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Centro de masa y momento de inercia
- 1. REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA UNIVERSIDAD “FERMÍN TORO” FACULTAD DE INGENIERÍA CABUDARE-LARA MECÁNICA ESTÁTICA ALUMNO: Edgar Colmenarez CÉDULA: 21.125.823
- 2. CABUDARE, JUNIO 2015. CENTRO DE MASA El concepto de centro de masa es el de un promedio de las masas, factorizada por sus distancias a un punto de referencia. En un plano, es como el punto de equilibrio o de pivote de un balancín respecto de los pares producidos. Si estás haciendo la medida del punto centro de masa en un sistema de dos masas, la condición del centro de masa se puede expresar como Donde r1 y r2 localiza las masas. El centro de masa está situado sobre la recta que conecta ambas masas. CENTRO DE MASA DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS
- 3. El centro de masas de un sistema de partículas es un punto que, a muchos efectos, se mueve como si fuera una partícula de masa igual a la masa total del sistema sometido a la resultante de las fuerzas que actúan sobre el mismo. Se utiliza para describir el movimiento de traslación de un sistema de partículas. VECTOR DE POSICIÓN DEL CENTRO DE MASAS El vector de posición del centro de masas se define como:
- 4. Donde M es la masa total del sistema de partículas. La posición del centro de masas no tiene por qué coincidir con la posición de ninguna de las partículas del sistema, es simplemente un punto en el espacio. CENTRO DE GRAVEDAD El centro de gravedad es el centro de simetría de masa, donde se intersecan los planos sagital, frontal y horizontal. En dicho punto, se aplica la resultante de todas las fuerzas de gravedad que actúan sobre un cuerpo. Cabe destacar que el centro de gravedad no se corresponde necesariamente con un punto material del cuerpo. Si se trata de una esfera hueca, por ejemplo, su centro de gravedad no pertenecerá al cuerpo. En otras palabras, el centro de gravedad de un cuerpo es el punto de aplicación de la resultante de todas las fuerzas que la gravedad ejerce sobre los diferentes puntos materiales que constituyen el cuerpo. PROPIEDADES DEL CENTRO DE GRAVEDAD Un objeto apoyado sobre una base plana estará en equilibrio estable si la vertical que pasa por el centro de gravedad corta a la base de apoyo. Lo expresamos diciendo que el CG cae dentro de la base de apoyo. Además, si el cuerpo se aleja algo de la posición de equilibrio, aparecerá un momento restaurador y recuperará la posición de equilibrio inicial. No obstante, si se aleja más de la posición de equilibrio, el centro de gravedad puede caer fuera de la base de apoyo y, en estas condiciones, no habrá un momento restaurador y el cuerpo
- 5. abandona definitivamente la posición de equilibrio inicial mediante una rotación que le llevará a una nueva posición de equilibrio. Tabla de centros de gravedad: MOMENTO DE INERCIA
- 6. Momento de inercia es el nombre que se le da a la inercia rotacional. En la tabla de arriba se ve que su análogo en el movimiento lineal es la masa. Aparece en las relaciones de la dinámica del movimiento rotacional. El momento de inercia debe especificarse respecto a un eje de rotación dado. Para una masa puntual el momento de inercia es exactamente el producto de la masa por el cuadrado de la distancia perpendicular al eje de rotación, I = mr2. Esa relación de la masa puntual, viene a ser la base para todos los demás momentos de inercia, puesto que un objeto se puede construir a partir de una colección de puntos materiales. MOMENTOS COMUNES DE INERCIA
- 7. CÁLCULO DE MOMENTOS DE INERCIA Como ejemplo, calcularemos el momento de inercia de un cilindro homogéneo con respecto a uno de sus ejes de simetría, el eje longitudinal z que pasa por su centro de masas. El elemento de volumen en este caso es el volumen de la corteza cilíndrica (representada en azul en la figura) de espesor dR que se encuentra a una distancia R del eje de giro, y viene dado por:
- 8. Sustituyendo en la expresión del momento de inercia:
- 9. Finalmente, sustituyendo la densidad en la expresión anterior, el momento de inercia del cilindro con respecto al eje z es: El momento de inercia de un cilindro hueco (con un radio interior R2, como se muestra en la siguiente figura), se calcula de la misma manera que el del cilindro macizo desarrollado en el ejemplo anterior, pero integrando entre R2 y R1). El momento de inercia de un cilindro hueco viene dado por:
- 10. Por tanto, a igual masa, un cilindro hueco tiene mayor momento de inercia que uno macizo. Si pinchas en la sección "Sabías que..." de esta página verás una aplicación práctica de este hecho. TEOREMAS DE PAPPUS Y GULDINUS Teorema del centroide de Pappus, también conocido como teorema de Guldin, teorema de Pappus-Guldin o teorema de Pappus, es el nombre de dos teoremas que relacionan superficies y volúmenes de sólidos de revolución con sus respectivos centroides. Teorema 1: La superficie generada por la revolución de una curva plana alrededor de un eje no la corta, es igual al producto de la longitud de la circunferencia descrita por el centro de masas (CM) de la curva en su giro. Teorema 2: El volumen generado por la revolución de una superficie plana alrededor de un eje que no la corta, es igual al producto de la superficie considerada por la longitud de la circunferencia descrita por el CM de la superficie en su giro. Los teoremas de pappus-guldin se utilizan como método sencillo para el cálculo del centro de masas para el caso de distribuciones de masa homogénea con suficiente simetría. Los teoremas de pappus-guldin son de gran importancia en la ingeniería. Este teorema puede ser utilizado en tanques de almacenamiento que se muestran en la
- 11. fotografía son cuerpos de revolución. Por tanto, las áreas de sus superficies y sus volúmenes pueden determinarse con los teoremas de Pappus-Guldinus.