
del dividendo D(x) con su
respectivo signo.
William G. Horner
Reino Unido
(1786 - 1837)
¿Sabías que...?
Cuando cumplió
14 años, se convirtió
en maestro auxiliar
de su colegio y,
4 años más tarde, en
su director.
En 1809 se trasladó
a Bath, donde fundó
su propio colegio.
2 –1 3
7
2
+ + +
–1
2
–1 1 –2
× 2 –2 4
3
2
1
2
3 4
Ejemplo 3
Halla el cociente de dividir (4x3 – 2x2 + 6x + 7) entre (2x + 1).
Resolución:
Completamos y ordenamos los polinomios dividendo y divisor, luego de dividirlos
entre 2: (2x3 – 1x2 + 3x +
7
2
) ÷ (x +
1
2
)
Esquema de Ruffini
Luego: para tener el resto final, multiplicamos por 2: 2 . 3
2
= 3
Q(x) = 2x2 – 2x + 4
R(x) =
3
2
Sabemos:
D(x)=(ax+b).Q(x)+R(x)
Importante
Entonces:
D(x)
a =
ax + b
a . Q(x)
+
R(x)
a
D(x)
a =
b
a
x + . Q(x)
+
R(x)
a

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