Teorema de Pappus-Guldinus

1. Historia
El matemático griego Pappus en el siglo lll d.C formulo
el primer teorema y fue replanteado por el matemático
suizo Guldinus la cual se refiere a superficies y cuerpos
de revolución.
El teorema Pappus-Guldinus es usado para encontrar
las superficies, los volúmenes y el centroide de un
objeto de revolución siempre y cuando al ser giradas las
curvas no crucen por el eje de rotación.
Pappus de Alejandria

2. Definición de centroide
Es la representación del centro geométrico de un
cuerpo, este coincide con el punto del centro de
la masa o gravedad si el material del cuerpo es
uniforme u homogéneo, por eso los métodos para
calcular el centroide y centro de gravedad son los
mismos.

3. Centroides en áreas
La magnitud de ∆𝑊 del peso de un elemento de la
placa puede expresarse como:
∆𝑊 = 𝛾 𝑡 ∆𝐴
Donde:
𝛾 = 𝑝𝑒𝑠𝑜 𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑖𝑓𝑖𝑐𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑚𝑎𝑡𝑒𝑟𝑖𝑎𝑙
𝑡 = 𝑒𝑠𝑝𝑒𝑠𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑝𝑙𝑎𝑐𝑎
∆𝐴 = á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜
Se puede expresar la magnitud de 𝑊 como:
𝑊 = 𝛾 𝑡 𝐴

4. Centroide de una línea
En el caso de un alambre la sección transversal
uniforme la magnitud ∆𝑊 del peso de un elemento
puede expresarlo como :
∆𝑊 = 𝛾 𝑎 ∆𝐿
Donde:
𝛾 = 𝑝𝑒𝑠𝑜 𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑖𝑓𝑖𝑐𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑚𝑎𝑡𝑒𝑟𝑖𝑎𝑙
𝑎 = 𝑎𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑠𝑒𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎𝑙 𝑑𝑒𝑙 𝑎𝑙𝑎𝑚𝑏𝑟𝑒
∆𝐿 = 𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑 𝑑𝑒𝑙 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜
Se puede expresar la magnitud 𝑊 del peso de la placa
como:
𝑊 = 𝛾 𝑎 𝐿

5. Centroide de un volumen
De una forma análoga se puede calcular el centroide de
un volumen
𝑥𝑉 = 𝑥𝑑 𝑉 ; 𝑦𝑉 = 𝑦𝑑 𝑉 ; 𝑧𝑉 = 𝑧𝑑 𝑉
Las ecuaciones representa el equilibro de los momentos
del volumen de un cuerpo.
Si el volumen posee dos planos de simetría, entonces su
centroide se encuentra en la intersección de estos
planos.

6. Teoremas de Pappus-Guldinus
▰ Para áreas de superficie
“El área de una superficie de revolución
es igual a la longitud de la curva
generatriz multiplicada por la distancia
recorrida por el centroide de dicha curva
al momento de generar la superficie.”
Teorema 1

7. Demostración:
Consideremos un elemento dL de la líneas L, que rota alrededor del eje “x”.
1. El área dA generado por el elemento dL es igual a 2π 𝑦. 𝑑𝐿:
𝑑 𝐴 = 2π 𝑦. 𝑑𝐿
El área generada por L es:
𝐴 = 2π 𝑦. 𝑑𝐿
2. Tenemos que:
𝑦 =
𝑦 𝑑𝐿
𝑑𝐿
𝑦𝐿 = 𝑦 𝑑𝐿
3. Entonces concluimos que la formula es:
𝐴 = 2𝜋𝑦. 𝐿

8. Teorema 2
▰ Para volúmenes
“El volumen de un cuerpo
de revolución es igual al
área generatriz multiplicada
por la Distancia recorrida
por el centroide del área al
momento de generar el
cuerpo.”

9. Demostración:
Sea un área A, en cual rota con respecto al eje x, considere un elemento dA de dicha área.
1. El volumen dV generado por el elemento dA es igual a:
𝑑 𝐴 = 2π 𝑦. 𝑑𝐴
Donde:
y= la distancia del elemento dA al eje x
V= volumen total generado por A.
𝑉 = 2π 𝑦. 𝑑𝐴
2. Tenemos que:
𝑦 =
𝑦 𝑑𝐴
𝑑𝐴
𝑦𝐴 = 𝑦 𝑑𝐴
3. Entonces concluimos que la formula es:
𝑉 = 2𝜋𝑦. 𝐴
Donde 2𝜋𝑦. 𝐴 es la distancia recorrida por el centroide de A.

10. Bibliografía:
Fernández, A. (s.f.). Teoremas de Pappus-Guldin.
Academia.edu
https://www.academia.edu/27758824/TEOREMAS_DE_PAPPU
S_GULDIN
Fernández, A. (s.f.). Exposición Teoremas de Pappus-Guldin.
Academia.edu
https://www.academia.edu/27758823/EXPOSICI%C3%93N_TE
OREMA_PAPPUS_GULDIN