Este documento describe el análisis experimental de circuitos RLC lineales y no lineales. Se estudia el comportamiento de un circuito RLC lineal sometido a una señal sinusoidal, estableciéndose la relación entre la frecuencia de resonancia y la amplitud de la señal. También se analiza un circuito RLC modificado con dos diodos, investigando la relación entre la frecuencia de resonancia y la amplitud del forzador, así como la histéresis. Se realizan montajes experimentales de ambos circuitos y se miden parámetros como volta

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Circuitos con Corriente Variables
Marcel Romero-Lucas Rocha-Marcelo Zorrilla
Resumen
En el presente trabajo se realizó un análisis del comportamiento de un circuito
RLC, donde se abordaron dos configuraciones de estos elementos; circuito RLC
lineal, en el cual se estudia el estado estacionario al someterlo a una
alimentación con una señal sinusoidal, estableciéndose para este caso la
relación entre la frecuencia de resonancia y la amplitud de la señal que lo fuerza.
Se analiza también un circuito RLC modificado con el agregado de un elemento
no lineal en serie, compuesto por un capacitor con dos diodos anti-paralelos, y
se investiga la relación entre la frecuencia angular de resonancia y la amplitud
del forzador; así como la histéresis.
1. Introducción
El análisis de los sistemas reales es de alta complejidad, ya que en su gran
mayoría son sistemas no lineales. En dinámica, los sistemas no lineales pueden
llegar a presentar un comportamiento caótico, pero dependiendo del sistema y
de su excitación, se pueden observar ciclos estables con características bien
definidas. Un ejemplo básico de oscilador no lineal es el sistema masa-resorte,
que para pequeñas oscilaciones presenta un régimen aproximadamente lineal.
En el presente trabajo se estudiará un circuito RLC serie. Dicha denominación
corresponde a una configuración de elementos resistivos (R), inductivos (L) y
capacitivos (C), que tradicionalmente ha sido estudiada como analogía de los
osciladores mecánicos.
En esta instancia se analiza el comportamiento de este tipo de circuitos
sometidos a una excitación sinusoidal (sistema forzado), por lo cual nos
detendremos en dos configuraciones particulares a partir de las cuales se
estudiará la respuesta lineal (Figura 1) y no lineal (Figura 2). Uno de los efectos
importantes que se presenta en sistemas de oscilación no lineal es la
dependencia de la amplitud de la frecuencia de resonancia frente a la amplitud
de excitación, por lo que nos detendremos específicamente observar dicha
dependencia.

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Figura 1: Esquema de un circuito RCL
Figura 2: Esquema de un circuito RCL no lineal utilizado
2. Fundamento Teórico
2.1Circuito RLC lineal
Un circuito RLC en serie está constituido por un capacitor (C), un inductor (L) y
un resistor (R) conectados como se muestra en Figura 1.
Si se analiza aplicando la ley de Mallas de Kirchhoff se tendrá:
𝑉𝑅 + 𝑉𝐶 + 𝑉𝐶 = 0 (1)
Lo que lleva a la siguiente ecuación diferencial lineal homogénea de segundo
grado:
𝐿𝑞̈ + 𝑅𝑞̇ +
1
𝐶
𝑞 = 0 (2)
2.1.1 Análisis de la resonancia lineal.
Si el circuito es alimentado por un generador que emite una señal de voltaje
sinusoidal, la ecuación que describe el comportamiento del sistema toma la
siguiente forma:
𝑞̈ +
𝑅
𝐿
𝑞̇ +
1
𝐿𝐶
𝑞 =
𝑉𝑜
𝐿
sin(𝜔𝑡) (3)

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A medida que varía la frecuencia angular de la fuente, la amplitud de corriente
cambia como se ilustra en la Figura 3, el valor máximo de la intensidad se da a
una frecuencia para la cual la impedancia es mínima. Este crecimiento máximo
de la amplitud de corriente a cierta frecuencia se llama resonancia del sistema.
𝑖 𝑚á𝑥 =
𝜀 𝑚á𝑥
√ 𝑅2 − (𝜔𝐿 −
1
𝜔𝐶
)2
(4)
La frecuencia angular a la que se presenta dicho máximo se denomina
frecuencia angular de resonancia. La misma se da cuando las reactancias
inductiva y capacitiva son iguales; por lo tanto, cuando:
ωres =
1
√LC
(5)
Siendo la frecuencia de resonancia independiente de la amplitud de la intensidad
de corriente en el circuito, así como también es independiente de la amplitud del
voltaje entregado por el generador.
Figura 3: Dependencia de la amplitud de la intensidad de corriente en el circuito con la frecuencia angular
con la que excita el generador. Curvas teórica

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2.2. Circuito RLC no lineal
2.2.1 Análisis sin forzamiento
Antes de analizar el circuito RCL no lineal, presentaremos una pequeña
descripción de un análogo mecánico a al mismo, para ello tomaremos el caso de
un sistema masa-resorte.
Un resorte no lineal tiene como expresión para su fuerza restauradora:
F = a𝑥 + b𝑥3
(6)
con a y b constantes positivas. La ecuación de movimiento queda entonces:
𝑥̈ + 2𝛾𝑥̇ + 𝛼𝑥 − 𝛽𝑥3
= 0 (7)
𝑐𝑜𝑛: 𝛾 =
𝑐
2𝑚
; 𝛼 =
𝑎
𝑚
𝑦 𝛽 =
𝑏
𝑚
donde c es el coeficiente de amortiguamiento del medio y m la masa.
Si reescribimos la ecuación (7) con K = - tenemos una ecuación de Duffing sin
término forzante.
𝑥̈ + 2𝛾𝑥̇ + 𝛼𝑥 + 𝐾𝑥3
= 0 (8)
Para lograr el análogo electrónico al circuito RLC estudiado anteriormente se le
incorporan componentes no lineales (formado por C1 en paralelo con dos
diodos), su comportamiento cambia sustancialmente. En la figura 3 se
representa dicho circuito.
Figura 4: Circuito RCL no lineal sin forzamiento
Si la diferencia de potencial entre los nodos que delimitan la malla de los diodos
se encuentra en la región de funcionamiento de los diodos, entonces la
capacitancia equivalente es la del capacitor 2 (Ceq = C2). Si dicha diferencia de
potencial se encuentra fuera de la región en la que conducen los diodos entonces
se puede pensar el circuito como si tuviera los dos capacitores por lo que la
capacitancia equivalente viene de
1
𝐶𝑒
=
1
𝐶1
+
1
𝐶2
(9)

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quedando así el voltaje de los elementos capacitivos del circuito en función de la
carga como se ve en la siguiente figura.
Figura 5: voltaje en función de la carga
Se puede apreciar claramente que la diferencia de potencial VC entre los
extremos de la rama donde se encuentran los capacitores no es proporcional a
la carga q almacenada en los mismos, comportándose de la siguiente forma:
𝑉𝑒 = 𝑞 {
𝐶𝑒
−1
𝑠𝑖 |𝑞| < 𝑞 𝑏
𝑎
𝐶2
−1
𝑒𝑛 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜
(10)
Donde qb el valor umbral de la carga para que conduzcan los diodos. De esta
forma se tiene una aproximación al tipo de curva de la fuerza restauradora de la
ecuación 6.
Escribiendo el voltaje de los elementos capacitivos como:
V𝐶 = 𝑎𝑞 + b𝑞3
(11)
de este modo, si aplicamos Kirchhoff, la ecuación del circuito queda:
𝑞̈ + 2𝛾𝑞̇ + 𝛼𝑞 − β𝑞3
= 0 (12)
𝑐𝑜𝑛: 2𝛾 =
𝑅
𝐿
; 𝛼 =
𝑎
𝐿
𝑦 𝛽 =
𝑏
𝐿
logrando así la analogía que se buscaba con el caso mecánico.
2.2.2 Análisis con forzamiento
Al someter el circuito RCL no lineal a un voltaje forzante, la expresión que
describe este nuevo comportamiento tiene la siguiente forma matemática la cual
resulta de aplicar nuevamente Kirchhoff al mismo:

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𝑞̈ + 2𝛾𝑞̇ + 𝛼𝑞 − 𝛽𝑞3
=
𝑉𝑜
𝐿
sin(𝜔𝑡) (13)
El voltaje en el capacitor equivalente variará en función de la cantidad de carga
de los capacitores (C1 y C2), y presenta un comportamiento lineal a trozos
respecto a la carga. La razón de esta forma lineal a trozos se debe a la presencia
de los diodos colocados en paralelo a C1 y anti-paralelos entre ellos. Cuando la
caída de potencial a través de C1 es inferior al voltaje de conducción de los
diodos (aproximadamente 0,70 V para diodos de silicio) estos no conducen y el
capacitor C1 se carga normalmente siguiendo la función sinusoidal del forzador
y así la capacitancia equivalente del circuito (Ce) es la de los dos capacitores en
serie.
Cuando la diferencia de potencial en los bornes del capacitor C1 alcanza la
diferencia de potencial necesaria para que los diodos conduzcan, ya que se
asume que los diodos son idénticos por lo tanto comienzan a conducir
simultáneamente, éstos se comportarán como un interruptor cerrado y se
anulará el capacitor conectado entre ellos, cambiando la capacitancia
equivalente del circuito; este cambio produce a su vez una variación en la
frecuencia de resonancia del circuito como se muestra en la Figura 6. Si se
analiza el circuito como un circuito lineal a trazos, se tendrá acotado el rango de
frecuencias accesibles por el sistema según lo indicado:
fmax =
1
2𝜋√LC 𝑒
(14)
fmin =
1
2𝜋√LC2
(15)
Figura 6: a) Dependencia de la amplitud del voltaje máximo entre los capacitores en función de la frecuencia del forzador.
b) Dependencia de la frecuencia de resonancia para un circuito lineal a trazos como el utilizado.

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Este comportamiento es típico de los sistemas no lineales, donde la manera en
que evolucionan las amplitudes depende de si estamos aumentando o
disminuyendo la frecuencia de excitación del sistema, generando lo que se
denomina histéresis.
Una de las características descriptas para el caso lineal corresponde a la
independencia de la frecuencia de resonancia de la amplitud. El circuito no
lineal, por su parte, presenta un comportamiento sustancialmente distinto en este
sentido, ya que para diferentes amplitudes de la fuente se registran distintos
valores de la frecuencia de resonancia [1].
3. Montaje experimental
3.1 Circuito RCL lineal
Para el circuito lineal se armó el siguiente circuito:
Figura 7: Dispositivo experimental para el circuito RCL lineal
Donde se realizaron los siguientes pasos:
Armar el circuito mostrado, conectando el voltímetro al resistor.
Ir variando la frecuencia entregada por la fuente, manteniendo su voltaje máximo
constante.
Ir anotando los voltajes registrados por el multímetro (PRECAUCIÓN: Se miden
los voltajes eficaces, siendo la reducción del voltaje máximo en un factor raíz
cuadrada de dos por ser una función sinusoidal).
Se establecieron los siguientes parámetros por medida directa:
𝐶 = (1,04 ± 0,01) 𝜇𝐹
𝑅 = (10,3 ± 0,1) 𝛺

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𝜀 = (2,00 ± 0,01) 𝑉
Como no se contaba con un instrumento para determinar inductancia, esta se
determinó por un modelo de solenoide muy largo (ver anexo); obteniéndose un
valor para la misma de:
𝐿 𝑇𝑒𝑜 = (3,07 ± 0,01) 𝑚𝐻
3.2 Circuito RCL no lineal
Se establecieron los siguientes parámetros por medida directa:
𝐿 = (34 ± 1)𝑚𝐻
𝐶1 = (0,332 ± 0,001) 𝜇𝐹
𝐶2 = (0,329 ± 0,001) 𝜇𝐹
𝑅 = (6,0 ± 0,1) 𝛺
𝑅 𝐿 = (48,0 ± 0,1) 𝛺
2 diodos 1N4007
La recolección de los datos de amplitud se realizó con un osciloscopio digital,
mientas que frecuencia de la forzante se obtuvo por medición directa.
Figura 8: Circuito RCL no lineal utilizado.

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Figura 9: Lectura en el osciloscopio
4. Resultados experimentales
4.1Resonancia en el circuito RCL lineal
Cuando se analizó la resonancia en el circuito lineal forzado los resultados
obtenidos fueron:
fres = 2070 𝐻𝑧
𝐿 𝑒𝑥𝑝 = (5,71 ± 0,01) 𝑚𝐻
Al construir el grafico amplitud medida en función de la frecuencia emitida por la
fuente forzante se obtuvo:

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Figura 10: Amplitud en función de la frecuencia, experimental (azul y verde) y simulación (naranja)
4.2Resonancia en el circuito RCL no lineal
En el análisis del circuito RCL no lineal, se obtuvieron los siguientes valores para
las frecuencias de resonancia:
Frecuencia (Hz) Máxima Mínima
Esperada 2125 1505
Obtenida 2115 1437
Al construir el grafico voltaje medido entre los puntos A y B en función de la
frecuencia emitida por la fuente forzante para diferentes voltajes de la misma se
obtuvo:
0,00E+00
5,00E-02
1,00E-01
1,50E-01
2,00E-01
2,50E-01
0,000 0,500 1,000 1,500 2,000 2,500 3,000 3,500
Imáx(A)
w/wres
Imáx = f(w/wres)
RLC lineal
simulacion
rcl S

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Figura 11: Curvas experimentales de la amplitud de voltaje en el elemento no lineal, en función de la
frecuencia de oscilación.
Figura 12: Curva experimental de la relación entre la amplitud del forzador y la frecuencia de resonancia
del circuito.
0
1
2
3
4
5
6
7
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500
Vo(V)
f (Hz)
Voltaje en función de frecuencia
V1
V2
V3
V4
V5
0
2
4
6
8
10
12
0 500 1000 1500 2000 2500
Vo
frecuencia de resonancia
Amplitud en función de las frecuencias de resonancia

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Figura 4: Cambio de la frecuencia de resonancia al realizar el barrido hacia delante y hacia
atrás de las frecuencias para un mismo valor de voltaje de la señal forzante.
Discusión Y Conclusiones
 En el circuito RCL lineal no hay dependencia de la frecuencia de resonancia
con la amplitud de la señal forzante, donde los valores obtenidos se
aproximan al obtenido experimentalmente.
 Cuando en el circuito RLC no lineal la frecuencia de resonancia se convierte
en una función de la amplitud de la señal forzadora. Esto se observa en el
gráfico de la Figura 11; donde se muestran comportamientos distintos para la
frecuencia de resonancia con el cambio de amplitud en la señal forzadora.
 Para amplitudes mayores la frecuencia de resonancia tiende a valores
cercanos a la frecuencia mínima que corresponde a la del circuito RLC
clásico.
 Los resultados obtenidos demuestran que efectivamente dicha dependencia
existe. No obstante, aparte de existir una relación entre estas magnitudes, la
teoría predice que frente a un aumento de la amplitud correspondiente, la
frecuencia de resonancia debe disminuir, hecho que, en lo estrictamente
cualitativo, queda claramente comprobado en las gráficas presentadas con
anterioridad.
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500
V(V)
f (Hz)
Histérsis
Voltaje vuelta
Voltaje ida

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Referencias
[1] Enns, R., Mc Guire, G. A Laboratory Manual for Nonlinear Physics
(Birkhäuser, USA, 1997)