El cambio climático es un fenómeno con efectos sobre el clima, está asociado a la intervención humana por la producción y acumulación de gases de efecto invernadero, como el CO2, en la atmosfera. El observatorio del volcán Mauna Loa, en Hawái, se dedica al monitoreo de la concentración de CO2 sobre la superficie de los mares, teniendo un registro desde el año 1980 hasta 2015. Con base en un proceso estadístico,fue posible establecer un modelo matemático que aproxima la concentración del CO2, por año. Con el desarrollo de esta actividad podrás identificar cómo se obtiene la derivada y comprender para qué sirve su obtención.

2. Módulo18. Cálculoenfenómenosnaturalesyprocesossociales
UnidadII. La derivadaenlaexplicaciónde losfenómenosnaturalesyprocesossociales
Semana3
Autor: María Guadalupe Serrano Briceño
Actividad Integradora. Concentración de CO2 en una función.
1.- Lee con detenimientolasiguientesituación:
El cambio climáticoesun fenómenoconefectossobre el clima,está asociadoa la intervenciónhumanapor
la producción y acumulación de gases de efecto invernadero, como el CO2, en la atmosfera.
El observatoriodel volcánMaunaLoa, en Hawái,se dedicaal monitoreode laconcentraciónde CO2 sobre la
superficie de los mares, teniendo un registro desde el año 1980 hasta 2015. Con base en un proceso
estadístico, similar al que se revisó en el Módulo 17, fue posible establecer un modelo matemático que
aproxima la concentración del CO2, por año.
A continuación, se muestra una gráfica de los datos obtenidos por este centro de monitoreo del promedio
anual de CO2 sobre la superficie del mar, para más información puedes consultar la página del observatorio
directamente.
Para pensarestafunciónde crecimientose consideraelaño1980 comoel iniciode lamediciónde tiempo,es
decir, se toma como t = 0, a partir de este punto comienza a avanzar la variable temporal, por último, se
ajustanlas escalaspara que losejestenganel mismotamañoentre cada valor,esto,porque eslaforma más
común de trabajarlo, de manera que la gráfica resultante es:

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Usando herramientas de Excel se ha generado un ajuste exponencial (en el Módulo 17 de Estadística se
trabajaron ajustes lineales), dado por:
f(t)=333.08e0.005t
La gráfica de este ajuste se presenta en la siguiente figura:
2. Ahoraanaliza haciendo uso del modelo exponencial propuesto como la función que define la
concentración de CO2 y aplicando diferenciales. Luego debes aplicar y solucionar lo siguiente:
a). Aproxima el cambio en la concentración de CO2 en los mares de 1980 a 1984.
Para obtenerladerivadade f(t)=333.08e0.005t
seguimoslossiguientespasos(t= x):
𝑑
𝑑𝑥
(333.08𝑒0.005𝑥) = 333.08
𝑑
𝑑𝑥
(𝑒0.005𝑥)
Aplicarlareglade cadena: 333.08
𝑑
𝑑𝑢
(𝑒 𝑢)
𝑑
𝑑𝑥
(0.005𝑥)
Aplicarreglade derivación:
𝑑
𝑑𝑥
(0.005𝑥) = 0.005𝑥 = 0.005
𝑑
𝑑𝑥
( 𝑥) = 0.005 ∙ 1 = 0.005
Utilizaladiferencial de unafunciónparaencontrarel cambiode 0 a 4:
𝑓( 𝑥 + ∆𝑥) ≈ 𝑓(𝑥) + 𝑓′( 𝑥) 𝑑𝑥

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𝑑
𝑑𝑢
( 𝑒 𝑢) = 𝑒 𝑢
333.08𝑒 𝑢 ∙ 0.005 = 333.08𝑒0.005𝑥 ∙ 0.005 = 1.6654𝑒0.005𝑥
𝑓′( 𝑥) = 1.6654𝑒0.005𝑥
Antes de pasar a utilizar la fórmula, importa aclara un concepto utilizado. La regla de la cadena, que no es
más que la resultante de la derivada de la composición de 2 funciones,
para estoanalizaremossuteoremael cual nosdice:
 Si y = ƒ(u) es unafunciónderivable de u
 Si u = g(x) es una funciónderivable de x
Entoncespodemosdecirque:
 y = ƒ(g(x)) esunafunciónderivablede x
Y por tal podemosdecirque: dy/dx=(dy/du)(du/dx)
u es una función diferenciable de x, y f es una función diferenciable de u, entonces f es una función
diferenciable de x, y.
Ahorabien,si ya conocemosel valorde f’(x),sustituimosvaloresenlafórmulaparaencontrarel resultado
del cambio de la concentracióndel CO2enlos maresenlosaños 1980 a 1984:
𝑓( 𝑥 + ∆𝑥) ≈ 𝑓(𝑥) + 𝑓′( 𝑥) 𝑑𝑥
DATOS
1980 1984 ∆x=dx x f(x) f’(x)
x = t = 0 x = t = 4 4-0=4 0 333.08 1.6654e0.005x
𝑓( 𝑂 + 4) ≈ 𝑓(0) + 1.6654𝑒0.005𝑥 ∙ 4 = 𝑓(4) ≈ 𝑓(0) + 16654𝑒0.005𝑥 ∙ 4
= 𝑓(4) ≈ 333.08 + 1.6654(1)(4) = 339.7416
La aproximacióndel cambio delaconcentración del CO2enlosmaresenlosaños1980a1984fue de 339.7416
ppm.

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Este dato se encuentra validado con el dato que figura en color amarillo en la gráfica y tabulación que se
muestra a continuación.
b) Determinala ecuaciónde larecta tangente a lagráfica del ajuste exponencial,esdecir,af(x)=333.08e0.005t,
en el punto t=0, y úsala para aproximar la concentración de CO2 en t = 4.
Conforme los datos conocidos, tenemos que la ecuación de la tangente a f(x) = 333.08e0.005x
en el punto P1
(x1, y1) = (0, 333.08) es:
𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1)
𝑚 = 𝑓′(𝑥1) = 𝑓′(0) = 1.6654𝑒0.005(0)
= 1.6654 ∙ 1 = 1.6654
El valorde la pendiente(m) es=1.6654
Ahorabien,si sustituimos valoresenlafórmula
𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1)
𝑦 − 333.08 = (1.6654)(𝑥 − 0)
La ecuaciónde larecta tangente es:
𝒚 = 𝟏. 𝟔𝟔𝟓𝟒𝒙 + 𝟑𝟑𝟑. 𝟎𝟖
Ya determinada la ecuación de la tangente, para aproximar la concentración del CO2 en t= 4:
𝑓( 𝑥) = 𝑦 = 1.6654𝑥 + 333.08

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𝑓(4) = 𝑦 = 1.6654(4) + 333.08 = 339.7416
De esta forma obtuvimos que la concentración de CO2 aproximada en 1984 fue de 339.7416 ppm.
Estosdatos loscorroboramosconlagráfica que se muestra,donde se encuentratrazadalatangente al punto
0 y se encuentralaecuaciónaladoizquierdoenamarillo,asícomolaaproximación a4. Cabe hacernotarque
los valores obtenidos, son aproximaciones y los valores contenidos en la gráfica, son valores redondeados,
por ello la ínfima diferencia.
c) Compara turesultadocon lo obtenidoenel incisoanterior,respondes¿qué conclusionespuedesgenerar
al observar estas mediciones?
De la comparación efectuada entre losresultados en ambos incisos (a y b) de este trabajo, tenemos que el
resultadoaproximadodel cambiode laconcentraciónde CO2 enlosmaresentre losaños1980 y1984, fue de
339.7416 ppm, al igual que al aproximar la concentración del mismo gas en t = 4.
En el primero de los casos se obtuvo la derivada de la función exponencial, que relaciona las variables “t” y
“y”; en donde su derivada
𝑑′
=
𝑑𝑦
𝑑𝑡
nos indicóla tasa de cambioo velocidadde cambiode la variable y con respectode la variable t,con loque
conocimosque el cambiode concentraciónde CO2 enlosmaresen losaños 1980 a 1984, fue encantidadde
339.7416 ppm.
En el segundo de los casos, determinamos la concentración del CO2 en base a un punto (t) de la curva,
utilizando la ecuación de la recta tangente

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𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1)
Buscandoel valor de la pendiente (m) yel valorde la derivadaf’(x) que yaconocíamos,loque noscondujoa
conocerque el valordel puntot=4 de lacurva,fue el mismoque enellapsode 1980a 1984, éste encantidad
de 339.7416 ppm.
Fuentes:
1.- SEP. s/f. La derivadaen la explicaciónde losfenómenosnaturalesyprocesossociales.UnidadII. Págs.5-
12. (Contenido extenso. Módulo 18: Calculo en fenómenos naturales y procesos sociales. Semana 3).
2. SEP. s/f. Diferencial.UnidadII.Págs. 1-3.(Recurso.Módulo18: Calculoenfenómenosnaturalesyprocesos
sociales. Semana 3).
3. SEP. s/f. Ecuaciones diferenciales. Unidad II. Págs. 1-3. (Recurso. Módulo 18: Calculo en fenómenos
naturales y procesos sociales. Semana 3).
4. RON, L. (2010). Cálculo de una variable. McGraw-Hill. Novena Edición. México. Págs. 352-357. PDF
recuperadoel 23 de enerode 2018 de https://es.slideshare.net/luisacevedonunez7/calculo-de-una-variable-
ron-larson-y-bruce-edwards-novena-edicion-44057854