NOTA: Prepa en Línea SEP. “Para realizar esta actividad es necesario que hayas revisado el tema 1, “Diferencial”, de la unidad 2, ahí encontrarás los referentes teóricos que te permitirán realizar esta actividad

1. ACTIVIDAD INTEGRADORA.
“Concentración de CO2 en una función”
Oscar Resendiz Rojas.
14 de diciembre de 2016
MODULO 18
M18C4G3-073
Facilitador
HECTOR FRANCISCO BERRONES CORTEZ
NOTA: Prepa en Línea SEP.
“Para realizar esta actividad es necesario que hayas revisado el tema 1, “Diferencial”, de la unidad 2,
ahí encontrarás los referentes teóricos que te permitirán realizar esta actividad”.

2. ¿Qué hacer?
1. Lee con detenimiento la siguiente situación:
El cambio climático es un fenómeno con efectos sobre el clima, está asociado a la
intervención humana por la producción y acumulación de gases de efecto invernadero,
como el CO2, en la atmosfera.
El observatorio del volcán Mauna Loa, en Hawái, se dedica al monitoreo de la concentración de
CO2 sobre la superficie de los mares, teniendo un registro desde el año 1980 hasta 2015. Con base
en un proceso estadístico, similar al que se revisó en el Módulo 17, fue posible establecer un modelo
matemático que aproxima la concentración del CO2, por año.
A continuación, se muestra una gráfica de los datos obtenidos por este centro de monitoreo1 del
promedio anual de CO2 sobre la superficie del mar, para más información puedes consultar la página
del observatorio directamente.
Para pensar esta función de crecimiento se considera el año 1980 como el inicio de la medición de
tiempo, es decir, se toma como t = 0, a partir de este punto comienza a avanzar la variable temporal,
por último, se ajustan las escalas para que los ejes tengan el mismo tamaño entre cada valor, esto,
porque es la forma más común de trabajarlo, de manera que la gráfica resultante es:

3. Usando herramientas de Excel se ha generado un ajuste exponencial (en el Módulo 17
de Estadística se trabajaron ajustes lineales), dado por:
f(t)=337.09e0.0047x
La gráfica de este ajuste se presenta en la siguiente figura:
2. Ahora analiza haciendo uso del modelo exponencial propuesto como la función que define la
concentración de CO2 y aplicando diferenciales. Luego debes aplicar y solucionar lo siguiente:
a) Aproxima el cambio en la concentración de CO2 en los mares de 1980 a 1984.
Utiliza la diferencial de una función para encontrar el cambio de o a 1:
Sustituyendo valores.
f(x)=337.09e0.0047x
X1 = Para 1980 tenemos que. X = 0 X2 = Para 1984 tenemos que. X = 1
La expresión de razón de cambio es:
∆X = X2 – X1 Sustitución. ∆X = 1 – 0 = 1 Entonces tenemos que el valor de “dx” es de “1”.
Ahora La función derivada de una función f(x) es una función que asocia a cada número real su
derivada, si existe. Se expresa por f'(x).
f(x)=337.09e0.0047x f'(x) = 337.09e0.0047x ∙ 0.0047
Calculamos y tenemos que. f'(x) = 1.584323e0.0047x

4. Como siguiente paso sustituimos valores.
f (x + ∆x) = f(x) + f' (x) dx
f (x + ∆x) = 337.09e0.0047x + 1.584323e0.0047x ∙ 1
En seguida tendremos que obtener el valor de X0 y para ello sustituiremos de la función anterior las “x”
que tienen un valor = 0.
f (x + ∆x) = 337.09e0.0047(0) + 1.584323e0.0047(0) ∙ 1
Que dándonos como resultado.
f (x + ∆x) = 338.674323
El resultado obtenido es mejor conocido como “dy” entonces dy = 338.674323
Ahora se sabe que el cambio en la concentración de CO2 en los mares de 1980 a 1984 es de
338.674323.
b) Determina la ecuación de la recta tangente a la gráfica del ajuste exponencial, es decir,
a f(x)=337.09e0.0047x, en el punto t=0, y úsala para aproximar la concentración de CO2 en t = 1.
Para determinar la ecuación de la recta tangente es necesario utilizar la formula.
y – y1 = m (x – x1) o es lo mismo que decir y – y1 = f' (x) (x – x1)
Como datos tenemos que.
X1 = 0 f' (x) = 1.584323
Retomamos la función f(x)=337.09e0.0047x y en seguida sustituimos x la cual tiene un valor de 0 así
obtendremos y1 que dándonos de la siguiente forma.
f (0) = 337.09e0.0047(0) f (0) = 337.09 = y1
Nota. “Todo exponente multiplicado por cero da cero y “e” a la cero da uno por tal motivo el
valor por uno da el mismo valor”.
Ya teniendo los valores anteriores realizaremos el despeje para obtener la ecuación de la recta
tangente.
y – y1 = f' (x) (x – x1)
Sustituimos valores.
y – 337.09 = 1.584323 (x – x1)
y – 337.09 = 1.584323x se elimina X1 ya que su valor es 0
Despejamos valores con signo contrario.
y = 1.584323x + 337.09

5. Con lo anterior se sabe que para determina la ecuación de la recta tangente utilizando la
función exponencial iniciando a partir del punto t = 0 o bien x = 0 es:
y = 1.584323x + 337.09
“Gráfica”
x f(x)=337.09∙e^(0.0047)(x) y=1.584323x + 337.09
0 337.09 337.09
1 338.68 338.67
2 340.27 340.26
3 341.88 341.84
2 340.27 340.26
5 345.11 345.01
6 346.73 346.60
7 348.36 348.18
8 350.01 349.76
9 351.65 351.35
10 353.31 352.93
11 354.98 354.52
12 356.65 356.10
13 358.33 357.69
14 360.02 359.27
15 361.71 360.85
16 363.42 362.44
17 365.13 364.02
18 366.85 365.61
19 368.58 367.19
20 370.31 368.78
335.00
340.00
345.00
350.00
355.00
360.00
365.00
370.00
375.00
0 5 10 15 20 25
Gráfica de ajuste exponencial.
"Concentración de CO2"
f(x)=337.09∙e^(0.0047)(x) y=1.584323x + 337.09

6. c) Compara tu resultado con lo obtenido en el inciso anterior, respondes ¿qué
conclusiones puedes generar al observar estas mediciones?
Se entiende en este caso que el grafico de lineas se usa para mostrar tendencias en el tiempo, (años,
meses y días), o en otro caso por categorias cuando su orden es importante.
Por otro lado, los resultados obtenidos en nuestra actividad muestran que aunque se utilizarón dos
métodos diferentes, como en el inciso “a” que se utilizo x + ∆x y en el inciso “b” se utilizo la función
para obtener la tangente, obserbamos que no existe gran diferencia en las mediciones, alo cual se
podría decir también que “x” es el valor obtenido del incremento, el cual es muy cercano al valor
obtenido por la función de la tangente.
Dicho lo anterior se puede determinar que es la misma cantidad, la función del diferencial que se usa
para aproximar el valor de la función en un punto próximo, la cual es la misma que la función que
proviene de la recta tangente en el punto 0.
Conclusión: Prepa en Línea SEP.
“Con el desarrollo de esta actividad podrás identificar cómo se obtiene la derivada y comprender para
qué sirve su obtención”.
Referencias:
Domínguez, O. (2016). Módulo 18-Semana 3-Concentracion de CO2,YouTube. Recuperado el 14 de diciembre
del2016, de https://www.youtube.com/watch?v=DL2qMmodFQk&t=3s
Figueroa, G. (2016). Módulo 18 - Concentración de CO2 - Semana 3. YouTube. Recuperado el 14 de diciembre
del 2016, de https://www.youtube.com/watch?v=sMspA4CESNA
SEP., P. e. (s/d de septiembre de 2016). M18 Calculo en fenómenos naturales y procesos sociales. Recuperado
el 14 de diciembre de 2016, de La derivada en la explicación de los fenómenos naturales y procesos sociales:
http://148.247.220.212/c4/pluginfile.php/10352/mod_resource/content/2/M18_U2_ext.pdf