2. *INTERPOLACIÓN DE
FUNCIONES

3. INTERPOLACIÓN

4. Es una herramienta fundamental para la derivación e integración numérica.
Obtener un algoritmo rápido, económico para calcular los valores de la función a
interpolar en aquellos puntos x, que no figuren en los datos.
Motivo principal:
Objetivo principal:

5. Consiste en construir una función F de gradon tal que en el intervalo cerrado a,b , en el que
viene prefijado el soporte de interpolación que se denota
viene prefijado el soporte de interpolación que se denota
0 1 20
n
i ni
x a x x x ... x b ,
tome los mismos valores que la función a interpolar, es decir, que se verifique:
me los mismos valores que la función a interpolar, es decir, que se verifique:
i i
F x f x i 0,1,2,...,n.

6. Para su construcción:
xi yi
x0
x1
x2

xn
y0
y1
y2

yn
Es evidente que si se tuviera únicamente dos puntos, el polinomio que pasa por éstos es de grado
uno (recta): 1 0
y a x a con lo que habrá dos constantes para determinar 1
a y 0
a ; si tuviera tres
puntos, el polinomio es de segundo grado (parábola): 2
2 1 0
y a x a x a con tres constantes a
determinar, etc. En el caso general de tener n 1 puntos el polinomio debe ser de grado n , con
n 1 constantes a determinar, que surgen de:
0
1
n 1 n n 1 n
0 1 n 1 n
n 1
n
a
a
y a a x a x a x 1 x x x .
a
a
 
Es evidente que si se tuviera únicamente dos puntos, el polinomio que pasa por éstos es de grado
uno (recta): 1 0
y a x a con lo que habrá dos constantes para determinar 1
a y 0
a ; si tuviera tres
puntos, el polinomio es de segundo grado (parábola): 2
2 1 0
y a x a x a con tres constantes a
determinar, etc. En el caso general de tener n 1 puntos el polinomio debe ser de grado n , con
n 1 constantes a determinar, que surgen de:
0
1
n 1 n n 1 n
0 1 n 1 n
n 1
n
a
a
y a a x a x a x 1 x x x .
a
a
 

7. n 1 n
i i 0 1 i n 1 i i
P y a a x a x a i 0,1, ,n . 
Es decir:
n 1 n
0 0 0 0 1 0 n 1 0 n 0 0
n 1 n
1 1 1 0 1 1 n 1 1 n 1 1
n 1 n
n n n 0 1 n n 1 n n n n
Si A x ; y a a x a x a x y
Si A x ; y a a x a x a x y
..............................................................................
Si A x ; y a a x a x a x y .



Es decir:
n 1 n
i i 0 1 i n 1 i i
P y a a x a x a i 0,1, ,n . 
Es decir:
n 1 n
0 0 0 0 1 0 n 1 0 n 0 0
n 1 n
1 1 1 0 1 1 n 1 1 n 1 1
n 1 n
n n n 0 1 n n 1 n n n n
Si A x ; y a a x a x a x y
Si A x ; y a a x a x a x y
..............................................................................
Si A x ; y a a x a x a x y .



Que adopta la forma:
Este sistema adopta la forma:
2 n
0 00 0 0
2 n
1 11 1 1
2 n
2 22 2 2
2 n
n nn n n
a y1 x x x
a y1 x x x
a y1 x x x
a y1 x x x



     

.

8. Consideremos el sistema
0 1
0 1
a a 1
1.005a 0a
Ejemplo:
Consideremos el siguiente sistema:
mismo es 0 1
a 201 a 200 ;
obtenemos el sistema
0 1
0 1
a a 1
a 1.01a 0
solución 0 1
a 101 a 100 . Si
0.01 sdsdfffUtilizando el número indicador
i
det A
asistema está mal condicionado.
2 22 2 2
1 2
i
i 1
1 1
det
1 1.005det A 0.005
número indicador
a a 1 1 . 1 1.005
a
0.005
0.0025 0.01
2. 2.010025

9. Fórmulas
de Lagrange
Parabólica Progresiva
de Newton Ascendente
de Taylor
de Newton Descendente
Aproximación por Mínimos Cuadrados
* Si la función interpolante es un polinomio:

10. * Si la función interpolante es una función spline:
Función spline de grado 0
Función spline de grado 1
Función spline de grado 2
Función spline de grado 3

11. Fórmula de Lagrange
Si consideramos dos puntos 0 0
x ,y y 1 1
x ,y
la cual 0 0 1 1
f x y y f x y
ara ello definiremos las funciones:
01
0 1
0 1 1 0
x xx x
L x y L x
x x x x
,
por medio de un polinomio de primer grado que interpole esos valores. Para ello
definiremos las siguientes funciones:
Si consideramos dos puntos
El problema de encontrar un polinomio que pase por esos puntos, es el mismo que el de
aproximar una función f para la cual:

12. Se define entonces:Se define entonces
0 0 1 1
P x L x f x L x f x .
Como
0 0 0 1 1 0 1 1
L x 1, L x 0, L x 0, y L x 1,
tenemos
0 0 1 0 0
P x 1.f x 0.f x f x y
y
1 0 1 1 1
P x 0.f x 1.f x f x y .
Si reemplazamos por en:
Como
0 0 0 1 1 0 1 1
L x 1, L x 0, L x 0, y L x 1,
por lo tanto:
tenemos
0 0 1 0 0
P x 1.f x 0.f x f x y
y y
1 0 1 1 1
P x 0.f x 1.f x f x y .
obtenemos:
Para ello definiremos las funciones:
01
0 1
0 1 1 0
x xx x
L x y L x
x x x x
,
dos 0 1
x y x

13. Gráficamente:

14. Generalización
Consideremos la construcción de un polinomio de grado máximo n que pase por los n+1
puntos
generalizar el concepto de interpolación lineal, consideremos la construcción de un
de grado máximo n que pase por los n 1 puntos
0 0 1 1 n n
x ,f x , x ,f x , , x ,f x .
Interpretémoslo gráficamente:

15. Construiremos:
una función n,k
L x cada k 0,1, ,n
Propiedad:
d de que n,k i
L x 0 , cu cuando i k y
i k y n,k k
L x 1
e evalúe en k
x x . Es decir,
0 1 k 1 k 1 n
n ,k
k 0 k 1 k k 1 k k 1 k n
n
i
i 0 k i
x x x x x x x x x x
L x
x x x x x x x x x x
x x
x x
 
 

16. Gráficamente un se puede ver como:una función n,k
L x

17. Teorema
Si 0 1 n
x ,x , ,x son n 1 números distintos y si f es una función cuyos valores están dados en esos
números, entonces existe un único polinomio P x de grado a lo más n , con la propiedad de que
k k
f x P x para cada k 0,1, ,n .
Este polinomio está dado por
n
0 n,0 n n,n k n,k
k 0
P x f x L x f x L x f x L x ,
donde para cada k 0,1, ,n
n
0 1 k 1 k 1 n i
n,k
i 0k 0 k 1 k k 1 k k 1 k n k i
i k
x x x x x x x x x x x x
L x
x x x x x x x x x x x x
 
 
.
Si 0 1 n
x ,x , ,x son n 1 números distintos y si f es una función cuyos valores están dados en esos
números, entonces existe un único polinomio P x de grado a lo más n , con la propiedad de que
k k
f x P x para cada k 0,1, ,n .
Este polinomio está dado por
n
0 n,0 n n,n k n,k
k 0
P x f x L x f x L x f x L x ,
donde para cada k 0,1, ,n
n
0 1 k 1 k 1 n i
n,k
i 0k 0 k 1 k k 1 k k 1 k n k i
i k
x x x x x x x x x x x x
L x
x x x x x x x x x x x x
 
 
.
Si 0 1 n
x ,x , ,x son n 1 números distintos y si f es una función cuyos valores están dados en esos
números, entonces existe un único polinomio P x de grado a lo más n , con la propiedad de que
k k
f x P x para cada k 0,1, ,n .
Este polinomio está dado por
n
0 n,0 n n,n k n,k
k 0
P x f x L x f x L x f x L x ,
donde para cada k 0,1, ,n
n
0 1 k 1 k 1 n i
n,k
i 0k 0 k 1 k k 1 k k 1 k n k i
i k
x x x x x x x x x x x x
L x
x x x x x x x x x x x x
 
 
.
Si 0 1 n
x ,x , ,x son n 1 números distintos y si f es una función cuyos valores están dados en esos
números, entonces existe un único polinomio P x de grado a lo más n , con la propiedad de que
k k
f x P x para cada k 0,1, ,n .
Este polinomio está dado por
n
0 n,0 n n,n k n,k
k 0
P x f x L x f x L x f x L x ,
donde para cada k 0,1, ,n
n
0 1 k 1 k 1 n i
n,k
i 0k 0 k 1 k k 1 k k 1 k n k i
i k
x x x x x x x x x x x x
L x
x x x x x x x x x x x x
 
 
.
Si 0 1 n
x ,x , ,x son n 1 números distintos y si f es una función cuyos valores están dados en esos
números, entonces existe un único polinomio P x de grado a lo más n , con la propiedad de que
k k
f x P x para cada k 0,1, ,n .
Este polinomio está dado por
n
0 n,0 n n,n k n,k
k 0
P x f x L x f x L x f x L x ,
donde para cada k 0,1, ,n
n
0 1 k 1 k 1 n i
n,k
i 0k 0 k 1 k k 1 k k 1 k n k i
i k
x x x x x x x x x x x x
L x
x x x x x x x x x x x x
 
 
.

18. Error cometido:como
x f x P x .
escribir el error de la siguiente manera:
0 1 2 n
x x x x x x x x x g x .
El error puede escribirse como:
Es posible demostrar que para 0 n
x x ;x , g x está dada por
n 11
g x f c
n 1 !
, 0 n
x a c b x
La fórmula del error de la interpolación de Lagrange, es:el error de la interpolación de Lagrange, es:
n 1
0 1 2 n
1
x f c x x x x x x x x .
n 1 !

que puede escribirse como:
Que se puede escribir:
n
n 1
i
i 0
1
x f c x x
n 1 !

19. Si denotamos
n 1
n 1
a x b
M máx f x obtenemos entonces el siguiente estimado del error
absoluto en la fórmula de interpolación de Lagrange:
n
n 1
i
i 0
M
x f x P x x x
n 1 !
.
Si denotamos
n 1
n 1
a x b
M máx f x obtenemos entonces el siguiente estimado del error
absoluto en la fórmula de interpolación de Lagrange:
n
n 1
i
i 0
M
x f x P x x x
n 1 !
.
Observación:

20. Ejemplo:
una cota del error absoluto en el intervalo 0 n
x ,x .
2x
f x e cos3x 0 1 2
x 0, x 0.3, x 0.6, n 2 .
Determinando los coeficientes polinómicos 0 1 2
L x , L x y L x :
Construiremos el polinomio interpolante de Lagrange para la siguiente función y obtendremos una
cota del error absoluto en el intervalo 0 nx ,x .
Determinando los coeficientes polinómicos 0 1 2
L x , L x y L x :
2
1 2 2
n,k 2 ,0
k 1 k 2
x x x x x 0.3 x 0.6 x 0.9x 0.9 50
L x L x x 5x 5
x x x x 0 0.3 0 0.6 0.18 9
2
0 2 2
n,k 2 ,1
k 0 k 2
x x x x x 0 x 0.6 x 0.6x 100 20
L x L x x x
x x x x 0.3 0 0.3 0.6 0.09 9 3
,
2
0 1 2
n,k 2 ,2
k 0 k 1
x x x x x 0 x 0.3 x 0.3x 50 5
L x L x x x
x x x x 0.6 0 0.6 0.3 0.18 9 3
.
Determinando los coeficientes polinómicos 0 1 2
L x , L x y L x :
2
1 2 2
n,k 2 ,0
k 1 k 2
x x x x x 0.3 x 0.6 x 0.9x 0.9 50
L x L x x 5x 5
x x x x 0 0.3 0 0.6 0.18 9
2
0 2 2
n,k 2 ,1
k 0 k 2
x x x x x 0 x 0.6 x 0.6x 100 20
L x L x x x
x x x x 0.3 0 0.3 0.6 0.09 9 3
,
2
0 1 2
n,k 2 ,2
k 0 k 1
x x x x x 0 x 0.3 x 0.3x 50 5
L x L x x x
x x x x 0.6 0 0.6 0.3 0.18 9 3
.
Determinando los coeficientes polinómicos 0 1 2
L x , L x y L x :
2
1 2 2
n,k 2 ,0
k 1 k 2
x x x x x 0.3 x 0.6 x 0.9x 0.9 50
L x L x x 5x 5,
x x x x 0 0.3 0 0.6 0.18 9

21. Puesto que 2 0
0
f x f 0 e cos 3 0 1 ,
2 0.3
1
f x f 0.3 e cos 3 0.3 1.82189401 y
2 0.6
2
f x f 0.6 e cos 3 0,6 3.318478645 , tendremos
Puesto que 2 0
0
f x f 0 e cos 3 0 1 ,
2 0.3
1
f x f 0.3 e cos 3 0.3 1.82189401 y
2 0.6
2
f x f 0.6 e cos 3 0,6 3.318478645 , tendremos
2
2 2
k 2 ,k
k 0
2 2
50 100 20
P x f x L x 1. x 5x 5 1.82189401 x x 3.318478645
9 9 3
50 5
x x 11.2202x 3.80821x 1
9 3

22. Para calcular el error asumiremos como datos:
2x 2x
n 1
2 x
n
n 1
i
i 0
46e cos 3x 9e sen 3x
M y ''' 0.26 65
n 1 3 n 2; x 0.26; y f x e cos 3x
y '''
M
x x x 0.4 0 0.4 0.3 0.4 0.6 0.0875361
n 1
.6521 65.6521
65.6
!
1
6
52
2
Entonces x 9.10 .

23. Gráficamente:
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7
x
-1
-0.5
0.5
1
1.5
2
y
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7
x
-1
-0.5
0.5
1
1.5
2
y
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7
x
-1
-0.5
0.5
1
1.5
2
y
f(x) F(x)
f(x) y F(x)