1. APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA Introducción Área Área (geometría) Área es la extensión o superficie que está dentro de una figura (de dos dimensiones), expresada en unidades de medida denominadas superficiales. Para superficies planas el concepto es intuitivo. Cualquier superficie plana de lados rectos puede triangularse y se puede calcular su área como suma de triángulos. Pero, para calcular el área de superficies curvas se requiere introducir métodos de geometría diferencial. Para poder definir el área de una superficie en general –que es un concepto métrico–, se tiene que haber definido un tensor métrico sobre la superficie en cuestión: cuando la superficie está dentro de un espacio elucido, la superficie hereda una estructura métrica natural inducida por la métrica elucida Área de figuras planas Área de un triángulo El área de un triángulo se calcula mediante la siguiente fórmula:[1] donde l es cualquiera de los lados y h es la altura correspondiente a ese lado. Si el triángulo es rectángulo la altura de uno cualquiera de los catetos coincide con el otro, y la fórmula quedaría de la siguiente forma, donde a y b son los catetos: si lo que conocemos es la longitud de sus lados aplicamos la fórmula de Herón. donde a, b , c son los valores de las longitudes de sus lados s = ½ (a + b + c) es el semiperimetro del triángulo. Si el triángulo es equilátero, de lado a, su área está dada por Áreas. Área de un cuadrilátero El rectángulo es un paralelogramo cuyos ángulos son todos de 90º; el área sería la multiplicación de dos de sus lados contiguos a y b:[2] El Rombo, cuyos 4 lados son iguales, tiene su área dada por el sumí producto de sus dos diagonales: El cuadrado es el polígono regular de cuatro lados, es a la vez un rectángulo y un rombo, por lo que su área puede ser calculada de la misma manera que la de estos dos. En particular, dado que sus lados son iguales, se usa la fórmula:[3] Los paralelogramos en general tienen su área dada por el producto uno de sus lados y su altura respectiva:[4] El trapecio (que tiene dos lados paralelos entre sí y dos lados no paralelos) cuya área viene dada por la media aritmética de sus lados paralelos multiplicado por la distancia entre ellos (altura):[5] El trapezoide o cuadrilátero totalmente irregular que tiene sus cuatro ángulos diferentes y lados de longitudes desiguales. En este caso el área se puede obtener mediante triangulación siendo: Siendo: el ángulo comprendido entre los lados y . el ángulo comprendido entre los lados y . Área del círculo y la elipse El área de un círculo, o la delimitada por una circunferencia, se calcula mediante la siguiente expresión matemática:[6] El área delimitada entre la gráfica de dos curvas puede calcularse mediante la diferencia entre las integrales de ambas funciones. El área delimitada por una elipse es similar y se obtiene como producto del semieje mayor por el semieje menor multiplicados por π:[7] Área delimitada entre dos funciones Una forma para hallar el área delimitada entre dos funciones, es utilizando el cálculo integral: El resultado de esta integral es el área comprendida entre las curvas: y en el intervalo . Ejemplo Si se quiere hallar el área delimitada entre el eje x y la función f(x) = 4 − x2 en el intervalo [ − 2;2], se utiliza la ecuación anterior, en este caso: g(x) = 0 entonces evaluando la integral, se obtiene: Por lo que se concluye que el área delimitada es. El volumen encerrado entre dos funciones también puede ser reducido al cálculo de una integral, o parecido. Área de superficies curvas El área de una superficie curva es más complejo y en general supone realizar algún tipo de idealización o límite para medirlo. Cuando la superficie es ejecutable, como sucede con el área lateral de un cilindro o de un cono el área de la superficie puede calcularse a partir del área desarrollada que siempre es una figura plana. Una condición matemática necesaria para que una superficie sea desarrollable es que su curvatura gaussiana sea nula. Cuando la superficie no es desarrollable, el cálculo de la superificie o la fórmula analítica para encontrar dicho valor es más trabajoso. Un ejemplo de superficie no desarrollable es la esfera ya que su curvatura gaussiana coincide con el inverso de su radio al cuadrado, y por tanto no es cero. Sin embargo la esfera es una superficie de revolución. Volumen de sólidos de revolución Trabajo Trabajo En mecánica, el trabajo meco efectuado por una fuerza aplicada sobre una partícula durante un cierto desplazamiento se define como el producto escalar del vector fuerza por el vector desplazamiento. El trabajo es una magnitud física escalar, y se representa con la letra W (del inglés Work) para distinguirlo de la magnitud temperatura, normalmente representada con la letra T. El trabajo es, en general, dependiente de la trayectoria y, por lo tanto, no constituye una variable de estado. La unidad básica de trabajo en el Sistema Internacional es Newton*metro y se denomina julio. El trabajo es, en general, dependiente de la trayectoria y, por lo tanto, no constituye una variable de estado. La unidad básica de trabajo en el Sistema Internacional es Newton*metro y se denomina Julio. Fórmulas En trayectorias lineales se expresa como W=F*d Siendo F es el vector resultante de todas las fuerzas aplicadas, que para el caso deben tener la misma dirección que el vector desplazamiento pero no necesariamente el mismo sentido. Si los vectores tienen dirección opuesta, es decir quedan como rectas secantes formando un ángulo recto el trabajo efectuado es 0. d es el vector desplazamiento W=F*dr=FTds Donde FT indica la componente tangencial de la fuerza a la trayectoria. Para calcular el trabajo a lo largo de toda la trayectoria basta con integrar entre los puntos inicial y final de la curva. En el caso más simple de una fuerza constante F aplicada sobre una distancia d, el trabajo realizado se expresa como la formula siguiente: W=Fd Trabajo (física) Magnitud física escalar. En mecánica, el trabajo efectuado por una fuerza en determinada dirección, se define como el producto escalar de la fuerza por el vector que denota esa dirección. Puede calcularse el trabajo que una fuerza realiza a lo largo de una trayectoria curvilínea general. Para ello basta saber que el trabajo que la fuerza realiza en un elemento diferencial ds de la trayectoria: dW=F*ds Entonces, para obtener el trabajo a lo largo de toda la trayectoria bastará con integrar a lo largo de la misma entre los puntos inicial y final de la curva. El concepto de trabajo está ligado muy íntimamente al de energía, y ambas magnitudes se miden en la misma unidad: el julio. Esta ligazón puede verse en el hecho de que, del mismo modo que existen distintas definiciones de energía (para la mecánica, la termodinámica), también existen definiciones distintas de trabajo, aplicables cada una a cada rama de la física. El trabajo es una magnitud de gran importancia para establecer nexos entre las distintas ramas de la física. Tanto el trabajo como la energía son conceptos que empezaron a utilizarse en física cuando se abordó el estudio de movimientos en los cuales, la fuerza que experimentan los cuerpos depende, por ejemplo, de la posición. Trabajo (mecánica) El trabajo, en mecánica clásica, es el producto de una fuerza por la distancia que recorre y por el coseno del ángulo que forman ambas magnitudes vectoriales entre sí. W=Fscosα En mecánica, el trabajo efectuado por una fuerza, aplicada sobre un cuerpo durante un cierto desplazamiento, se calcula mediante la integral del producto escalar del vector fuerza por el vector desplazamiento. El trabajo es una magnitud física escalar, y se representa con la letra W (del inglés Work) o L (de Labor) para distinguirlo de la magnitud temperatura, normalmente representada con la letra T. En termodinámica, se realiza trabajo cuando un gas se expande o comprime. La presión ejercida al pasar de un volumen A a otro B, se expresa mediante la ecuación: WAB=-ABPdV El trabajo, en general, depende de la trayectoria y, por tanto, no constituye una variable de estado. La unidad básica de trabajo en el Sistema Internacional es el newton × metro que se denomina julio (joule en inglés), y es la misma unidad que mide la energía. Por eso, se entiende que la energía es la capacidad para realizar un trabajo, o que el trabajo provoca una variación de energía. Trabajo y energía en mecánica El trabajo, en mecánica clásica, es el producto de una fuerza por la distancia que recorre y por el coseno del ángulo que forman ambas magnitudes vectoriales entre sí. W=Fscosα En mecánica, el trabajo efectuado por una fuerza, aplicada sobre un cuerpo durante un cierto desplazamiento, se calcula mediante la integral del producto escalar del vector fuerza por el vector desplazamiento. El trabajo es una magnitud física escalar, y se representa con la letra W (del inglés Work) o L (de Labor) para distinguirlo de la magnitud temperatura, normalmente representada con la letra T. En termodinámica, se realiza trabajo cuando un gas se expande o comprime. La presión ejercida al pasar de un volumen A a otro B, se expresa mediante la ecuación: WAB=-ABPdV El trabajo, en general, depende de la trayectoria y, por tanto, no constituye una variable de estado. La unidad básica de trabajo en el Sistema Internacional es el newton × metro que se denomina julio (joule en inglés), y es la misma unidad que mide la energía. Por eso, se entiende que la energía es la capacidad para realizar un trabajo, o que el trabajo provoca una variación de energía.