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3) MECÁNICA CUÁNTICA
 F.CLASICA : Determinista 
Y 
X 
t=0 t=1 g 
y Vo 
{1900} F.CUÁNTICA : Indeterminista 
e- 1 
2 
{1925} , W Heisenberg 
Mecánica Matricial : [ ] estados 
{1926} E Schroedinger 
 Mecánica ondulatoria 
r t 
( , ) 
O y = 
y x t 
: ( , ) 
E E x t 
( , ) 
= 
E E r t 
( , ) 
Y 
ü 
ïþ 
ïý 
= 
{1929} CUÁNTICA - RELATIVIDAD , Dirac - Sommerfeld
3.1) Experimento de la doble 
rendija 
e- 
1 
D 
2 
D’ pantalla 
La radiación de e-s 
sobre las rendijas 1 y 2 produce un patrón de interferencia 
por difracción en la pantalla. Esta interferencia tiene que entenderse como 
producida por una “presencia” del electrón tanto en 1 como en 2.
Si el experimento se realiza anulando una de las rendijas se obtendrían patrones 
típicos para c/u de ellos. Es más, si se superpone el experimento por una y luego por 
la otra, el patrón final no mostraría interferencia. 
e- 
1 
2 
e- 
2 
1 
a) 
b) 
X’ 
2 
1 Y 
2 
2 Y 
2 
1 Y 2 
+ Y2 
Si los estados de los electrones son descritos por funciones Ψ, Ψ:e-s por 1 y 
1Ψ:e-s por 2, entonces, las probabilidades de encontrar a los electrones en Y se 
22 determina con los Y 
, por lo tanto, las curvas de probabilidad 
correspondientes a α y β son solo función de los estados Ψy Ψ1 2 
correspondientes e inclusive cuando se superponen en el experimento. 
X’ 
Y’ 
Y’
Sin embargo el resultado original muestra interferencia, esto es, los estados e-s 
deben de influirse en 1 y 2 para que el patrón se pueda explicar, por lo tanto , el 
estado del e- debe de especificarse así: 
Ψe= Ψ1+ Ψ2 
De esta forma, al determinar la probabilidad para un e- se justifica la 
interferencia, 
2 2 2 2 
- Y = Y +Y = Y + Y + Y Y 
1 2 1 2 1 2 
1 2 
2 cos 
: 
e 
desfasaje entre 
f 
f 
Y ÙY 
En este experimento el e- esta deslocalizado debido a que deberá 
estar presente en 1 y 2.
3.2) PRINCIPIOS DE INCERTIDUMBRE 
DE HEISENBERG 
i) DE LA POSICIÓN Y DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO (r y p) 
x 
p 
DxDp ³ 
2 
Dx 
Dp 
: incertidumbre de la posición 
: incertidumbre de la cantidad de 
movimiento lineal 
Esta relación describe una interacción con 
el sistema que no se puede controlar, es 
proceso del universo. 
ii) DE LA ENERGÍA Y DEL TIEMPO 
DEDt ³ 
2 
DE 
Dt 
: incertidumbre de la energía 
: incertidumbre del tiempo
3.3) FUNCIÓN DE ONDA Ψ 
Es la función que describe el estado del sistema. Esto es, en ella está contenida 
toda la información del sistema. 
r P 
r r t v a 
r r t continua 
da Ley F m d r r 
T 2 
r r r 
2 
( ) 
( ) 
2 : RES 
dt 
= ® ® 
= ® 
= ® 
ur uur 
OEM E B 
E E x t E x t E sen kx wt 
E deOEM 
E E v c 
x v t 
" : " 
( , ) ( , ) { } 
2 1 
2 
2 2 2 
M 
c 
f 
- 
® = - + 
¶ = ¶ ® = 
¶ ¶
e- e- Ψ 
X 
= = 
x t = x t = 
x 
( , ) ( , ) ( ) 
( x ) 
x 
PSI v 
{ } 
CF 
y y y 
y 
® 
M 
Valores 
asociados 
Probabilidad 
H Ψ=E Ψ 
Ec. de Schroedinger 
La Ψ no es cuantificable, NO OBSERVABLE, sin embargo 
las mediciones se efectuarán con |Ψ|2 ,el cual se interpreta como 
densidad de probabilidad.
|Ψ|2 :: ddeennssiiddaadd ddee pprroobbaabbiilliiddaadd …… 
IInnddiiccaa llaa pprroobbaabbiilliiddaadd ddee eennccoonnttrraarr aa llaa ppaarrttííccuullaa 
eenn cciieerrttoo vvoolluummeenn yy eenn cciieerrttoo ttiieemmppoo.. 
|Ψ|2dv :… en el V=dv 
|Ψ(x)|2dx : probabilidad de encontrar a la partícula en dx 
P 
v 
a x b 
¬ 
b 
[ ] ® = ò Y 
ab x x a b P dx 
a 
x X 
2 
( ) " ": ,
Debido a que la partícula debe encontrarse en el eje X, se establece la 
condición de normalidad de Ψ, 
¥ 
ò y 2 dx =1 
$ de la partícula en X! 
-¥ 
Las CF se describen usando sus valores esperados , CF <CF> 
¥ 
ò{ } 
CF = CF dx 2 y 
-¥ 
Ψ: Describe al sistema 
Ψ  Interpretar
Ejemplo: Problema de la partícula 
en una caja 
x 
m v 
L 
La partícula de masa m se mueve en una caja de lado L con 
velocidad v. 
Estado Cinemático: v 
Sistema restringido: x 
Discretizar 
< 0,L>
Este confinamiento de m es lo que producirá, en la versión cuántica del 
problema, los estados discretos, 
Ψ Ψn  En ; n =1,2,3,… 
Debido a que la v = cte y al confinamiento, entendiendo a este último 
como que m no podría estar en X=0 o L , la función de onda que 
describe los estados de m es, 
y (x) º Asen{ kx} 
k = 2p 
Donde se escogerá de tal manera que describa la 
l probabilidad cero de encontrar a m en x=0 o L, 
kx = n x = 
L 
kL n n 
k n 
, 0, 
; 1,2,3 ,... 
p 
= 
p p 
l 
2 , 
2 
2 
= 
= 
® º 
n n 
n 
n 
L 
L nv 
n L 
p 
l = 
n 
= 
ì ü 
y x Asen p x n 
( ) 2 ; 1, 2,3,... n 
º í ý = 
l 
î n 
þ
Estos n estados de m tienen asociadas energías, Ek,n dadas por 
{ } 
1 
2 2 2 2 
ì ü 
ïï ïï 
í æ öý ï ç ¸ï = îï è øïþ = = = 
2 
2 
2 
2 2 
2 
2 
n n 
= = = = 
, 2 
2 
2 2 
2 , 
2 
8 
2 
8 
kn n 
( ) , k n 
n 
k n n 
n 
E h n 
mL 
h 
E mv p h 
m m m 
h 
L 
n h n E E 
m L m 
x ASen nx 
L 
l 
l 
y p 
ý = = ì ü íî 
þ 
Principio de 
incertidumbre 
Ψ Ψ 
0 L 
Ψn Ψn2=| Ψn |2 
L/3 
L/3 
2L/3 
2L/3 
0 L/2 L 0 L/2 L 
En (E1) 
9 
4 
1 
n 
3 
2 
1 
v=cte
3.4) LA ECUACION DE SCHROEDINGER 
Es la ecuación que debe satisfacer las funciones de onda Ψ y puede 
ser tan compleja como uno desee en el contexto de acercarse mejor a 
la descripción del problema físico. Por ejemplo, 
1. HΨ=E Ψ Estados estacionarios 
H: Hamiltoneano operador de energía. 
E: energía del estado estacionario. 
2. Ec de Schroedinger 
F. clásica Física Cuántica 
{ } 
x t A x Cos wt 
x t x t 
x v t 
A x t Cos wt A x t w Cos wt 
y = 
y a 
y y b 
( , ) ( ) .......................( ) 
( , ) 1 ( , ) ..........................( ) 
¶ = ¶ 
¶ ¶ 
ì¶ y ( , ) ü í ý = 1 y 
( , ) 
- î ¶ þ 
¶ = - = - 
¶ h 
{ } { } { { }} 
2 2 
2 2 2 
2 
2 
2 2 
x v 
x t w x t p x t 
x v 
2 2 2 
y y y 
( , ) , ( , ) ( , ) 
2 2 2 
2 
ì ü 
pu p l 
2 2 
v 
2 2 2 
2 
ì ü ï ï ì ü = í ý = í ý = í ý 
î þ ï ï î þ 
w p 
v v v 
î þ 
h
…..... Ec de Schrodinger 
E E E cte 
E p E E p m E E 
= + = 
= = - ® = - 
¶ = - - 
¶ h 
( ) 
k p p 
m 
x m E E x 
{ } 
k p 
2 
2 
2 
2 2 
2 
2 
( ) 2 ( ) 
p 
x 
y y 
y y y 
- h 
¶ 
2 
- Ñ + = ¶ 
y y y 
v E 
y y 
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þ ý ü 
î í ì 
2 
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þ ý ü 
î í ì 
¶ 
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¶ 
2 
2 
2 
2 
2 
2 
h 
3. Caso general 
¶ h 
h 
i y = - Ñ y + y 
¶ 
( , ) ( , ) ( , ) 
( , ) 2 
2 
2 
r t V r t r t 
m 
r t 
t 
2 
x y ¶z 
2 
2 
+ ¶ 
y y y 2 
2 
2 
+ ¶ 
¶ 
¶ 
¶
Resolviendo el ejercicio… 
¥ ¥ 
v 
Ep 
0 L 
2 
2 2 
.. 
2 
2 
2 
2 
2 2 2 
0 
0 : 2 
0 ( ) { } 
( ) 2 
............ 
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: 1 ( ) 
2 
n 
L 
L m E 
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x x x t ASen wt 
x ASen mE x 
ASen nx 
L 
E h n 
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A Normalización dx A Sen cx dx 
A 
L 
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y 
¥ 
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- ¶ = - 
¶ 
+ = ® = 
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® = ì ü í ý 
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® = = 
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3) Mecánica Cuántica

  • 2.  F.CLASICA : Determinista Y X t=0 t=1 g y Vo {1900} F.CUÁNTICA : Indeterminista e- 1 2 {1925} , W Heisenberg Mecánica Matricial : [ ] estados {1926} E Schroedinger  Mecánica ondulatoria r t ( , ) O y = y x t : ( , ) E E x t ( , ) = E E r t ( , ) Y ü ïþ ïý = {1929} CUÁNTICA - RELATIVIDAD , Dirac - Sommerfeld
  • 3. 3.1) Experimento de la doble rendija e- 1 D 2 D’ pantalla La radiación de e-s sobre las rendijas 1 y 2 produce un patrón de interferencia por difracción en la pantalla. Esta interferencia tiene que entenderse como producida por una “presencia” del electrón tanto en 1 como en 2.
  • 4. Si el experimento se realiza anulando una de las rendijas se obtendrían patrones típicos para c/u de ellos. Es más, si se superpone el experimento por una y luego por la otra, el patrón final no mostraría interferencia. e- 1 2 e- 2 1 a) b) X’ 2 1 Y 2 2 Y 2 1 Y 2 + Y2 Si los estados de los electrones son descritos por funciones Ψ, Ψ:e-s por 1 y 1Ψ:e-s por 2, entonces, las probabilidades de encontrar a los electrones en Y se 22 determina con los Y , por lo tanto, las curvas de probabilidad correspondientes a α y β son solo función de los estados Ψy Ψ1 2 correspondientes e inclusive cuando se superponen en el experimento. X’ Y’ Y’
  • 5. Sin embargo el resultado original muestra interferencia, esto es, los estados e-s deben de influirse en 1 y 2 para que el patrón se pueda explicar, por lo tanto , el estado del e- debe de especificarse así: Ψe= Ψ1+ Ψ2 De esta forma, al determinar la probabilidad para un e- se justifica la interferencia, 2 2 2 2 - Y = Y +Y = Y + Y + Y Y 1 2 1 2 1 2 1 2 2 cos : e desfasaje entre f f Y ÙY En este experimento el e- esta deslocalizado debido a que deberá estar presente en 1 y 2.
  • 6. 3.2) PRINCIPIOS DE INCERTIDUMBRE DE HEISENBERG i) DE LA POSICIÓN Y DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO (r y p) x p DxDp ³ 2 Dx Dp : incertidumbre de la posición : incertidumbre de la cantidad de movimiento lineal Esta relación describe una interacción con el sistema que no se puede controlar, es proceso del universo. ii) DE LA ENERGÍA Y DEL TIEMPO DEDt ³ 2 DE Dt : incertidumbre de la energía : incertidumbre del tiempo
  • 7. 3.3) FUNCIÓN DE ONDA Ψ Es la función que describe el estado del sistema. Esto es, en ella está contenida toda la información del sistema. r P r r t v a r r t continua da Ley F m d r r T 2 r r r 2 ( ) ( ) 2 : RES dt = ® ® = ® = ® ur uur OEM E B E E x t E x t E sen kx wt E deOEM E E v c x v t " : " ( , ) ( , ) { } 2 1 2 2 2 2 M c f - ® = - + ¶ = ¶ ® = ¶ ¶
  • 8. e- e- Ψ X = = x t = x t = x ( , ) ( , ) ( ) ( x ) x PSI v { } CF y y y y ® M Valores asociados Probabilidad H Ψ=E Ψ Ec. de Schroedinger La Ψ no es cuantificable, NO OBSERVABLE, sin embargo las mediciones se efectuarán con |Ψ|2 ,el cual se interpreta como densidad de probabilidad.
  • 9. |Ψ|2 :: ddeennssiiddaadd ddee pprroobbaabbiilliiddaadd …… IInnddiiccaa llaa pprroobbaabbiilliiddaadd ddee eennccoonnttrraarr aa llaa ppaarrttííccuullaa eenn cciieerrttoo vvoolluummeenn yy eenn cciieerrttoo ttiieemmppoo.. |Ψ|2dv :… en el V=dv |Ψ(x)|2dx : probabilidad de encontrar a la partícula en dx P v a x b ¬ b [ ] ® = ò Y ab x x a b P dx a x X 2 ( ) " ": ,
  • 10. Debido a que la partícula debe encontrarse en el eje X, se establece la condición de normalidad de Ψ, ¥ ò y 2 dx =1 $ de la partícula en X! -¥ Las CF se describen usando sus valores esperados , CF <CF> ¥ ò{ } CF = CF dx 2 y -¥ Ψ: Describe al sistema Ψ  Interpretar
  • 11. Ejemplo: Problema de la partícula en una caja x m v L La partícula de masa m se mueve en una caja de lado L con velocidad v. Estado Cinemático: v Sistema restringido: x Discretizar < 0,L>
  • 12. Este confinamiento de m es lo que producirá, en la versión cuántica del problema, los estados discretos, Ψ Ψn  En ; n =1,2,3,… Debido a que la v = cte y al confinamiento, entendiendo a este último como que m no podría estar en X=0 o L , la función de onda que describe los estados de m es, y (x) º Asen{ kx} k = 2p Donde se escogerá de tal manera que describa la l probabilidad cero de encontrar a m en x=0 o L, kx = n x = L kL n n k n , 0, ; 1,2,3 ,... p = p p l 2 , 2 2 = = ® º n n n n L L nv n L p l = n = ì ü y x Asen p x n ( ) 2 ; 1, 2,3,... n º í ý = l î n þ
  • 13. Estos n estados de m tienen asociadas energías, Ek,n dadas por { } 1 2 2 2 2 ì ü ïï ïï í æ öý ï ç ¸ï = îï è øïþ = = = 2 2 2 2 2 2 2 n n = = = = , 2 2 2 2 2 , 2 8 2 8 kn n ( ) , k n n k n n n E h n mL h E mv p h m m m h L n h n E E m L m x ASen nx L l l y p ý = = ì ü íî þ Principio de incertidumbre Ψ Ψ 0 L Ψn Ψn2=| Ψn |2 L/3 L/3 2L/3 2L/3 0 L/2 L 0 L/2 L En (E1) 9 4 1 n 3 2 1 v=cte
  • 14. 3.4) LA ECUACION DE SCHROEDINGER Es la ecuación que debe satisfacer las funciones de onda Ψ y puede ser tan compleja como uno desee en el contexto de acercarse mejor a la descripción del problema físico. Por ejemplo, 1. HΨ=E Ψ Estados estacionarios H: Hamiltoneano operador de energía. E: energía del estado estacionario. 2. Ec de Schroedinger F. clásica Física Cuántica { } x t A x Cos wt x t x t x v t A x t Cos wt A x t w Cos wt y = y a y y b ( , ) ( ) .......................( ) ( , ) 1 ( , ) ..........................( ) ¶ = ¶ ¶ ¶ ì¶ y ( , ) ü í ý = 1 y ( , ) - î ¶ þ ¶ = - = - ¶ h { } { } { { }} 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x v x t w x t p x t x v 2 2 2 y y y ( , ) , ( , ) ( , ) 2 2 2 2 ì ü pu p l 2 2 v 2 2 2 2 ì ü ï ï ì ü = í ý = í ý = í ý î þ ï ï î þ w p v v v î þ h
  • 15. …..... Ec de Schrodinger E E E cte E p E E p m E E = + = = = - ® = - ¶ = - - ¶ h ( ) k p p m x m E E x { } k p 2 2 2 2 2 2 2 ( ) 2 ( ) p x y y y y y - h ¶ 2 - Ñ + = ¶ y y y v E y y m t v ih h m Ep E m x = þ ý ü î í ì 2 - + þ ý ü î í ì ¶ + = ¶ 2 2 2 2 2 2 h 3. Caso general ¶ h h i y = - Ñ y + y ¶ ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 2 2 2 r t V r t r t m r t t 2 x y ¶z 2 2 + ¶ y y y 2 2 2 + ¶ ¶ ¶ ¶
  • 16. Resolviendo el ejercicio… ¥ ¥ v Ep 0 L 2 2 2 .. 2 2 2 2 2 2 2 0 0 : 2 0 ( ) { } ( ) 2 ............ 8 : 1 ( ) 2 n L L m E x x x x t ASen wt x ASen mE x ASen nx L E h n mL A Normalización dx A Sen cx dx A L y y a y p y ¥ -¥ - ¶ = - ¶ + = ® = ìï ïü = í ý îï ïþ ® = ì ü í ý î þ = ® = = = ò ò h h % x