1. Dr. Ing. Jony Lazo R.
CENTROIDES Y CENTROS
DE GRAVEDAD DE
VOLUMENES
2. ➢Teoremas de Pappus-Guldinus
• Problema
• Cargas distribuidas en vigas
• Problema
• Centro de gravedad de un cuerpo 3D:
➢Centroide de un Volumen
• Centroides de formas 3D comunes
• Cuerpos 3D compuestos
• Problema
CONTENIDO
3. Los dos teoremas de Pappus y Guldinus se usan para encontrar
el área superficial y el volumen de cualquier cuerpo de revolución.
Fueron desarrollados primero por Pappus de Alejandría durante el
siglo IV a.C. y luego reformulados por el matemático suizo Paul
Guldin o Guldinus (1577-1643).
TEOREMAS DE PAPPUS-GULDINUS
• La determinación del área
de una superficie de
revolución y el volumen de
un cuerpo de revolución se
logran con los Teoremas de
Pappus-Guldinus.
4. Teoremas de Pappus-Guldinus
4
• La superficie de revolución se genera al rotar una curva plana (curva generadora)
alrededor de un eje fijo.
5. PRIMER TEOREMA DE PAPPUS-
GULDINUS-AREA
5
El área de una superficie de revolución es igual a la longitud de la curva generadora L
multiplicada por la distancia recorrida por el centroide durante la rotación.
L
y
A
2
=
6.
7.
8.
9. SEGUNDO TEOREMA DE PAPPUS-GULDINUS-
VOLUMEN
9
• El volumen de un cuerpo de revolución es igual al área multiplicado por la distancia
que recorre el centroide de este área durante la rotación
10.
11.
12. Formas compuestas. También podemos aplicar los dos teoremas anteriores a
líneas o áreas que están integradas por una serie de partes componentes. En este
caso, el área superficial total o el volumen generado es la suma de las áreas
superficiales o volúmenes generados por cada una de las partes componentes. Si
la distancia perpendicular desde el eje de revolución hasta el centroide de cada
parte componente es r, entonces:
TEOREMAS DE PAPPUS-
GULDINUS
13. Problema 4
5 - 13
El diámetro exterior de una polea es de 0,8 m, y la sección transversal de su
contorno exterior se muestra arriba. Sabiendo que la polea está hecha de acero y
que la densidad del acero es,
determine la masa y el peso del contorno exterior.
3
3
m
kg
10
85
.
7
=
14. 5 - 14
( )( )( )
3
3
9
3
6
3
3
mm
m
10
mm
10
65
,
7
m
kg
10
85
,
7 −
=
= V
m kg
0
,
60
=
m
( )( )
2
s
m
81
,
9
kg
0
,
60
=
= mg
W N
589
=
W
Aplicar el teorema de Pappus-Guldinus para
determinar los volúmenes de los sólidos de
revolución para el contorno rectangular total y
para la sección rectangular interna (hueca).
Multiplicar el volumen de la polea por la
densidad para obtener su masa y multiplicar la
masa por la aceleración de la gravedad para
obtener el peso de la polea.
15. CENTRO DE GRAVEDAD DE UN CUERPO EN 3D:
CENTROIDE DE UN VOLUMEN
El centro de gravedad G de un cuerpo tridimensional se obtiene dividiendo el cuerpo en
pequeños elementos y expresando que el peso W del cuerpo actuando en G es equivalente al
sistema de fuerzas distribuidas W que representan a los pesos de los elementos pequeños. Al
representar con r al vector de posición de G, se escribe que W es igual a la suma de los pesos
elementales W y que su momento con respecto a O es igual a la suma de los momentos con
respecto a O de los pesos elementales
16. En términos de volumen
La integral x dV se conoce como el primer momento del
volumen con respecto al plano yz. De manera análoga, las
integrales y dV y z dV definen, respectivamente, los primeros
momentos del volumen con respecto al plano zx y al plano xy.
El punto cuyas coordenadas también se conoce como
el centroide C del volumen V del cuerpo.
19. Si un cuerpo puede dividirse en varias de las formas
comunes mostradas en la figura anterior, su centro de
gravedad G se determina al considerar que el momento con
respecto a O de su peso total es igual a la suma de los
momentos con respecto a O de los pesos de las diferentes
partes que lo componen
En términos de volumen
