Este documento introduce el concepto de variable aleatoria y describe las variables aleatorias discretas y continuas. Explica que una variable aleatoria es una función que asocia valores numéricos a los resultados posibles de un experimento aleatorio. Las variables aleatorias discretas solo pueden tomar valores numéricos discretos, mientras que las continuas pueden tomar cualquier valor real en un intervalo. Además, define las funciones de probabilidad y distribución para ambos tipos de variables aleatorias.

1. VARIABLES ALEATORIAS

2. 2
Concepto de variable aleatoria
• Se llama variable aleatoria a toda función que asocia a cada
elemento del espacio muestral, un número real.
• Se utilizan letras mayúsculas para designar las variables
aleatoria: X, Y, Z; y sus respectivas letras minúsculas para los
valores concretos de las mismas: x, y, z.
Variable aleatoria discreta Es la que solo puede tomar una
cantidad numerable de valores.
Variable aleatoria continua Es aquella que puede tomar infinitos
valores dentro de un intervalo de la recta real.
Variable aleatoria

3. 3
X x1 x2 ... xn
P(X=xi) p1 p2 ... pn
Toda función de probabilidad se verifica que 1 2 3 1
n
p p p p
    
Función de distribución de una v.a. discreta: Sea X una v.a. cuyos valores
suponemos ordenados de menor a mayor. Se llama función de distribución de la
variable X a la función que asocia a cada valor de la v.a. la probabilidad acumulada
hasta ese valor, es decir,
( ) ( )
F x P X x
 
Variable aleatoria
Función de probabilidad de una v.a. discreta: Es la función que asocia
a cada valor x de la v.a. X su probabilidad p.
Los valores que toma una v.a. discreta X y sus correspondientes
probabilidades suelen disponerse en una tabla con dos filas o dos
columnas llamada tabla de distribución de probabilidad:

4. Introducción
Normalmente, los resultados posibles (espacio muestral E) de un
experimento aleatorio no son valores numéricos. Por ejemplo, si el
experimento consiste en lanzar de modo ordenado tres monedas al aire,
para observar el número de caras (C) y cruces (R) que se obtienen, el
espacio muestral asociado a dicho experimento aleatorio seria:
E = {CCC, CCR, CRC, CRR, RCC, RCR, RRC, RRR}
En estadística resulta mas fácil utilizar valores numéricos en lugar de
trabajar directamente con los elementos de un espacio muestral como el
anterior. Así preferimos identificar los sucesos {CRR, RCR, RRC} con el
valor numérico 1 que representa el numero de caras obtenidas al realizar
el experimento. De este modo aparece el concepto de variable aleatoria
unidimensional como el de toda función que atribuye un único numero
real x e, a cada suceso elemental e, del espacio muestral E.
e
x
e
X
e
R
E
X



)
(
:

5. Por ejemplo, en el ejemplo anterior, se define la variable aleatoria (v.a.
en adelante) X: número de caras del siguiente modo:
0
)
(
1
)
(
)
(
)
(
2
)
(
)
(
)
(
3
)
(
:









RRR
X
RRC
X
RCR
X
CRR
X
RCC
X
CRC
X
CCR
X
CCC
X
R
E
X
•En función de los valores que tome la variable, esta puede ser clasificada
en discreta o continua del siguiente modo:
•v.a. discreta es aquella que solo puede tomar un número finito o infinito
numerable de valores. Por ejemplo, X : E  IN
•v.a. continua es la que puede tomar un número infinito no numerable de
valores. X : E  IR
•Vamos a estudiar los conceptos más importantes relacionados con la
distribución de probabilidad de una v.a., diferenciando entre los casos de
v.a. discreta y v.a. continua.

6. Variables aleatorias discretas
•Dada una v.a. discreta X : E  IN, su función de probabilidad f, se define de
modo que f(x i) es la probabilidad de que X tome ese valor:
i
i
i x
e
X
e
P
x
X
P
x
f
N
f





)]
(
/
[
]
[
)
(
]
1
,
0
[
:
•Si xi no es uno de los valores que puede tomar X, entonces f(xi) = 0. La
representación gráfica de la función de probabilidad se realiza mediante un
diagrama de barras análogo al de distribución de frecuencias relativas para
variables discretas.
•Por ejemplo, si retomamos el caso del lanzamiento de
3 monedas de forma que cada una de ellas tenga probabilidad 1/2 de dar
como resultado cara o cruz, se tiene que :
8
/
1
)
(
)
0
(
)
0
(
8
/
3
8
/
1
8
/
1
8
/
1
})
,
,
({
)
1
(
)
1
(
8
3
8
1
8
1
8
1
}]
,
,
[{
]
2
[
)
2
(
8
1
2
1
*
2
1
*
2
1
}]
[{
]
3
[
)
3
(























RRR
P
X
P
f
RRC
RCR
CRR
P
X
P
f
RCC
CRC
CCR
P
X
P
f
CCC
P
X
P
f

7. Definición de función de probabilidad de v.a. discreta.
Sea X una variable aleatoria discreta, con cada resultado posible xi
asociamos un número
llamado probabilidad de xi
.
   
i
i x
X
P
x
f 

Que debe cumplir las siguientes propiedades:
 





1
1
)
(
)
2
,
0
)
1
i
i
x
f
i
x
f
Xi x1 x2 x3 ….. xn
f(xi)=P(xi
)
P(x1) P(x2) P(x3) ….. P(xn)

8. Otro concepto importante es el de función de distribución de una
variable aleatoria discreta, F, que se define de modo que si xi es IR, F(xi) es
igual a la probabilidad de que X tome un valor inferior o igual a xi:
]
)
(
/
[
]
[
)
(
]
1
,
0
[
:
1 i
i x
e
X
e
P
x
X
P
x
F
R
F





Esta función se representa gr´aficamente del mismo modo que la
distribución de frecuencias relativas acumuladas .
Volviendo al ejemplo de las tres monedas, se tiene que:
.....
)
1
(
....
)
17
(
....
)
4
(
....
)
3
(
.....
)
2
(
8
4
8
3
8
1
)
1
(
)
0
(
]
1
[
)
1
(
8
1
)
0
(
]
0
[
]
0
[
)
0
(



















F
F
F
F
F
f
f
X
P
F
f
x
P
X
P
F

9. 



















3
1
3
2
8
7
2
1
8
4
1
0
8
1
0
0
)
(
x
si
x
si
x
si
x
si
x
si
x
F
DEFINICION DE LA FUNCION DE DISTRIBUCION DEL EJEMPLO DE LAS
TRES MONEDAS.

10. Variable aleatoria continua.
•Es aquella que puede tomar infinitos valores dentro de un intervalo de la
recta real.
•Por ejemplo, la duración de las bombillas de una determinada marca y
modelo.
En el caso de variables aleatorias continuas no tiene sentido plantearse
probabilidades de resultados aislados, por ejemplo, probabilidad de que una
bombilla dure 100,34343434…. horas. La probabilidad sería 0.
•El interés de estas probabilidades está en conocer la probabilidad
correspondiente a un intervalo. Dicha probabilidad se conoce mediante una
curva llamada función de densidad y suponiendo que bajo dicha curva hay un
área de una unidad.
•Conociendo esta curva, basta calcular el área correspondiente para conocer
la probabilidad de un intervalo cualquiera.

11. De este modo es necesario introducir un nuevo concepto que sustituya
en v.a. continuas, al de función de probabilidad de una v.a. discreta. Este
concepto es el de función de densidad de una v.a. continua, que se
define como una función f : IR  IR integrable, que verifica las dos
propiedades siguientes:






1
)
(
)
2
0
)
(
)
1
dx
x
f
x
f
y que además verifica que dado a < b, se tiene que




b
a
dx
x
f
b
x
a
P )
(
]
[

12. Una VA es una función sobre el espacio de los posibles resultados (eventos) de un
experimento aleatorio,
Por ejemplo:
a) Al arrojar una moneda y observar el lado que queda hacia arriba:
X={ x1 = 1 (águila), x2 = 0 (sol) }
b) Alimentar de la misma manera a 20 animales y obervar su peso después
de 30 días
c) arrojar dos dados y anotar la suma de los puntos que caen hacia arriba.
d) el voltaje de salida de 50 eliminadores de baterías.
Algunos valores de una variable aleatoria pueden ser mas probables que otros, lo que da
origen al concepto de distribución de probabilidad de una VA.

13. Y1 Y2 X=Y1+Y2 Y1 Y2 X=Y1+Y2
1 1 2 4 1 5
1 2 3 4 2 6
1 3 4 4 3 7
1 4 5 4 4 8
1 5 6 4 5 9
1 6 7 4 6 10
2 1 3 5 1 6
2 2 4 5 2 7
2 3 5 5 3 8
2 4 6 5 4 9
2 5 7 5 5 10
2 6 8 5 6 11
3 1 4 6 1 7
3 2 5 6 2 8
3 3 6 6 3 9
3 4 7 6 4 10
3 5 8 6 5 11
3 6 9 6 6 12
Experimento: Arrojar dos
dados y observar la VA X : la
suma de los puntos de las
caras que quedan hacia
arriba.
Las formas en que puede ocurrir
cada uno de los valores que
toma la VA X se muestran en la
tabla.
Observemos que hay 1 posibilidad
en 36 de que X=2, mientras que hay
2 posibilidades en 36 de que X=3
Ejemplo: Caso de una VA discreta:

14. 0.00
0.02
0.04
0.06
0.08
0.10
0.12
0.14
0.16
0.18
0.20
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
P(X)
Las probabilidades para cada valor de la VA X se muestran en la tabla. En este
ejemplo la tabla representa la función de distribución de probabilidad (fdp) de la
VA X.
X P(X=x)
2 1/36
3 2/36
4 3/36
5 4/36
6 5/36
7 6/36
8 5/36
9 4/36
10 3/36
11 2/36
12 1/36
Representación gráfica de la función de distribución de probabilidad de la VA X
X
P(x)

15. Distribución de probabilidad de una VA X:
f(x) = P( X=x )
En nuestro ejemplo de la suma de dos dados: f(3) = P( X=3 ); f(3) = 2/36
Propiedades de la distribución de probabilidad de una variable aleatoria discreta
(también conocida como función masa de probabilidad, fmp) :
a) f (x)  0 Para toda x que pertencece a X
b)



x
x
f 1
)
(

16. Las probabilidades acumuladas para cada valor de la VA X se muestran en la siguiente
tabla que representa la función de distribución acumulativa (FDA) de la VA X.
X P(Xx)
2 1/36
3 3/36
4 6/36
5 10/36
6 15/36
7 21/36
8 26/36
9 30/36
10 33/36
11 35/36
12 36/36
En nuestro ejemplo: F(3) = P( X<=3 ); F(3) = 1/36 + 2/36 = 3/36
Esta es una función escalón, hay un salto en cada valor de X y es plana entre ellos.
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
1.00
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
P(X<=x)





j
i
i
j
j x
x
X
P
x
F
1
)
(
)
(

17. Ejercicio 1:
De una gaveta que contiene 5 calcetines rojos y 3 calcetines verdes se sacan en sucesión 2
al azar. Enumera los elementos del espacio muestral así como las probabilidades
asociadas a cada uno de sus posibles resultados. Obtener los resultados/espacio muestral
de la variable aleatoria “nº de calcetines rojos seleccionados”
W[RR, RV, VR, VV]
Resultado Prob Var. Aleatoria
RR  5/8*4/7=5/14  2
RV  5/8*3/7=15/56  1
VR  3/8*5/7=15/56  1
VV  3/8*2/7=3/28  0
VARIABLE ALEATORIA: Definición y caracterización

18. VARIABLE ALEATORIA DISCRETA:
Función Cuantía o de probabilidad
Sea X una variable aleatoria discreta con valores posibles x1, x2,..xn. La función
cuantía o de probabilidad viene dada por:
P(X=x)= f(x)
x1 x2 x3 x
f(x)
f(x2)
f(x3)
f(x1)
Representa la
probabilidad de que la
Var. Aleatoria tome un
determinado valor

19. Dibujar la función cuantía del Ejercicio 1
Variable aleatoria “nº de calcetines rojos seleccionados”
5 calcetines rojos, 3 calcetines blancos W[RR, RV, VR, VV]
Prob Var. Aleatoria
RR  5/8*4/7=5/14  2
RV  5/8*3/7=15/56  1
VR  3/8*5/7=15/56  1
VV  3/8*2/7=3/28  0
0.10714286
0.35714286
0.53571429
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0 1 2

20. VARIABLE ALEATORIA CONTINUA:
Función de densidad
La función de densidad representa el límite del histograma de frecuencias relativas. El
área bajo la función f(x) es igual a la unidad.
f(x)0
 -
x

21. Ejemplo
• Selecciona una muestra aleatoria de 3 personas y pregunta si
están a favor (F) o en contra (C) de un sistema de salud
público
y = número a favor (0, 1, 2, ó 3)
• Para posibles muestras de tamaño n = 3,
Muestra y Muestra y
(C, C, C) 0 (C, F, F) 2
(C, C, F) 1 (F, C, F) 2
(C, F, C) 1 (F, F, C) 2
(F, C, C) 1 (F, F, F) 3

22. • Si la población está igualmente dividida entre F y C,
estas ocho muestras son igualmente posibles y la
distribución de probabilidad de la variable aleatoria y
(el número a favor) es
y P(y)
0 1/8
1 3/8
2 3/8
3 1/8
En la práctica, las distribuciones de probabilidad son
estimadas de datos muestrales y entonces tienen una
forma de distribuciones de frecuencias