1. Auxiliar #8 An´lisis Funcional
a
Profesor: Patricio Felmer
Auxiliares: Marco Hern´ndez - Nikolas Tapia.
a
P1. Considere el problema de Cauchy en Rn
u = f (t, u)
(P )
u(0) = x
con f : R × Rn → Rn una funci´n ω-peri´dica en la variable t y tal que (P ) tiene una unica
o o ´
n n
solucion u(t; x) definida en [0, ∞). Sea (Pt )t≥0 la familia de operadores de R en R definida
por Pt x = u(t; x).
Diremos que x ∈ Rn es ω-ireversible si Pt x = x en (0, ω]. Suponga que Ω ⊂ Rn es un abierto
acotado, que 0 ∈ f (0, ∂Ω) y todo x ∈ ∂Ω es ω-ireversible. Pruebe que deg(id −Pω , Ω, 0) =
deg(−f (0, ·), Ω, 0).
P2. (Teorema de Borsuk) Sea Ω ⊂ Rn un abierto acotado y sim´trico con 0 ∈ Ω. Sea f ∈ C(Ω)
e
una funci´n impar y 0 ∈ f (∂Ω). Entonces deg(f, Ω, 0) es impar.
o
Para probar este resultado, se sugieren los siguientes pasos:
(a) Muestre que basta probar el resultado para f ∈ C 1 (Ω) ∩ C(Ω) tal que 0 ∈ Sf .
(b) Pruebe que para demostrar el teorema en el caso anterior, basta encontrar g ∈ C 1 (Ω) ∩
C(Ω) impar tal que f − g ∞ < d(0, f (∂Ω)) y 0 ∈ g(Sg ).
(c) Construya un g como en la parte anterior para demostrar el teorema.
1