3) Mecánica Cuántica

1. 3) MECÁNICA CUÁNTICA

2.  F.CLASICA : Determinista
Y
X
t=0 t=1 g
y Vo
{1900} F.CUÁNTICA : Indeterminista
e- 1
2
{1925} , W Heisenberg
Mecánica Matricial : [ ] estados
{1926} E Schroedinger
 Mecánica ondulatoria
r t
( , )
O y =
y x t
: ( , )
E E x t
( , )
=
E E r t
( , )
Y
ü
ïþ
ïý
=
{1929} CUÁNTICA - RELATIVIDAD , Dirac - Sommerfeld

3. 3.1) Experimento de la doble
rendija
e-
1
D
2
D’ pantalla
La radiación de e-s
sobre las rendijas 1 y 2 produce un patrón de interferencia
por difracción en la pantalla. Esta interferencia tiene que entenderse como
producida por una “presencia” del electrón tanto en 1 como en 2.

4. Si el experimento se realiza anulando una de las rendijas se obtendrían patrones
típicos para c/u de ellos. Es más, si se superpone el experimento por una y luego por
la otra, el patrón final no mostraría interferencia.
e-
1
2
e-
2
1
a)
b)
X’
2
1 Y
2
2 Y
2
1 Y 2
+ Y2
Si los estados de los electrones son descritos por funciones Ψ, Ψ:e-s por 1 y
1Ψ:e-s por 2, entonces, las probabilidades de encontrar a los electrones en Y se
22 determina con los Y
, por lo tanto, las curvas de probabilidad
correspondientes a α y β son solo función de los estados Ψy Ψ1 2
correspondientes e inclusive cuando se superponen en el experimento.
X’
Y’
Y’

5. Sin embargo el resultado original muestra interferencia, esto es, los estados e-s
deben de influirse en 1 y 2 para que el patrón se pueda explicar, por lo tanto , el
estado del e- debe de especificarse así:
Ψe= Ψ1+ Ψ2
De esta forma, al determinar la probabilidad para un e- se justifica la
interferencia,
2 2 2 2
- Y = Y +Y = Y + Y + Y Y
1 2 1 2 1 2
1 2
2 cos
:
e
desfasaje entre
f
f
Y ÙY
En este experimento el e- esta deslocalizado debido a que deberá
estar presente en 1 y 2.

6. 3.2) PRINCIPIOS DE INCERTIDUMBRE
DE HEISENBERG
i) DE LA POSICIÓN Y DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO (r y p)
x
p
DxDp ³
2
Dx
Dp
: incertidumbre de la posición
: incertidumbre de la cantidad de
movimiento lineal
Esta relación describe una interacción con
el sistema que no se puede controlar, es
proceso del universo.
ii) DE LA ENERGÍA Y DEL TIEMPO
DEDt ³
2
DE
Dt
: incertidumbre de la energía
: incertidumbre del tiempo

7. 3.3) FUNCIÓN DE ONDA Ψ
Es la función que describe el estado del sistema. Esto es, en ella está contenida
toda la información del sistema.
r P
r r t v a
r r t continua
da Ley F m d r r
T 2
r r r
2
( )
( )
2 : RES
dt
= ® ®
= ®
= ®
ur uur
OEM E B
E E x t E x t E sen kx wt
E deOEM
E E v c
x v t
" : "
( , ) ( , ) { }
2 1
2
2 2 2
M
c
f
-
® = - +
¶ = ¶ ® =
¶ ¶

8. e- e- Ψ
X
= =
x t = x t =
x
( , ) ( , ) ( )
( x )
x
PSI v
{ }
CF
y y y
y
®
M
Valores
asociados
Probabilidad
H Ψ=E Ψ
Ec. de Schroedinger
La Ψ no es cuantificable, NO OBSERVABLE, sin embargo
las mediciones se efectuarán con |Ψ|2 ,el cual se interpreta como
densidad de probabilidad.

9. |Ψ|2 :: ddeennssiiddaadd ddee pprroobbaabbiilliiddaadd ……
IInnddiiccaa llaa pprroobbaabbiilliiddaadd ddee eennccoonnttrraarr aa llaa ppaarrttííccuullaa
eenn cciieerrttoo vvoolluummeenn yy eenn cciieerrttoo ttiieemmppoo..
|Ψ|2dv :… en el V=dv
|Ψ(x)|2dx : probabilidad de encontrar a la partícula en dx
P
v
a x b
¬
b
[ ] ® = ò Y
ab x x a b P dx
a
x X
2
( ) " ": ,

10. Debido a que la partícula debe encontrarse en el eje X, se establece la
condición de normalidad de Ψ,
¥
ò y 2 dx =1
$ de la partícula en X!
-¥
Las CF se describen usando sus valores esperados , CF <CF>
¥
ò{ }
CF = CF dx 2 y
-¥
Ψ: Describe al sistema
Ψ  Interpretar

11. Ejemplo: Problema de la partícula
en una caja
x
m v
L
La partícula de masa m se mueve en una caja de lado L con
velocidad v.
Estado Cinemático: v
Sistema restringido: x
Discretizar
< 0,L>

12. Este confinamiento de m es lo que producirá, en la versión cuántica del
problema, los estados discretos,
Ψ Ψn  En ; n =1,2,3,…
Debido a que la v = cte y al confinamiento, entendiendo a este último
como que m no podría estar en X=0 o L , la función de onda que
describe los estados de m es,
y (x) º Asen{ kx}
k = 2p
Donde se escogerá de tal manera que describa la
l probabilidad cero de encontrar a m en x=0 o L,
kx = n x =
L
kL n n
k n
, 0,
; 1,2,3 ,...
p
=
p p
l
2 ,
2
2
=
=
® º
n n
n
n
L
L nv
n L
p
l =
n
=
ì ü
y x Asen p x n
( ) 2 ; 1, 2,3,... n
º í ý =
l
î n
þ

13. Estos n estados de m tienen asociadas energías, Ek,n dadas por
{ }
1
2 2 2 2
ì ü
ïï ïï
í æ öý ï ç ¸ï = îï è øïþ = = =
2
2
2
2 2
2
2
n n
= = = =
, 2
2
2 2
2 ,
2
8
2
8
kn n
( ) , k n
n
k n n
n
E h n
mL
h
E mv p h
m m m
h
L
n h n E E
m L m
x ASen nx
L
l
l
y p
ý = = ì ü íî
þ
Principio de
incertidumbre
Ψ Ψ
0 L
Ψn Ψn2=| Ψn |2
L/3
L/3
2L/3
2L/3
0 L/2 L 0 L/2 L
En (E1)
9
4
1
n
3
2
1
v=cte

14. 3.4) LA ECUACION DE SCHROEDINGER
Es la ecuación que debe satisfacer las funciones de onda Ψ y puede
ser tan compleja como uno desee en el contexto de acercarse mejor a
la descripción del problema físico. Por ejemplo,
1. HΨ=E Ψ Estados estacionarios
H: Hamiltoneano operador de energía.
E: energía del estado estacionario.
2. Ec de Schroedinger
F. clásica Física Cuántica
{ }
x t A x Cos wt
x t x t
x v t
A x t Cos wt A x t w Cos wt
y =
y a
y y b
( , ) ( ) .......................( )
( , ) 1 ( , ) ..........................( )
¶ = ¶
¶ ¶
ì¶ y ( , ) ü í ý = 1 y
( , )
- î ¶ þ
¶ = - = -
¶ h
{ } { } { { }}
2 2
2 2 2
2
2
2 2
x v
x t w x t p x t
x v
2 2 2
y y y
( , ) , ( , ) ( , )
2 2 2
2
ì ü
pu p l
2 2
v
2 2 2
2
ì ü ï ï ì ü = í ý = í ý = í ý
î þ ï ï î þ
w p
v v v
î þ
h

15. …..... Ec de Schrodinger
E E E cte
E p E E p m E E
= + =
= = - ® = -
¶ = - -
¶ h
( )
k p p
m
x m E E x
{ }
k p
2
2
2
2 2
2
2
( ) 2 ( )
p
x
y y
y y y
- h
¶
2
- Ñ + = ¶
y y y
v E
y y
m
t
v ih
h
m
Ep E
m x
=
þ ý ü
î í ì
2
- +
þ ý ü
î í ì
¶
+ =
¶
2
2
2
2
2
2
h
3. Caso general
¶ h
h
i y = - Ñ y + y
¶
( , ) ( , ) ( , )
( , ) 2
2
2
r t V r t r t
m
r t
t
2
x y ¶z
2
2
+ ¶
y y y 2
2
2
+ ¶
¶
¶
¶

16. Resolviendo el ejercicio…
¥ ¥
v
Ep
0 L
2
2 2
..
2
2
2
2
2 2 2
0
0 : 2
0 ( ) { }
( ) 2
............
8
: 1 ( )
2
n
L
L m E
x
x x x t ASen wt
x ASen mE x
ASen nx
L
E h n
mL
A Normalización dx A Sen cx dx
A
L
y y
a
y
p
y
¥
-¥
- ¶ = -
¶
+ = ® =
ìï ïü = í ý
îï ïþ
® = ì ü í ý
î þ
=
® = =
=
ò ò
h
h
%
x