Economía modelos pronósticos

1. Departamento de Informática
Universidad Técnica Federico Santa María
Econometría
Modelos Pronósticos
Prof. Dr. Héctor Allende

2. Héctor Allende O. 2
Modelos de Box-Jenkins.
RECORDEMOS X proceso estocástico ssi la función
es tal que sucesión de variables aleatorias
Dado X (p.e.), se definen:
X, se dice p.e. e. estricto ssi
Un X un p.e. e. débil ssi
Se llaman autocovarianza de X y autocorrelación de X a:





:
  T
t
t
X   


 ,
,
   
     
 
k
t
X
t
X
Cov
k
t
t
t
X
E
X
X
t




,
,
)
2
1)


   
     
 
k
t
X
k
t
X
F
t
X
t
X
F n
n 

 ,.,
,., 1
1
    .
, 



 t
cte
t
X
E X
t 
    .
,
,
,
,
, 






 k
h
t
k
h
t
h
t
k
t
t X
X 

     
 
k
t
X
t
X
Cov
k
X 
 ,
    
 
0
r
k
r
k
X 


3. Héctor Allende O. 3
Propiedades:
Procesos de medias móviles (MA).
Sea X un p.e. Se dirá MA(q) si existe un ruido blanco
y reales tal que
Propiedades:
1) Todo es un MA(q) es p.e.e.
  1
1) 
k
X
    
k
k X
X 
 

)
2
   
k
k X
X 


)
3
 
  Ζ


 t
t
a 0
,
,
, 2
1 
q


 
  ,
2
2
1
1
t
t
q
t
q
t
t
t
t
a
X
a
a
a
a
X







 

 

 
  q
k
k
X 

 ,
0
)
2 

4. Héctor Allende O. 4
4.2 Procesos Autoregresivos (AR).
Sea X un p.e., se dirá autoregresivo general de orden p si existe un
ruido blanco y reales tal que
Propiedades: AR(p)
Un no es en general estacionario.
Un AR(P) es estacionario ssi las raíces de
están fuera del círculo unitario.
Todo X p.e. AR(p):
Autoregresivos de media móvil (ARMA(p;q)).
X se dirá un ARMA(p,q) general si existe un ruido blanco
reales
 
  Ζ


 t
t
a 0
,
,
, 2
1 
p


 
t
p
t
p
t
t
t a
X
X
X
X 



 

 

 
2
2
1
1
)
( p
AR
  0
1 1 







 p
p

 
.
,
0 p
k
kk 



 
  Ζ


 t
t
a
0
0
con
,
,
,
,
,
,
, 2
1
2
1 

 q
p
q
p 






 

q
t
q
t
t
t
p
t
p
t
t
t a
a
a
a
X
X
X
X 




 







 




 
 2
2
1
1
2
2
1
1

5. Héctor Allende O. 5
Anotando
Se tiene que:
Propiedades: ARMA(p,q)
1. XARMA(p,q) es estacionario ssi no tiene raíces
dentro del círculo unitario.
2. XARMA(p,q) es invertible ssi no tiene raíces dentro del
círculo unitario.
3. XARMA(p,q) es
donde función de autocovarianza cruzada.
4. XARMA(p,q) 
 
  q
q
p
p






















1
1
1
1
    t
t a
X 




  0



  0



           
, k
k
a
X X
X
t
t 









 

   
k
t
t
X a
X
E
k 
 

    .
,
0 q
k
k
X 


 

6. Héctor Allende O. 6
X se dirá un ARIMA(p,d,q) ssi es un p.e.e. ARMA(p,q) con
Tres formas de visualizar un ARIMA.
Ejemplo: ARIMA(1,1,1)
X
d

 d
d



 1
    
   






































1
1
1
1
1
1
1
1
)
3
)
2
1
1
d
1
)
1
j
t
j
t
j
t
j
t
j
t
j
t
q
t
q
t
t
p
t
p
p
t
p
p
t
t
t
t
d
a
X
X
a
a
X
a
a
a
X
X
X
X
a
X







 

4.4 Proceso ARIMA.
  
     t
j
j
t
j
t
t
t
t
t
a
X
X
X
a
a
X




















2
2
1
1
1
1
1
1









7. Héctor Allende O.
Diremos que X es un ARIMA estacional de orden P,D,Q y período “s” si
con raíces fuera del disco unitario grados P y Q:
XARIMA(P,D,Q)s
Es decir
Obs: Diremos que X es un proceso ARIMA estacional multiplicativo de ordenes
P,D,Q, p,d,q y período “S” si existen polinomios de
grados P, Q, p y q respectivamente, con sus raíces fuera del círculo unitario
y un ruído blanco A:
Notación: X  ARIMA(p,d,q)(P,D,Q)s
7
4.5 ARIMA estacional.
0
0 y
: 


    s
s
t
s
t
s
s
a
X 








 1
donde
0
0
     t
s
s
t
D
s
ps
p
s
a
B
B
X Q
Q
1
1 1
1
1 













 

 
s
s
D
s X Q
,
P
ARMA
un
es




 y
;
; 0
0
        t
s
t
D
s
d
s
a
X 









 0
0

8. Héctor Allende O. 8
Método de Box-Jenkins.
Se postula una clase
de modelos ARIMA
Identificación del modelo
tentativo: p, d, q, P, D, Q
Estimación de Parámetros
del modelo tentativo
Verificación de diagnóstico ¿Es
adecuado el modelo?
Uso del modelo con fines
de: Control, Predicción.

9. Héctor Allende O. 9
4.5 Identificación de modelos ARIMA.
Sea X p.e.e.
     
 
 
   
   
   
   
 
 
 
 
kk
kk
F
F
X
X
X
k
k
k
k
X
X
X
kk
X
X
X
X
X
X
X
X
e
e
e
e
k
k
k
φ
k
k
q
k
k
k
k
k
k
k





















































































2
1
1
1
1
1
1
1
parcial.
n
correlació
de
e
coeficient
:
6)
p.
k
de
partir
a
mente
geométrica
decae
q
p,
ARMA
5)
p.
k
0
cero
a
lmente
exponencia
decae
p
AR
)
4
.
0
MA
)
3
cero.
a
e
rápidament
decae
)
2
0
;
0
lim
1)
1
,
,
2
,
1
kk
k









10. Héctor Allende O. 1
4.6 Estimación de parámetros.
Se pueden utilizar los siguientes métodos de estimación:
 Mínimos cuadrados condicionados [Box and Jenkins].
 Máxima verosimilitud [ Denby and Martin].
 GM-estimadores [ Allende and Heiler].
 Etc.
4.7 Verificación y diagnóstico. Dado
Todos se basan en el análisis de los residuos. Se postula:
       
t
a
t
X 




     
   
 
  
 






























n
t
t
k
n
t
k
t
t
a
a
a
t
t
a
a
n
a
a
a
a
k
n
k
k
r
X
a
1
2
1
1
ˆ
1
ˆ
ˆ
1
0
ˆ
,
ˆ





11. Héctor Allende O. 11
Test de bondad de ajuste.
Test de Ljung-Box (1978).
Función de autocovarianza residual
Test robusto de Portmanteau (Allende; Galbiati, 1996).
   
 
2
1
2
1
ˆ
2
Q q
p
K
K
k
a
k
n
k
r
n
n 













  
 
2
1
2
1
3
Q q
p
K
K
k
K
k
n
na 





  

 





n
K
p
t
K
t
t
K a
a
1
ˆ
ˆ
;
ˆ
ˆ 



 


 ˆ
ˆ
;
ˆ
ˆ 1
2

 t
t a
a
a

12. Héctor Allende O. 12
4.8 Predicciones en modelos ARMA.
Sean los mejores predictores lineales de
dado Por la linealidad de los predictores tenemos que el mejor
predictor de
Además,
       
k
t
a
k
t
X 






   
k
t
k
t
X 
 â
y
ˆ
   
k
t
a
k
t
X 
 y
  .
, t
s
s
X 
               
k
t
a
k
t
a
y
k
t
X
k
t
X 










 ˆ
es
ˆ
es
   
 
 
  0
k
,
0
k
,
0
ˆ
0
k
,
0
k
,
ˆ












k
t
a
k
t
a
k
t
X
k
X
k
t
X t
      0
,
1
ˆ
ˆ 1 



 
 k
X
k
t
X
k
t
a
siendo k
t

13. Héctor Allende O. 13
4.9 Predicciones en modelos ARIMA.
Consideremos la predicción de un modelo ARIMA(p,d,q)
El mejor predictor lineal de a partir de o bien
         
   
     
t
a
j
t
X
t
X
j
t
a
t
X
q
t
a
t
a
d
p
t
X
t
X
t
X
j
j
j
j
q
d
p





























1
0
1
)
3
)
2
1
)
1














 


t
X  
 
t
u
u
X 
:  
 
t
u
u
a 
:
     
   
       
 
   
  








































1
0
2
2
1
0
1
0
,
0
ˆ
ˆ
















j
j
a
t
t
j
j
t
j
j
j
j
j
j
e
V
e
E
j
t
a
X
t
X
e
j
t
a
X
j
t
a
j
t
a
t
X






       
t
a
t
X 





14. Héctor Allende O. 14
Luego, el mejor predictor lineal de es
Nota:
Los errores de predicción no están correlacionados hacia adelante
 


t
X
     
 
 
   
 
 
t
u
u
a
t
X
E
t
u
u
X
t
X
E
Xt






:
:
ˆ



   
  0
, 
 
 j
t
t e
e
e

15. Héctor Allende O. 15
4.9 Algorítmo de Predicción en ARIMA(p,d,q).
Usando
A partir de n tenemos
Usando podemos estima:
           
   
   
 
n
u
u
X
d
p
u
u
a
n
d
p
t
X
t
X
a
q
t
a
t
a
t
a
d
p
t
X
t
X
X
t
t
q
d
p
t
,
,
2
,
1
:
,
0
ˆ
,
,
,
1
ˆ
1
ˆ
)
2
ˆ
1
ˆ
ˆ
ˆ
1
ˆ
)
1
1
1
1


























 



 
.
hasta
repetir
,
ˆ
)
2
(
1
ˆ
)
1
(
1 n
t
a
X
p
t
d
p




 
     
d
p
q
máx
X
q
a
X
n
u
n





,
,
0
ˆ
para
ˆ
de
depende
no
ˆ





 
n
d
p
t
at ;
:
ˆ 

 


 


n
d
p
t
t
a
d
p
n
a
1
2
2 ˆ
̂

16. Héctor Allende O. 16
Actualización de las predicciones

Luego, un intervalo de confianza para  


t
X
   
   
1
ˆ
1
ˆ
ˆ
1
ˆ
ˆ
1
1
1
t
t
t
t
t
y
t
X
a
a
X
X








 

 
    

















 





1
0
2
2
1
0
,
0



j
j
a
j
j
t N
j
t
a
e 


 
    2
1
0
2
2
1
ˆ a
j
j
t Z
X
t
X
IC 


 










 







 




17. Héctor Allende O. 17
Ejemplo: Dada la serie
     
         
   
 
     
   
1
ˆ
1
ˆ
ˆ
5
,
0
5
,
0
1
ˆ
:
Algorítmo
8
;
7
;
ˆ
Estimar
5
,
0
1
5
,
0
1
Modelo
1
95
,
0
95
,
0
2
t
t
t
a
X
t
X
a
t
a
t
X
X
X
I
X
I
t
a
t
X



















t 1 2 3 4 5 6
X(t) 2 1 -1 0 -2 0
t  
t
X  
1
ˆ t
X t
â 2
ˆt
a
1 2 1 0 0
2 1 0,5 0 0
3 -1 -1,25 -1,5 2,25
4 0 0,63 1,25 1,563
5 -2 -2,32 -2,63 6,917
6 0 1,16 2,32 5,382