El centro de gravedad de un cuerpo tridimensional se determina dividiendo el cuerpo en elementos pequeños y calculando la posición promedio ponderada de estos elementos. El centroide de un volumen se calcula evaluando integrales que representan los primeros momentos del volumen con respecto a cada eje. Los centroides de cuerpos compuestos se determinan expresando que la suma de los momentos de cada parte es igual al momento total del cuerpo.

1. CENTRO DE GRAVEDAD DE
UN CUERPO
TRIDIMENSIONAL
Equipo: 8
Eric Alberto Rodarte Santos
Edgar Arturo Zamora Ceceña
Leonardo Daniel Zúñiga Ceballos
Erika Janeth Alvarado Campos
ESTATICA
Maestro:
Ing. Marcial Saúl García Chairez

2. El centro de gravedad G de un cuerpo tridimensional se obtiene
dividiendo el cuerpo en pequeños elementos.
Centroide de un Volumen

3. 𝐹: −𝑊𝑗 = (−∆𝑊𝑗)
donde:
W= Peso
r = Vector de posición del origen a el centro de
gravedad del volumen.
r = Vector de posición del origen a cualquier punto
del volumen.
∆𝑊𝑗= Pesos de los elementos pequeños.

4. 𝑊 = 𝑑𝑊
Incrementando el numero de elementos y disminuyendo el tamaño de estos
Descomponiendo los vectores r y r en sus componentes rectangulares

5. Si el cuerpo esta hecho de un material homogéneo de peso especifico 𝛾, la magnitud “dw” del peso
de un elemento infinitesimal se puede expresar en términos del volumen “dV” de dicho elemento y la
magnitud del peso total (W) puede expresarse en términos del volumen total (V):
Centroide de un Volumen
𝑑𝑊 = 𝛾 𝑑𝑉 𝑊 = 𝛾𝑉
Sustituyendo dW y W en la segunda relación

6.  El punto cuyas coordenadas son 𝑥, 𝑦, 𝑧 tambien se le conoce como el centroide del
volumen del cuerpo.
 La integral 𝑥𝑑𝑉 se conoce como el primer momento del volumen con respecto al
eje y z.
 Las integrales 𝑦𝑑𝑉 y 𝑧𝑑𝑉 , definen cada un a los primeros momentos en los
planos x z, x y respectivamente.
Notas:

7. Un cuerpo puede dividirse en varias formas comunes, por tanto, su centro de gravedad
puede determinarse al expresar que el momento con respecto a O es igual a la suma de
todos los momentos con respecto a O y para definir
𝑋∑𝑊 = ∑xW Y∑𝑊 = ∑yW Z∑𝑊 = ∑zW
Si el cuerpo esta hecho de un material homogéneo:
𝑋∑𝑉 = ∑xV Y∑𝑉 = ∑yV Z∑𝑉 = ∑zV
Cuerpos Compuestos
𝑥, 𝑦, 𝑧:

10. El centroide de un volumen limitado se determina al evaluar las
integrales:
Sustituyendo las dimensiones que aparecen en la figura:
𝑥𝑉 = 𝑥 𝑒𝑙 𝑑𝑉 𝑦𝑉 = 𝑦 𝑒𝑙 𝑑𝑉 𝑧𝑉 = 𝑧 𝑒𝑙 𝑑𝑉
Por lo tanto:
𝑦 = 𝑧 = 0
Determinación de Centroides de volumen por
integración

11. 𝑑𝐿2 = 𝑑𝑥2 + 𝑑𝑦2
𝑑𝐿 = 𝑑𝑥2 + 𝑑𝑦2
𝑑𝐿 = 𝑑𝑦2 𝑑𝑥2
𝑑𝑦2 + 1 dy
- Factorizamos 1ª de
las 2 variables
𝑑𝐿 =
𝑑𝑥2
𝑑𝑦2 + 1 dy

12. Obteniendo el diferencial de x
x=
𝑦
2
3
𝑘
2
3
𝑑𝑥
𝑑𝑦
=
3𝑦
1
2
2𝑘
3
2
Por lo tanto:
𝑑𝐿 =
𝑑𝑥2
𝑑𝑦2 + 1 dy 𝑑𝐿 =
3𝑦
1
2
2𝑘
3
2
2
+ 1 dy

13. 𝑑𝐿 =
3𝑦
1
2
2𝑘
3
2
2
+ 1 dyx=
𝑦
3
2
𝑘
3
2
=
𝑦
3
2
𝑘
3
2
3𝑦
1
2
2𝑘
3
2
2
+ 1 𝑑𝑦
3𝑦
1
2
2𝑘
3
2
2
+ 1 𝑑𝑦