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DECLARACIÓN UNIVERSAL DE LOS DERECHOS HUMANOS
El 10 de diciembre de 1948, la Asamblea General de las Naciones Unidas aprobó y proclamó
la Declaración Universal de los Derechos Humanos, cuyos artículos figuran a continuación:
Artículo 1.-
Todos los seres humanos nacen libres e iguales en dignidad y derechos y (...)
deben comportarse fraternalmente los unos con los otros.
Artículo 2.-
Toda persona tiene todos los derechos y libertades proclamados en esta
Declaración, sin distinción alguna de raza, color, sexo, idioma, religión, opinión
política o de cualquier otra índole, origen nacional o social, posición económica,
nacimiento o cualquier otra condición. Además, no se hará distinción alguna
fundada en la condición política, jurídica o internacional del país o territorio de
cuya jurisdicción dependa una persona (...).
Artículo 3.-
Todo individuo tiene derecho a la vida, a la libertad y a la seguridad de su
persona.
Artículo 4.-
Nadie estará sometido a esclavitud ni a servidumbre; la esclavitud y la trata de
esclavos están prohibidas en todas sus formas.
Artículo 5.-
Nadie será sometido a torturas ni a penas o tratos crueles, inhumanos o
degradantes.
Artículo 6.-
Todo ser humano tiene derecho, en todas partes, al reconocimiento de su
personalidad jurídica.
Artículo 7.-
Todos son iguales ante la ley y tienen, sin distinción, derecho a igual protección
de la ley. Todos tienen derecho a igual protección contra toda discriminación
que infrinja esta Declaración (...).
Artículo 8.-
Toda persona tiene derecho a un recurso efectivo, ante los tribunales
nacionales competentes, que la ampare contra actos que violen sus derechos
fundamentales (...).
Artículo 9.-
Nadie podrá ser arbitrariamente detenido, preso ni desterrado.
Artículo 10.-
Toda persona tiene derecho, en condiciones de plena igualdad, a ser oída
públicamente y con justicia por un tribunal independiente e imparcial, para la
determinación de sus derechos y obligaciones o para el examen de cualquier
acusación contra ella en materia penal.
Artículo 11.-
1. Toda persona acusada de delito tiene derecho a que se presuma su inocencia
mientras no se pruebe su culpabilidad (...).
2. Nadie será condenado por actos u omisiones que en el momento de
cometerse no fueron delictivos según el Derecho nacional o internacional.
Tampoco se impondrá pena más grave que la aplicable en el momento de
la comisión del delito.
Artículo 12.-
Nadie será objeto de injerencias arbitrarias en su vida privada, su familia, su
domicilio o su correspondencia, ni de ataques a su honra o a su reputación. Toda
persona tiene derecho a la protección de la ley contra tales injerencias o ataques.
Artículo 13.-
1. Toda persona tiene derecho a circular libremente y a elegir su residencia
en el territorio de un Estado.
2. Toda persona tiene derecho a salir de cualquier país, incluso del propio, y
a regresar a su país.
Artículo 14.-
1. En caso de persecución, toda persona tiene derecho a buscar asilo, y a
disfrutar de él, en cualquier país.
2. Este derecho no podrá ser invocado contra una acción judicial realmente
originada por delitos comunes o por actos opuestos a los propósitos y
principios de las Naciones Unidas.
Artículo 15.-
1. Toda persona tiene derecho a una nacionalidad.
2. A nadie se privará arbitrariamente de su nacionalidad ni del derecho a
cambiar de nacionalidad.
Artículo 16.-
1. Los hombres y las mujeres, a partir de la edad núbil, tienen derecho, sin
restricción alguna por motivos de raza, nacionalidad o religión, a casarse y
fundar una familia (...).
2. Solo mediante libre y pleno consentimiento de los futuros esposos podrá
contraerse el matrimonio.
3. La familia es el elemento natural y fundamental de la sociedad y tiene derecho
a la protección de la sociedad y del Estado.
Artículo 17.-
1. Toda persona tiene derecho a la propiedad, individual y colectivamente.
2. Nadie será privado arbitrariamente de su propiedad.
Artículo 18.-
Toda persona tiene derecho a la libertad de pensamiento, de conciencia y de
religión (...).
Artículo 19.-
Todo individuo tiene derecho a la libertad de opinión y de expresión (...).
Artículo 20.-
1. Toda persona tiene derecho a la libertad de reunión y de asociación pacíficas.
2. Nadie podrá ser obligado a pertenecer a una asociación.
Artículo 21.-
1. Toda persona tiene derecho a participar en el gobierno de su país,
directamente o por medio de representantes libremente escogidos.
2. Toda persona tiene el derecho de acceso, en condiciones de igualdad, a las
funciones públicas de su país.
3. La voluntad del pueblo es la base de la autoridad del poder público; esta
voluntad se expresará mediante elecciones auténticas que habrán de
celebrarse periódicamente, por sufragio universal e igual y por voto secreto
u otro procedimiento equivalente que garantice la libertad del voto.
Artículo 22.-
Toda persona (...) tiene derecho a la seguridad social, y a obtener, (...) habida
cuenta de la organización y los recursos de cada Estado, la satisfacción de los
derechos económicos, sociales y culturales, indispensables a su dignidad y al
libre desarrollo de su personalidad.
Artículo 23.-
1. Toda persona tiene derecho al trabajo, a la libre elección de su trabajo, a
condiciones equitativas y satisfactorias de trabajo y a la protección contra el
desempleo.
2. Toda persona tiene derecho, sin discriminación alguna, a igual salario por
trabajo igual.
3. Toda persona que trabaja tiene derecho a una remuneración equitativa y
satisfactoria, que le asegure, así como a su familia, una existencia conforme
a la dignidad humana y que será completada, en caso necesario, por
cualesquiera otros medios de protección social.
4. Toda persona tiene derecho a fundar sindicatos y a sindicarse para la defensa
de sus intereses.
Artículo 24.-
Toda persona tiene derecho al descanso, al disfrute del tiempo libre, a una
limitación razonable de la duración del trabajo y a vacaciones periódicas
pagadas.
Artículo 25.-
1. Toda persona tiene derecho a un nivel de vida adecuado que le asegure, así
como a su familia, la salud y el bienestar, y en especial la alimentación, el
vestido, la vivienda, la asistencia médica y los servicios sociales necesarios;
tiene asimismo derecho a los seguros en caso de desempleo, enfermedad,
invalidez, viudez, vejez u otros casos de pérdida de sus medios de
subsistencia por circunstancias independientes de su voluntad.
2. La maternidad y la infancia tienen derecho a cuidados y asistencia especiales.
Todos los niños, nacidos de matrimonio o fuera de matrimonio, tienen derecho
a igual protección social.
Artículo 26.-
1. Toda persona tiene derecho a la educación. La educación debe ser gratuita,
al menos en lo concerniente a la instrucción elemental y fundamental. La
instrucción elemental será obligatoria. La instrucción técnica y profesional
habrá de ser generalizada; el acceso a los estudios superiores será igual
para todos, en función de los méritos respectivos.
2. La educación tendrá por objeto el pleno desarrollo de la personalidad humana
y el fortalecimiento del respeto a los derechos humanos y a las libertades
fundamentales; favorecerá la comprensión, la tolerancia y la amistad entre
todas las naciones y todos los grupos étnicos o religiosos, y promoverá el
desarrollo de las actividades de las Naciones Unidas para el mantenimiento
de la paz.
3. Los padres tendrán derecho preferente a escoger el tipo de educación que
habrá de darse a sus hijos.
Artículo 27.-
1. Toda persona tiene derecho a tomar parte libremente en la vida cultural de
la comunidad, a gozar de las artes y a participar en el progreso científico y
en los beneficios que de él resulten.
2. Toda persona tiene derecho a la protección de los intereses morales y
materiales que le correspondan por razón de las producciones científicas,
literarias o artísticas de que sea autora.
Artículo 28.-
Toda persona tiene derecho a que se establezca un orden social e internacional
en el que los derechos y libertades proclamados en esta Declaración se hagan
plenamente efectivos.
Artículo 29.-
1. Toda persona tiene deberes respecto a la comunidad (...).
2. En el ejercicio de sus derechos y en el disfrute de sus libertades, toda persona
estará solamente sujeta a las limitaciones establecidas por la ley con el único
fin de asegurar el reconocimiento y el respeto de los derechos y libertades
de los demás, y de satisfacer las justas exigencias de la moral, del orden
público y del bienestar general en una sociedad democrática.
3. Estos derechos y libertades no podrán, en ningún caso, ser ejercidos en
oposición a los propósitos y principios de las Naciones Unidas.
Artículo 30.-
Nada en esta Declaración podrá interpretarse en el sentido de que confiere
derecho alguno al Estado, a un grupo o a una persona, para emprender y
desarrollar actividades (...) tendientes a la supresión de cualquiera de los
derechos y libertades proclamados en esta Declaración.

Enrique Matto Muzante
Matemática 5
Primaria
Nombres:
Apellidos:
DNI:
Dirección:
Correo electrónico:
Institución Educativa:
Álgebra y Estadística
EMAM
Método EMAM

IMPRESO EN EL PERÚ / PRINTED IN PERU
Título de la obra
® MATEMÁTICA SIGMA 5, primaria
Álgebra y Estadística
© Derechos de autor reservados y registrados
MAURO ENRIQUE MATTO MUZANTE
© Derechos de edición, arte y diagramación
reservados y registrados conforme a ley
DELTA EDITORES S.A.C.
EDICIÓN, 2020
Coordinador de área:
Mauro Enrique Matto Muzante
Diseño, diagramación y corrección:
Delta Editores S.A.C.
Ilustración general:
Banco de imágenes Delta Editores S.A.C.
DELTA EDITORES S.A.C.
Jr. Pomabamba 325, Breña
Tels. 332 6314 332 6667
Correo electrónico: informes@eactiva.pe
www.eactiva.pe
Tiraje: 4000 ejemplares
Impresión:
AZA GRAPHIC PERÚ S.A.C.
Av. José Leal 257, Lince
Lima - Perú
Tel. 471 5342
ISBN N.o 978-612-4087-76-9
Proyecto Editorial N.o 31501051900725
Ley N.o 28086
Hecho el Depósito Legal en la Biblioteca Nacional del Perú
N.o 2019-09230
PROHIBIDA
LA REPRODUCCIÓN TOTAL O PARCIAL
LEY DE LUCHA CONTRA LA PIRATERÍA LEY 28289
PUBLICADA EL 20 DE JULIO DE 2004
TÍTULO VII
DELITOS CONTRA LOS DERECHOS INTELECTUALES
CAPÍTULO I
DELITOS CONTRA LOS DERECHOS
DE AUTOR Y CONEXOS
Reproducción, difusión, distribución y circulación de la obra sin
la autorización del autor.
Artículo 217.o.- Será reprimido con pena privativa de
libertad no menor de dos ni mayor de seis años y con treinta
a noventa días-multa, el que con respecto a una obra, una
interpretación o ejecución artística, un fonograma o una emisión
o transmisión de radiodifusión, o una grabación audiovisual o
una imagen fotográfica expresada en cualquier forma, realiza
alguno de los siguientes actos sin la autorización previa y
escrita del autor o titular de los derechos:
a. La modifique total o parcialmente.
b. La distribuya mediante venta, alquiler o préstamo
público.
c. La comunique o difunda públicamente por cualquiera
de los medios o procedimientos reservados al titular del
respectivo derecho.
d. La reproduzca, distribuya o comunique en mayor
número que el autorizado por escrito.
La pena será no menor de cuatro años ni mayor de ocho
y con sesenta a ciento veinte días-multa, cuando el agente
la reproduzca total o parcialmente, por cualquier medio o
procedimiento y si la distribución se realiza mediante venta,
alquiler o préstamo al público u otra forma de transferencia de
la posesión del soporte que contiene la obra o producción que
supere las dos (2) Unidades Impositivas Tributarias, en forma
fraccionada, en un solo acto o en diferentes actos de inferior
importe cada uno.
La Editorial se hace responsable por el rigor
académico del contenido del texto de acuerdo con
los principios de la Ley General de Educación.

MateMática SIGMA 5 - álgebra
En esta sección
encontrarás temas
novedosos que
propician sostener
una relación cercana
con las nociones de
cambio, regularidad
y equivalencia, y de
gestión de datos e
incertidumbre.
MÉTODO EMAM
Además de aprender
contenidos
matemáticos
es importante
que aprendas a
desenvolverte como
una persona que
practica valores y
actitudes que te
permitan una sana
convivencia con
tu entorno social y
ambiental.
MATEMÁTICA SIGMA 5 - ÁLGEBRA
54 55
3
Seguramente habrás observado elementos que
tienen las mismas características, como por
ejemplo, los pasteles que vemos en la imagen.
Hay diferentes sabores: vainilla, cereza y fresa.
Pero, ¿cómo representar todo lo que hay sobre
la mesa?
Solución:
Como estos elementos son distintos entre sí, no
podríamos combinarlos unos con otros y para
diferenciarlos lo haremos usando expresiones
algebraicas como las que se muestran a
continuación.
= x; = y; = z
Observa que a cada elemento se le ha asignado
una variable. De esta manera, los pasteles
presentados en la mesa podrían representarse:
= 3x + 2y + 4z
Esta última representación es un polinomio.
Polinomio
Es una expresión algebraica que se obtiene al
sumar dos o más monomios. A cada monomio
se le llama término del polinomio. Si tiene
dos términos se le llama binomio; si tiene tres
trinomio, etc.
Responde.
María prepara pasteles. Por la mañana hace
30 de fresa, 15 de limón y 24 de chocolate, y
por la tarde prepara 13 de fresa, 5 de limón y 3
de chocolate. ¿Cuántos pasteles hizo en total?
Operaciones con polinomios
polinomios
contando elementos
semejantes
Operamos con
= ; = ; =
polinomios
polinomios
polinomios
polinomios
polinomios
polinomios
polinomios
polinomios
polinomios
s
s c
c
co
o
=
=
=
=
cincuenta y cinco
cincuenta y cuatro
Desempeños
• Resuelve problemas de equivalencias, regularidades o relaciones de cambio entre dos
expresiones traduciéndolas a expresiones algebraicas.
• Emplea estrategias, la descomposición de números, el cálculo mental para crear, continuar o
completar patrones de repetición con expresiones algebraicas.
• Hace aﬁrmaciones sobre la equivalencia entre expresiones y sus variaciones y las propiedades de
la igualdad, la justicia con argumentos y ejemplos concretos.
Título de la unidad
Contiene los desempeños que
alcanzarás luego del estudio de la
unidad. Estos corresponden a las
competencias abordadas en el presente
texto.
Preguntas sobre la lectura que te
permiten recordar conocimientos
antes adquiridos.
Lectura entretenida que te muestra
la importancia de las nociones
matemáticas en tu vida y en el
desarrollo del hombre.
82
82
Enfoque ambiental
Respeto a toda forma de vida
Valores
El abuelo cedro
Los árboles pueden vivir más de cien años. Pero mi abuelo me contó que hubo una época en
que su existencia se vio amenazada, de no ser gracias a la noble acción de un hombre llamado
Dante, ¿saben por qué…?
Contaba mi abuelo que Dante era un hombre humilde y honrado a quien le resultaba difícil
mantener a su familia por lo que llevaba una vida muy dura. Un día llegó al pueblo un hombre
adinerado que le propuso pagarle una buena cantidad por todos sus árboles.
Dante amaba a los árboles, pero pensó en las necesidades de su familia y la propuesta, pero
antes, él mismo quiso cortar algunos árboles. Sacó su hacha y comenzó por cortar un viejo
árbol…, después de muchos intentos, se sintió cansado y se recostó sobre el árbol diciendo:
¡Qué difícil es cortarte!
Al despertar, Dante se sintió extraño y preguntó: ¿Qué me ha pasado? No siento mis pies, ¿dónde
estoy? Un pajarito que estaba cerca le dijo que los árboles no tienen pies y tampoco pueden
moverse. Dante se sorprendió al ver a un pajarito que le hablaba, y se dio cuenta que estaba
convertido en un árbol. Él preguntó: ¿Qué me ha pasado? El pajarito le explicó: Has puesto en
peligro el bosque y la vida de todos los seres que habitamos aquí, por eso los espíritus del bosque
te han encantado. Ahora eres un cedro y sentirás lo mismo que los árboles.
El viejo árbol que intentó cortar Dante también habló:
¡Estamos en peligro por tu culpa…! El cedro no pudo
evitar sentirse mal y se puso a pensar cómo podía salvar
el bosque… entonces, ideó un plan y con ayuda de los
pajaritos esconderían las herramientas de los leñadores.
Así lo hicieron, los leñadores se fueron, pero luego de
unas horas volvieron con otras herramientas. Dante
estaba enfadado y tuvo que decirles a los leñadores
de manera enérgica que se retiren porque iban a
recibir un castigo. Los leñadores al oír hablar a un árbol
pensaron que se trataba de un embrujo del bosque y
prometieron no regresar nunca. Esto puso contentos a
pudo librarse del encanto y escuchó el consejo del árbol
más viejo: Pueden cortar los árboles, pero de manera
prudente y con la condición que si se corta un árbol, se
sembrarán dos.
ochenta y dos
82
Actividades.
1. ¿La tala de los árboles permite el
progreso de la humanidad?
2. Cinco árboles de eucalipto cuestan
tanto como dos de roble y dos árboles
de roble equivalen a dos de cedro. ¿A
cuántos árboles de eucalipto equivalen
12 árboles de cedro?
Enfoque transversal
y valores que
afianzarás con
las actividades
propuestas.
Lectura que te
dejará enseñanzas
a partir del análisis
que realices con
tu profesor(a) y
compañeros.
Preguntas de reflexión acerca de la lectura.
y enfoques
transversales
Aperturas

pedagógico
Desarrollo
Descubre y
construye
Contiene
información
resumida en
organizadores
visuales sobre el
tema de la sesión,
así como ejercicios
y problemas
desarrollados.
Folio para reforzar la lectura
y escritura de los números.
Relaciona lo
que sabes
A través de una
situación de la
vida cotidiana
se vincula tus
saberes previos
con lo que
aprenderás en
la sesión.
28
Multiplicación y división de números enteros
Jaime decide invertir en la bolsa de
valores, adquiriendo acciones: 7 en
minería y 12 en construcción.
El día de hoy, él analiza el comportamiento
de la bolsa y observa que en minería se ha
ganado $ 452 por cada acción mientras
que en el sector construcción, las cosas
no han ido tan bien, perdiendo $ 178 por
cada uno. ¿Jaime ganó o perdió?
Ganancias
n.° de acciones en minería: 7; costo: $ 452 c/u
Pérdidas
n.° de acciones en construcción: 12; costo: $ 178 c/u
Ganó o perdió: ?
COMPRENDER EL PROBLEMA
1
1
2
3
4
Efectúa.
Halla el cociente.
a) (+14) × (+7) = +98
b) (–7) × (–4) = +28
a) (–95) ÷ (–5) = +19
b) (–52) ÷ (+13) = –4
a) –72 ÷ –8 = +9
b) –108 ÷ +9 = –12
Escribe el número como producto de
tres factores enteros.
a) –144 = –12 × –3 × –4
b) +180 = –6 × +5 × –6
Completa con el número entero que
falta.
Podemos realizar una multiplicación
de números enteros y luego sumar
ambas cantidades.
7(+452) + 12 (–178) = +1028
Rpta. Ganó $ 1028
FASES PARA RESOLVER UN PROBLEMA
DISEÑAR UNA ESTRATEGIA 2
EJECUTAR LA ESTRATEGIA
3
veintiocho
REFLEXIONAR SOBRE LO REALIZADO 4
Explica cómo encontraste la respuesta y de
qué otra manera puedes solucionarlo.
Se multiplican o dividen
sus valores absolutos.
Si los números tienen
signos iguales, el
resultado es positivo.
Si los números presentan
signos diferentes, el
producto es negativo.
de acuerdo a eso
Multiplicación y división
de números enteros
• (+) × (+)= +
• (–) × (–) = +
• (+) ÷ (+)= +
• (–) ÷ (–) = +
• (+) × (–) = –
• (–) × (+) = –
• (+) ÷ (–) = –
• (–) ÷ (+) = –
Ley de signos
Multiplicación
División
Relaciona lo que sabes
Descubre y construye
36
¡Autoevalúate!
¡Autoevalúate!
1
2
3
4
¿Qué alumno obtuvo mayor promedio?
A
C
14
15,5
A
C
5,8
8,8
A
C
4
2
A
C
Marco
Gustavo
B
D
15
16
B
D
6,7
9,8
B
D
3
1
B
D
Renato
Cesár
¿Qué alumnos tienen igual moda?
¿Cuánto es el promedio obtenido entre
Marco y Renato?
¿Cuánto es la suma de los promedios de
los ingenieros y los contadores?
¿Cuánto es la moda en el salario de los
profesores?
Si el promedio para aprobar es 14 o más,
¿quién no aprobó?
Gustavo y Renato
A
B Gustavo y César
César y Marco
Marco y Renato
D
C
5
6
Pinta la alternativa que contenga la respuesta correcta.
Se muestran las notas de las prácticas
calificadas de cuatro alumnos. Observa,
completa y responde.
Alumno
Notas
x Me Mo
Marco 13; 18; 20; 13
Renato 10; 16; 10; 20
Gustavo 12; 11; 11; 18
César 13; 13; 13; 17
Marco
A
B Gustavo
César
Renato
D
C
La tabla muestra los salarios de algunos
profesionales.
Profesionales
Salarios (en miles
de soles)
Ingenieros
3; 3; 3; 8; 4; 3
Profesores
1; 2; 3; 2; 2; 1
Médicos
5; 6; 4; 6; 6; 5
Contadores
4; 4; 5; 5; 5; 6
Enfermeros
3; 3; 3; 2; 2; 3
treinta y seis
73
4
1
Nivel Nivel
Nivel
2
3
5
6
7
Calcula el área de cada cuadrado.
Relaciona.
Marca con una X el de los carteles
con expresiones incorrectas y con un 9
si la expresión es correcta.
Simpliﬁca.
(a + b)2
– 2ab
Reduce.
(a + b)2
– (a2
+ b2)
Halla la expresión equivalente a:
2(3a + 2b)2
– 24ab
A
A
A
C
C
C
a2
+ b2
ab
10a2
+ 18b2
a2
– b2
2ab
8a2
+ 8b2
b2
–ab
18a2
+ 8b2
a2
–2ab
8a2
+ 18b2
B
B
B
D
D
D
a) (x + 7)2
=
b) (x + 5)2
=
c) (3x + 2)2
=
d) (x – 4)2
=
e) (4x – 7)2
=
f) (x + 1) (x – 1) =
Efectúa.
4a2
+ 4ab + b2
(a + 2b)2
(2a + 2b)2
(2a + b)2
2(a + b)2
2a2
+ 4ab + 2b2
a2
+ 4ab + 4b2
4a2
+ 8ab + 4b2
a)
b)
(x + 3)
2x + 6
Rpta.
Rpta.
(x + 2)2
= x2
+ 2x + y2
(2m + 3)2
= 4m2
+ 6m + 9
(7m + b)2
= 49m2
+ 14m + b2
(a + 8)2
= a2
+ 16a + 64
(2x + 4)2
= 4x2
+ 16x + 16
setenta y tres
Practica
lo aprendido
Pinta el círculo de la alternativa que
corresponde a la respuesta.
37
¡Autoevalúate!
MATEMÁTICA SIGMA 5 - ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD
A
C
5,6
8,8 B
D
8
10,1
Médicos y contadores
Contadores y profesores
A
A
B
B
Médicos y enfermeros
Enfermeros y profesores
Profesores e ingenieros
Profesores e ingenieros
Médicos e ingenieros
Enfermeros e ingenieros
D
D
C
C
A
C
2
5 B
D
3
6
¿Qué opina mi compañero?
Intercambia la sección ¡Autoevalúate! con un compañero. Dialoga y compara con él las
respuestas. Coevaluación
¿Qué y cómo aprendí?
1. Entre la media, mediana y moda, ¿cuál me pareció más fácil de aprender?
2. ¿
?
3. ¿Cómo aprendí a ubicar la mediana en un conjunto de datos?
Metacognición
Cla
ves
:
1.
A
2.
C
3.
B
4.
C
5.
C
6.
C
7.
B
8.
A
9.
B
10.
D
7
8
10
9 ¿Qué profesionales presentan los
promedios más bajos según la tabla?
Calcula la suma de los promedios de los
salarios de los enfermeros y los médicos?
¿Qué profesionales presentan el mayor
promedio en su salario?
¿Cuánto es la moda en el salario de los
médicos?
treinta y siete
¡Autoevalúate!
Comprende 10 preguntas
sobre los temas abordados
y las respuestas correctas
para que puedas verificar
por ti mismo cuánto has
aprendido y qué debes
reforzar junto a tu profesor.
Reflexiona sobre lo
aprendido
Puedes también
intercambiar con tus
compañeros la evaluación
que has rendido
(Coevaluación) y así
aprender otras formas
de resolver las mismas
preguntas. Recuerda que
todos poseemos diferentes
estrategias y métodos de
resolución.
Además, la Metacognición
te permite reflexionar cómo
has aprendido y cómo
puedes mejorar.
Evaluación
Practica lo aprendido
Actividades
organizadas en tres
niveles de dificultad
que tienen por
finalidad consolidar
lo aprendido durante
la sesión poniendo
en práctica la
información adquirida,
siguiendo el modelo
planteado en una
situación desarrollada
y haciendo uso de
tu razonamiento y
habilidades.

Unidad
6 - 7
34 - 35
54 - 55
80 - 81
Competencia y
capacidades
Enfoque
transversal
Contenidos pedagógicos
8
36
56
82
1
2
3
4
Índice
Descubrimos un nuevo
conjunto numérico
Enfoque de derechos
Valor: Libertad
y responsabilidad
Enfoque de derechos
Valor: Conciencia
de derechos
Traduce datos
y condiciones
a expresiones
algebraicas.
Comunica su
comprensión sobre
las relaciones
algebraicas.
Argumenta
afirmaciones
sobre relaciones
de cambio y
equivalencia.
Usa estrategias y
procedimientos
para encontrar
reglas generales.
Proposiciones lógicas simples 9
Proposiciones lógicas compuestas 11
Números enteros 14
Valor absoluto de números enteros 18
Comparación de números enteros 20
Adición y sustracción de números enteros 24
Multiplicación y división de números enteros28
¡Autoevalúate! 32
Adición y sustracción de expresiones algebraicas 57
Multiplicación de monomios 62
Multiplicación de un monomio por un polinomio 65
Multiplicación de binomios 67
División de polinomios 69
Productos notables
• Binomio suma al cuadrado 72
• Binomio diferencia al cuadrado 74
• Diferencia de cuadrados 76
¡Autoevalúate! 78
Ecuaciones 83
Resolución de ecuaciones con figuras 88
Inecuaciones 90
Enunciados verbales y simbólicos 93
Planteo de ecuaciones e inecuaciones 95
Sistema de ecuaciones 99
¡Autoevalúate! 105
Potenciación y radicación de números 37
Expresiones algebraicas y polinomios 41
Grados de un monomio 45
Grados de un polinomio 47
Valor numérico de un polinomio 49
¡Autoevalúate! 52
Enfoque de orientación
al bien común
Valor: Justicia y honestidad
Enfoque ambiental
Valor: Respeto a toda forma
de vida
Conocemos las
expresiones algebraicas
Operamos con polinomios
contando elementos
semejantes
Reconocemos las ecuaciones
en nuestros juegos
Resuelve
problemas
de
regularidad,
equivalencia
y
cambio.
80
81
80
4 Seguramente, alguna vez te has divertido en un
sube y baja. Este juego infantil está conformado
por una barra larga de metal o madera con asientos
en sus extremos y apoyada en su punto medio.
Para jugar en él, los niños se sientan uno enfrente
de otro y se impulsan alternadamente
hasta lograr
estar en lo más alto, lo cual produce un placentero
vaivén vertical.
De acuerdo a esto, podrían ocurrir dos situaciones:
1.Cuandoelsubeybajaseencuentraenequilibrio
Esto sucede porque en ambos lados el peso es el
mismo. o mismo ocurre con las ecuaciones, ya
que si dos expresiones son iguales se representa
con una ecuación.
¿Cuánto es el valor de x en cada uno de los casos
presentados?
¿Cómo se representa la escena usando
igualdades y desigualdades?
El equilibrio y las ecuaciones
Responde.
ecuaciones
presentes en nuestros
Reconocemos las
x x
5 17
=
x
x
17
2x + 5 = 17
2x < 17
juegos
2. Cuando no se encuentra en equilibrio.
Es porque los lados no sostienen el mismo peso.
o mismo sucede con las inecuaciones, ya que si
dos expresiones no son iguales se representa con
la desigualdad.
Ecuación
Es una igualdad entre dos expresiones que contiene
una o más variables.
Inecuación
Es una desigualdad que se establece entre dos
expresiones donde existe por lo menos una variable.
80
ochenta y uno
ochenta
Desempeños
• Resuelve problemas que presentan dos equivalencias, regularidades o relación de cambio entre
dos magnitudes y expresiones; traduciéndolas a igualdades que contienen operaciones aditivas o
multiplicativas.
• Hace afirmaciones sobre la equivalencia entre expresiones y sus variaciones y las propiedades de la
igualdad, las justifica con argumentos y ejemplos concretos sobre ecuaciones.
54
55
3 Seguramente habrás observado elementos que
tienen las mismas características, como por
ejemplo, los pasteles que vemos en la imagen.
Hay diferentes sabores: vainilla, cereza y fresa.
Pero, ¿cómo representar todo lo que hay sobre
la mesa?
Solución:
Como estos elementos son distintos entre sí, no
podríamos combinarlos unos con otros y para
diferenciarlos lo haremos usando expresiones
algebraicas como las que se muestran a
continuación.
= x; = y; = z
Observa que a cada elemento se le ha asignado
una variable. De esta manera, los pasteles
presentados en la mesa podrían representarse:
= 3x + 2y + 4z
Esta última representación
es un polinomio.
Polinomio
Es una expresión algebraica que se obtiene al
sumar dos o más monomios. A cada monomio
se le llama término del polinomio. Si tiene
dos términos se le llama binomio; si tiene tres
trinomio, etc.
Responde.
María prepara pasteles. Por la mañana hace
30 de fresa, 15 de limón y 24 de chocolate, y
por la tarde prepara 13 de fresa, 5 de limón y 3
de chocolate. ¿Cuántos pasteles hizo en total?
Operaciones con polinomios
polinomios
contando elementos
semejantes
Operamos con
= ; = ; =
polinomios
polinomios
polinomios
polinomios
polinomios
polinomios
polinomios
polinomios
polinomios
s
s c
c
co
o
=
=
=
=
cincuenta y cinco
cincuenta y cuatro
Desempeños
• Resuelve problemas de equivalencias, regularidades o relaciones de cambio entre dos
expresiones traduciéndolas
a expresiones algebraicas.
• Emplea estrategias, la descomposición
de números, el cálculo mental para crear, continuar o
• Hace afirmaciones sobre la equivalencia entre expresiones y sus variaciones y las propiedades de
la igualdad, la justicia con argumentos y ejemplos concretos.
7
6
6
6
...
1
Desempeños
• Expresa su comprensión de los números enteros en situaciones de su entorno.
• Identifica las condiciones y propiedades de los números enteros.
• Resuelve problemas de equivalencias o relaciones con números enteros.
• Emplea recursos y estrategias para hallar patrones en secuencias con números enteros.
Antiguamente, en China, debido al desarrollo
de la sociedad, el comercio, la administración y
la ciencia, fue necesario un sistema de cálculo
eficiente y rápido, así que usaron varillas de
contar hechas de bambú.
Estas se utilizaban para representar números
enteros y realizar cálculos ordenándolas de
diferentes modos sobre el suelo. as rojas
servían para representar números enteros
positivos y las negras, enteros negativos.
Hubo dos maneras de expresar los números
del uno al nueve, la forma vertical y la forma
horizontal, y el cero se expresó con un espacio
en blanco.
Las varillas de bambú
Descubrimos
conjunto
numérico
un nuevo
6
siete
Responde.
¿ ué números están representados en la
imagen principal?
Los números enteros
Es un conjunto numérico que contiene a los
números naturales. Está conformado por los
números positivos, los números negativos y el
cero.
¿Cómo formaban los números?
as unidades se ponían de forma vertical, las
decenas horizontal, las centenas vertical, y así
sucesivamente. Por ejemplo:
378
–3708
úmeros ne ativos
úmeros positivos
0 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9
ertical
Horizontal
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
ertical
Horizontal
seis
35
2
Desempeños
• denti ca las condiciones y propiedades de la potenciación y radicación.
presa su comprensión de los términos algebraicos y sus elementos.
eali a afirmaciones a partir de sus experiencias concretas, sobre expresiones algebraicas y sus
operaciones.
Cuando hacemos la lectura de un recibo de
luz, en primer lugar debemos de comparar la
lectura anterior con la lectura actual, es decir,
la «lectura actual» la cual corresponde al mes
facturado.
Observa que en este caso la lectura es de 5 ,4
ilo a s .
Con esta información, se procede a multiplicar
el precio unitario de cada S ,2554 por el
número de consumidos en ese mes 5 ,4 ,
lo cual nos da el importe que se deberá pagar.
En este caso: S 15,1 .
En este caso, la expresión algebraica que nos
ha permitido hallar el importe es:
x = n × p
Donde
x: Importe a pagar
n: n.° de kw consumidos en el mes
p: precio de cada kw
Como verás, muchas situaciones de la vida
se pueden representar mediante expresiones
algebraicas.
u es una e presión al e raica
Es una agrupación de números y variables
relacionados entre sí por operaciones
aritméticas.
ectura de potencial el ctrico
Conocemos las
leyendo un recibo de luz
EXPRESIONES ALGEBRAICAS
treinta y cuatro
treinta y cinco
DETALLE DEL CONSUMO
Lectura actual 21580 (09/05/17)
Lectura anterior 21521 (08/03/17)
Diferencia lecturas 59,40
Descripción
Precio Unit. Importe
Cargo Fijo
2,37
Mant. y Reposición de conexión
1,02
Consumo de Energía
0,2554 15,17
¿Qué otras situaciones se pueden representar
a través de una expresión algebraica?
Responde.
34
8
...
...
8
8
...
...
...
...
...
...
Enfoque de derechos
Libertad y responsabilidad
Valo
res
El civismo en la sociedad
Un día, subí a un vehículo de transporte público, hasta ese momento ninguna
experiencia
diferente; solo buscaba un lugar para sentarme, pero todos los pasajeros
encontré libre el último asiento. «¡Qué bien! viajaré sentado…»,
pensé.
Al rato, subió una señora con su hijita de aproximada
mente cuatro años, pero
los demás pasajeros. Había mucha gente joven…, pero nadie se mostraba con la
¿
? Si bien
¿Cuánto daño nos hace ponernos de pie
?
8
Actividades.
1. ¿Por qué se ha venido a menos la práctica
del civismo entre los miembros más jóvenes
de la sociedad?
2. Encuentra tres proposiciones
lógicas en el
texto leído.
ocho
36
36
36
Alicia, la niña alfarera
Mi tía Beatriz es una gran cocinera. Todos la queremos mucho y le decimos tía Bea. Lo que más
le gusta es narrar los cuentos que ella misma inventa. Se le ocurren durante el día, mientras
cocina. Cuando crea una historia, nos reúne a todos los sobrinos y mientras tomamos la sopa la
escuchamo
s. Una tarde, tía Bea dijo que miremos el plato de barro, porque el cuento de ese día
estaba relacionado
precisament
e con el plato y hablaba del derecho a la libertad.
En una tierra muy lejana —comenzó
tía Bea— vivía un malvado rey que mandó a su ejército
a invadir los reinos vecinos. La misión de ese ejército era secuestrar a todos los niños para
conducirlos
a su reino, el cual estaba más allá del desierto. Allí, los chicos eran obligados a
trabajar como esclavos en los talleres. Lejos de sus familias, muchos de ellos morían de tristeza o
por la fatiga y los malos tratos.
Entre los secuestrado
s se encontraba
Alicia, una bella niña que había sido enviada a un taller
de alfarería. Allí, junto a otros niños, fabricaba tazas y platos; era una labor agotadora.
Alicia
soñaba con regresar a su casa para estar con sus padres.
Un día escapó, aprovechan
do el descuido de los vigilantes. Durante varios días vagó por el
desierto. No sabía en qué dirección quedaba su casa. Caminó sin rumbo hasta que el calor y
la sed se volvieron insoportable
s. Cuando estaba a punto de morir, llegó a una choza en la que
vivía una anciana. Ella le dio de beber menos de un vasito de agua. Le dijo que no podía darle
más, pues en el desierto el agua vale más que el oro. Alicia le contó a la anciana lo que le había
ocurrido y le preguntó si sabía el camino hacia su casa. Ella respondió que sí y que se lo diría si
Alicia le hacía un plato para que tome su sopa porque el que tenía se había roto. Alicia
aceptó y tomó un puñado de arena para hacer el plato. Sin embargo, la arena
del desierto es muy seca y no podía trabajarla, así que le pidió a la anciana
un poco de agua. Esta le repitió que en los desiertos el agua vale más
que el oro. ¿Qué podía hacer? Sin agua era imposible modelar la
tierra. Alicia pensó que nunca lograría regresar a su hogar.
Su tristeza era tanta que lloró durante horas hasta que las
lágrimas que había derramado
se mezclaron con la arena
y formaron un lodo arcilloso.
Con él pudo modelar un plato que luego
puso a cocer bajo los rayos del sol, se
lo dio a la anciana y esta cumplió
su promesa de indicarle dónde
estaba su casa.
Al concluir el cuento, la
tía Bea probó la última
cucharada
de su rica
sopa y dijo que el deseo
de libertad es capaz de
vencer los obstáculos.
Actividades.
1. ¿Crees que algo así puede ocurrir en la realidad?
2. Si el deseo de libertad (d) equivale a una piedra de
oro (p) más un vaso de agua (v), ¿es correcta esta
expresión?,
¿porqué?
treinta y seis
36
d = p + v
Enfoque de derechos
Conciencia de derechos
Valor
es
E. de orientación al bien común
usticia y onestidad
Valo
res
Las semillas
del rey
Actividades.
1. ¿Por qué debemos practicar la honestidad?
2. ¿Fue justa la decisión del rey?, ¿por qué?
3. Cuenta los tipos de macetas que vio el rey y exprésalas como un polinomio.
Había una vez un rey que convocó a todos los solteros del reino, pues era tiempo de buscar
pareja a su hija. Todos los jóvenes asistieron y el rey les dijo:
–«Les voy a dar una semilla diferente a cada uno de ustedes... al cabo de 6 meses deberán
traerme en una maceta la planta que haya crecido, y la planta más bella ganará la mano de
mi hija, y por ende el reino».
Así se hizo, pero había un joven que plantó su semilla y esta no germinaba;
mientras tanto, todos
sembrado en sus macetas.
plantas.
El joven estaba demasiado
triste, pues su semilla nunca germinó, ni
siquiera quería ir al palacio, pero su madre insistía en que debía ir, pues
era un participante
y debía estar allí. Se acercó entonces cabizbajo y
vacía. Todos los jóvenes mostraban orgullosos sus plantas, y al ver a
nuestro amigo se burlaron de él. En ese momento, ingresó el
rey y todos hicieron su respectiva reverencia mientras el
rey se paseaba entre todas las macetas admirando
las
plantas.
Finalizada la inspección,
hizo llamar a su hija, y llamó,
de entre todos, al joven que llevó su maceta vacía.
Atónitos, todos esperaban la explicación
de aquella acción.
El rey dijo, entonces: –«Este es el
nuevo heredero del trono y
se casará con mi hija, pues
a todos ustedes se les
dio una semilla infértil,
y todos trataron de
engañarme
plantando
otras semillas, pero
este joven tuvo el valor
de presentarse
y mostrar
su maceta vacía, siendo
sincero y valiente, cualidades
que un futuro rey debe tener y
que mi hija merece».
E. de orientación al bien común
Las semillas
Las semillas
Había una vez un rey que convocó a todos los solteros del reino, pues era tiempo de buscar
56 cincuenta y seis
82
82
Enfoque ambiental
Respeto a toda forma de vida
Valo
res
El abuelo cedro
Los árboles pueden vivir más de cien años. Pero mi abuelo me contó que hubo una época en
que su existencia se vio amenazada
, de no ser gracias a la noble acción de un hombre llamado
Dante, ¿saben por qué…?
Contaba mi abuelo que Dante era un hombre humilde y honrado a quien le resultaba difícil
mantener a su familia por lo que llevaba una vida muy dura. Un día llegó al pueblo un hombre
adinerado que le propuso pagarle una buena cantidad por todos sus árboles.
Dante amaba a los árboles, pero pensó en las necesidade
s de su familia y la propuesta, pero
antes, él mismo quiso cortar algunos árboles. Sacó su hacha y comenzó por cortar un viejo
árbol…, después de muchos intentos, se sintió cansado y se recostó sobre el árbol diciendo:
¡Qué difícil es cortarte!
Al despertar, Dante se sintió extraño y preguntó: ¿Qué me ha pasado? No siento mis pies, ¿dónde
estoy? Un pajarito que estaba cerca le dijo que los árboles no tienen pies y tampoco pueden
moverse. Dante se sorprendió al ver a un pajarito que le hablaba, y se dio cuenta que estaba
convertido en un árbol. Él preguntó: ¿Qué me ha pasado? El pajarito le explicó: Has puesto en
peligro el bosque y la vida de todos los seres que habitamos aquí, por eso los espíritus del bosque
te han encantado.
Ahora eres un cedro y sentirás lo mismo que los árboles.
El viejo árbol que intentó cortar Dante también habló:
¡Estamos en peligro por tu culpa…! El cedro no pudo
evitar sentirse mal y se puso a pensar cómo podía salvar
el bosque… entonces, ideó un plan y con ayuda de los
pajaritos esconderían
las herramienta
s de los leñadores.
Así lo hicieron, los leñadores se fueron, pero luego de
unas horas volvieron con otras herramienta
s. Dante
estaba enfadado y tuvo que decirles a los leñadores
de manera enérgica que se retiren porque iban a
recibir un castigo. Los leñadores al oír hablar a un árbol
pensaron que se trataba de un embrujo del bosque y
prometieron
no regresar nunca. Esto puso contentos a
pudo librarse del encanto y escuchó el consejo del árbol
más viejo: Pueden cortar los árboles, pero de manera
prudente y con la condición que si se corta un árbol, se
sembrarán dos.
ochenta y dos
82
Actividades.
1. ¿La tala de los árboles permite el
progreso de la humanidad?
2. Cinco árboles de eucalipto cuestan
tanto como dos de roble y dos árboles
de roble equivalen a dos de cedro. ¿A
cuántos árboles de eucalipto equivalen
12 árboles de cedro?

6
1
Desempeños
• Expresa su comprensión de los números enteros en situaciones de su entorno.
• Identifica las condiciones y propiedades de los números enteros.
• Resuelve problemas de equivalencias o relaciones con números enteros.
• Emplea recursos y estrategias para hallar patrones en secuencias con números enteros.
Descubrimos
conjunto
numérico
un nuevo
6 seis

MateMática SIGMA 5 - álgebra 7
Antiguamente, en China, debido al desarrollo
de la sociedad, el comercio, la administración y
la ciencia, fue necesario un sistema de cálculo
eficiente y rápido, así que usaron varillas de
contar hechas de bambú.
Estas se utilizaban para representar números
enteros y realizar cálculos ordenándolas de
diferentes modos sobre el suelo. Las rojas
servían para representar números enteros
positivos y las negras, enteros negativos.
Hubo dos maneras de expresar los números
del uno al nueve, la forma vertical y la forma
horizontal, y el cero se expresó con un espacio
en blanco.
Las varillas de bambú
MateMática SIGMA 5 - álgebra siete
Responde.
¿Qué números están representados en la
imagen principal?
Los números enteros
Es un conjunto numérico que contiene a los
números naturales. Está conformado por los
números positivos, los números negativos y el
cero.
¿Cómo formaban los números?
Las unidades se ponían de forma vertical, las
decenas horizontal, las centenas vertical, y así
sucesivamente. Por ejemplo:
378 –3708
Números negativos
Números positivos
0 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9
Vertical
Horizontal
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Vertical
Horizontal

8 ...
...
Enfoque de derechos
Libertad y responsabilidad
Valores
El civismo en la sociedad
Un día, subí a un vehículo de transporte público, hasta ese momento ninguna
experiencia diferente; solo buscaba un lugar para sentarme, pero todos los pasajeros
estaban cómodamente ubicados, en ese instante observé al final del pasadizo y
encontré libre el último asiento. «¡Qué bien! viajaré sentado…», pensé.
Al rato, subió una señora con su hijita de aproximadamente cuatro años, pero
lamentablemente el asiento reservado había sido ocupado por una persona mayor
y una señora embarazada. Bueno, solo quedaba esperar la buena voluntad de
los demás pasajeros. Había mucha gente joven…, pero nadie se mostraba con la
actitud de querer levantarse. «La señora tiene una niña grande, entonces pueden
viajar de pie las dos», pensé tratando de justificar a los jóvenes. La señora siguió
avanzando hasta ubicarse frente a un joven de aproximadamente 20 años, era
alto, robusto y de aspecto muy saludable, pero lejos de ceder el asiento, lo que hizo
fue sacar su celular y jugar con él. Entonces, la señora siguió avanzando con su hijita
y nuevamente, estaba frente a dos señoritas que conversaban muy alegres, pero
ninguna de ellas se puso de pie, solo continuaron con su conversación. Vi que se
iban acabando las opciones y la señora seguía avanzando... cuando me fijo que
junto a mí (yo estaba hacia el lado de la ventana) había otro señor de unos 30 años
igual de saludable que el anterior. La señora se acercó y el tipo inmediatamente
se puso a mirar la ventana. Muy decepcionado, pensé: ¡Qué nos está pasando! La
señora no podía avanzar más y obviamente me levanté (pedí permiso para salir) y
le dije a la señora que se siente, y me pregunté: ¿Dónde quedó el civismo? Si bien
es cierto, no es una ley ceder el asiento sino una obligación moral a la que todos
estamos comprometidos. Sé que no es tan fácil porque hubieron días en los que
también «renegué» el ceder el asiento, o encontraba el asiento reservado libre y
al ocuparlo, pensaba: «ojalá no suban viejitos» sí, lo admito. Sin embargo, en el
momento que cedes el asiento así estés cansado, ese gracias señorita
o gracias joven, es más que suficiente para sentirte un poco
mejor, sentir que por lo menos ayudaste en algo a alguien,
alguien que tal vez tuvo un día igual o peor que el
tuyo. ¿Cuánto daño nos hace ponernos de pie
y aliviar la pesada carga de otra persona
que necesita el asiento más que tú?
8
Actividades.
1. ¿Por qué se ha venido a menos la práctica
del civismo entre los miembros más jóvenes
de la sociedad?
2. Encuentra tres proposiciones lógicas en el
texto leído.
ocho

Proposiciones lógicas simples
Luego de vencer al equipo azul, los integrantes del equipo
rojo expresaron su satisfacción por el partido jugado
diciendo:
• ¡Ganamos!
• ¡Qué emocionante estuvo el partido!
• ¿Cuántos puntos tenemos hasta el momento?
• Un partido se gana con esfuerzo y disciplina.
¿Qué enunciados son proposiciones lógicas?
Rpta. «Un partido se gana con esfuerzo y disciplina», porque esta afirmación puede ser verdadera
o falsa a diferencia de las anteriores que no lo son.
Verdadero
Nunca ambos
Ejemplo:
• ¡Hola!
• ¿Cómo estás?
Ejemplo:
• 2 + 2 = 4 (V)
• 7 < 5 (F)
• Lima es capital de Perú. (V)
Falso
No es P. L.
es un
enunciado que puede ser
• Preguntas
• Exclamaciones
• Expresiones
algebraicas
Escribe SÍ en caso la expresión sea una
proposición lógica o NO, en caso no lo sea.
a) 32 – 1 > 7
b) ¡Levántate de la silla!
c) ¿Qué hacemos aquí?
d) Aristóteles fue un filósofo.
Sí
Determina el valor de verdad de cada
proposición lógica.
a) p: La palabra Eureka significa
lo encontré.
v(p)= V
b) q: 333 es múltiplo de 6.
v(q)= F
Observa la imagen y subraya las
proposiciones cuyo valor de verdad sea
verdadero.
a) Hay siete niños en la imagen.
b) Un niño tiene polo verde.
c) Hay un libro morado.
d) Dos varones están juntos.
e) Una niña usa trenzas en el cabello.
No
No
Sí
v(p) se lee: valor de verdad de p.
1
2
3
Proposición
lógica
nueve
Relaciona
lo que sabes
Descubre
y construye

10
4
5
6
7
1
2
3
Nivel
Nivel
Nivel
Escribe el valor de verdad de cada
proposición lógica.
Dibuja lo que se indica.
a) Enero tiene 30 días.
b) 45 es múltiplo de 15.
c) El doble de 8 aumentado en 1
es 17.
d) Huancayo es la capital de Junín.
e) 1 es un número primo.
a) p: Hay una pera entre dos naranjas.
¿Cuántos enunciados de Joe son
proposiciones lógicas?
A
C
1
3
B
D
2
4
¡Tengo hambre!
¡Qué bello día!
¿Está lloviendo?
71 es un
número primo.
b) q: Hay una mariposa sobre la flor.
Pinta las alternativas que representan
proposiciones lógicas.
Determina el valor de verdad de cada
proposición lógica y elige la alternativa
que corresponde.
I. 99 × 45 – 132 = 4286
II. 101 × 36 + 98 × 32 = 6762
III. 51 × 48 – 52 × 4 = 2348
42 ÷ 2 + 32 × 5 < 60
199 + 215 – 114 = 300
2a – 5 × 4 > 168
63 ÷ 32 + 1 = 23
A
C
D
B
¿Cuál de las alternativas no es una
proposición lógica?
¿Aló? ¿Quién habla?
A
C
D
Los números pares son divisibles
por 3.
El pisco es un licor de procedencia
peruana.
B
El Amazonas es el río más caudaloso
del mundo.
Completa las proposiciones para que
coincidan con su valor de verdad.
a) 36 tiene divisores.
b) 225 es el cuadrado perfecto de
.
c) 242 =
d) 1824 es múltiplo de .
F
V
F
V
A
C
VVV
VFV
B
D
VFF
FVF
diez
Practica
lo aprendido

Proposiciones lógicas compuestas
Responde.
a) Cada oración, ¿expresa una sola idea o varias a la vez?
b) ¿Qué palabras se han usado para enlazar las ideas?
Proposición compuesta
p q p ∧ q
V V V
V F F
F V F
F F F
está formada por dos o más
proposiciones simples.
Disyunción
Une dos
proposiciones
con el conectivo
∨ que significa o.
Conjunción
Une dos
proposiciones
con el conectivo
∧ que significa y.
Condicional
Une dos proposiciones
con el conectivo
que significa si p
entonces q.
Negación
Se aplica para
negar una
proposición.
Se representa
con el símbolo ~
que significa no.
p ~p
V F
F V
p q p ∨ q
V V V
V F V
F V V
F F F
Bicondicional
Une dos proposiciones
con el conectivo ↔
que significa p si y
solo si q.
p q p q
V V V
V F F
F V V
F F V
once
Las ofertas
Muchas veces nos dejamos envolver por ofertas y anuncios que nos llevan a realizar compras
innecesarias. Observa algunos anuncios de una tienda.
Pague 2
y lleve 3.
Conectivos lógicos
p q p ↔ q
V V V
V F F
F V F
F F V
Relaciona
lo que sabes
Descubre
y construye

12
1
2
3
1
2
Escribe a qué tipo de proposición lógica
corresponde.
a) Si hoy es martes, entonces mañana
será miércoles.
Rpta. Condicional
b) 2 es divisor de 480 y 3 es divisor de 540.
Rpta. Conjunción
c) Sale el Sol si y solo si es verano.
Rpta. Bicondicional
d) Juana tiene S/ 20 o Pedro tiene el
doble.
Rpta. Disyunción
e) No es verdad que la rata es un
mamífero.
Rpta. Negación
d) Marte es un planeta o pertenece al
Sistema Solar. Rpta.
c) 36 es el triple de 12 si y solo si 3 por 12
es 36. Rpta.
Escribe S si es una proposición simple o
C si es compuesta.
Expresa simbólicamente cada proposición.
a) Brasil y Argentina son países
sudamericanos. Rpta.
b) Si este mes es abril entonces el próximo
mes es mayo. Rpta.
a) El oso es un plantígrado.
b) Si apruebo mis exámenes
entonces iré de campamento.
c) Los animales o las plantas son
seres vivientes.
d) José de San Martín fue un militar
y libertó al Perú.
Halla el valor de verdad de cada
proposición lógica compuesta.
p → q Valor de verdad
V → F F
p ↔ q Valor de verdad
V ↔ V V
p ∨ q Valor de verdad
V ∨ F V
p ∧ q Valor de verdad
F ∧ F F
a) Grau fue escritor y Bolognesi, español.
p q
b) El cubo de 8 es 512 o la raíz cuadrada de 512 es 8.
p q
c) 45 es el triple de 15 si y solo si 15 × 3 = 45.
p q
d) Si 5 + 5 = 10 , entonces 2 × 5 = 12.
p q
Desarrolla las tablas de verdad.
a) (∼p q) ∧ (p q)
p q (∼p q) ∧ (p q)
V V
V F
F V
F F
Nivel
b) ∼ (p ∨ q) (∼q ∧ p)
p q ∼ (p ∨ q) (∼ q ∧ p)
V V
V F
F V
F F
doce
Practica
lo aprendido

Nivel Nivel
4
6
7
a) (q ∧ r) → s
c) (t ∨ s) ∧ ~ (q ∨ u)
Dados:
q : El doble de 12 es 26.
r : 123 es un número primo.
s : 402 es un número compuesto.
t : 25 tiene 3 divisores.
u : El producto de 7 por 6 es par.
Halla el valor de verdad de las
proposiciones compuestas.
Si v(p) = V; v(r) = F; v(u) = F, calcula el
valor de {(p ∧ r) ∨ (r ∧ u)} (r ∨ p).
Si v(p) = F; v(u) = F; v(b) = V, determina
el valor de (p ∧ b) (b ∨ u).
Si v(q) = V; v(k) = V; v(j) = F, halla el valor
de (q ∧ k) (j ∨ ∼k).
b) ~(t ∨ r) → q
La negación de «Arequipa es
denominada la ciudad blanca» es:
Arequipa es denominada la ciudad
celeste.
Arequipa no es una ciudad.
Arequipa no es denominada la
ciudad blanca.
La ciudad blanca no es Arequipa.
A
C
D
B
La representación simbólica de:
«Si Arequipa queda en Perú entonces los
arequipeños no son peruanos» es:
5
8
9
trece
A
A
A
A
C
C
C
C
B
B
B
B
D
D
D
D
p ∨ ∼q
V
V
V
(p ∧ q) ∨ ∼p
V o F
V o F
V o F
p → ∼q
F
F
F
r → ∼s
No se sabe
No se sabe
No se sabe

14
Responde.
a) ¿Qué tipo de números se observan en los carteles informativos?
b) ¿En qué otras situaciones se usan los números enteros?
Números enteros
Carlos y Emilia investigaron el cambio de los estados del agua. Observaron el comportamiento de
sus moléculas en cada estado.
Estado sólido
Sus moléculas están
unidas fuertemente.
Temperatura: –13 °C
Estado gaseoso
Sus moléculas se
mueven con rapidez.
Temperatura: +100 °C
Estado líquido
Sus moléculas están
unidas ligeramente.
Temperatura: +10 °C
catorce
1 Observa cómo se representan simbólicamente las siguientes expresiones.
a)
La temperatura subió de 28 °C a 30 °C: +2 El cangrejo retrocedió 5 cm: –5
c)
El avión descendió bruscamente de 9000 m
a 5000 m: –4000 Lupe gastó S/ 45: –45
b)
d)
Relaciona
lo que sabes
Enteros negativos
Enteros positivos
Cero
-
está formado
por
Representación gráfica:
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
- +
El conjunto de
los números
enteros ( )
El cero no es entero
positivo ni negativo
cero
Descubre
y construye

Luisa bucea a 4 metros bajo el nivel
del mar. Si desciende 3 metros más, ¿a
qué distancia bajo el nivel del mar se
encontrará?
Resolución:
Resolución:
La temperatura en Cusco el día de ayer
fue 3 °C bajo cero. Si hoy la temperatura
es 5 °C. ¿Cuántos grados aumentó?
–2
–3
–4
–5
–6
–7 –1 0 1 2 3
Rpta. Se encontrará a 7 metros bajo el
nivel del mar.
Rpta. Aumentó 8 °C.
+1
0
–1
–2
–3
–4 +2 +3 +4 +5
Aumentó
Distancia total
2
3
3
1
2
Nivel
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Determina el valor de verdad de los
enunciados.
Lee y escribe el número entero que
representa cada situación.
a) 2
b) –3
c) –7
d) 0
( )
( )
( )
( )
a) Puno tiene previsto hoy una
temperatura mínima de 5 grados
bajo cero.
b) El termómetro del niño marcó
38 grados.
c) Estamos buceando a 3 metros bajo
el nivel del mar.
¿En qué ciudad se registró más frío?
Pinta el cartel que contiene el número
que representa a la expresión.
Rpta.
a) Teresa sube al tercer piso.
b) Sergio se encuentra en Argentina a
5 °C bajo cero.
+3
+5
+4
–4
–3
–5
CUSCO
PUNO
–5 °C
–4 °C
AREQUIPA
AYACUCHO
+1 °C
–3 °C
4
quince
Practica
lo aprendido

16
5
7
8
9
Nivel
Rpta.
Ejemplo:
Peces de colores: –5 m
Pelícano: +5 m
Maicol perdió S/ 3.
Katy debe S/ 3.
–3
+3
Nilda está en el 3.er piso.
a) –2 ∈
b) 8 ∈
c) IN ⊂
d) (4 – 2) ∈
e) –8 ∈ IN
a) Tiburón:
b) Caballito de mar:
c) Barco:
d) Faro:
m
10
25
20
15
10
5
0
5
Escribe V si la expresión es verdadera o
F si es falsa.
Observa la temperatura de cada
ciudad y escribe las ciudades
ordenándolas desde la más fría a la
más cálida.
Observa la imagen y escribe la altura
correspondiente.
Relaciona la expresión con el número
entero que la representa.
( )
( )
( )
( )
( )
6
–6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4
AREQUIPA
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
LAMBAYEQUE
22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32
IQUITOS
Relaciona las expresiones con el número
que corresponde.
dieciséis
Juan vive en el 3.er piso. +2
Luz está en el 1.er sótano. +1
Luis vive en el 2.° piso. +3
Ana vive en el 1.er piso. –2
José está en el 2.° sótano. –1

Con ayuda de la recta numérica,
resuelve.
Nivel
a) Si en un edificio de 7 pisos y 2 sótanos,
Gloria sube al cuarto piso y luego baja
seis pisos; ¿en qué lugar del edificio se
encuentra?
b) La temperatura en la mañana fue de
4 ºC. Si por la noche la temperatura
desciende 5 grados, ¿a qué temperatura
se encuentra?
c) Un buceador se halla a 3 m bajo el
nivel del mar. Si desciende 6 metros
más, ¿a qué distancia bajo el nivel
del mar se halla?
Rpta.
–3 –2 –1 0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7
–5 –4 –3 –2 –1 0 +1 +2 +3 +4 +5
Rpta.
–10 –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 +1
Rpta.
Ubica en la recta numérica los siguientes
números.
+2; –1; +5; –4; –3
0
Ordena las temperaturas del mapa en
la recta numérica.
Escribe el valor de cada número que
está representado por una letra en la
recta.
0
A = B =
C =
E =
D =
F =
D E F
A B C
+1
11
13
14
Lee y ubica en la recta numérica
los números que representan las
expresiones.
a) Cusco registró 2 grados bajo cero
como su temperatura mínima.
b) En Puno la temperatura de hoy es
6 grados centígrados.
c) En Huancavelica la temperatura el
día de hoy fue un grado centígrado
bajo cero.
d) Abancay registró 3 °C como
temperatura mínima.
0
12
diecisiete
10

18
Valor absoluto de números enteros
Sandra representó en una recta numérica la información sobre las temperaturas de algunas
ciudades del mundo.
es la
Moscú
distancia que separa al número x
del cero en la recta numérica.
Se representa:
x
Si el número es positivo: +4 = +4
Si el número es negativo: –4 = +4
Si el número es cero: 0 = 0
Temperatura: –30 °C Temperatura: +30 °C
–30 +5
–15 +20
–25 +10
–10 +25
–20 +15
–5 +30
0
Responde.
a) ¿Qué distancia en unidades hay de cero a –30?
b) ¿Qué distancia en unidades hay de cero a +30?
c) Si las distancias son iguales, ¿cuál es la diferencia entre las dos temperaturas?
-5 -2 3
-4 1
-1 4
-3 2
0
Representación
gráfica
Halla el valor absoluto de cada número.
Resuelve.
a) –17 = +17
c) –26 = +26
a) –13 + –21 – –30 = 13 + 21 – 30 = 4
b) 2 –15 –3 –6 = 2(15) – 3(6) = 12
b) +25 = +25
d) –39 = +39
Lee y completa.
Los números opuestos son aquellos
que tienen el mismo valor absoluto
pero diferente signo.
a) –(+2) = –2 Se lee: El opuesto de +2 es –2.
b) –(–7) = +7 Se lee: El opuesto de –7 es +7.
c) –(–5) = +5 Se lee: El opuesto de –5 es +5.
1 2
3
Brasil
Valor absoluto
de números
enteros
dieciocho
Relaciona
lo que sabes
Descubre
y construye

Observa la imagen y pinta el círculo
del gráfico que corresponde al número
opuesto de la temperatura indicada y
que guarde relación con la temperatura.
1
3
2
4
Nivel
Nivel
Nivel
A
C
B
D
A
A
C
C
B
B
D
D
15
150
39
–313
–78
–190
–14
108
A
A
C
C
B
B
D
D
+12 × –3 – +9
+7 × –3 – +8
+8 × –3 – +5
+5 × –6 – +15
+10 × –2 – +7
–17 × –2 – +12
+8 × –4 – +9
+19 × –2 – 9
A = +12 × –4 + +2 – –1
B = +6 × –5 + +2 – +3
–15°
+15°
+15°
–15°
+(–15°)
Encuentra el opuesto de B + A.
¿De qué operación es –15 su número
opuesto?
¿De qué operación es –23 su número
opuesto?
Si A = +12 ÷ –3 + –9 y
B = –75 ÷ –3 × + 12 , calcula el opuesto
de A + B.
5
6
diecinueve
A
C
B
D
–5
+7
–7
+5
Halla el opuesto de B = –(2 × 6 – 5).
Practica
lo aprendido

20
Comparación de números enteros
Fiorela viajó a Puno y al observar la temperatura del ambiente durante un día notó que iba
cambiando. Luego, lo registró en esta tabla.
Responde.
a) ¿A qué hora se registró más frío? ¿A qué hora, la temperatura es la más cálida?
b) Ordena las temperaturas desde la más fría hasta la más cálida.
1:00 a.m. –20 °C
5:00 a.m. –5 °C
8:00 a.m. +10 °C
12:00m. +22 °C
4:00 p.m. +16 °C
8:00 p.m. + 8 °C
b) Ordenando las temperaturas de menor a mayor, se tiene:
–20 < –5 < +8 < +10 < +16 < +22
a) La temperatura más fría es la que se encuentra más alejada del cero hacia la izquierda,
es decir: –20 °C.
La temperatura más cálida es la mayor, es decir, la que se encuentra
más alejada del cero a la derecha.
Rpta. La temperatura más fría fue a la 1:00 a.m. y la temperatura más
cálida a las 12:00 m.
La situación anterior se puede solucionar ubicando las temperaturas en la recta numérica.
+16 +22
+8
-5
-20 +10
0
veinte
Relaciona
lo que sabes
Cualquier positivo es mayor que cualquier negativo.
Cualquier negativo es menor que cero.
Entre dos negativos, es mayor el que está más
cercano al cero en la recta numérica.
+2 > –4
–3 < 0
–2 > –3
Comparación de
números enteros
Ejemplos:
Descubre
y construye

Pinta el helicóptero que acompaña al
número entero mayor que – –2 .
a) –17; –45; +18; +21; –9
Rpta.
b) –11; 0; +13; –17; +16
Rpta.
c) –33; –51; –67; –24; 0
Rpta.
5
6
7
1
2
Nivel
a) –15 –52
b) –8 –65
c) +9 –4
d) +75 –100
e) –7 +6
f) 0 –5
Encierra en un el número mayor, en
cada caso.
Escribeelsigno>,<o=segúncorresponde.
a)
b)
c)
d)
–6 +4
–4 0
+2 +6
–5 –2
a) –17 > –18
b) –15 = –15
c) 0 > –1
d) –20 > –23
Escribe el número antecesor (A) y sucesor
(S) de cada número entero.
Escribe V si la expresión es verdadera o
F si es falsa.
A Número S
–13
+124
–36
+74
–102
–5
+1
–1
Ordena en forma ascendente.
Marca con una X el número mayor y
encierra el número menor de cada
grupo.
a) –415 ; –213 ; –420 ; –248
b) –123 ; –231 ; –132 ; –312
c) –378 ; –376 ; –379 ; –377
3
4
veintiuno
Practica
lo aprendido

22
Escribe los números comprendidos entre
los números enteros dados.
11
8
Nivel
Lee y ordena en forma creciente las
fechas en las que aparecieron los
números.
Babilonios (2100 a. C)
Egipcios (2000 a. C)
(Griegos 600 a. C)
India (900 a. C)
0
Ordena los números de los globos en
forma decreciente.
Resolución:
–1 +1 –3 +4 –2
Escribe los números en forma
descendente.
–52
–18
–28
–36 –14
–7
Rpta.
Ordena los números en forma
decreciente, escribe la sílaba que
corresponde y descubre la palabra.
Resuelve y ordena los resultados en
forma ascendente.
Rpta.
a) –5
b) –3
c) –8 –16
d) –7 – 7
d) – –2
e) + +2
f) – (–3)
g) +( – 5 )
ZAR GA
OR
; ; ;
NI
–2 0
2 –1
a) –3; ____; ____; ____; ____; ____; +3
b) –4; ____; ____; ____; ____; ____; +2
c) –8; ____; ____; ____; ____; ____; –2
d) –1; ____; ____; ____; ____; ____; +5
Compara.
e) –36 –45
f) +13 |–12|
g) –102 –320
h) |–76| +78
a) –15 –3
b) +25 +89
c) –43 –26
d) +24 –78
9
10
12
13
14
veintidós

A B
25 24
Determina el valor de verdad de las
proposiciones.
19
15
Nivel
A
C
B
D
+5 < –14
–98 > +8
+53 > – 96
–89 > 32
|+7| × |–4| > |+10| × |–2|
|+4| × |–6| < |+5| × |–6|
|+7| × |–3| < |+15| × |–3|
|+7| × |–4| > |+16| × |–3|
+6 × –7 > +11 × –4
+4 × –5 < +10 × +2
+7 × +5 > +6 × –4
+3 × –2 < +2 × –3
B
C
D
A
B
C
D
A
¿Qué expresión es correcta?
Halla la relación correcta.
Indica la relación incorrecta.
Calcula +
C D
23 20
a) Si A = +1 y B = –4 A > B.
b) Si J = +8 y H = –9 H < J.
c) Si Q = –1 y P = – –2 Q > P.
d) Si A = – +3 × –10 A > 10.
x + 15; para x ≥ 3
Si =
5 ; para x < 3
.
( )
( )
( )
( )
–1 3
x
Ordena los resultados en forma
descendente.
Rpta.
a) –2
c) –3
e) – –4
g) – –1
b) – –6
d) + –4
f) – +10
h) – ( – –5 )
Clasifica las expresiones en verdaderas
o falsas. Usa las imágenes de la página
de adhesivos.
16
17
18
20
21
veintitrés
Expresiones verdaderas
Expresiones falsas

24
Adición y sustracción de números enteros
¿Por qué vuelan los aviones?
El avión vuela gracias al flujo de aire que pasa por las alas.
Por lo que se puede deducir que, para que un avión vuele, se
necesita un flujo de aire o dicho de manera más precisa, una
velocidad respecto al aire. Cuando el aire fluye a través de sus
alas se genera una fuerza hacia arriba, llamada sustentación,
que si es suficiente compensa al peso del avión.
Resuelve.
Un piloto realiza sus prácticas, para ello inicia su vuelo a
Para resolver la situación inicial, representamos lo que sube con (+) y lo que baja con (–).
Así tenemos:
+3000 + 500 + (–320) + 420
(+3000 + 500 + 420) – 320 = 3600
1
Rpta. El piloto vuela a 3600 metros.
Para resolver operaciones con
números enteros se puede agrupar
los números con signo positivo.
Observa cómo resolver adiciones en la
recta numérica.
Si un topo estaba a un metro bajo el nivel
de la superficie y desciende 3 metros, ¿a
cuántos metros se encuentra ahora?
(–1) + (–3) = –4
Rpta. Se encuentra a 4 metros por debajo
de la superficie.
a) (–3) + (–6) = –9
–11 –10 –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0
b) (–7) + (–3) = –10
–11 –10 –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0
Resolución:
0
–1 1 2 3 4 5 6
–2
–3
–4
–5
–6
2 3
veinticuatro
3000 metros sobre el nivel del mar, luego sube 500 m y después baja 320 m para finalmente subir
420 metros para mantenerse volando a esa altura. ¿A qué altura vuela el piloto?
Relaciona
lo que sabes
Ejemplos:
a) –7 – 9 = –16
b) +11 + 13 = +24
c) –25 – 19 = –44
Ejemplos:
a) –16 + 13 = –3
b) –9 + 27 = +18
c) –25 +19 = –6
Adición y
sustracción
de números
enteros ( )
Si los sumandos tienen un mismo signo,
se suman sus valores absolutos y se
coloca el signo común delante del
resultado.
Adición
Sustracción
Si las cantidades tienen signos
diferentes, se restan los valores y se
coloca el signo del número que tiene
mayor valor absoluto.
Descubre
y construye

4
1
Nivel
Efectúa.
Efectúa las adiciones con la ayuda de la
recta numérica.
Adriano hizo 3 goles
en el primer partido
de fútbol y 2 goles
en el segundo
partido. ¿Cuántos
goles hizo el equipo
de Adriano hasta
ahora?
a) (+2) + (+5) =
b) (–5) + (–12) =
c) (+3) + (+4) =
d) (–8) + (–8) =
e) (–6) + (–3) =
a) (–6) + (+10) =
b) (–5) + (–7) =
c) (1) + (–7) =
d) (–13) + 8 =
e) (–4) + (+12) =
a) (+3) + (+6) =
b) (+2) + (+8) =
c) (+4) + (+3) + (+2) =
–1
–1
–1
0
0
0
+6
+6
+6
+7
+7
+7
+8
+8
+8
+1
+1
+1
+2
+2
+2
+3
+3
+3
+4
+4
+4
+5
+5
+5
+9
+9
+9
+10
+10
Rpta.
–1 0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 +8 +9
(+3) + (+2) =
Calcula.
Resuelve las adiciones con la ayuda de
la recta numérica.
En un edificio de 8
pisos y 3 sótanos, Diana
sube 6 pisos y luego
desciende 7 pisos. ¿En
qué piso se encuentra
Diana?
a) (–4) + (+3) =
b) (+5) + (–9) =
c) (–3) + (+7) =
–5 –4 –3 –2 –1 0 +1 +2 +3 +4 +5
–5 –4 –3 –2 –1 0 +1 +2 +3 +4 +5
–5 –4 –3 –2 –1 0 +1 +2 +3 +4 +5
Rpta.
–3 –2 –1 0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 +8 +9
2
3
5
6
veinticinco
Practica
lo aprendido

26
Pinta del mismo color las figuras que
contienen expresiones equivalentes.
Encuentra el valor que falta.
¿Qué operación es correcta? Pinta el
círculo de la alternativa que corresponde
a la respuesta.
Si a ∆ b = a + b, completa.
Observa el ejemplo:
–3 ∆ –2 = (–3) + (–2) = –5
En un juego de taps Rolando perdió
5 taps y luego ganó 9 taps. ¿Cuántos
taps perdió o ganó Rolando en total?
Dana perdió 1 calcomanía el día lunes y
5 calcomanías el día martes. ¿Cuántas
calcomanías perdió Dana en total?
Relaciona con una línea cada operación
y su resultado.
11
7
Nivel
Rpta.
Rpta.
Resolución:
–6 –5 –4 –3 –2 –1 0 +1 +2 +3 +4
Resolución:
–8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 +1 +2
Efectúa y completa.
a) (–8) + (+6) + (–6)
( ) + ( )
( )
–2 –6
b) (+1) + (–5) + (–3)
( ) + ( )
( )
A
C
B
D
(–2) + (–4) + (–5) = + 11
(–5) + (–8) + (–9) = – 21
(+8) + (+2) + (+10) = – 20
(–4) + (+6) + (+7) = +9
∆ –2 –9 +5 +7
–3 –5
–4
–8
–9
–5
(+9)+(–8)
(–5) + (–5)
+1
(+4)+(–9)
–10
–13
–5
–8
–7
+5
–12
+10
+1
–7
–5
+7
–2
(–4) + (+11)
(+2) + (–9)
(–5) + (+3)
(–13) + (+8)
8
9
10
12
13
14
veintiséis

Halla el valor del término que falta.
Julia perdió 17 figuras y después ganó
20figuras.¿Cuántasfigurasganóoperdió?
Un submarino se
encuentra a 210 m
bajo el nivel del mar.
Debido a las fuertes
corrientes tiene que
descender 75 m. ¿A
Si P = (+8) + (–4) + (–5) + (+6), ¿cuál es el
valor de P?
Determina el valor de verdad de las
proposiciones.
Halla el valor de x.
Si a @ b = a + b, calcula el valor de
[(–2) @ (+15)] @ [(–12) @ (+4)].
¿Qué expresión es falsa?
18
15
Nivel
+11 –16
–5
+9 –24
–15
–7 +26
a)
b)
A
A
C
C
B
B
D
D
10
14
13
19
12
15
14
22
–4 +12
–21
–9 +7
–8
–5 –5
A
A
C
C
B
B
D
D
ganó 4
–201 m
ganó 3
–274 m
perdió 3
–205 m
perdió 2
–285 m
a) (–24) + (+99) + (–20) = –143
b) (–30) + (–99) + (–15) = –145
c) (–98) + (–74) + (–26) = –198
d) (–48) + (–99) + (–52) = –199
A
C
B
D
+7
+3
+5
–5
( )
( )
( )
( )
–5 (–16) +11
–4 (+6) –10
–3 ( x ) –16
A
C
B
D
–1
13
11
20
(+15) + (–32) + (–25) = –42
(–32) + (–17) + (+14) = –35
(–20) + (–12) + (+24) = –8
(–32) + (+17) + (–31) = –47
A
C
B
D
5
7
6
8
A
C
B
D
qué profundidad se encuentra el
submarino?
16
17
19
20
21
22
veintisiete

28
Multiplicación y división de números enteros
Jaime decide invertir en la bolsa de
valores, adquiriendo acciones: 7 en
minería y 12 en construcción.
El día de hoy, él analiza el comportamiento
de la bolsa y observa que en minería se ha
ganado $ 452 por cada acción mientras
que en el sector construcción, las cosas
no han ido tan bien, perdiendo $ 178 por
cada uno. ¿Jaime ganó o perdió?
Ganancias
n.° de acciones en minería: 7; costo: $ 452 c/u
Pérdidas
n.° de acciones en construcción: 12; costo: $ 178 c/u
Ganó o perdió: ?
COMPRENDER EL PROBLEMA
1
1
2
3
4
Efectúa. Halla el cociente.
a) (+14) × (+7) = +98
b) (–7) × (–4) = +28
a) (–95) ÷ (–5) = +19
b) (–52) ÷ (+13) = –4
a) –72 ÷ –8 = +9
b) –108 ÷ +9 = –12
Escribe el número como producto de
tres factores enteros.
a) –144 = –12 × –3 × –4
b) +180 = –6 × +5 × –6
Completa con el número entero que
falta.
Podemos realizar una multiplicación
de números enteros y luego sumar
ambas cantidades.
7(+452) + 12(–178) = +1028
Rpta. Ganó $ 1028
FASES PARA RESOLVER UN PROBLEMA
DISEÑAR UNA ESTRATEGIA 2
EJECUTAR LA ESTRATEGIA
3
veintiocho
REFLEXIONAR SOBRE LO REALIZADO 4
Explica cómo encontraste la respuesta y de
qué otra manera puedes solucionarlo.
Se multiplican o dividen
sus valores absolutos.
Si los números tienen
signos iguales, el
resultado es positivo.
Si los números presentan
signos diferentes, el
producto es negativo.
de acuerdo a eso
Multiplicación y división
de números enteros
• (+) × (+)= +
• (–) × (–) = +
• (+) ÷ (+)= +
• (–) ÷ (–) = +
• (+) × (–) = –
• (–) × (+) = –
• (+) ÷ (–) = –
• (–) ÷ (+) = –
Ley de signos
Multiplicación
División
Relaciona
lo que sabes
Descubre
y construye

Resuelve las operaciones y descubrirás
a qué profundidad se encuentra cada
submarino.
3
1
m
m
m
32 ÷ 4 +28 ÷ –7 192 ÷ –6
36 ÷ –4 54 × –2 –25 × –1
–150 ÷ –6 +16 ÷ +2 –36 × 3
+81 ÷ –9 –16 × +2 –20 ÷ +5
a)
b)
–8; +16; ; +64; –128;
–15 –3
5
–20 +4
–5
–32 –4
x
–6
–30 +5
7
–28 –4
y
–36 –9
Pinta de igual color los recuadros que
contienen el mismo resultado.
Halla el valor que falta en cada caso.
Calcula la suma de los términos que
faltan en la secuencia.
Rpta.
Pinta solo expresiones verdaderas.
a) (–a) × (+b) = +ab
b) (–5) × (+12) = –60
c) (–4) × (+7) = +28
d) (–6) × (–9) = +54
Nivel
(–45) ÷ (+5)
(–12) × (+2)
(–60) ÷ (+2)
2 Completa la tabla.
Número Doble Triple
–7
–13
+9
–8
+15
4
5
6
veintinueve
Practica
lo aprendido

30
Efectúa y busca las respuestas en el
dibujo; luego, pinta según el código de
colores.
10
7
Nivel
a)
b)
a) –(–8) ÷ (–4) = –2
b) (–15)(+4) ÷ (–2) = +30
c) [(+20) ÷ (–4)](–5) = –25
d) (–3)(–6) ÷ (–2) = –6
–5 –10 –20 –40
–2 –6 –18 –54
a) (–1575) ÷ (+25) + (–480) ÷ (+15)
b) (+900) ÷ (–36) + (–1323) ÷ (+63)
c) (–3136) ÷ (–98) – (–1440) ÷ (+45)
d) (–504) ÷ (+14) – (–987) ÷ (+47)
e) (–832) ÷ (–32) – (–625) ÷ (+25)
–46
–95
–15
26
50 63
36
64
14
26
51
20
11
Escribe el número que sigue en cada
secuencia.
Halla el valor de verdad de cada
proposición.
Pinta los recuadros que contienen la
respuesta de cada operación.
( )
( )
( )
( )
Completa.
a) (–8)(+4)(–2)
b) (–1)(+1)(–2)
a) (–4) ÷ (–2)(–3)
b) (–5)(+3)(–1)
a) (–16)(+2) ÷ (–1)
b) (–8) ÷ (+4)(–3)
a) (–2)(+5)(–1)
b) (+4) ÷ (–2)(+1)
m n p 4m n × p 4m + n × p
+3 –5 +2
–12 +2 +6
–4 +3 –5
+2
+64
+10
+32
–6
+6
–2
+15
8
9
11
treinta

Encuentra el valor de A + B.
A = (–5)(–4)(–2) ÷ (–1)
B = (–10) ÷ (–2)(4)
Si a = –4a, calcula el valor de –2 .
Observa la distribución gráfica y halla el
valor de x.
Si x = 2x2 ; y = –4y, determina el
valor de –5 + –1 .
16
12
Nivel
¿Qué expresión es correcta?
Reduce la operación.
(–4)(+1) ÷ (–2)+(–2)(–5)
¿Qué relación es correcta?
A
A
A
B
B
B
C
C
C
D
D
D
(–4)(–5) ÷ 2 = –10
(–10) ÷ (–2)(–1) = –5
(–10)(–1) ÷ (+5) –3
(+5)(–6) ÷ 3 = +10
(–4) ÷ (+4)(–3) = –3
(–4)(–2)(–1) 3
(–8)(–2) ÷ 4 = –4
(–12) ÷ (–6)(+2) = +4
(–5)(–6) ÷ (+3) 1
(–10)(–1) ÷ 5 = +2
(–24) ÷ (+6)(–1) = +4
(–12) ÷ (–4)(–1) 2
A B
C D
–32 –38
–42 –44
8
50
10
62
C
C
D
D
A
A
B
B
9
60
12
64
13
14
15
A
C
–8
+6
B
D
–6
+8
–2 +3
–5
+30
+2 –3
–1
+6
–2 +1
–4
x
17
18
19
treinta y uno
A
C
B
D
+50
+54
+52
+55

32
¡Autoevalúate!
2
3
1 4
5
6
¿Cuánto es el opuesto de –5 + 6 × –4?
¿Qué alternativa contiene el orden
decreciente de los siguientes valores?
Determina el valor de m en la analogía.
Si P = +15 – 650 y R = –73 – (–78), halla
el valor de P ÷ R.
Resta –32 de + 45.
Calcula el valor de A.
A = (–5)(–6) + (–3) ÷ (–1) – (–8)
+10
–29
+29
–12
A
C
B
D
E = –|+6| + |+7|, F = |–2| – |+5| + 1,
G = –8 – (–5), H = |–6| + 9 – 12
G, F, E, H
H, E, G, F
A
C
E, F, G, H
H, E, F, G
B
D
–36
16
–13
–94
A
C
B
D
+28
–7
–4
–56
+8
–7
m
–4
+9
–132
–127
–425
+19
A
C
B
D
13
77
–54
–86
A
C
B
D
51
43
48
41
B
D
treinta y dos
A
C
Pinta el círculo de la alternativa que corresponde a la respuesta.

33
¡Autoevalúate!
8
7 9
10
respuestas.
Coevaluación
1. ¿Cómo aprendí la noción de los números enteros?
2. ¿Qué operación con números enteros me pareció más sencilla de realizar?
3. ¿Comprendí la ley de signos en todas las operaciones?
Metacognición
¿Cuál es la operación combinada que
tiene el resultado correcto?
B
C
D
A (–7) + (+1) – (–8) – (+2) = +2
(–3) + (–4) – (+5) – (–1) = –10
(+9) – (+5) – (+6) – (–2) = +1
(–8) + (–6) + (–4) – (+3) = –21
B = (–5)(+6)(–1)(–1)
C = (–3)(+4)(–2)(–1)
Determina el valor de B + C.
Halla el valor de x.
A
C
B
D
–54
–50
–52
–48
9 +6 +4
–2 –5 +3
–3 –1 –3
54 30 x
Claves:
1.
B
2.
D
3.
A
4.
C
5.
C
6.
D
7.
B
8.
D
9.
A
10.
A
treinta y tres
Encuentra el valor de A + B.
A = (–5)(–4)(–2) ÷ (–1)
B = (–10) ÷ (–2)(4)
50
62
C D
A B 60
64
A
C
–36
–43
B
D
–40
–50

2
Desempeños
• Identifica las condiciones y propiedades de la potenciación y radicación.
• Expresa su comprensión de los términos algebraicos y sus elementos.
• Realiza afirmaciones a partir de sus experiencias concretas, sobre expresiones algebraicas y sus
operaciones.
Conocemos las
leyendo un recibo de luz
EXPRESIONES ALGEBRAICAS
treinta y cuatro
34

35
Cuando hacemos la lectura de un recibo de
luz, en primer lugar debemos de comparar la
lectura anterior con la lectura actual, es decir,
la «lectura actual» la cual corresponde al mes
facturado.
Observa que en este caso la lectura es de 59,40
kilowatts (kw).
Con esta información, se procede a multiplicar
el precio unitario de cada kw (S/ 0,2554) por el
número de kw consumidos en ese mes (59,40 kw),
lo cual nos da el importe que se deberá pagar.
En este caso: S/ 15,17.
En este caso, la expresión algebraica que nos
ha permitido hallar el importe es:
x = n × p
Donde
x: Importe a pagar
n: n.° de kw consumidos en el mes
p: precio de cada kw
Como verás, muchas situaciones de la vida
se pueden representar mediante expresiones
algebraicas.
¿Qué es una expresión algebraica?
Es una agrupación de números y variables
relacionados entre sí por operaciones
aritméticas.
Lectura de potencial eléctrico
treinta y cinco
DETALLE DEL CONSUMO
Lectura actual 21580 (09/05/17)
Lectura anterior 21521 (08/03/17)
Diferencia lecturas 59,40
Descripción Precio Unit. Importe
Cargo Fijo 2,37
Mant. y Reposición de conexión 1,02
Consumo de Energía 0,2554 15,17
¿Qué otras situaciones se pueden representar
a través de una expresión algebraica?
Responde.

36
Alicia, la niña alfarera
Mi tía Beatriz es una gran cocinera. Todos la queremos mucho y le decimos tía Bea. Lo que más
le gusta es narrar los cuentos que ella misma inventa. Se le ocurren durante el día, mientras
cocina. Cuando crea una historia, nos reúne a todos los sobrinos y mientras tomamos la sopa la
escuchamos. Una tarde, tía Bea dijo que miremos el plato de barro, porque el cuento de ese día
estaba relacionado precisamente con el plato y hablaba del derecho a la libertad.
En una tierra muy lejana —comenzó tía Bea— vivía un malvado rey que mandó a su ejército
a invadir los reinos vecinos. La misión de ese ejército era secuestrar a todos los niños para
conducirlos a su reino, el cual estaba más allá del desierto. Allí, los chicos eran obligados a
trabajar como esclavos en los talleres. Lejos de sus familias, muchos de ellos morían de tristeza o
por la fatiga y los malos tratos.
Entre los secuestrados se encontraba Alicia, una bella niña que había sido enviada a un taller
de alfarería. Allí, junto a otros niños, fabricaba tazas y platos; era una labor agotadora. Alicia
soñaba con regresar a su casa para estar con sus padres.
Un día escapó, aprovechando el descuido de los vigilantes. Durante varios días vagó por el
desierto. No sabía en qué dirección quedaba su casa. Caminó sin rumbo hasta que el calor y
la sed se volvieron insoportables. Cuando estaba a punto de morir, llegó a una choza en la que
vivía una anciana. Ella le dio de beber menos de un vasito de agua. Le dijo que no podía darle
más, pues en el desierto el agua vale más que el oro. Alicia le contó a la anciana lo que le había
ocurrido y le preguntó si sabía el camino hacia su casa. Ella respondió que sí y que se lo diría si
Alicia le hacía un plato para que tome su sopa porque el que tenía se había roto. Alicia
aceptó y tomó un puñado de arena para hacer el plato. Sin embargo, la arena
del desierto es muy seca y no podía trabajarla, así que le pidió a la anciana
un poco de agua. Esta le repitió que en los desiertos el agua vale más
que el oro. ¿Qué podía hacer? Sin agua era imposible modelar la
tierra. Alicia pensó que nunca lograría regresar a su hogar.
Su tristeza era tanta que lloró durante horas hasta que las
lágrimas que había derramado se mezclaron con la arena
y formaron un lodo arcilloso.
Con él pudo modelar un plato que luego
puso a cocer bajo los rayos del sol, se
lo dio a la anciana y esta cumplió
su promesa de indicarle dónde
estaba su casa.
Al concluir el cuento, la
tía Bea probó la última
cucharada de su rica
sopa y dijo que el deseo
de libertad es capaz de
vencer los obstáculos.
Actividades.
1. ¿Crees que algo así puede ocurrir en la realidad?
2. Si el deseo de libertad (d) equivale a una piedra de
oro (p) más un vaso de agua (v), ¿es correcta esta
expresión?, ¿por qué?
treinta y seis
36
d = p + v
Enfoque de derechos
Conciencia de derechos
Valores

Potenciación y radicación de números
Mariana dobla esta pieza de cartulina varias veces. Y observa lo que
ocurre.
Responde.
¿En cuántas partes queda dividida la figura después del 4.°, 5.° y 6.° doblez, respectivamente?
Resolución:
Observa que después de cada doblez, la figura queda dividida formando una potencia de 2.
Por lo tanto, lo registramos en una tabla.
Observa las propiedades de la potenciación y sus aplicaciones.
a) 85 ÷ 83 = 85 – 3 = 82
b) 32 × 32 × 3 = 32 + 2 +1 = 35 = 243
1
1.er doblez
Quedó dividida en 2
partes iguales.
partes iguales.
partes iguales.
2.° doblez 3.er doblez
n.° de doblez 1.° 2.° 3.° 4.° 5.° 6.°
n.° de partes iguales 21 = 2 22 = 4 23 = 8 24 = 16 25 = 32 26 = 64
treinta y siete
Exponente unitario
a) 21 = 2
b) (255 ÷ 5)1 = 511 = 51
Exponente nulo
a) 20 = 1
b) (5 × 3)0 = 1
Producto de potencias de bases iguales
am × an = am + n
Cociente de potencias de bases iguales
a1 = a
a0 = 1 ; a ≠ 0
am ÷ an = am – n
a) 22 × 23 = 22 + 3 = 25 = 32
Relaciona
lo que sabes
es
Términos
Exponente
24= 2 × 2 × 2 × 2 = 16
Base Potencia
Índice
125 = 5
Radicando Raíz
3
Potenciación
la forma abreviada de escribir
un producto formado por varios
factores iguales.
operación inversa
La radicación
su
Términos
es
Descubre
y construye

38
3
4
5
2 Estudia otras propiedades de la
potenciación.
n a × b = n a × n b
4 165 = (4 16)5 = 25
3 8 × 27 = 3 8 × 3 27 = 2 × 3 = 6
(4 9)2 = (4 92) = 4 81 = 3
5 243 × 32 = 5 243 × 5 32 = 3 × 2 = 6
n am = (n a)m
a)
a)
b)
b)
Raíz de un producto
P = 7 P8
64 = 3 642 = 42 = 16
n a ÷ b = n a ÷ n b
a) 625 ÷ 25 = 625 ÷ 25 = 25 ÷ 5 = 5
a)
a)
b)
b)
Raíz de un cociente
Raíz de una raíz
Exponente fraccionario
Observa las propiedades de la
radicación y sus aplicaciones.
n a = m × n a
m
a = am
m
n n
2
3
8
7
a) (3 × 4)2 = 32 × 42
b) (5 × 2)4 = 54 × 24
a) (22)3 = 22 × 3 = 26 = 64
b) (53)3 = 53 × 3 = 59
a) (9 ÷ 3)4 = 94 ÷ 34
b)
8
2
4
= 84 ÷ 24
Raíz de una potencia
M =
443 × 702
11 × 40 × 772
M =
(22 × 11)3 × (2 × 7 × 5)2
11 × (23 × 5) × (11 × 7)2
M = 26 × 113 × 22 × 72 × 52
11 × 23 × 5 × 112 × 72
M =
28 × 52 × 72 × 113
23 × 5 × 72 × 113
M = 25 × 51
M = 160
Halla el valor de M.
a) 64
3
= 64
6
= 2
b) 9 × 4 = 36 = 6
c) 144 ÷ 16 = 12 ÷ 4 = 3
d) 25 × 4 = 29
e) x
4
3
= x
12
Escribe V si la expresión es verdadera o F
si es falsa.
treinta y ocho
Potencia de un producto
Potencia de un cociente
Potencia de una potencia
(a × b)m = am × bm
(a ÷ b)m = am ÷ bm
(am)n = am × n
b) 10 000 ÷ 16
4
= 10 000
4
÷ 16
4
=10 ÷ 2 = 5
64
3
= 64
2 × 3
= 2
n
5
3
= n
15
( V )
( V )
( V )
( F )
( F )

treinta y nueve
1
2
3
5
4
Completa.
a) (15 – 7)2 + 102 = 64 + 100
=
b) 122 – 53 = 144 – 125
=
c) (14 ÷ 2 + 1)3 = (7 + 1)3
= 83
=
Calcula el resultado.
Efectúa.
4 0
10 100.000
Base Exponente Potencia
4 4
5 3
8 1
a) 49 =
c) 125
3
=
e) 1024
10
=
b) 256 =
d) 729
6
=
f) 256
4
=
Calcula la raíz.
Pinta del mismo color las raíces y sus
respectivos resultados.
40
11
14
121
169
15
64 000
3
13
225
900
196
30
Resuelve.
a) 23 × 32 × 24 × 35 × 33 =
b) 33 × 52 × 54 × 35 × 53 =
c) (35 × 36 × 32) ÷ 37=
d) 20
4
3
=
Halla la potencia.
83 =
421 =
43 =
192 =
54 =
1720 =
a)
c)
e)
b)
d)
f)
6
7
Nivel
Nivel
a) 22 × 24 × 21 × 23 = 22 + 4 + 1 + 3 = 210 =
b)
516
511 = 516 – 11 = 55 =
c) (33)2 = 33 × 2 = 36 =
d) (2 × 5 × 7)3 =
e) 2
11
2
=
22
112 =
f) (23 × 32 × 5)2 =
g) 4 × 7
27
3
=
22 × 7
33
3
=
Practica
lo aprendido

40
8
11
12
13
14
...
10
30 – 5
3
8000 4
×
+
a)
b)
Efectúa.
x =
x =
Calcula el valor de x en cada caso.
a)
b)
2x + 2 = 32
3x + 3 = 81
Reduce.
Reduce la expresión.
Determina el valor de la incógnita.
102x – 2 = 10 000
220 × 75 × 72
219 × 7 × 75
A
A
C
C
B
B
D
D
1
2
3
7
2
4
4
14
R = 64
2
+ 8 × 25
3
Reduce.
Halla el valor de M.
9
3
332 81 125
M = + +
8 3
4
A
C
B
D
15
20
18
23
cuarenta
Nivel
(a ) . b
a b
b)
7
2
5
4
A
C
B
D
12
8
10
4
3
100 + 25 + 10 × 10
3
4
1
2
5
3
2
3
x
x
y
y
a)

cuarenta y uno
Expresiones algebraicas y polinomios
El Índice de Masa Corporal (IMC) es la relación entre la estatura y la masa de una persona para
determinar el peso más saludable que pueda tener. La expresión que lo representa es:
IMC = m
t2
Así como esta hay muchas otras expresiones en las que se usan variables, y todas son denominadas
expresiones algebraicas.
Responde.
¿Qué otras expresiones similares encuentras en tu entorno?
Clasificación de la OMS
OMS: Organización Mundial de la Salud
Término algebraico
Expresión algebraica Polinomio
Notación
matemática Coeficiente
Parte numérica Parte literal
P(x) = –8x5
Exponente
Conjunto finito de
números y variables
relacionados entre sí por
las operaciones: adición,
sustracción, multiplicación,
división, potenciación y
radicación.
Ejemplo: 4x6 + 5x2 – 3 x
Expresión algebraica en la
que todos los exponentes
de las variables no
son números enteros
negativos.
Ejemplo: 7x4 – 9x3 + 1
Antes
IMC: 35
Después
IMC: 19
IMC CLASIFICACIÓN
< 16,00
16,00 - 16,99
17,00 - 18,49
18,50 - 24,99
25,00 - 29,99
30,00 - 34,99
35,00 - 40,00
> 40,00
Delgadez severa
Delgadez moderada
Delgadez aceptable
Peso normal
Sobrepeso
Obesidad: Tipo I
Obesidad: Tipo II
Obesidad: Tipo III
Donde
m: masa
t: talla en centímetros
1 Estudia las clases de polinomios y sus ejemplos.
Polinomio homogéneo
Tiene todos sus términos con el mismo
grado.
P(x ; y) = 2x2 + 3xy
Polinomio heterogéneo
Sus términos tienen distinto grado.
P(x) = 2x3 + 3x2 + 5
Polinomio completo
Tiene todos los términos, desde el término
independiente hasta el de mayor grado.
P(x) = 2x3 + 3x2 + 5x – 3
Polinomio ordenado
Si sus términos están ordenados de mayor a
menor.
P(x) = 2x3 + 5x2 – 3
Descubre
y construye
Relaciona
lo que sabes

42 cuarenta y dos
5
1
3
4
2
Nivel
Encierra con una línea las expresiones
algebraicas que son polinomios.
Subraya los monomios.
Encierra las expresiones que son
polinomios.
Pinta las expresiones algebraicas que
representan la magnitud que se indica.
Encierra los monomios semejantes al
indicado.
A. del cuadrado
A. del triángulo
Dos monomios son opuestos si son semejantes y
tienen los coeficientes iguales pero con signos
diferentes.
9y3w4 – 7y2w2 + 2y3x p2 + p4 – 6p3
4xy8z + 3xy4 + 5yz2
3bz + 4b
3z8 – 4xz4
11x5 – 2xy – 4y3
7z + 5x a – 5
a) 18x8y9 + 26x2y8 – 11x6y4
b) 21x8y9 – 12x9y0,4 + 7x3y4
c) 20x8y9 – 2x9y4 + 8x3y–9
d) 16x6y9 + 14x–8y5 – 78x6y4
e) 14x5y9 – 6x9y8 – 4x3y4
f) 5xy5 – 11xy4 – 9x5y7
1
2
1
2
2
3
a) 15x9y–3 b) 12x9y–6
c) –2x8y7 d) –8x12y0,5
e) 16x9y–2 f) 11x9y6
g) –9x7y8 h) –5x6y0,2
2 3
b × h
3x2 –4x2 –4x2
mn2
mn
5x
donde
: lado
donde
b: base h: altura
b × h
2
1
4
1
3
1
3
–4m2n 2mn2
–7xy2z 8xy2z –9x2yz –xy2z
6 Relaciona cada monomio con su
opuesto.
3x2
–3x2
–7m
7m
– 5xy
5xy
– yz2
yz2
1
3
1
3
Monomios semejantes: Son aquellos que
tienen la misma variable y el mismo grado.
a) 5a5b3 Monomio
b) 2m3n8 – 7m5n6 Binomio
c) 8xy7 + 2xy5 – 6y7 Trinomio
a) 5x3 + 5 – 2x2 + ... X
b) 5y
1
2 – 2y–4 + y
2
3 – 1 X
c) 1
4
x9y – 7x7y2 + 8
d) 4w5 – 49w3 – 1
Lee y escribe a qué clase corresponde.
Marca con un si la expresión es un
polinomio y con una X si no lo es.
Monomio Binomio Trinomio
Polinomio
Tiene un solo
término.
Tiene dos
términos.
Tiene tres
términos.
2
3
Practica
lo aprendido

8
10
11
7
12
cuarenta y tres
Pinta los carteles que contienen monomios.
7x2ym
6zxm2 + 5
x2 + 3xy – 5x2y
Completa.
a) P(x) = –14x4
Coeficiente :
Parte literal :
Exponente :
b) H(x; y) = –8x3y2
Coeficiente:
Parte literal :
Exponentes :
c) M(a, b, c) = 15a2bc3
Coeficiente:
Parte literal :
Exponentes :
Clasifica los polinomios y pégalos donde
corresponde. Usa los sticker de tu hoja
de adhesivos.
a) Polinomio homogéneo.
b) Polinomio heterogéneo.
Pinta el según clave. : Polinomio
ordenado, : Polinomio homogéneo,
: Polinomio completo y ordenado.
5x3 + 7x14 – 3x15
7x3y6 + 5x2y7 – 4y4x5
2x3 – 5x8 – 4x15
8x3 – 4x2 – 4x –14
Relaciona con líneas cada polinomio
con su clasificación.
5x3 – 2x2 – x – 5
4y6 + 6y2 + 7
5a3y2 – 2a4y
11z4x2 – 9zx5
polinomio
homogéneo
polinomio
ordenado
polinomio
completo
Nivel
c) Polinomio completo.
d) Polinomio ordenado.
9 ¿Qué alternativa es correcta? Pinta el
círculodelaalternativaquecorresponde
a la respuesta.
A El binomio tiene 3 términos.
C 2xy es un monomio.
D 2xy – 7x2y es un trinomio.
B El trinomio tiene un solo término.
5
2

44
13
17
18
19
20
...
...
Nivel
14
15
16
cuarenta y cuatro
Determina el valor de verdad de los
enunciados.
a) 8xy + 2xy5 – 6y7 es un trinomio.
b) 5xy3 – 4xy4 + 2xy7 es un monomio.
c) 8xy + 2xy5 + 2x6y7 no es un trinomio.
d) 2xy – 5x4y5 es un binomio.
1
2
¿Qué polinomio es completo?
¿Qué polinomio es homogéneo?
Sea el polinomio.
Dado el siguiente polinomio.
¿Qué polinomio es heterogéneo?
A
A
A
A
A
B
C
D
B
C
D
8x3 + 4x2 – 8x5
Es un polinomio ordenado.
Polinomio no ordenado.
P(r) = 7r5 + 8r4 – 4r3 – 9r2 + 7
Q(x) = 8x7 + 6x5 – 2x3 + 4 + x
P(x ; y) = 5x2y – 8x2y + 10x2y
P(m) = m4 – 3m2 + 2m + 5 – 7m3
P(x; y) = 5x4y – 9x3y2 + 3x2y3 + 7y5
¿Qué afirmación es verdadera?
¿Qué podemos afirmar sobre él?
¿Cuál es el grado del polinomio?
En el siguiente polinomio, indica el
término independiente.
P(x) = 8x2 – 2x3 + 5x5
P(x)= 7x2 + 5x2 – 3x + 6x3
P(y) = 6y3 + 3y2 – 1 + 5y2
P(y) = 5y2 + y2 – 3y + 8
P(x ; y) = 7x2y2 – 5xy3 + 5xy3 – xy
P(x ; y) = –8y4 – 32xy
P(x ; y) = 10x2y3 + 2xy3
C
C
C
4y2 + 8y – 9
D
D
D
7m2 + 5m4 + 2m3
Polinomio ordenado de grado 4.
Polinomio de grado 5 y con
coeficientes impares.
B
B
B
6z3 + 4z – 2 + 6z4
Es un polinomio sin término
independiente.
Polinomio completo sin término
independiente.
Es un polinomio no ordenado y
completo.
Polinomio completo y ordenado.
1
3
A
A
C
C
B
B
D
D
15
8
7
4
14
7
5
1

cuarenta y cinco
Grados de un monomio
Luego de asistir a la clase de álgebra, tres amigos deciden representar monomios en sus carteles.
Dichos carteles presentan algunas características especiales.
1
Responde.
a) ¿Qué variable en común presentan los monomios?
b) ¿Quién tiene el cartel con el mayor exponente de x?
c) Suma los exponentes de las variables de cada monomio
e identifica la mayor suma, ¿quién tiene dicho cartel?
Resolución:
a) La variable en común es x.
b) El cartel con el mayor exponente de x lo tiene Pedro.
c) Al sumar los exponentes de cada monomio, se tiene:
José: 5x1 1
María: 2x4 4
Pedro: 3x3y2 3 + 2 = 5
Halla el grado relativo (G.R.) en cada caso.
a) P(x; y) = –5x3y4
G.R.(x) = 3
G.R.(y) = 4
c) Q(w; z) = 4wz3
G.R.(w) = 1
G.R.(z) = 3
Determina el grado absoluto.
a) R(x; y; z) = 19x4 y7z
G.A.(R) = 4 + 7 + 1 =12
Es el exponente de cada
variable.
Es la suma de todos los
exponentes de las variables.
Grado relativo
(G.R.)
Grado absoluto
(G.A.)
Grados de
un monomio
2
5x
2x4
3x3y2
José
Pedro
María
• P(x,y,z) = 7x2y3z5
G.R.(x) = 2
G.R.(y) = 3
G.R.(z) = 5
• R (x,y,z) = 2x2y7z5
G.A.(R) = 2 + 7 + 5 = 14
d) N(x; z) =2x5z2 – z6
G.R.(x) = 5
G.R.(z) = 6
b) M(a; b) =a3b – b2a2
G.R.(a) = 3
G.R.(b) = 2
b) P(a; b) = 5a8b2 + 7a2+ 6a2b5
G.A.(P) = 8 + 2 = 10
Relaciona
lo que sabes
Descubre
y construye

46 ...
5
6
7
8
3
4
2
b) K(x; y) = –3x6y4
G.R.(x) =
G.R.(y) =
G.A.(K) =
Si M(x; y) = –8nxn ∧ G.R.(x) = 7; calcula el
valor del coeficiente.
A 7
C 12 D –56
–68
B
Halla el G.R.(x), si G.R.(y) = 12 en:
M(x; y) = 10xn – 4 yn + 6.
Pinta las figuras que contienen un
monomio de grado absoluto igual a 4.
A
C
2
8
B
D
6
10
Se sabe que el grado absoluto del
monomio 13p6q5rn + 3 es 25. Determina el
valor de n – 9.
A
C
1
8
B
D
2
11
Si P(x; y) = 0,9 x5 ym + 1 z7 y el G.R.(y) = 8;
encuentra el valor de m + 4.
Si para el monomio 1
2
wbx6zb – 7 el grado
relativo con respecto a z es igual a 9;
halla el valor de b + 4.
Si el monomio
1
4
x3
ya+8
z7
tiene grado
absoluto igual a 21; calcula el valor de
a + 6.
A
C
3
11
B
D
5
25
A
C
3
9
B
D
6
12
A
C
10
22
B
D
20
30
Nivel
S(x, y) = x2y2
C(m) = 8m3n
Q(m) = 7n2m2
1
Nivel
Completa.
a) H(m; n) = –7m6n8
G.R.(m) =
G.R.(n) =
G.A.(H) =
cuarenta y seis
Nivel
E(x) = 5x4
Practica
lo aprendido

Grados de un polinomio
Tres amigas presentaron los polinomios que su profesora pidió que analizaran.
Es el mayor exponente de cada variable
del polinomio.
Se halla el grado absoluto de cada
monomio y se escoge el mayor.
Grado relativo
(G.R.)
Grado absoluto
(G.A.)
Responde.
a) ¿Cuál es el mayor exponente para x e y en los
polinomios P y Q respectivamente? Señala el grado
relativo de cada polinomio.
b) En el polinomio Q, ¿cuánto es el grado absoluto de
cada monomio que lo conforma? Señala su grado
absoluto.
Halla el G.R. y el G.A. de cada polinomio indicado.
a) Dado el binomio:
9x2y5 + 7x3y9
G.R.(x) = 3 G.R.(y) = 9
G.A. = 3 + 9 = 12
b) Dado el binomio:
5p7q11r7 – 2p9q12r17
G.R.(p) = 9 ; G.R.(q) = 12 G.R.(r) = 17
G.A. = 9 + 12 + 17 = 38
cuarenta y siete
Grados de
un polinomio
P(x; y) = x3y – 5x2y2 +7xy3
Q(x; y) = 7x2y3 – 2xy5
c) En el polinomio Q se tiene:
• 7x2y3 G.A. = 2 + 3 = 5
• 2x1y5 G.A. = 1 + 5 = 6
El G.A. del polinomio es el mayor de los G.A.
de los monomios, es decir 6.
Resolución:
a) P(x;y) = x3y1 – 5x2y2 + 7x1y3
El mayor exponente: para x = 3; para y = 3,
G.R.(x) = 3 G.R.(y) = 3
b) Q(x;y) =7x2y3 – 2x1y5
El mayor exponente: para x = 2; para y = 5,
G.R.(x) = 2 G.R.(y) = 5
Relaciona
lo que sabes
Descubre
y construye

48
7
8
Sea R(m; n) = 8m7n3b – 4m2n4. Si se sabe
que G.A.(R) = 16; calcula el valor de b.
Si P(x; y) = 3x4y8a + 2x3ay2 – 5x3y3 y el
G.R.(y)= 24; determina el valor de a2.
A
C
–2
3
B
D
0
4
A
C
3
10
B
D
9
27
cuarenta y ocho
2
4
3
Dado el trinomio:
H(x; y; z) = 3x5y9z7 – 2x9y11z8 – 4x13y15z18
Calcula lo indicado:
Escribe en el el G.A. de cada polinomio.
G.R.(x) = ; G.R.(y) = G.R.(z) =
G.A.(H) = + + =
4x17y21z15 + 2x19y15z18
6a9b12 + 3a15b10
10x13z16 – 7x12z9
2w5z7 + 9w9z13
Determina el grado absoluto de
cada polinomio y ordénalos en forma
creciente.
P(x; y) = 7x4y5 + 2x7y4
Q(x; y) = 5x2y6 – 7x3y3
W(x; y) = 4x2y7 + 2x3y8 – 6x6y9
Y(x; y) = 6x9y20 + 5x13y17
K(x; y) = 2x12y7 – x11y5
N(x; y) = 8x2y – 3x6y4
Nivel
Nivel
1
Nivel
Halla el G.R. y el G.A. en cada caso.
a) Dado el binomio:
5x7w11z13 + 2x9w10z15
G.R(x) = ; G.R.(w) = G.R.(z) =
G.A. = + + =
b) Dado el trinomio:
6m7n14 – 2m9n10 + 5m13n17
G.R.(m) = G.R.(n) =
G.A. = + =
Practica
lo aprendido
5 Si P(x; z) = 9x4az9 + 7x3y9 y G.A.(P) = 17;
encuentra el valor de a.
A
C
1
3
B
D
2
4
6 Si H(m; n) = 12m5n2b – 3m2n3 y G.A.(H) = 21;
halla el valor de b.
A
C
2
8
B
D
4
16

Valor numérico de un polinomio
En clase, Mauricio midió los lados de una figura para encontrar
su perímetro. Lo hizo de manera numérica, sin embargo ahora
él tiene una hoja en forma rectangular cuyas medidas están
expresadas con letras. ¿Cuánto mide el perímetro de su hoja, si
se sabe que a = 12 cm?
Es el resultado de reemplazar cada variable del polinomio por un valor
asignado y efectuar las operaciones dadas.
1 4
2
5
3
Perímetro = 2(3a) + 2(a)
= 2(3 × 12) + 2(12) = 96 cm
Resolución:
Rpta. El perímetro mide 96 cm.
El rectángulo tiene 2 lados que miden 3a y 2 lados que miden a.
3a
a a
3a
Si se sabe que P(a) = 2a + 3, halla el valor
numérico de P(a), cuando a = 2.
Resolución:
P(2) = 2(2) + 3 = 7
Si M(x) = 2x4 + 5, determina el valor
numérico de M(x), cuando x = 2.
Resolución:
M(2) = 2(2)4 + 5 = 2(16) + 5 = 37
Si R(z) = z3 + 1, calcula el valor numérico
de R(z), cuando z = 6.
Resolución:
R(6) = 63 + 1 = 217
Resolución:
Resolución:
Sabiendo que P(x; y) = 5xy + x2 – y, encuentra
el valor numérico de P(x; y), cuando
x = 4; y = 7.
P(4; 7) = 5(4)(7) – (4)2 – (7)
P(4; 7) = 140 – 16 – 7 = 117
Si se sabe que Q(y) = 8y3 + 4y2 + 5, halla
el valor numérico de Q(y), cuando y = 5.
Q(5) = 8(5)3 + 4(5)2 + 5
Q(5) = 8(125) + 4(25) + 5
Q(5) = 1000 + 100 + 5
Q(5) = 1105
cuarenta y nueve
Valor numérico
Relaciona
lo que sabes
Descubre
y construye

50
5
1
Nivel
2
3
4
6
7
8
cincuenta
Encuentra el valor numérico de
R(w) = w2 + 4w, cuando w = 4.
Halla el valor numérico de
Q(y) = 8y3 + 4y2, cuando y = 5.
Determina el valor numérico de
P(x) = 5x – x2, cuando x = 4.
Calcula el valor numérico de
P(x) = 2x2 + 3x, cuando x = 3.
Si P(x) = 2x2 – 4, encuentra el valor
numérico de P(x), cuando x = 2.
Si Q(y) = 2y3 + y, determina el valor
numérico de Q(y), cuando y = 5.
Z(x; y) = 2xy + x2, cuando x = 2 ∧ y = 6.
P(x;y) = x2 + y, cuando x = 15 ∧ y = 11.
Nivel
Practica
lo aprendido

13
9
Nivel
10
12
11
14
15
cincuenta y uno
P(x; y) = 5xy – x2 – y, cuando x = 4 y = 7.
R(w; z) = wz2 + 4w + 3z – 9, cuando w = 4 z = 3.
Si x = 6; y = 11; z = –4, encuentra el V.N. de
P(x; y; z) = –6xy – yz2.
Determina el valor numérico de
S(m) = m2 + 8m + 15, cuando m = 3.
A
C
–572
–568
A
C
9
12
B
D
148
–987
B
D
10
14
Si x = –6 ; y = 8; z = 2, encuentra el V.N. de
P(x; y; z) = 5xy + 3yz2.
Para y = 1; z = –2, determina el V.N. de
P(y; z) =(6y4z4 – 9y8z5) ÷ (3y3z3).
Si a = 2; b = 3, y c = 1
Halla el V.N. de 2a2bc3.
Para x = 3, calcula
A
C
16
–144
B
D
14
–188
A
C
–16
–8
A
C
–16
24
B
D
14
–9
B
D
18
27
4x + 6
2
16
.

52
¡Autoevalúate!
cincuenta y dos
2
3
1 4
5
6
Simplifica.
25 × 74
A 27 × 78
B
24 × 79
C 25 × 72
D
28 × 75 × 214
27 × 7 × 210
3136 = 56
1521 = 29
A
B
4096 = 64
1369 = 37
C
D
¿Cuál de las siguientes expresiones no es
un polinomio?
A 1
5
x3 + 2x2 + 11
B 9x2 + 4x
1
3 +10
C 7x5 – 16x3 + 8
D 6x4 + 2x3 + 5x + 1
A
A
A
C
C
C
B
B
B
D
D
D
4
5
12
9
8
–2
5
7
2
11
10
–12
Si P(x; y) = 2x4y4 + 4x2y5; calcula el
G.R.(x) + G.R.(y).
Halla el grado absoluto de P si
P(x; y) = 5x2y3 + 2x3y4 – x6y2.
Para x = 2; y = 12; z = –3. Determina el V.N.
de P(x; y; z) = 4xy – yz2.
Pinta el círculo de la alternativa que corresponde a la respuesta.

53
¡Autoevalúate!
MateMática SIGMA 5 - álgebra cincuenta y tres
8
7 9
10
respuestas.
Coevaluación
1. ¿Cómo aprendí las propiedades de la potenciación y la radicación?
2. ¿Cómo aprendí a identificar expresiones algebraicas?
3. ¿Cómo identifico los grados de un monomio y polinomio?
4. ¿Me fue fácil encontrar el valor numérico de un polinomio?
Metacognición
A
A
C
C
B
B
D
D
36
69
–18
79
18
70
–36
81
P(x; y) = xy2 + 3x2y – xy; cuando
x = 3 ∧ y = –2
Q(p; r; s) = 6p2 + 3r2 – ps3; cuando p = 3,
r = 2 ∧ s = –1.
Si M(x; y) = 2xn – 2y5 y G.A.(M) = 10; halla el
valor de n.
A 10
C 0 D 4
6
B
Si M(x; y) = 7xny4 ∧ G.A.(M) = 15; determina
el valor de n.
A 4
C 11 D 0
10
B
Claves:
1.
A
2.
B
3.
B
4.
C
5.
C
6.
D
7.
A
8.
C
9.
D
10.
A

54
3 polinomios
contando elementos
semejantes
Operamos con
cincuenta y cuatro
Desempeños
• Resuelve problemas de equivalencias, regularidades o relaciones de cambio entre dos expresiones
traduciéndolas a expresiones algebraicas.
• Emplea estrategias, la descomposición de números, el cálculo mental para crear, continuar o
• Hace afirmaciones sobre la equivalencia entre expresiones y sus variaciones y las propiedades de la
igualdad, la justicia con argumentos y ejemplos concretos.

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